Дискретное преобразование Лапласа и его свойства

Лекция 3 Дискретное преобразование Лапласа и его свойства Преобразование (2.10) для элементарных функций [kT] и x[kT] приводится в таблицах (см., например, табл. 3. 1). Таблица 3.1 x(t) x(p) x[kT] x(z) (t) 1 [kT] 1 1(t) 1[kT] t2 ak2T2 K0 e-T K0 e-kT sin1t sin1kT Если требуется выразить x(z) относительно переменой z в отрицательной степени, переход от табличных выражений, очевидно, элементарно прост. Нужно числитель и знаменатель умножить на z-n , где n – максимальное значение положительного показателя степени при z. Рассмотренная процедура преобразований представляет следующую последовательность операций (3.1) где символ D обозначает определение W(z) или x(z) непосредственно по W(p) или x(p). Для рассмотренного выше примера . Такое D-преобразование проще всего осуществлять с помощью таблицы переходов (см. табл. 3.1, колонки x(p) и x(z)). Это позволяет исключить определение дискретной весовой функции. Если передаточная функция W(p) имеет сложный (не табличный) вид, ее необходимо представить в виде элементарных слагаемых, определяемых одним из известных методов. Для каждого слагаемого по таблице находится Z-преобразованная функция, и исходя из свойства линейности z-преобразования: (3.2) результирующая дискретная передаточная функция W(z) определяется суммированием элементарных слагаемых. Другим важным свойством Z-преобразования является изображение сдвига по времени на n-тактов влево (3.3) и сдвига на n-тактов вправо (упреждение) при нулевых начальных условиях (3.4) Начальные и конечные значения дискретных функций определяются выражениями (3.5) Операция D-преобразования значительно упрощается, если воспользоваться приближенной заменой переменных (3.6) Правомерность такой замены вытекает из разложения в ряд функции z=eTp . Преобразования (2.9) и (2.10) справедливы для случая, когда на вход объекта подается последовательность идеальных импульсов нулевой ширины и бесконечно большой амплитуды, площадью, равной u[kT]. Реально на объект действует последовательность импульсов конечной ширины T и конечной амплитуды, равной u[kT] (рис.2.3, а). Поэтому передаточную функцию объекта необходимо дополнить передаточной функцией формирователя WФ(p), преобразующего дискретную функцию u(t) (или x(t) на рис.2.3, б) в дискретную функцию u*(t) (или x*(t) на рис.2.3, а). Связь между этими функциями определяется очевидным выражением . Применяя преобразование Лапласа, получим или (3.7) Результирующая передаточная функция непрерывной части WK(p)=WФ(p)WO(p). (3.8) На рис.3.1 представлена на основании (3.7) и (3.8) структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом. Рис.3.1. Структурная схема непрерывной части системы с идеальным импульсным элементом На рисунке показан общий случай для импульсов шириной Ти. При ширине импульсов, выдаваемых формирующим элементом, равным периоду квантования (Ти = Т), что чаще всего встречается на практике . Используя свойства Z-преобразования, можно доказать, что (3.9) В общем случае квантователи по времени (ключи на рис.2.1) замыкаются синхронно, но не синфазно, так как замыкание ключа на выходе происходит с задержкой на время выполнения ЭВМ программы управления Та. Очевидно, что 0  Ta  T. Это приводит к появлению в замкнутой системе звена чистого запаздывания в наихудшем случае на такт квантования. В этом случае согласно (3.3) (3.10) Довольно просто осуществляется Z-преобразование дискретной части замкнутой системы регулирования - алгоритма управляющей программы ЭВМ, представленного разностным уравнением (2.2). Используя свойства z-преобразования (3.3), получаем (3.11) Из сравнения (2.2) и (3.11) следует, что Z-преобразование сводится к замене i на z-i. Следовательно, дискретная передаточная функция Wa(z), описывающая управляющий алгоритм, определится из (3.11) как (3.12) Объединяя (3.12) с (3.8) получим дискретную передаточную функцию разомкнутой системы WP(z)=Wa(z)WC(z). Передаточная функция замкнутой импульсной системы будет иметь вид . где F(z) - изображение внешнего (задающего или возмущающего) воздействия. Применение Z-преобразования позволяет решать для импульсных систем те же задачи, что и для непрерывных систем: исследование устойчивости, синтез корректирующих звеньев, определение реакции на внешние воздействия и так далее. Например, определение реакции на единичное воздействие производится следующим образом. Находим, что . Применяем обратное Z-преобразование (3.13) Преобразование (1.24) наиболее просто осуществляется с помощью таблицы 1. Для этого, как и при прямом преобразовании, выражение в фигурных скобках представляется в виде элементарных слагаемых. В качестве примера рассмотрим систему, представленную на рис.2.1, с объектом первого порядка (2.11) и управляющей ЭВМ, выполняющей функцию И-регулятора. Согласно (3.9) Используя таблицу 3.1, получим . Окончательно (3.14) где . Уравнение непрерывного И-регулятора имеет вид (3.15) где e(τ) = uЗ(τ) - uOC(τ) - разность между задающим сигналом и сигналом обратной связи (ошибка регулирования). Непрерывная передаточная функция регулятора имеет хорошо знакомый вид: (3.16) Дискретный И-регулятор описывается уравнением (3.17) Выражение (1.28) представляет нерекуррентный алгоритм управления. Однако, для программирования ЭВМ удобны рекуррентные алгоритмы. Они основаны на использовании для вычисления управляющего воздействия u[kT] значение этого воздействия на предыдущем шаге расчета (3.18) Вычтем из уравнения (3.17) уравнение (3.18) (3.19) Это уравнение дает рекуррентный алгоритм дискретного И-регулятора (3.20) Для получения дискретной передаточной функции подвергнем Z-преобразованию разностное уравнение (3.19) . Следовательно, (3.21) Заметим, что такое же выражение дает непосредственный переход, например, с помощью таблиц или D-преобразования от непрерывной передаточной функции (3.16) к импульсной. Структурная схема рассматриваемой системы аналогична структуре непрерывной системы (рис.3.2). Рис. 3.2. Структурная схема одноконтурной импульсной системы управления Результирующая передаточная функция этой системы согласно (3.14) и (3.21) имеет вид: или (3.22) где . По этой передаточной функции (3.22) можно исследовать устойчивость замкнутой системы, определить оптимальный коэффициент регулятора KИ и так далее. Эти вопросы будут рассмотрены во второй главе.