Длина дуги плоской кривой. Площадь поверхности вращения

Лекция 5 Тема. Длина дуги плоской кривой. Площадь поверхности вращения Длина дуги плоской кривой Рассмотрим плоскую кривую, заданную  x   t  параметрически  , где   t   .  y   t  Функции  и  непрерывны на отрезке  ;   , двум разным значения t   ;   соответствуют две различные точки кривой, то есть несамопересекающаяся. Точки кривой расположены в порядке возрастания параметра t – на кривой устанавливается определенное направление. А  ;   , B  ;   . Разобьем отрезок  ;   на n частей:   t 0  t1  t 2  ...t k 1  t k  ...  t n1  t n   . Каждому t k ставится в соответствие точка M k  t k ; t k  на дуге АВ. Соединим точки и получим ломанную AM 1 M 2 ...M k 1 M k ...M n 1 B , вписанную в дугу АВ. Периметр ломанной n р   M k 1 M k . k 1 Определение 3.3. Длиной l дуги АВ будем называть предел последовательности длин р ломанных, вписанных в эту дугу l  lim p , то есть t k  0   0   0  разбиения  ;   на части   max M k 1 M k     p  l   . Кривые, дуги k 1.. n которых имеют определенную длину, называются срямляемыми.  x   t  Теорема 3.6. Пусть незамкнутая кривая АВ задана уравнениями  , где  y   t    t   ; функции  и  непрерывны дифференцируемые на отрезке  ;   , тогда дуга  АВ спрямляема и l    t 2   t 2 dt .  Доказательство. Разобьем отрезок  ;   произвольным образом на n частей. Отметим соответствующие точки A  M 0 , M 1 , M 2 , ... M k 1 , M k , ..., M n1 , M n  B , тогда длина ломанной n р   M k 1 M k , причем M k 1 M k  x k2  y k2 . По теореме Лагранжа k 1 x k  x k  x k 1   t k    t k 1     k t k ,  k  t k 1 ; t k  y k  y k  y k 1   t k    t k 1     k t k ,  k  t k 1 ; t k  n р   k 2    k 2 t k . Так как  k   k , то эта сумма не является k 1 интегральной. Заменим   k 2    k 2 n р k 1  k на k и   k 2    k 2 n за  k   k 2    k 2 t k    k t k k 1 k обозначим ошибку, то есть В последнем равенстве первое слагаемое является интегральной суммой n 2 2      k     k  t k . k 1 n p   2         k k 2 t k    k 2    k 2 t k  k 1 n   k 2    k 2     k 2    k 2 t k  a 2   b2  a2  c2  b  c  k 1 n     k    k  t k . k 1 Функция   непрерывна на отрезке  ;   , тогда по теореме Кантора функция   равномерно непрерывна на отрезке  ;  , по определению:    0   0  ,   ;   :             .   Рассмотрим такое разбиение, при котором t k   =>  k   k   =>   k     k      n Таким образом, p       k     k  t k  k 1 n         t k      k 1    l  lim p  lim     0  0  t 2   t 2 dt .  b Следствие 3.1. Если y  f  x  , где x  a; b , то l   1   f  x 2 dx . a b x  x  Доказательство.  , где x  a; b , тогда x  1 и l   1   f  x 2 dx  y  f x  a d Следствие 3.2. Если x  g  y  , где y  c; d  , то l   1   g  y 2 dy . c d  x  g x   Доказательство.  , где y  c; d  , тогда y  1 и l   1   g  y 2 dy . y  y c  Следствие 3.3. Если   f   , где    ;   , то l    2   2 d .  Доказательство. x  f   cos  , y  f   sin  x    f   cos   f  sin  y    f  sin   f   cos  x 2   y  2   f  2 cos 2   2 f   f  cos  sin   f 2  sin 2    f  2 sin 2   2 f   f  sin  cos   f 2  cos 2   2 2   f   cos 2   sin 2    f 2  sin 2   cos 2     f    f 2    l    f  2  f 2  d    2   2 d .  Площадь поверхности вращения Пусть в плоскости Охy задана спрямляемая кривая АВ длины l, заданная y  f  x  , где x  a; b , где f и f  непрерывные функции на отрезке a; b , причем функция f неорицательна. Если дугу АВ вращать вокруг оси Ох, то дуга опишет поверхность вращения. Разобьем отрезок a; b на n произвольных частей. Впишем в кривую ломанную линию с вершинами M k  x k ; y k  . Вместе с кривой будем вращать ломанную, которая опишет n сеченных конусов. Обозначим   max x k . k 1..n Определение 3.. Площадь поверхности вращения кривой – конечный предел площади поверхности вращения ломанной при   0 , то есть S  lim S n .  0 Площадь боковой поверхности конуса S б. п. конус   R1  R2 l , где l – образующая xk  xk 1 2   f xk   f xk 1 2 и по теореме Лагранжа f  x k   f  x k 1   f  k x k  x k 1  , тогда, 2 2 2 2 2 l   x k  x k 1    f  k   x k  x k 1   1   f  k   x k  x k 1   1   f  k  x k . n f  x k 1   f  x k    2 R1  f  xk 1  , конуса. S n   2 R2  f  x k  , 1  f k 2 k 1 l x k . Представим n 2 2  f  k  1   f  k  x k  k 1  Sn  n 2     f  x k 1   f  x k   2 f  k  1   f  k  x k k 1    b интегральная сумма при   0 для 2  f x   1  f  x 2 dx a Докажем, что  – является бесконечно малой при   0 . Функция f непрерывна на отрезке a; b , тогда по теореме Кантора функция f равномерно непрерывна на отрезке a; b , по определению:   0   0    f xk 1   f  k    и f xk   f  k    . 2 2   f  x k 1   f  x k   2 f  k   f  x k 1   f  k   f  x k   f  k      . 2 2 n 2 n 2     f  x k 1   f  x k   2 f  k  1   f  k  x k    1   f  k  x k  k 1 k 1 n    l k  l   , следовательно, lim   0 .  0 k 1 const б.м . b 2 S  2  f  x  1   f  x  dx . a d S пов  2  x( y ) 1   x  y  dy (вокруг оси Оу) 2 c  x   t  Следствие 3.4. Если дуга АВ задана параметрически  , где   t   , то  y   t   2 2 S  2   x   t    t  dt .  2    t   2 2 Доказательство. S  2   x  1     t dt  2   x   t    t  dt .      t     2 2 S  2    x   t    t  dt (вокруг оси Оу)  Следствие 3.5. Если дуга АВ задана полярной кривой   f   , где    ;   , то  S  2   sin   2     d . 2  Доказательство. x  f   cos  , y  f   sin  x    f   cos   f  sin  y    f  sin   f   cos  x 2   y  2   f  2 cos 2   2 f   f  cos  sin   f 2  sin 2    f  2 sin 2   2 f   f  sin  cos   f 2  cos 2   2 2   f   cos 2   sin 2    f 2  sin 2   cos 2     f    f 2    S  2  f  sin     f   2  f  d  2   sin   2    d . 2 2  Площадь поверхности, образованной при вращении вокруг луча    2  кривой   f   равна S пов  2    cos    2    2 d  ЗАДАНИЯ 4 3 1. Определите длину дуги кривой y 2  x 3 отсеченной прямой x  . 3  x  2 cos t , 2. Вычислите длину астроиды  3  y  2 sin t. 3. Вычислите длину кардиоиды   1  cos  . 4. Найти площадь поверхности, образованной при вращении вокруг оси Ох y  x 3 , при x  0;1 . 5. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оу дуги кривой y  1  x 2 , расположенной над осью абсцисс. 6. Найдите площадь поверхности, образованной вращением астроиды вокруг оси Ох. 7. Найдите площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды   1  cos  вокруг полярной оси.