Дискриминантный анализ

Дискриминантный анализ Дискриминантный анализ – это метод статистического анализа данных для решения задач распознавания образов, который используется для принятия решения о том, какие переменные разделяют (т.е. «дискриминируют») некоторые наборы данных (кластеры). Исходными данными для дискриминантного анализа является множество объектов, разделенных на группы так, что каждый объект может быть отнесен только к одной группе. Для каждого из объектов имеются данные по ряду количественных переменных. Такие переменные называются дискриминантными переменными или предикторами. Задачами дискриминантного анализа является определение: • решающих правил, позволяющих по значениям дискриминантных переменных (предикторов) отнести каждый объект к одной из известных групп; • «веса» каждой дискриминантной переменной для разделения объектов на группы. Дискриминантный анализ применяется, например, в следующих областях деятельности: • Распознавание образов. В компьютеризированной образов каждый образ представлен большим числом значений пикселов. Линейный дискриминантный анализ применяется здесь главным образом для сокращения числа признаков к более управляемому числу перед попыткой классификации. Каждая из новых размерностей является линейной комбинацией значений пикселов, образуя шаблон. • Маркетинг (управление продуктом). В маркетинге дискриминантный анализ часто используется для определения факторов, которые отличают различные типы пользователей и/или продуктов на основе опросов или других форм сбора данных. • Позиционирование относится к инструменту для продвижения бренда. Оно устанавливает позицию, которую бренд занимает в сознании покупателей, и признаки, которые отличают бренд от продуктов конкурентов (конкурентное преимущество). Чтобы позиционировать товары или бренды, компании могут подчеркнуть отличительные черты своего или попытаться создать подходящий имидж через комплекс маркетинга. • Медицинские исследования. Основным приложением дискриминантного анализа в медицине является оценка тяжести состояния пациента и прогноз течения болезни. Например, в течение ретроспективного анализа пациенты делятся на группы согласно тяжести болезни - лёгкая, средняя и тяжёлая формы. Затем изучаются результаты клинического и лабораторного анализов, чтобы обнаружить переменные, которые достаточно отличаются в изучаемых группах. На основе этих переменных строятся дискриминантные функции, которые помогают объективно классифицировать течение болезни у пациентов в будущем, будет ли она протекать в лёгкой, средней или тяжёлой форме. • Геодезия. Этот метод можно использовать для разделения зон гидротермальных изменений. Например, когда доступны различные данные из различных зон, дискриминантный анализ может найти структуры в данных и эффективно их классифицировать. ПРИМЕР: На основании данных по трем показателям качества выборка была разделена на два кластера (X, Y). Требуется определить, можно ли исследуемое изделие z отнести с кластеру Х? x1 x2 x3 X 224,228 17,115 27,981 151,827 14,904 21,481 147,313 13,627 28,669 152,253 10,545 10,199 Y 46,757 4,428 11,124 29,033 5,51 6,091 52,134 4,214 11,842 37,05 5,527 11,873 63,979 4,211 12,86 z 55,451 9,592 12,84 Решение: 1) Находим выборочные средние по столбцам: Формируем из них векторы средних значений: 2) Составляем вспомогательные матрицы: Вычисляем ковариационные матрицы (ковариация – это мера зависимости двух случайных величин, при нормировании которой получается коэффициент корреляции Пирсона). Буква «Т» в формуле обозначает транспонированную матрицу (в Excel используется функция ТРАНСП и комбинация клавиш Ctrl+Shift+Enter для заполнения всей матрицы): = = Аналогично вычисляем ковариационную матрицу : 3) Вычисляем несмещённую оценку суммарной ковариационной матрицы: Вычисляем обратную матрицу к ней (с помощью функции МОБР и сочетания клавиш Ctrl+Shift+Enter): 4) Вычисляем вектор разности средних значений: Находим вектор оценок коэффициентов дискриминантной функции: Вычисляем оценки дискриминантной функции исходных матриц: Находим средние значения оценок: 5) Определяем константу дискриминации: Определяем показатель дискриминации для исследуемого изделия z: Сравниваем эти критерии: Вывод: Исследуемое изделие z нельзя отнести к кластеру Х (значит, оно автоматически отнесется к кластеру Y). ЗАДАНИЕ: На основании данных по трем показателям качества выборка была разделена на два кластера (X, Y). Требуется определить, можно ли исследуемое изделие z отнести с кластеру Х? x1 x2 x3 X 25 4 25 28 4 26 31 5 21 27 3 25 29 4 22 28 5 26 30 4 23 Y 17 4 19 18 5 20 19 6 23 16 4 20 18 6 18 19 5 21 z 24 5 20