Динамика жидкости

Лекция №5 ТЕМ А: ДИНАМИКА ЖИДКОСТИ План лекции: 1 Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера).......... 1 2 Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой капельной жидкости ............... 2 3 Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой капельной жидкости................... 5 4 Уравнение Бернулли для потока вязкой капельной жидкости ............................................ 5 5 Построение напорных и пьезометрических линий по уравнению Бернулли ...................... 6 6 Уравнение Бернулли для потока вязкой газообразной жидкости ........................................ 7 7 Контрольные вопросы к лекции ............................................................................................ 9 1 Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера) При движении невязкой жидкости на ее элементарный объем кроме внешних массовых сил и сил давления действуют еще силы инерции, обусловленные изменением скорости. Добавляя к уравнениям равновесия покоящейся жидкости (уравнениям Эйлера) проекции ускорений силы инерции du y du x du z ; ; dt dt dt с обратным знаком (согласно постулату Даламбера), можно получить дифференциальные уравнения движения жидкости, которые тоже называются уравнениями Эйлера (5.1) 1 p du X    x 0  x dt 1 p du (5.2) Y    y 0  y dt 1 p du (5.3) Z    z 0  z dt где X, Y, Z –проекции ускорения массовой силы на соответствующие координатные оси. Эти уравнения справедливы для капельной и газообразной жидкости, так как при изменении координат движущейся жидкости на бесконечно малую величину изменением ее плотности можно пренебречь. 2 Уравнение Бернулли для элементарной струйки невязкой капельной жидкости Уравнение Бернулли является одним из интегралов уравнений Эйлера. Рассмотрим случай, когда частица идеальной капельной жидкости движется в поле сил тяжести вдоль линии тока внутри элементарной струйки со скоростью u = f(x; y; z). Сделав несложные математические преобразования, умножив, соответственно, уравнения Эйлера на dx; dy; dz и сложив их почленно получим ( X  dx  Y  dY  Z  dz )  1 p p p dx dy dz  ( dx  dy  dz )  ( du x  du y  du z )  0  x y z dt dt dt (5.4) Если из массовых сил действует только сила тяжести, то X=0;Y=0; Z=-g Тогда первое слагаемое уравнения (5.4) примет вид ( X  dx  Y  dY  Z  dz)   g (5.5) Второе слагаемое представляет собой полный дифференциал давления 1 p p p dp  ( dx  dy  dz )   x y z  (5.6) Для установившегося движения производные пути по времени представляют собой проекции скорости на соответствующие оси. Учтя это, третье слагаемое в уравнении (5.4) примет вид 2 2 u x u y u z2 u2 u x  du x  u y  du y  u z  du z  d (   )  d( ) 2 2 2 2 (5.7) Подставим выражения (5.5 – 5.7) в дифференциальное уравнение (5.4) и проинтегрируем его при ρ=const (для капельной жидкости), после чего получим u2 p   gz  const 2  (5.8) Такой вид имеет уравнение Бурнулли для элементарной струйки невязкой жидкости. Для выяснения физического смысла умножим его на элементарную массу частицы жидкости dm, двигающейся внутри элементарной струйки u2 p dm   dm   dm  g  z  const 2  (5.9) Из уравнения (5.9) видно, что каждое слагаемое имеет размерность энергии dm  u 2  кинетическая энергия, которой обладает движущаяся частица 2 невязкой жидкости внутри элементарной струйки; dm  p  запас потенциальной энергии упруго деформированной жидкости  под действием давления; dm  g  z  потенциальная энергия положения частицы жидкости относительно горизонтальной плоскости сравнения. Из уравнения (5.9) следует, что для всех живых сечений, расположенных вдоль струйки невязкой жидкости, сумма указанных энергий является полной энергией жидкости и является величиной постоянной. Таким образом, с физической точки зрения уравнение Бернулли (основное уравнение гидродинамики) выражаем закон сохранения механической энергии при движении невязкой жидкости вдоль элементарной струйки. С целью удобства гидравлических расчетов принято использовать удельную энергию жидкости, то есть относить ее, либо к единице веса, либо к единице объема жидкости. В первом случае такая энергия называется напором H и измеряется в метрах столба жидкости (в системе СИ). Во втором случае - давлением, и измеряется в единицах давления (в системе СИ – в Паскалях). Поделив каждый член уравнения (5.9) на элементарный вес частицы dG внутри струйки, получим уравнение Бернулли в виде напоров u2 p   z  const 2 g g (5.10) где z  геометрический напор сечения элементарной струйки относительно горизонтальной плоскости сравнения; p  пьезометрический напор жидкости в рассматриваемом сечении g струйки; u2  скоростной напор в сечении элементарной струйки; 2g ( p  z )  статический g напор жидкости в сечении относительно горизонтальной плоскости сравнения; u2 p (   z )  полный гидродинамический напор в сечении. 2 g g Таким образом, для струйки невязкой жидкости полный гидродинамический напор для любого ее сечения относительно выбранной горизонтальной плоскости сравнения, есть величина постоянная. В этом заключается гидравлический смысл уравнения Бернулли. Поделив каждый член уравнения (5.9) на элементарный объем частицы dG внутри струйки, получим уравнение Бернулли в виде давлений  u2  p    g  z  const 2 (5.11) Для двух сечений элементарной струйки движущейся невязкой жидкости, отстоящих друг от друга на некотором расстоянии, уравнение Бернулли запишется следующим образом: в виде напоров u1 p1 u 22 p2   z1    z2 2 g g 2 g g (5.12)   u12   u 22  p1    g  z1   p2    g  z 2 2 2 (5.13) 2 в виде давлений Поскольку удельная энергия жидкости в виде напоров имеет линейную размерность, уравнение Бернулли для идеальной жидкости можно интерпретировать геометрически. Геометрический напор в сечении, это расстояние от выбранной горизонтальной плоскости сравнения до центра тяжести рассматриваемого сечения. Пьезометрический напор, это высота подъема жидкости в виртуальном пьезометре, установленном в сечении. С учетом высоты, обусловленной скоростным напором, расстояние от плоскости сравнения, равное полному гидродинамическому напору, определяет положение параллельной ей плоскости полного гидродинамического напора. 3 Уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой капельной жидкости Полный напор при движении вязкой жидкости в любом сечении потока определяется теми же составляющими, что и при движении невязкой жидкости. Однако величина полного гидродинамического напора в различных сечениях потока вязкой жидкости по его длине будет различная, так как часть удельной энергии вязкой жидкости по ходу ее движения расходуется на преодоление гидравлических сопротивлений и в конечном итоге трансформируется в тепловую энергию. Следовательно, полный гидродинамический напор в каждом последующем сечении элементарной струйки вязкой жидкости будет меньше полного гидродинамического напора в предыдущем на величину потерь напора в гидравлических сопротивлениях. 2 u1 p1 u22 p2   z1    z 2  hпот 2 g g 2 g g (5.14) где hпот – потери удельной энергии (напора) в гидравлических сопротивлениях при движении жидкости от первого сечения ко второму. Выражение (5.14) представляет собой уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной (вязкой) капельной жидкости. 4 Уравнение Бернулли для потока вязкой капельной жидкости Поток вязкой жидкости, это совокупность элементарных струек с различными скоростями движения частиц жидкости внутри различных струек. Различие в скоростях обусловлено вязкостными свойствами жидкости. Так как скорости частиц жидкости не одинаковы по сечению потока, будут различны и кинетические энергии струек, образующих поток. Кинетическая энергия потока представляет собой интегральную сумму кинетических энергий элементарных струек. Для определения этой суммы необходимо знать закон распределения скоростей по живому сечению потока, который в большинстве случаев, за исключением ламинарного (слоистого) режима течения, неизвестен. При выполнении гидравлических расчетов для удобства принято пользоваться понятием средней по сечению скорости потока, а кинетическую энергию потока выражать по его средней скорости. Оказывается, что кинетическая энергия в сечении потока, подсчитанная по средней скорости, отличается от кинетической энергии потока, определенной с учетом неравномерности распределения скоростей по сечению. Чтобы оценить действительную кинетическую энергию в сечении потока вводят поправочный коэффициент  , который называется коэффициентом Кориолиса. Он представляет собой отношение кинетических энергий в сечении потока, подсчитанных с учетом неравномерности распределения скоростей частиц жидкости по сечению, к кинетической энергии, определенной по средней скорости потока (5.15) 3  u  d   V 3  Коэффициент Кориолиса при движении реальной (вязкой) жидкости всегда больше единицы и определяется, в основном, опытным путем. Для равномерного турбулентного (бурного, хаотичного) потока жидкости   1,0  1,13 . Для равномерного ламинарного (слоистого) потока жидкости   2 . Коэффициент Кориолиса для ламинарного движения жидкости может быть найден аналитическим путем, так как для этого случая известен закон распределения скоростей по сечению потока. На участках неравномерного движения, вследствие искажения поля скоростей, коэффициент Кориолиса может достигать пяти и более единиц. С учетом коэффициента Кориолиса уравнение Бернулли для потока вязкой капельной жидкости будет иметь вид 2 1V1 p1  2V22 p2   z1    z2  H пот 2g g 2g g (5.16) где 1 и  2 - коэффициенты Кориолиса в первом и втором сечении потока жидкости; V1 и V2 - средние скорости в первом и втором сечении потока Hпот - потери напора в гидравлических сопротивлениях при движении потока жидкости от первого сечения ко второму 5 Построение напорных и пьезометрических линий по уравнению Бернулли Поскольку полная удельная энергия движущейся реальной жидкости (Е - энергия единицы веса жидкости) в рассматриваемом сечении потока представляет собой полный гидродинамический напор, который состоит из геометрического z  , пьезометрического  p       V 2   и скоростного   2g  напоров и имеет размерность длины, эту энергию жидкости удобно интерпретировать геометрически в виде так называемых напорных и пьезометрических линий. Пьезометрическая линия показывает изменение статического напора по длине потока движущейся реальной жидкости (нижняя линия), а напорная линия отражает изменение полного гидродинамического напора вязкой жидкости по длине потока относительно произвольно выбранной горизонтальной плоскости сравнения (о-о) с учетом потерь напора в гидравлических сопротивлениях. Пример построения напорной и пьезометрической линий для случая движения вязкой капельной жидкости в напорном потоке трубопровода представлен на рисунке 1.1 ра Е  0 hм1 Р hl1 H  2 2g H hм 2 Е hl 2  2 2g Р р а Рисунок 5.1 Пример построения напорной и пьезометрической линий. где hм1 – потери напора в первом местном сопротивлении по ходу движения жидкости (вход в трубопровод); hl1 – потери напора по длине на трение на первом линейном участке трубопровода; hм2 – потери напора в двух местных сопротивлениях (два поворота трубопровода на девяносто градусов); hl2 – потери напора на трение по длине на последнем линейном участке трубопровода по ходу движения жидкости; H – полный гидродинамический напор на входе в трубопровод. 6 Уравнение Бернулли для потока вязкой газообразной жидкости В дифференциальной форме уравнение Бернулли для газообразных жидкостей (газов), обладающих вязкостью имеет вид такой же, как и для капельных жидкостей, так как изменением плотности газа ρ при элементарном изменении давления на dp можно пренебречь. Коэффициент Кориолиса α при равномерном одномерном движении газов близок к единице, ввиду малой вязкости газообразных жидкостей V 2  dp dz   d    dhпот  0 g  2g  (5.17) Интегрируя дифференциальное уравнение Бернулли (5.17) вдоль потока газа между двумя сечениями, получим dp V22  V12   H пот  0 2g p1 g p2 z 2  z1   (5.18) Решить интеграл в уравнении (5.18) можно только, если известен закон изменения плотности газа в зависимости от давления. Этот закон зависит от характера термодинамического процесса, протекающего в газе. Термодинамические процессы в газах подразделяются на политропные, адиабатные, изотермические и т.д. Наиболее общим процессом, протекающим в газах, является политропный процесс, уравнение которого имеет вид 1  p n    0     p0  (5.19) где n – показатель политропы; ρ – плотность газа, соответствующая абсолютному давлению p0. Адиабатный и изотермический процессы являются частными случаями политропного процесса. Уравнение адиабатного процесса (процесса без учета внешнего теплообмена в газах) имеет вид 1  p k    0     p0  (5.20) где k – показатель адиабаты (для воздуха k=1,4). Для изотермического процесса (при постоянной температуре газа) зависимость ρ=f(p) может быть получена из уравнения состояния газа  p RT (5.21) где T – абсолютная температура газа; R – газовая постоянная (для воздуха R=287 Дж/кг град). С учетом зависимостей (1.43), (1.44), (1.45) уравнение Бернулли для газов, записанное для двух сечений одномерного потока, примет вид: для политропного процесса n  p2 p1  V22  V12    z 2  z1   H пот  0 g n  1   2 1  2g (5.22) для адиабатного процесса, протекающего в газе k  p2 p1  V22  V12    z 2  z1   H пот  0 g k  1   2 1  2g (5.23) для изотермического процесса RT V22  V12 z 2  z1  ln p2  ln p1    H пот  0 g 2g (5.24) На практике изменением геометрического напора z2 - z1 при движении газа в одномерных потоках часто пренебрегают, ввиду его малости, обусловленной малой плотностью газообразных жидкостей по сравнению с капельными жидкостями. 7 Контрольные вопросы к лекции 1 Что показывают дифференциальные уравнения движения жидкости Эйлера? 2 Как выглядит уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости? 3 Какой закон выражает уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости? 4 В чем заключается энергетический смысл уравнения Бернулли? 5 В чем заключается геометрический смысл уравнения Бернулли? 6 Как выглядит уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной (вязкой) капельной жидкости? 7 Какой вид имеет уравнение Бернулли в виде давлений? 8 Что такое напор? В каких единицах он измеряется? 9 Какой вид имеет уравнение Бернулли для потока вязкой жидкости? 10 Что показывает коэффициент Кориолиса? 11 Может ли коэффициент Кориолиса быть меньше единицы? 12 Какой вид имеет уравнение Бернулли в дифференциальной форме для газообразной жидкости? 13 Как выглядит уравнение Бернулли для изотермического и адиабатического газовых потоков?