Допущения сопротивления материалов

Лекция № 1 Тема 1. ВВЕДЕНИЕ 1.1. Допущения сопротивления материалов Сопротивление материалов – это наука о прочности, жесткости и устойчивости. Прочность – это способность материала выдерживать заданные нагрузки, не разрушаясь. Жесткость – это способность конструкции сопротивляться деформированию при действии заданных нагрузок. Устойчивость – это способность конструкции сохранять свою форму при действии заданных нагрузок. Основные допущения, используемые в сопротивлении материалов : 1. В отличие от теоретической механики, материал считается не абсолютно твердым, а деформируемым. 2. В большинстве задач материал считается абсолютно упругим, то есть принимает первоначальную форму после снятия нагрузки. 3. Материал считается сплошным, то есть не учитывается то, что он состоит из атомов, кристаллов и считается, что материал полностью заполняет весь объем конструкции. 4. Материал считается однородным, то есть весь объем материала обладает одинаковыми механическими свойствами. 5. Материал считается изотропным, то есть имеет одинаковые механические свойства во всех направлениях. Материалы, не обладающие этим свойством, называются анизотропными. 6. Абсолютные деформации элементов конструкции считаются малыми по сравнению с размерами этих элементов. 7. Выполняется принцип суперпозиции или независимости действия сил, то есть, если на конструкцию действуют несколько сил, то усилия, напряжения и перемещения, возникающие в этой конструкции от действия этих сил, будут равны сумме усилий, напряжений и перемещений от действия каждой силы отдельно. На рис. 1.1 показан пример применения принципа суперпозиции, а на рис. 1.2 приведен пример, в котором этот принцип не работает. 8. Принцип Сен-Венана. Если на небольшую, по сравнению с размерами конструкции область, действует заданная система сил, то ее можно заменить равнодействующими: силой и моментом, отбросив при рассмотрении конструкции эту малую область , рис. 1.3. 1.2. Схематизация конструкций и нагрузок Реальный объект – это та конструкция, которую необходимо рассчитать. Расчетная схема – это реальный объект, освобожденный от несущественных подробностей. На рис.1.4,а. представлен реальный объект - подъемный кран, а на рис.1.4,б. и рис.1.4,в.- расчетные схема троса и стрелы крана. В сопротивлении материалов рассматриваются следующие расчетные схемы: Стержень (брус, вал, балка) – это элемент конструкции, у которого один размер – длина, намного больше двух других размеров поперечного сечения. Оболочка – это элемент конструкции, у которого один размер, толщина, намного меньше двух других размеров. Пластинка – это оболочка с плоской срединной поверхностью. Рис. 1.5 К расчетной схеме прикладывают нагрузки : 1. Внешние – силы взаимодействия элементов конструкции с окружающими ее телами и внутренние – силы взаимодействия между соседними частицами тела ( молекулами, кристаллами ). 2. Сосредоточенные : сила ( рис.1.5,а ), момент ( рис.1.5,б ) и распределенные по длине ( рис.1.5,в ), по площади и по объему. 3. Статические и динамические в зависимости от скорости их изменения во времени. 4. Постоянные и временные в зависимости от времени их действия. 2 1.3. Метод сечений, внутренние силы Рассмотрим некоторое тело, на которое действуют заданные нагрузки. В каждом месте тела на него действуют свои нагрузки, для их определения используют метод сечений. Мысленно рассекаем тело на две части какой-либо поверхностью, чаще всего используем плоскость ( рис.1.6,а). Затем мысленно одну из частей отбрасываем, и рассматриваем равновесие оставшейся части ( рис.1.6,б ). Между I и II частями тела существуют внутренние силы взаимодействия, произвольно направленные. Приведем эти силы взаимодействия к центру тяжести сечения, получим главный вектор и главный момент ( рис.1.6,б ). Разложим главный вектор и главный момент по осям координат ( рис.1.7). Проекции главного вектора: - продольная сила, - поперечные силы. Проекции главного момента: - крутящий момент, - изгибающие моменты. Для того, чтобы найти все эти шесть внутренних сил, необходимо составить шесть уравнений равновесия статики пространственной системы сил. , откуда находим . , откуда находим . , откуда находим . , откуда находим . , откуда находим . , откуда находим . Только после того, как мы нашли из уравнений равновесия все силы, можем знать, какие виды нагружения испытывает тело: растяжение, изгиб или что-либо другое. Напряжения. Выделим в сечении малый участок площадью . Приведем все силы, действующие на участке , к центру тяжести этого участка ( рис.1.8,а ). Получим главный вектор этих сил . Главный момент будет отсутствовать вследствие малости плечей сил при их приведении к центру тяжести. Тогда - среднее напряжение на площадке. Напряжение измеряется в . Стянем площадку в точку и получим напряжение в точке . Разложим напряжение в точке на Рис. 1.8 две составляющие: перпендикулярную к площадке - нормальное напряжение и лежащую в плоскости площадки - касательное напряжение ( рис.1.8,б ). Перемещения. При действии нагрузок на конструкцию она меняет свою форму, и каждая точка конструкции перемещается. Перемещения бывают линейными (обозначаются ) и угловыми (). Проекции линейного перемещения на координатные оси обозначаются u, v, w. Деформации. Абсолютные деформации - это изменения первоначальных размеров в теле при нагружении. Относительная линейная деформация - это изменение при действии нагрузки длины единичного отрезка, выделенного в теле. Ее проекции на оси обозначаются . Относительная угловая деформация - это изменение при действии нагрузки прямого угла, выделенного двумя отрезками в теле. Проекции угловой деформации на координатные плоскости обозначаются . Лекция № 2 Тема 2. ЦЕНТРАЛЬНОЕ РАСТЯЖЕНИЕ - СЖАТИЕ 2.1. Закон Гука. Закон Пуассона Если из всех внутренних сил, только продольные силы N не равны нулю, а остальные внутренние силы отсутствуют, то стержень испытывает центральное растяжение (сжатие). Экспериментально показано, что с учетом принципа Сен-Венана напряжения в сечении стержня при центральном растяжении (сжатии) распределяются равномерно . ( 2.1 ) Здесь А – площадь поперечного сечения стержня. Экспериментально показано, что удлинение стержня ( рис. 2.1,а ) прямо пропорционально его длине и действующей нагрузке и обратно пропорционально площади поперечного сечения и зависит от материала. . Для определения силы N используют а б метод сечений ( рис. 2.1,б ) Рис. 2.1 SFZ = 0, N - F = 0, N = F Тогда . ( 2.2 ) Эта формула называется законом Гука для абсолютных удлинений. E – постоянная величина, характеризующая данный материал. Она называется модулем Юнга или модулем продольной упругости, или модулем упругости первого рода, измеряется в Па ( МПа = 106 Па ) . Для сталей Е = (1,8 ÷ 2,1) * 105 МПа. Е * А – жесткость тела при растяжении (сжатии), чем она больше, тем меньше перемещение. Относительное удлинение деформированного стержня или продольная деформация . Разделим обе части ( 2.2 ) на , получим . Откуда выражение закона Гука для материала запишется или ( 2.3 ) Поперечное сечение стержня при растяжении сужается и его размеры уменьшаются. Величина Dа = а1 – а0 называется абсолютным сужением. - поперечная деформация или относительное сужение. Пуассон установил, что для изотропных материалов отношение поперечной деформации к продольной для каждого материала, есть величина постоянная, называемая коэффициентом Пуассона μ. Закон Пуассона записывается в виде или (2.4) Минус в формуле стоит потому, что поперечная и продольная деформации разных знаков, а . 2.2. Определение механических характеристик материалов испытаниями на растяжение. В сопротивлении материалов некоторые величины можно найти только экспериментальным путем. Неразрушающие методы испытаний чаще всего применяют для конструкций, а разрушающие - для материалов. Рассмотрим испытание на растяжение. Специально изготовленный образец из исследуемого материала крепится к захватам испытательной машины и растягивается. При испытаниях на растяжение происходит автоматическая запись диаграммы растяжения, связывающая удлинение образца и растягивающую силу. Это диаграмма растяжения конкретного образца. Для получения диаграммы растяжения материала, из которого сделан образец, все абсциссы делим на первоначальную длину , а все ординаты N делим на первоначальную площадь сечения образца А. Получаем диаграмму ( рис. 2.2 ) в координатах и . Вид кривой не меняется, меняется только масштаб. Опишем характерные участки и точки диаграммы. Участок ОВ – прямая линия, деформации и напряжения прямо пропорциональны, то есть на участке ОВ выполняется закон Гука . Точке В диаграммы соответствует последнее (предельное) напряжение, при котором сохраняется прямая пропорциональность между напряжением и деформацией. Напряжение, соответствующее этой точке, называется пределом пропорциональности .От точки В до точки С пропорциональность не выполняется, но материал остается упругим, то есть после снятия нагрузки диаграмма вернется в точку О. В точке С упругость кончается и напряжение, соответствующее точке С, называется пределом упругости . Участок DF – горизонтальная прямая. Она называется площадкой текучести. От D до F материал “течет”, то есть деформируется без увеличения нагрузки. Если образец полированный, то на его поверхности можно увидеть линии Чернова – Людерса, расположенные под углом 450. Напряжение, соответствующее этой площадке, называется пределом текучести . Далее FK – участок упрочнения. До точки К образец растягивался по длине и сужался по площади равномерно. Около точки К на образце появляется местное сужение, называемое шейкой, и в точке L образец разрушается. Напряжение, соответствующее точке К, называется временным сопротивлением ( или пределом прочности , что точно для материалов, разрушающихся без образования шейки ). Если образец нагрузить до точки Z, а потом снять нагрузку, то диаграмма разгрузки представляет собой прямую линию параллельную ОВ. Полная деформация в точке Z равна ОО2=ε. Она состоит из упругой деформации О1О2 = и остаточной (пластической) деформации ОО1 = . Если разгруженный образец нагрузить снова, то его диаграмма растяжения опишется линией O1 Z K L. При этом увеличивается упругая зона, это явление называется наклепом и применяется в промышленности для тех изделий, у которых по характеру работы желательно, чтобы пластическая деформация была минимальна. Величины – называют механическими характеристиками материала. При механических испытаниях материалов, получаются их механические характеристики. Технологическими пробами – называются испытания, дающие не объективные, а сравнительные характеристики материалов при строго регламентированных условиях. При переходе от диаграммы с координатами , к диаграмме в координатах , делим на первоначальную длину образца, а N делим на первоначальную площадь. Но в каждой момент времени при растяжении длина образца увеличивается, а площадь уменьшается. Если делить на текущую длину образца, а N на текущую площадь, то получится истинная диаграмма растяжения, изображенная на рисунке штриховой линией. При сжатии диаграмма имеет точно такую же форму и характеристики, только пластичный материал будет сплющиваться, и постепенно его площадь увеличится так, что испытательные машины не смогут сжимать его дальше. Если в диаграмме растяжения или сжатия присутствуют площадки текучести, явно или не совсем явно выраженные, то такой материал называется пластичным. Материал, у которого площадки текучести нет, называется хрупким. Лекция № 3 2.3. Предельные состояния. Коэффициент запаса При работе конструкции из пластичных материалов чаще всего необходимо, чтобы максимальные напряжения в конструкции были меньше предела текучести , а у хрупких материалов максимальные напряжения должны быть меньше временного сопротивления . Поэтому предельным состоянием для хрупких материалов считается разрушение, а для пластичных – текучесть и, соответственно, предельные напряжения для хрупких материалов , а для пластичных . Максимальные напряжения в конструкции должны быть меньше, чем предельные. Величина, показывающая во сколько раз максимальные напряжения в конструкции меньше предельных, называется коэффициентом запаса прочности ( 2.5 ) Для каждой конструкции из опыта эксплуатации задается некоторый нормативный коэффициент запаса прочности, который обозначается [n]. Его величина зависит от тех последствий, которые произойдут при потере работоспособности конструкции. В курсе “Сопротивление материалов” используется [n] = 1,5 – учебный коэффициент запаса. Действительный коэффициент запаса прочности конструкции должен быть равен нормативному, или быть больше его. , или . Величина называется допускаемым напряжением, тогда условие прочности по допускаемым напряжениям запишется ( 2.6 ) В частности, при растяжении, при расчете по допускаемым напряжениям имеем , откуда . Иногда для некоторых видов расчетов условие прочности по допускаемым напряжениям неприменимо ( продольно-поперечный изгиб ). Для них проводится расчет по допускаемым нагрузкам . Для некоторых конструкций, например, для точных приборов, кроме расчета на прочность проводится расчет еще и на жесткость, по допускаемым перемещениям . Здесь и - предельные нагрузка и перемещение. 2.4. Ползучесть. Релаксация напряжений. Влияние температуры и скорости нагружения на механические характеристики материала. В зависимости от условий эксплуатации конструкции механические характеристики материала могут изменяться очень сильно. Может измениться и характер разрушения (с пластического на хрупкий). Рассмотрим основные факторы, влияющие на прочность и разрушение материалов. Время действия статической нагрузки При постоянной нагрузке с течением времени напряжения и деформации в конструкции меняются. В зависимости от материала и от температуры эти изменения могут быть различными. Ползучесть Изменение деформаций во времени при постоянной нагрузке называется ползучестью или последействием. Последействие может быть упругим и пластическим. При упругом последействии появившиеся со временем деформации постепенно уменьшаются и исчезают после снятия нагрузки. При пластическом последействии после снятия нагрузки деформации уменьшаются незначительно. На рис.2.3 показано изменение деформации во времени. Рис.2.3 Последействие упругое (а) и пластическое (б) Деформация, возникшая при нагружении (участок ОА), равная Еσ, с течением времени увеличивается (участок АВ). При разгрузке исчезает упругая деформация, возникшая при нагрузке (участок BC). После разгрузки деформация медленно уменьшается (участок CD). Это явление называется обратным последействием или обратной ползучестью. В случае упругого последействия деформации исчезают полностью. В случае пластического последействия остаточные деформации полностью не исчезают. Деформации ползучести зависят от напряжений, температуры и времени. Примеры кривых ползучести показаны на рис. 2.3а. Рис. 2.3а. Кривые ползучести при различных температурах Т Деформации ползучести увеличиваются с ростом напряжений, температуры и времени. У стальных и чугунных деталей ползучесть заметна лишь при относительно высоких температурах (выше 300°С). При меньших температурах влиянием ползучести можно пренебречь. Однако у ряда материалов с низкой температурой плавления (свинец, олово, алюминий) и у пластмасс явление ползучести заметно и при комнатной температуре (20°С). Обычно ползучесть надо учитывать при расчетах конструкций, находящихся в процессе эксплуатации длительное время в нагретом состоянии. Это элементы конструкций паровых и газовых турбин, реактивных двигателей, паровых котлов, химических аппаратов и тепловых устройств. Для сопоставления сопротивления ползучести разных материалов вводится характеристика, называемая пределом ползучести. Пределом ползучести при заданной температуре называется напряжение, при котором деформация ползучести достигает определенной техническими условиями величины за заданный отрезок времени. При длительном действии нагрузки деформация ползучести может привести к разрушению конструкции. Релаксация Существуют мягкое и жесткое нагружение элементов конструкции (рис. 2.4.). При мягком нагружении (рис. 2.4, а) нагрузки остаются постоянными во времени, а перемещения могут расти свободно. В таких условиях наблюдается ползучесть материала. При жестком нагружении перемещений нет, конструкция жестко зафиксирована в нагруженном состоянии В таких условиях вследствие ползучести материала наблюдается снижение (релаксация) напряжений в элементах конструкции. Релаксацией называется снижение напряжений с течением времени при неизменном перемещении. Рис. 2.4. Мягкое (а) и жесткое (б) нагружение конструкции Полная деформация, остающаяся постоянной во времени, является суммой упругой деформации и деформации ползучести. Деформация ползучести растет во времени, а, следовательно, упругая деформация уменьшается. Соответственно уменьшаются и упругие напряжения (рис.2.4а). Рис. 2.4а. Релаксация (уменьшение) напряжений в конструкции Примером релаксации может служить ослабление затяжки болтов со временем. При жестком нагружении деформация ползучести не может стать больше исходной деформации нагружения и, следовательно, не может вызвать разрушения конструкции. Хотя, к примеру, самопроизвольное отвинчивание болтов может быть не менее опасным, чем разрушение конструкции. Длительная прочность Рост деформаций в процессе ползучести может вызвать разрушение конструкции. Чтобы не допустить разрушение, надо знать предел длительной прочности. Пределом длительной прочности при заданной температуре называется напряжение, при котором происходит разрушение растянутого образца через заданный промежуток времени. Для определения длительной прочности материала проводится испытание на растяжение до разрушения серии образцов при заданной температуре. Результаты испытаний наносят на график в логарифмических координатах (рис. 2.4б) и аппроксимируют прямой линией. Часто на графике наблюдается перелом, вызванный переходом материала от вязкого разрушения (при малой долговечности) к хрупкому (при большой долговечности). Рис. 2.4б. Кривые длительной прочности Зависимость времени до разрушения от напряжения в растянутом образце описывается формулой, аналогичной расчету долговечности при испытаниях на усталость. Для заданной долговечности предел длительной прочности уменьшается с ростом температуры испытаний. Следует отметить, что все экспериментальные кривые длительной прочности, релаксации и ползучести строятся для определенной температуры испытаний. Напряжения, деформации, время и температура — это четыре параметра, определяющих поведение материала в той или иной конструкции. Скорость деформации С повышением скорости деформации сопротивление пластической деформации растет, при этом предел текучести растет быстрее, чем предел прочности. В интервале скоростей деформирования 10-4 – 104 c-1 предел текучести сравнительно медленно растет с ростом скорости деформации. При больших скоростях нагружения (при ударном нагружении) сопротивление пластической деформации резко возрастает за счет инерционного сопротивления материала (рис.2.4в), так как для протекания пластической деформации требуется определенное, хотя и малое время. Рис. 2.4в. Зависимость предела текучести от скорости деформации Температура эксплуатации С повышением температуры сопротивление пластической деформации падает. У конструкционных сталей изменение предела текучести значительно больше, чем у аустенитных сталей. На рисунке 2.4г показан характер температурной зависимости сопротивления пластической деформации, то есть предела текучести и предела прочности. При переходе в хрупкое состояние происходит небольшое скачкообразное снижение указанных характеристик. При температурах порядка 300° – 500.C у конструкционных сталей возможно небольшое повышение прочности вследствие температурного старения. Пунктиром показано изменение свойств металлов, не подверженных температурному старению. По мере приближения к температуре плавления прочность стремится к нулю. Причина снижения прочности в том, что с повышением температуры усиливаются тепловые колебания атомов. Для перемещения атома из одного положения в другое необходимо преодолеть потенциальный барьер, то есть совершить работу за счет суммарного действия напряжений и тепловых колебаний атомов. Понятно, что чем больше энергия тепловых колебаний, тем меньше напряжение, необходимое для пластической деформации. Кроме того, за счет термического расширения кристаллической решетки, увеличивается расстояние между атомами и уменьшаются силы межатомных связей. Характер влияния на прочность материалов скорости деформации и температуры в принципе одинаков. Провести испытания материала на прочность при изменении температуры значительно проще, чем при изменении скорости деформации. Рис. 2.4г Зависимость сопротивления пластической деформации от температуры Для сравнения влияния скорости деформации и температуры часто используют приближенную связь между ними. Снижение температуры на 15 градусов примерно эквивалентно увеличению скорости деформации в 10 раз. 2.5. Концентрация напряжений Отверстия, канавки, надрезы (рис. 2.5а ) и другие резкие изменения формы детали называют концентраторами напряжений. Они приводят к неравномерному распределению напряжений. Обычно максимальные значения напряжений возникают около концентраторов. Нарушение равномерного распределения напряжений имеет место в ограниченной зоне, поэтому напряжения в этой зоне называется местными. Рис. 2.5а Рис. 2.5б Теоретический коэффициент концентрации показывает, во сколько раз максимальное напряжение около концентратора больше номинального напряжения, вычисленного без учета нарушения равномерности распределения напряжений. Для растянутого стержня (рис. 2.5а ) . Здесь Аmin – площадь поперечного сечения с учетом концентратора. к – зависит от геометрии детали. Так, например, на рис. 2.5б показана зависимость к от радиуса закругления при переходе от диаметра d стержня к диаметру D = 3d. Зависимость к от R и D/d приведена в приложении 6. Для уменьшения величины К скругляют углы и кромки, засверливают трещины, полируют изделия, особенно из высокопрочных закаленных сталей. Для учета и геометрии детали, и свойств материала вводят KS – эффективный коэффициент концентрации напряжений при статическом действии нагрузки. где F – разрушающая нагрузка образца без концентратора напряжений, Fk - разрушающая нагрузка образца с концентратором напряжений. Концентрация напряжений более опасна для хрупких материалов, чем для пластичных. Для пластичных опасны только острые надрезы и трещины. Для деталей из хрупкого материла надо снижать , или, что то же самое, увеличить коэффициента запаса в KS – раз. Для чугуна резкое изменение очертаний не очень опасно, так как, вследствие грубозернистой структуры материала, промежутки между зернами играют роль надрезов. Лекция № 4 2.6. Контактные напряжения Деформации и напряжения, возникающие при взаимном нажатии двух соприкасающихся тел, называют контактными. Возможны различные случаи контакта, изображенные на рис. 2.5в. Поверхность контакта ограничена эллипсом: , где А и В зависят от главных радиусов кривизны соприкасающихся тел ( это Rmax и Rmin в перпендикулярных плоскостях ), С – величина сближения тел от упругой деформации. Напряжения на площадке контакта распределяются по закону эллипса ( рис. 2.6 ) : , . Здесь F – сила, сжимающая, контактируемые тела. Полуоси эллипса зависят от отношения A/B. Выражая их через A/B, получим напряжение в центре эллипса . Здесь  зависит от A/B. A/B 1 0,5 0,1 0,007  0,388 0,490 0,970 3,202 Рис. 2.5в Условие прочности , где - допускаемое контактное напряжение. Например, для шарикоподшипниковой стали: , для стали 3. , а . Столь высокие напряжения, выдерживаемые материалами, имеют место потому, что материал работает в условиях, приближающихся к Рис. 2.6 всестороннему сжатию. Опасная точка лежит на некоторой глубине контактирующих тел. По энергетическому критерию напряжения в ней: , где Приведем величины зон контакта и максимальных напряжений для некоторых случаев контакта. В случае №1 радиус зоны контакта (круга) определится по формуле: . Здесь E1 и E2 – модули Юнга материалов контактирующих тел. При Е1=Е2=Е максимальные напряжения будут: .В случае №3 : ,. .В случае №5 d2 отрицательно:. В случае №9 - ширина полосы контакта определяется по формуле: Здесь . Максимальные напряжения будут равны В случае №10 . , . 2.7. Растяжение под действием собственного веса Рассмотрим стержень, закрепленный верхним концом и растягивае-мый собственным весом. Длина стержня l, площадь поперечного сечения А, модуль Юнга и удельный вес материала стержня – Е и ( рис. 2.3 ). Используем метод сечений ( рис. 2.4 ). ( вес участка стержня длиной z ). , . Так как зависимость N от z линейная, то эпюра N изображается прямой линией. Чтобы построить прямую линию, нужны две точки. ; ; -это вес всего стержня. Эпюра напряжений - прямая : , . Рис. 2.3 Рис. 2.4 Найдем перемещения сечений стержня. По закону Гука при N=const абсолютное удлинение будет . Так как у нас N ≠ const, то применим закон Гука для участка длиной dz, на котором можно считать, вследствие его малости, что N(z) ≈ const. Абсолютное удлинение этого участка . Сечение I-I переместится на величину, равную сумме абсолютных удлинений всех участков dz , расположенных выше сечения I-I : Это уравнение параболы. Для построения эпюры нужны три точки. . . . Если подобрать сечение стержня под действием собственного веса, то в формуле используется : . В остальных точках эта площадь оказывается излишней, так как N уменьшается, поэтому с точки зрения оптимального проектирования желательно применять стержни переменного поперечного сечения. 2.8. Статически неопределимые системы растяжения - сжатия Если все внутренние силы в конструкции можно найти с помощью одних только уравнений равновесия статики, то такие конструкции или системы называются статически определимыми системами , а если нельзя – то статически неопределимыми . Расчет статически неопределимой системы рассмотрим на примере. Абсолютно жесткий брус, нагруженный силой Q, опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров (рис. 2.5 ). Требуется найти усилия и напряжения в стержнях. Используем метод сечений ( рис. 2.6 ). Заданная система является один раз статически неопределимой, так как возникающие опорные реакции RО и НО, а также продольные силы N1 и N2 в стержнях, не могут быть определены из трех уравнений равновесия статики. Уравнение равновесия отсеченной части, изображенной на рис.2.6 , имеет вид ( 2.6 ) Составлять уравнения и не имеет смысла, так как в них войдут не интересующие нас реакции опоры О ( RО, НО ). Необходимо составить одно дополнительное уравнение - уравнение перемещений. Для этого рассмотрим деформацию системы. Под действием нагрузки Q абсолютно жесткий брус ВО, оставаясь прямым, повернется вокруг шарнира О и займет положение В1О (рис.2.7). Рис. 2.5 Рис.2.6 Точка В опишет дугу, которую по малости угла В1ОВ заменим прямой . Так как упругие деформации малы по сравнению с длинами стержней, то считаем, что угол CB1D приблизительно равен углу CBD и равен . Удлинения стержней 1 и 2 равны = В1К и = ВВ1. Удлинение стержня 1 () получаем на чертеже, опустив перпендикуляр ВK из точки В на CВ1 (положение стержня 1 после деформации). . Или - это дополнительное уравнение перемещений. Рис.2.7 На основании закона Гука , и уравнение перемещений запишется . ( 2.7 ) Здесь - длина стержня 1; l2 = в – длина стержня 2. Сокращая на величину в , получим , выражение подставляем в ( 2.6 ) и находим N1 и N2, а , затем и напряжения . Одним из свойств статически неопределимых систем является то, что на элементы с большой жесткостью приходится большая часть нагрузки. При изменении температуры в статически неопределимых системах возникают температурные напряжения. Рассмотрим пример статически неопределимой системы, подверженной температурному воздействию. Пусть стержень, изготовленный из материала с модулем Юнга - Е и коэффициентом линейного расширения α, при температуре Т0 , заделывают в неподатливые стены. Затем температура меняется до Т1. Найти усилие и напряжение в стержне. а б в Рис.2.8 При нагревании брус давит на опоры, и в них возникают реакции ( рис 2.8,а ). . Уравнение одно, а неизвестных два, поэтому задача является статически неопределимой. Составим дополнительное уравнение перемещений. Для этого превратим статически неопределимую систему в статически определимую. Отбросим одну из опор, например С, а неизвестную реакцию RC обозначим через Х (рис. 2.8,б ). Используем метод сечений ( рис. 2.8,в ) и найдем, что ; ; . От силы N удлинение бруса вычисляется по закону Гука . Удлинение бруса от действия температуры равно . Полное удлинение бруса будет . Так как брус зажат в неподатливые стенки, то полное удлинение его равно нулю. – это дополнительное уравнение перемещений. , сокращаем на и получим . Температурное напряжение . Здесь=. Из этого выражения видно, что напряжения не зависят от площади, то есть уменьшить напряжение , увеличивая площадь нельзя. При погрешностях изготовления элементов статически неопределимых систем возникают монтажные напряжения. Если в статически определимой системе один из ее элементов сделать не точного размера, то при монтаже напряжение и усилие в ней не возникнет, изменится только ее геометрия ( рис. 2.9, а ). В статически неопределимых системах, а б например, если средний Рис. 2.9 стержень выполнен короче, чем нужно ( рис. 2.9, б ), то для монтажа конструкции в точке соединения трех стержней необходимо два крайних стержня сжать, а средний растянуть, и в таком положении конструкцию монтируют. При этом в конструкции без приложения нагрузки средний стержень окажется растянутым, а крайние - сжатыми. Такая конструкция называется предварительно напряженной, а напряжения в ней называются монтажными. Часто такие конструкции делаются специально, например, предварительно напряженный железобетон . Таким образом, в статически определимых системах усилия и напряжения возникают только от действия нагрузки, а в статически неопределимых системах как от действия нагрузки , так и от изменения температуры и неточности монтажа. Лекция № 5 Тема 3. ТЕОРИЯ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ 3.1. Напряженное состояние в точке Вырежем из напряженного тела произвольной бесконечно малый параллелепипед ( рис. 3.1 ). На гранях параллелепипеда действуют нормальные и касательные напряжения. Направление нормальных напряжений совпадает с направлением внешней нормали . Касательные напряжения разложим на составляющие, параллельные осям. На невидимых гранях элемента возникают такие же напряжения, только противоположно направленные. Напряжения на гранях параллелепипеда являются компонента ми тензора напряжений – Т. Параллелепипед находится в равновесии, выполняются все уравнения равновесия, в частности, Мх=0 . zydxdydz -yzdzdxdy=0. Откуда: zy=yz. Аналогично zx=xz, xy=yx. Эти выражения представляют собой закон парности касательных напряжений. Из закона парности касательных напряжений следует, что на гранях элемента имеем не девять, а шесть независимых компонентов тензора напряжений. При вращении параллелепипеда величины напряжений меняются. Можно добиться такого положения параллелепипеда, при котором все касательные напряжения обратятся в ноль. Грани параллелепипеда, находящиеся в этом положении, называются главными площадками, а нормальные напряжения, действующие на них, называются главными напряжениями, которые обозначаются 1, 2 и 3, причем 123. Если два главных напряжения равны нулю, то напряженное состояние называется линейным или простым. При этом, если 10, то это растяжение, а если 30, то это сжатие. Если одно главное напряжение равно нулю, то напряженное состояние называется плоским, если все главные напряжения не равны нулю, то объемным. Плоское и объемное напряженные состояния называются сложными. 3.2. Напряжение на наклонных площадках при линейном напряженном состоянии Пусть материал испытывает линейное напряженное состояние: 10, 2=0, 3=0. Найдем напряжения на площадке, нормаль к которой составляет угол  с нормалью к главной площадке, где действует 1 ( рис. 3.2,а ). Площадь главной площадки обозначим А0, а площадь наклонной площадки - А. , или . Напряжение найдем из условия равновесия (рис. 3.2,б). . Разложим p на  и  ( рис. 3.2,в ). . ( 3.1 ) . ( 3.2 ) Экстремальные значения напряжений будут: при =0; при =90; при =45. 3.3. Плоское напряженное состояние Рассмотрим элемент, материал которого испытывает плоское напряженное состояние ( рис.3.3 ). Разберем две задачи – прямую и обратную. В прямой задаче гранями рассматриваемого элемента являются главные площадки. Известны 10, 20, 3=0. и углы  и =+90 наклона произвольных площадок к главной, на которой действует 1. Требуется определить напряжения  и  и  и  на произвольных площадках. В обратной задаче известны напряжения  ,  ,  и  на двух взаимно перпендикулярных произвольных площадках. Требуется определить положение главных площадок и величины главных напряжений. Прямая задача. Используем принцип суперпозиции и формулу (3.1 ). Найдем напряжения на первой произвольной площадке =1cos2+2cos2(90+) = 1cos2+2sin2 , (3.3 )  =sin2 . (3.4 ) Отметим, что в прямой задаче положительный угол  откладывается от нормали к главной площадке, где действует 1, против часовой стрелки. Экстремальные значения напряжений будут: mах =1 при =0°; min  =2 при =90°; mах = при =45°. Для определения напряжений на второй произвольной площадке используем формулы ( 3.3 ) и ( 3.4 ), в которые подставим угол  = . ( 3.5 ) . ( 3.6 ) Из сравнения ( 3.4 ) и ( 3.6 ) видно, что = -  - это частный случай закона парности касательных напряжений для плоского напряженного состояния. Обратная задача. Для нахождения положения главных площадок найдем угол =0 наклона главной площадки к произвольной. Вычтем из  ( 3.3 )  (3.5 ) , Откуда ( * ) , а из ( 3.4 ) найдем . Получим . ( 3.7 ) По этой формуле определяется положение главных площадок . Найдем величины главных напряжений. Сложим формулы ( 3.3 ) и ( 3.5 ). . Из ( * ) следует, что . Складывая и вычитая эти выражения, получим =. Откуда ; 3=0 . ( 3.8 ) Лекция № 6 3.4. Обобщенный закон Гука Вырежем из тела элементарный парал-лелепипед, гранями которого являются главные площадки ( рис. 3.4 ). Обозначим ребра параллельные 1 первыми, параллельные 2 – вторыми, параллельные 3 – третьими. Рассмотрим деформацию первого ребра. В нем от 1 возникает продольная деформация , а от 2 и 3 – поперечные деформации ; . Полные деформации первого ребра, и аналогично второго и третьего ребер будут 1 = , 2 = , 3 = . ( 3.9 ) Эти выражения представляют собой обобщенный закон Гука. Складывая их, найдем относительное изменение объема. , здесь - модуль объемной деформации. Если материал испытывает всестороннее сжатие, то 1 = 2 = 3= - p. Тогда . Так как объем в этом случае расти не может, то это возможно, если 1-20, или   0.5. Это предельное значение  для изотропных материалов. 3.5. Критерии прочности и пластичности В случае простого напряженного состояния легко определить предельное напряженное состояние – текучесть для пластичных материалов и разрушение для хрупких. Соответственно находятся предельные напряжения Т и В , зная которые, можно найти коэффициент запаса прочности конструкции. При сдвиге тоже можно определить характерные напряжения по диаграмме сдвига. При сложном напряженном состоянии предельное напряженное состояние зависит от комбинации компонент тензора напряжений, и определение предельных напряжений для каждого случая сложно и дорого. Поэтому содержание теории предельных напряженных состояний заключается в создании общего метода оценки меры опасности любого напряженного состояния при ограниченном числе механических испытаний материала. Каждому сложному напряженному состоянию ( рис. 3.5,а ) ставится в соответствие равноопасное ему простое напряженное состояние с эквивалентным напряжением экв ( рис. 3.5,б ). Равноопасными состояниями называются такие, все компоненты которых надо увеличить в одно и то же число раз ( равное коэффициенту запаса прочности ) для достижения напряженным состоянием предельного состояния. Критериями прочности и пластичности являются математические модели - уравнения, основанные на теоретических рассуждениях и экспериментальных данных и связывающие сложное напряженное состояние с равноопасным ему простым напряженным состоянием. Рассмотрим некоторые наиболее распространенные критерии. I. Критерий наибольших нормальных напряжений. Считается, что на достижение напряженным состоянием предельного состояния основное влияние оказывает наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение. эквI =  или эквI = 3  . Данный критерий имеет, в основном , историческое значение, и на практике не применяется. II. Критерий наибольших относительных деформаций. Считается, что на достижение напряженным состоянием предельного состояния основное влияние оказывает наибольшая по абсолютной величине относительная деформация. Так как эквII = Е эквп , а эквп = max {  1  ,  3  } , то эквII =  - (2+3) или эквII. Этот критерий применяется редко и только для хрупких материалов. II1. Критерии наибольших касательных напряжений. Считается, что на достижение напряженным состоянием предельного состояния основное влияние оказывает наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение. Так как - в заданном напряженном состоянии, а - в эквивалентном напряженном состоянии, то ( 3.10 ) Используется для пластичных материалов. Однако для материалов с различными механическими характеристикам на растяжении и сжатии, этот критерий приводит к погрешностям. IV. Критерии энергии формоизменения. Считается, что на достижение напряженным состоянием предельного состояния основное влияние оказывает энергия формоизменения. Энергию, затраченную на изменение объема, не учитываем, так как, например, при гидростатическом сжатии, потенциальная энергия растет, а материал не течет. Формула для эквивалентного напряженного состояния будет: , или . ( 3.11) Этот критерий применяется наравне с критерием наибольших касательных напряжений для пластичных материалов V. Теория Мора предельных напряжений. Испытывая образцы из одного и того же материала при различных напряженных состояниях и доводя последние до предельных, в координатах  -  можем отыскать некоторые точки, характеризующие данные предельные состояния. Проведя через эти точки линии, получим некоторую плоскую фигуру, граница которой и будет описывать совокупность предельных состояний для данного материала. Формула для эквивалентного напряженного состояния будет: , где k= . Здесь ТР , ВР , ТС и ВС - пределы текучести и пределы прочности материала на растяжение и сжатие. При k=1 критерий Мора совпадает с критерием наибольших касательных напряжений. Критерий Мора используется для материалов, разносопротивляющихся растяжению и сжатию. Общего критерия для всех материалов в настоящее время не существует и работа по созданию и совершенствованию критериев прочности и пластичности сводится как к созданию возможно более точных гипотез, оправдываемых последующими экспериментами, так и к наиболее простому и полному описанию совокупности экспериментальных данных. Лекция № 7 Тема 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ 4.1. Статические моменты площади и моменты инерции. Рассмотрим произвольное поперечное сечение стержня. Простейшая геометрическая характеристика сечения – это площадь ( рис. 4.1 ) А = dA (м2) Величины Sx = ydA (м2) и Sy = xdA (м2) ( 4.1 ) называются статическими моментами сечения ( или площади ) относительно осей х и у. Статический момент сложной фигуры относительно некоторой оси равен сумме статических моментов простых фигур, составляющих эту сложную, относительно той же оси. Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Статические моменты сечения относительно центральных осей равны нулю. Статические моменты площади также можно вычислять по формулам: Sx = Ayc , Sy = Axc , ( 4.2 ) где xc и ус – координаты центра тяжести площади сечения. Чаще всего статические моменты площади используются для определения положения центра тяжести сложной фигуры. Пример определения положения центра тяжести сложной фигуры. Разделим сложную фигуру ( рис. 4.2 ) на простые, найдем у них центры тяжести и определим их координаты, а также их площади. хс1 = В/2, уc1 = H/2, A1 = BH ; хc2 = B + b/2, уc2 = h/2, A2 = bh ; хc3 = Xотв, уc3 = Yотв, А3 = d2/4. Так как SY = Axc , то . Аналогично, из SX = Ayc следует, что Координаты xc и ус центра тяжести сложной фигуры найдены. Величины: Ix= y2dA (м4) и Iy = x2dA (м4) ( 4.3 ) называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у. Ix  0, Iy  0. Величины: Ixy = xy dA (м4) , ( 4.4 ) Ip =2dA (м4) ( 4.5 ) называются центробежным моментом инерции сечения относительно системы осей х, у и полярным моментом инерции системы относительно полюса 0. Ixy 0, IP  0. IP = 2 dA = (x2+y2)dA = x2dA + y2dA = IY + IX . Величины: Wx = Ix/ ymax ; Wy = Iy / xmax  (м3) ( 4.6 ) называются осевыми моментами сопротивления относительно осей х и у, а величина Wp = Ip / max. ( 4.7 ) - полярным моментом сопротивления. Величины: ix = ; iy = (м) ( 4.8 ) называются радиусами инерции относительно осей х и у. Примеры определения геометрических характеристик . Прямоугольное сечение ( рис. 4.3 ). Элементарную площадку dA выберем в виде полоски b*dy. . Аналогично и . Круглое сечение ( рис. 4.4 ). Ip =2dA . Элементарную площадку dA выберем в виде кольца радиусом  и толщиной d. Если развернем кольцо в полоску, то получим, что dA = 2πd. I = 2dA = 22πd =2π()== =  0,1d4. Так как Ip = Ix + Iy , то Ix = Iy = = = 0,05d4. Wp = = = =  0,2d3. Wx =Wy = = = =  0,1d3 . Кольцевое сечение (рис. 4.5). Моменты инерции сложной фигуры равны сумме моментов инерции простых фигур, составляющих эту сложную. Тогда для кольца Ip = Ip большого круга – Ip меньшего круга= . Ix = Iy. Моменты сопротивления сложной фигуры не равны сумме моментов сопротивления простых фигур, составляющих эту сложную Если бы мы ошибочно считали, что моменты сопротивления сложной фигуры равны сумме моментов сопротивления простых фигур, составляющих эту сложную, то в результате получили бы , что неверно !!!. 4.2. Связь между моментами инерции относительно параллельных осей. Рассмотрим некоторое поперечное сечение, в котором известен центр тяжести сечения С и через него проведены оси х и у ( рис. 4.6 ). Пусть известны моменты инерции сечения относительно центральных осей: Ix, Iy, Ixy, а также расстояния a, b до произвольных осей х1 и у1. Требуется определить: Ix1, Iy1, Ix1y1 . Выразим х1 и у1 через х и у: x1 = x – b, y1 = y – a. Тогда Ix1 = y12 dA = (y – a)2dA = =y2dA - 2yadA + a2dA = =y2dA – 2aydA + a2dA = = Ix –2aSx + a2A. Так как. ось х – центральная ось, то Sx = 0. Тогда Ix1 = Ix + a2A, ( 4.9 ) аналогично Iy1 = Iy + b2A. Ix1y1=x1y1dA=(x–b)(y–a)dA=xydA -bydA - axdA + abdA= = Ixy – bSx – aSy + abA = Ixy +abA . ( 4.10 ) Эти формулы используются, когда оси х и у – центральные. Из этих формул следует, что Ix = Ix1 – a2A и Iy = Iy1 – b2A , то есть осевые моменты инерции относительно центральных осей является наименьшими по сравнению с осевыми моментами инерции относительно всех осей, параллельных центральным. Лекция № 8 4.3. Связь между моментами инерции относительно осей, повернутых друг к другу на угол . Известны моменты инерции относительно произвольных осей Ix, Iy, Ixy и угол . Требуется найти моменты инерции Ix1, Iy1, Ix1y1 относительно повернутых осей ( рис.4.7 ). y dA y1 B  x1 E  D  F K O G x Рис. 4.7 Выразим координаты повернутой системы осей через координаты заданной системы осей. x1 = OE = OK + KE = OK + GF =OG cos +GB sin = x cos + y sin. y1 = OD = BE = BF – FE = BF – KG = BG cos - OG sin = y cos - x sin. Тогда Ix1 = y12 dA = ( y cos- x sin )2 dA = cos2 y2 dA – 2 sin cos* *xy dA + sin2 x2 dA = Ix cos2 + Iv sin2 –Ixy sin2. ( 4.11 ) Iy1 = x12 dA = ( x cos+y sin )2 dA = cos2 x2 dA + 2 cos sin* *xy* dA + sin2 y2dA = Iy cos2 + Ix sin2 + Ixy sin2. ( 4.12 ) Ix1y1 = x1y1 dA = ( x cos + y sin )( y cos - x sin ) dA = =cos2 x y dA + sin cos y2 dA - sin cos x2 dA – sin2 xy dA= = Ixy ( cos2 - sin2 ) + ( Ix – Iy ) = + Ixy cos2. ( 4.13 ) Сложим ( 4.11) и ( 4.12 ) . Получим Ix1 + Iy1 = Ix + Iy = const, то есть сумма осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей проходящих через данную точку есть величина постоянная. 4.4. Главные оси инерции. Главные моменты инерции. Если меняется угол  при повороте осей, то будут меняться Ix1 , Iy1 и Ix1y1, но всегда Ix10, Iy1  0 и Ix1y1 0 . При некотором положении угла  = 0, центробежный момент инерции Ix1y1 обратиться в ноль. Зафиксируем это положение осей ( рис.4.8 ). Оси, относительно которых Ix0y0 = 0, называются главными и обозначаются х0 - у0 или u - v. Найдем положение главных осей. Для этого в формуле ( 4.13 ) вместо  подставим 0, а вместо Ix1, Iy1 подставим Ix0, Iy0. Ix0y0 = Ixycos20 = 0. = -Ixycos20; Окончательно ( 4.14 ) Подставляем значение 0 в ( 4.11 ) и в ( 4.12 ) , найдем осевые моменты инерции относительно главных осей Iu = Ix0 = Ixcos20 + Iysin20 – Ixysin20 ( 4.15 ) Iv = Iy0 = Iycos20 + Ixsin20 + Ixysin20 ( 4.16 ) Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции. Исследуем значение осевого момента инерции на экстремум в зависимости от угла . Возьмем производную от выражения ( 4.11 ) по  и приравниваем ее к нулю. dIy1 / d = Ix2sincos - Iy2cos sin + Ixy2cos2 = 0. (Ix – Iy)sin2 = - Ixy 2cos2. sin2/cos2 = - 2Ixy / (Ix – Iy) = tg2, то есть α=α0 Осевые моменты инерции относительно главных осей принимают экстремальные значения по сравнению с осевыми моментами инерции относительно всех взаимно перпендикулярных осей , проходящих через данную точку. Главные оси, проходящие через центр тяжести, называются главными центральными осями, а соответствующие моменты инерции – главными центральный моментами инерции. Один из этих моментов инерции является наименьшим по сравнению со всеми осевыми моментами инерции сечения относительно любой оси. Выражения ( 4.15 ) и ( 4.16 ) можно преобразовать таким образом, чтобы в них не входил угол  . Вычтем выражение ( 4.16 ) из выражения ( 4.15 ). Iu - Iv = Ix(cos20-sin20)-Iy(cos20-sin20)-2Ixysin20=(Ix-Iy)cos20-2Ixysin20 Из уравнения ( 4.14 ) следует, что -2 Ixy= ( Ix - Iy ) tg 2 0 Тогда ( 4.17 ) Сложим выражения ( 3.15 ) и ( 3.16 ) Iu + Iv = Ix+ Iy . ( 4.18 ) Сложим выражения ( 3.17 ) и ( 3.18 ), затем вычтем из выражения (3.18) выражение ( 3.17 ) и, разделив результаты на 2, окончательно получим ( 4.19 )