Дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в анизотропной среде
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция N 8
Поляритоны в анизотропной среде II:
Дисперсионное уравнение для электромагнитных волн в
анизотропной среде
1.Решение дисперсионного уравнения для одноосного кристалла
На прошлой Лекции N 7 было выведено уравнение волновых нормалей Френеля:
+
−
+
−
=0
−
Умножим обе части (1) на общий знаменатель (
(1)
)
−
−
(
−
), получим:
(
−
+
(
)
−
)+
−
−
(
)(
−
−
)+
=0
(2)
Рассмотрим случай одноосного кристалла с оптической осью, направленной
по оси Oz. В этом случае вводим следующие обозначения:
=
≡
(3)
≡
Введем аналогичные обозначения для параметров кристалла
=
=
=
=
√
:
=
(4)
=
(5)
Тогда из (2) получаем:
0=
(
−
)(
−
)+
(
−
)(
−
)+
+
(
−
) =(
)(
−
−
)
+
(
+
−
)
Следовательно, мы получили для одноосного кристалла:
(
−
)(
−
)
+
+
(
−
) =0
Напомним, что здесь искомой величиной является фазовая скорость
(6)
рас-
пространения электромагнитной волны в кристалле. Учтем, далее, геометрию
распространения волны. На Рисунке 1 изображен единичный вектор распространения волны ⃗
Z
⃗
X
Y
Рисунок 1. Ориентация единичного вектора распространения волны ⃗
Из Рисунка 1 следуют соотношения:
=
=
(7)
=
Поэтому
+
( )[
=
( )+
( )] =
( )
(8)
( )} = 0
(9)
Тогда (6) преобразуется к виду:
(
){(
−
)
−
( )+(
)
−
Из (9) вытекает, что существует два решения для квадрата фазовой скорости.
=
(10)
Для нахождения второго решения, приравняем нулю фигурную скобку в (9):
(
)
−
( )+(
)
−
( )=0
(11)
Из (11) получаем:
0=(
=
=
)
−
( )−
( )+
( )+
=
( )+(
( ) −
( )+
−
−
)
( )=
( )−
( )=
( )+
( ) =
( )
▀ Следовательно, в каждом направлении, характеризуемом единичным
вектором
⃗, могут распространяться две волны, фазовые скорости ко-
торых различаются друг от друга и вычисляются по следующим формулам:
=
=
( )+
(12)
( )
(13)
▀ Первая волна называется обыкновенной, а вторая – необыкновенной.
Мы видим, что фазовая скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения волны, а скорость необыкновенной волны зависит от
того, в каком направлении распространяется волна в кристалле.
= ( ) для необыкновенной
На Рисунке 2 показана полярная диаграмма
волны.
90
2.5
120
60
2
1.5
150
30
1
0.5
180
210
330
240
300
270
Рисунок 2. Полярная диаграмма
= ( ) для необыкновенной волны
На Рисунке 3 показана аналогичная диаграмма для обыкновенной волны
90
2.5
120
60
2
1.5
150
30
1
0.5
180
210
330
240
300
270
Рисунок 3. Полярная диаграмма
= ( ) для необыкновенной волны
2.Вывод дисперсионного уравнения для электромагнитных волн в одноосном кристалле.
Перейдем теперь к выводу дисперсионного уравнения для объемных поляритонов в анизотропной среде, т.е. получим зависимость
= ( )
(14)
Подставим в уравнения (12) и (13) следующие выражения
=
(15)
=
(16)
=
(17)
Здесь
показатель преломления, связанный с волновым числом
с помо-
щью соотношения
=
(18)
Тогда из (12) получим для обыкновенной волны
=
Откуда получаем
=
(19)
Из (13) следует
( )+
=
Сокращая на
1
=
( )
(20)
, получим
1
( )+
1
( )=
1
( )+
( )
Откуда получаем
=
( )+
( )
(21)
Из (21) получаем для показателя преломления
=
( )+
( )
(22)
▀ Уравнение (22) и есть искомое уравнение для необыкновенной электромагнитной волны в одноосном кристалле
На Рисунке 4 приведена полярная диаграмма зависимости
90
= ( ).
1.5
120
60
1
150
30
0.5
180
210
330
240
300
270
Рисунок 4. Полярная диаграмма зависимости
волны
= ( ) для необыкновенной
