Динамика механизма

Министерство образования и науки РФ Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС» Кафедра инжиниринга технологического оборудования А.М. Бусыгин Конспект лекций по курсу “Прикладная механика” для студентов вечернего факультета Раздел “Динамика механизма” Москва 2015 УДК 531.8 Бусыгин А.М. – Конспект лекций по курсу прикладная механика. Раздел “Динамика механизма” - М.: Издательство Национального исследовательского технологического университета «МИСиС», 2015.-51с.: ил. Предназначено для самостоятельной работы студентов вечернего факультета. Введение Динамика механизмов является разделом прикладной механики, в котором изучается движение механизмов с учетом действующих на них сил. В этом разделе устанавливаются общие зависимости между кинематическими параметрами механизма (его обобщенными координатами, скоростями и ускорениями), массами его звеньев и действующими на него силами, выражающиеся дифференциальными уравнениями. Пользуясь этими уравнениями, можно решать две основные задачи динамики механизмов. Первая задача сводится к тому, что по заданному аналитически или графически закону движения механизма требуется определить силы, действующие на механизм. Вторая задача заключается в том, что по заданным силам требуется определить закон движения механизма. 1.Приведенные массы, моменты инерции, силы и моменты сил. Если механическая система состоит из твердых тел, то кинетическая энергия всего механизма равна сумме кинетических энергий твердых тел, входящих в механизм. (1) Кинетическая энергия одного тела определяется по формуле Где - масса тела; - скорость центра масс тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела; - угловая скорость звена. Кинетическая энергия всего механизма равна При решении ряда задач динамики механизм с одной степенью свободы можно заменить одной эквивалентной ему материальной точкой или вращающимся вокруг неподвижной оси телом. Цель - получение в более простом и компактном виде динамического уравнения движения механизма. Приведенной к данной точке массой механизма называется воображаемая масса, сосредоточенная в одной точке данного звена, кинетическая энергия которой равна кинетической энергии всего механизма, т.е. Где – скорость точки приведения. Отсюда Откуда Приведенным к данному звену моментом инерции механизма называется такой воображаемый момент инерции, обладая которым данное звено имело бы такую же кинетическую энергию, как и весь механизм в целом. Где – угловая скорость звена приведения. При сведении задачи о движении механизма к задаче о движении материальной точки или вращательном движении твердого тела используют такие понятия, как приведенная сила и приведенный момент сил. Приведенной к данной точке данного механизма силой называют воображаемую силу, которая, будучи приложена в данной точке и направлена по касательной к траектории этой точки, развивает такую же мощность, как и все действующие на механизм силы и моменты сил, вместе взятые. Обозначая через суммарную мощность всех сил и моментов сил, действующих на механизм, а через - мощность сил и моментов сил, приложенных к звену, имеем (9), Где - приведенная сила; – скорость точки приведения; - число подвижных звеньев механизма. Учитывая, что все силы и моменты сил, действующие на звено механизма, можно привести к одной силе и одному моменту сил , для величины получаем следующее выражение. Где – скорость точки приложения силы ; – угловая скорость звена. Тогда Откуда Приведенным к данному звену механизма моментом сил называется воображаемый момент сил, который, будучи приложен к этому звену, развивает такую же мощность, как и все действующие на механизм силы и моменты сил, вместе взятые. Обозначая через приведенный момент сил, а через угловую скорость звена приведения, получаем. Где 2.Классификация сил, действующих на механизм. Как известно из теоретической механики, силы делятся на заданные (активные) и реакции связей, на внутренние и внешние, сосредоточенные и распределенные. Применительно к теории механизмов классификация сил более простая (см.рис.1). Рис.1. Зависимость движущей силы или силы сопротивления (или моментов этих сил) от кинематических параметров, заданная аналитически или графически, называется механической характеристикой соответственно двигателя или рабочей машин. На рисунке 2 представлена механическая характеристика электродвигателя с параллельным возбуждением. Рис.2 На рисунке 3 представлена механическая характеристика электродвигателя с последовательным возбуждением. Рис.3 Электродвигатели и с параллельным и с последовательным возбуждением работают устойчиво на всей характеристике. На рисунке 4 представлена механическая характеристика асинхронного электродвигателя трехфазного тока. Рис.4 Двигатель работает устойчиво на участке . Если момент сил сопротивления больше, то двигатель останавливается (опрокидывается). Этот момент называется опрокидывающим моментом . Угловая скорость, при которой двигатель развивает , называется номинальной угловой скоростью, а соответствующий этой скорости момент - номинальным моментом. Когда , то соответствует синхронной угловой скорости (скорость вращения электромагнитного поля электродвигателя). 3.Уравнение движения механизмов в конечной форме. Три стадии движения механизма. В применении к механизму теорема об изменении кинетической энергии механической системы будет иметь следующий вид. Где и - кинетическая энергия механизма соответственно в конце и начале рассматриваемого промежутка времени. – работа движущих сил за этот промежуток времени; - работа сил полезного сопротивления за этот промежуток времени; - работа сил вредного сопротивления за этот промежуток времени. Рассмотрим применение уравнения 14 при движении механизма. Обычно работа механизма состоит из трех стадий. Пуск в ход (разбег). Движение начинается при , значит, тогда из (14) имеем. Или Откуда видно, что работа движущих сил при пуске идет не только на преодоление сил полезного и вредного сопротивления, но и на сообщение механизму кинетической энергии . Установившееся движение. При установившемся движении кинетическая энергия механизма в конце и начале какого-либо промежутка времени одинакова . Тогда Останов механизма. В конце этого периода , кроме того в этот период выключают движущие силы, т.е. , тогда уравнение 14 принимает вид. 4. Силовое исследование механизма Силовое исследование механизмов включает использование методов кинетостатики с целью установления реакций в сочленениях звеньев механизмов, а также с целью установления уравновешивающей силы. При этом учитываются инерционные усилия, веса звеньев и внешние нагрузки, действующие на звенья механизмов. 4.1.Понятие о статически определимой кинематической цепи. Статически определимой кинематической цепью называется такая цепь, у которой число неизвестных (число подлежащих определению величин) равно числу уравнений статики, которые могут быть составлены для данной системы. Все плоские механизмы можно преобразовать в механизмы, имеющие кинематические пары только 5 класса. Каждая кинематическая пара 5 класса характеризуется 2 неизвестными: 1.Направление реакции 2.Модуль реакции Тогда в кинематической цепи будет неизвестных величин. Для звеньев может быть составлено уравнений. Чтобы кинематическая цепь была статически определимой должно соблюдаться условие или Уравнение (18) совпадает с уравнением структурной группы (группы Ассура), следовательно, статически определимыми кинематическими цепями являются структурные группы, а чтобы произвести кинетостатический анализ, исследуемый механизм должен состоять из механизма 1класса и структурных групп. 4.2.Инерционные усилия для различных случаев движения твердого тела. 1.Поступательное движение звена. Как известно из теоретической механики, в данном случае силы инерции приводятся к одной силе, приложенной в центре масс точке - С (рис.5). Рис.5 2.Вращательное движение звена вокруг неподвижной оси. В общем случае при вращательном движении звена вокруг неподвижной оси инерционные усилия сводятся к вектору сил инерции и моменту сил инерции (рис.6). В свою очередь силу инерции можно разложить на две составляющие – нормальную и тангенциальную . Рис.6 В этих формулах: - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс – точку С; – радиус вращения точки С; – угловая скорость звена; - угловое ускорение звена. Рассмотрим два частных случая: 2.1. Ось вращения звена совпадает с центром масс точкой C, т.е.. Тогда, согласно формуле (20), и . И остается только . 2.2. Пусть . Тогда и остается одна сила инерции . 3.Плоскопараллельное движение звена. В общем случае все силы инерции можно привести к Однако момент можно представить парой сил и все инерционные нагрузки приводятся к одной силе (рис.7).Направление надо выбирать таким, чтобы оно совпало с направлением . Размер определяется по формуле . Рис.7 4.3. Кинетостатический анализ кривошипно-балансирного механизма. На рисунке 8 представлен кривошипно-балансирный механизм. Известны все геометрические размеры. Точками - обозначены центры масс звеньев 1,2,3.Звено 1 вращается с постоянной угловой скоростью 𝜔. Рис.8 Методом плана скоростей и ускорений находим все кинематические параметры звеньев механизма. Расчленим этот механизм на механизм первого класса и структурные группы (рис.9). Рис.9 Зададимся масштабом и вычерчиваем второе звено (рис.10). Проставим все внешние силы, реакции и силы инерции, действующие на второе звено. Рис.10 На рисунке 10 используются следующие обозначения: - сила тяжести звена 2; - сила инерции звена 2; - сила воздействия звена 3 на звено 2; – тангенциальная составляющая силы воздействия звена 1 на звено 2; – нормальная составляющая силы воздействия звена 1 на звено 2. Составим уравнение моментов всех сил, действующих на звено 2 относительно точки B. , (21) Используя масштаб, вычерчиваем третье звено (рис.11). Проставим все внешние силы, реакции и силы инерции, действующие на третье звено. Рис.11 На рисунке 11 используются следующие обозначения: - сила тяжести звена 3; - сила инерции звена 3; - сила воздействия звена 2 на звено 3; – тангенциальная составляющая силы воздействия стойки 0 на звено 3; – нормальная составляющая силы воздействия стойки 0 на звено 3; – это сила полезного сопротивления. Составим уравнение моментов всех сил, действующих на звено 3 относительно точки B. , В масштабе вычерчиваем структурную группу второго класса второго порядка (ВВВ) (рис.12). Рис.12 Составим векторное уравнение сил для данной структурной группы. Зададимся масштабом и построим план сил в соответствии с уравнением (25) (рис.13).Зная масштаб и используя план сил, можно определить неизвестные силы - ,. В масштабе вычерчиваем начальный механизм (рис.14). Проставим все внешние силы, реакции и силы инерции, действующие на начальный механизм – первое звено. На рисунке 14 используются следующие обозначения: - сила тяжести звена 1; - сила инерции звена 1; - сила воздействия стойки 0 на звено 1; – тангенциальная составляющая силы воздействия звена 2 на звено 1; – нормальная составляющая силы воздействия звена 2 на звено 1; – уравновешивающаяся сила. Рис.13 Рис.14 Уравновешивающая сила - уравновешивает все внешние задаваемые силы и силы инерции, приложенные к начальному механизму. Составим уравнение моментов сил относительно точки О. , Откуда Составим векторное уравнение сил, действующих на звено 1. Зададимся масштабом и построим план сил в соответствии с уравнением (28) (рис.15).Зная масштаб и используя план сил, можно определить неизвестную силу -. Рис.15 Запишем векторное уравнение сил, действующих на звено 2 (см. рис.10). Зададимся масштабом и построим план сил в соответствии с уравнением (29) (рис.16).Зная масштаб и используя план сил, можно определить неизвестную силу -. Рис.16 5. Механический коэффициент полезного действия. При установившемся движении имеем следующее соотношение (см. формулу 16). , отсюда Отношение абсолютной величины работы (или средней мощности) сил полезных сопротивлений к работе (или средней мощности) движущих сил за один полный цикл установившегося движения механизма называется механическим коэффициентом полезного действия (КПД) механизма - η. Чем больше величина η, тем большая часть энергии расходуется в механизме на полезную работу. Также пользуются понятием коэффициента потерь φ. Коэффициентом потерь φ называется отношение абсолютной величины работы (или средней мощности ) сил вредных сопротивлений к работе ( или средней мощности ) движущих сил. Тогда Рассмотрим несколько вариантов определения КПД для различных механизмов. КПД механизма, состоящего из n последовательно соединенных механизмов (рис.17). Рис.17 - полезная работа первого механизма, являющая по отношению ко второму механизму работой движущих сил и т.д. Полный КПД сложного механизма, состоящего из ряда последовательно соединенных механизмов, равен произведению частных КПД. КПД механизма при параллельном соединении нескольких механизмов с общим источником энергии (рис.18). Рис.18 При параллельном соединении механизмов можно записать. КПД всего механизма определяется выражением Но и т.д. Тогда Рассмотрим следующие случаи: Пусть , тогда Пусть ,тогда КПД механизма при последовательно-параллельном соединении механизмов (рис.19). Посмотрим - как распространяется энергия от источника энергии в данном случае. Поток энергии от механизма 2 разделяется по двум направлениям. В свою очередь поток энергии от механизма разделяется, также по двум направлениям. Рис.19 Общая работа сил полезного сопротивления равна , Следовательно, КПД всего механизма равен Работа может быть выражена через работы и через соответствующие КПД отдельных механизмов. На рисунке 19 показаны сплошной линией I-I, штриховой линией II-II, , штрихпунктирной линией III-III три потока энергии от общего источника, производящего работу . Поэтому работа может быть представлена как сумма Где - общие КПД каждого из потоков I-I, II-II, III-III, равные , , . Общий коэффициент полезного действия всей системы равен 6.Определение КПД зубчатых механизмов Прежде, чем перейти к определению КПД зубчатых механизмов, введем обозначения КПД следующих механических передач: Зубчатая цилиндрическая передача - (0.96…0.98) Зубчатая коническая передача - (0.95…0.97) Ременная передача - (0.94…0.96) Цепная передача - (0.92…0.95) 1.Кинематическая схема привода ротора роторного механизма (механизм с параллельными потоками энергии) Рис.20. Рис.20 Договоримся в дальнейшем валы обозначать римскими цифрами, а зубчатые колеса арабскими цифрами. Потери в муфте учитывать не будем. Мощность на I валу равняется мощности двигателя и разделяется на две части по . Мощность на валах II и равны ; Мощность на валах II и разделяется на два потока по . Мощность на валах III и равна. Мощность на IV валу равна сумме потоков мощности, приходящих от валов III и . Но мощность на IV валу равна мощности, тогда получаем , откуда 2. Кинематическая схема привода исполнительного органа комбайна (механизм с последовательно-параллельным соединением механизмов) (рис.21). Рис.21 Мощность на валу II равна , Тогда мощность на валу III равна Мощности на валах V и VI равны по (см.рис.21). Поступим следующим образом: приведем мощности от V и VI валов к III валу, введя обозначения: - мощность, приведенная от V вала к III валу; - мощность, приведенная от VI вала к III валу. Тогда мощность на III валу можно представить следующим образом. или 7. Механизмы передач вращательного движения. Как известно из практической классификации механизмов, к механизмам передач вращательного движения относятся: фрикционные передачи, ременные, зубчатые и цепные передачи. В первых двух вращение осуществляется за счет сил трения, во вторых двух за счет зацепления. Основным кинематическим параметром механизмов передач вращательного движения является передаточное отношение . Где - угловая скорость ведущего звена; - угловая скорость ведомого звена. Если скорость точки контакта колеса 1 и колеса 2 обозначить , тогда для внешнего зацепления будет иметь место следующая формула. , а для внутреннего зацепления , где и - радиусы колеса 1 и колеса 2. Соответственно В зубчатых передачах контакт колес происходит по начальным окружностям радиусами и , которые пропорциональны числу зубьев этих колес и , тогда Различают механизмы с последовательным и со ступенчатым соединениями колес. 1.Последовательное соединение колес (рис.22). Рис.22 Определим передаточное отношение механизма, представленного на рис.22. В общем случае передаточное отношение с последовательным соединением колес определяется по формуле. Где - число колес, – число внешних зацеплений в данном соединении колес. 2.Ступенчатое соединение колес (рис.23). Рис.23 Определим передаточное отношение механизма, представленного на рис.23. В общем случае передаточное отношение со ступенчатым соединением колес определяется по формуле. Где - число колес, – число внешних зацеплений в данном соединении колес. Установим соотношение между угловыми скоростями, мощностями и крутящими моментами на валах механической передачи (см. рис.24) Рис.24 Дано;;;. Тогда Так как мощность , то из уравнения (56), где – крутящий момент имеем или Крутящий момент можно выразить также через мощность на валу. Где - мощность на валу (кВт); - частота вращения вала . 8.Зубчатая передача. Классификация зубчатых передач: I. По расположению осей: 1.С параллельными осями 2.С пересекающимися осями 3.С перекрещивающимися осями II. По расположению зубьев на колесах: 1.Прямозубые 2.Косозубые 3.С круговым зубом III.По форме профиля зуба: 1.Эвольвентная передача 2.Передача с круглым зубом Круговой профиль зуба предложен М.Л. Новиковым в 1954 г. По сравнению с эвольвентным профилем он позволяет повысить нагрузочную способность зубчатых передач. Основные достоинства и недостатки зубчатой передачи Достоинства: 1.Высокая нагрузочная способность и, как следствие, малые габариты. 2.Большая долговечность и надежность работы. 3.Высокий К.П.Д (до 0,97 - 0,98 в одной ступени). 4.Постоянство передаточного отношения (отсутствие проскальзывания). 5.Возможность применения в широком диапазоне скоростей (до 150 м/c),мощностей (до десятков тысяч кВт), передаточных отношений (до нескольких сот). Недостатки: 1.Повышенные требования к точности изготовления. 2.Шум при больших скоростях. 3.Высокая жесткость, не позволяющая компенсировать динамические нагрузки. Первоначально рассмотрим прямозубые цилиндрические колеса. 8.1.Эвольвента (построение эвольвенты). Разобьем окружность на равных частей (пусть ) (см.рис.25). Рис.25 В точке 1 проведем касательную к окружности. Разобьем касательную на n равных отрезков, начиная с точки М таким образом, чтобы отрезок и т.д. Выберем на прямой точки и и начнем катить без скольжения прямую по окружности. Кривые, описываемые точками и , и будут эвольвентами. Как видно из рисунка касательная занимает последовательно положения ; и т.д., при этом точки касательной совпадают с точками. окружности, кроме того точки . колеса являются М.Ц.С. (мгновенными центрами скоростей) прямой , а сама прямая нормальна (является нормалью) к образуемой ею эвольвенте в соответствующей точке. Окружность, по которой катится касательная , называется эволютой или основной окружностью. 8.2.Основной закон зацепления. Пусть передача вращения между двумя осями и с угловыми скоростями и осуществляется посредством двух взаимоогибаемых кривых и (рис.26). В точке соприкосновения кривых и проведем касательную к этим кривым и нормаль. Покажем на рисунке скорости точек и (принадлежащих соответственно звеньям 1 и 2). Рис.26 Запишем векторное уравнение для скорости . , Где относительная скорость точки относительно точки . Направлена она по касательной . В соответствии с уравнением (59) строим план скоростей механизма (рис.27), принимая во внимание углы γ и α, которые образует вектор с касательной и нормалью . На плане скоростей отрезок представляет собой нормальную составляющую векторов скоростей и . Рис.27 Опускаем из точек и на нормаль перпендикуляры и . Тогда, исходя из подобия и , также и, имеем Но отрезки ,, пропорциональны скоростям ,,, тогда соотношение (60) можно переписать следующим образом. или Но, как известно , откуда , значит Соответственно из (63) получаем Точку пересечения нормали с отрезком обозначим , тогда из подобия имеем Тогда Равенство (65) определяет основную теорему зацепления, которая гласит: Нормаль в точке касания элементов высшей пары качения и скольжения делит линию центров на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. Точка , являющаяся мгновенным центром вращения в относительном движении (т.к. ), называется в теории зацеплений полюсом зацепления. Пусть даны центры колес и основных окружностей радиусами и на этих основных окружностях построены эвольвенты и , находящиеся в зацеплении в произвольной точке (Рис.28). Рис.28 Из свойств эвольвенты вытекает, что нормаль к профилю в точке касания должна быть касательной к основной окружности радиусом , а нормаль к профилю - касательной к основной окружности радиусом . Так как в точке касания двух кривых можно провести только одну общую нормаль, то отрезки и являются участками этой общей нормали , которая одновременно касается этих двух основных окружностей. Эти самые рассуждения можно было бы привести и для нового положения профилей и , находящихся в зацеплении в другой точке. Следовательно, в любом положении двух зацепляющихся эвольвент их общая нормаль занимает неизменное положение в пространстве. Постоянное положение нормали обеспечивает и постоянное положение полюса на линии центров . При этом, в соответствии с основным законом зацепления остается постоянным. Таким образом, эвольвентное зацепление обеспечивает постоянство передаточного отношения. Из сказанного также следует, что при зацеплении эвольвентных профилей точка их контакта перемещается по нормали в пределах участка . Отрезок , являющийся геометрическим местом точек касания зацепляющихся эвольвентных профилей, носит название линии зацепления, а - угол зацепления. 9. Геометрия зубчатого зацепления. Нарисуем внешнее зубчатое зацепление (рис.29). Рис.29 Малое колесо в зубчатом зацеплении называется шестерней, и все размеры имеют индекс 1 , а большое колесо так и называется колесом и имеет индекс 2. Проводим линию центров и обозначаем точки , и полюс зацепления . Под углом зацепления к горизонтальной прямой проводим прямую через точку . Из точек и проводим перпендикуляры к прямой (точки и ). Радиусами и проводим окружности, которые называются основными (или эволютами, т.е. окружностями при качении без скольжения по которым прямой получается боковой профиль зуба эвольвента)- и . Радиусами и проводим окружности, которые называются начальными (или центроиды - геометрическое место точек относительных мгновенных центров вращения обоих колес) и . По этим диаметрам пара колес обкатывается при вращении. Рисуем зубчатое зацепление, где – -диаметры вершин зубьев - диаметры впадин - делительные диаметры (это диаметры заготовок колес, по которым обкатывается инструмент при нарезании зубьев). У колес без смещения или при суммарном смещении начальные и делительные диаметры совпадают, т.е. . Дуга делительной окружности, вмещающей один зуб (без впадин) называется окружной толщиной зуба по делительной окружности . Расстояние по дуге делительной окружности между двумя соседними зубьями называют окружной шириной впадины по делительной окружности. Расстояние между одноименными профилями двух соседних зубьев, измеренное по дуге делительной окружности называется окружным шагом зубьев по делительной окружности. Обозначим числа зубьев колес и . Tогда можно записать , Откуда Или , Где - делительный модуль зубьев или просто модуль (мм). Модуль стандартизирован ГОСТ 9563- 60. Межосевым расстоянием называется величина , которая равна Когда мы нарезаем зубья, то используем не всю эвольвенту, а только ее часть. Крайние точки эвольвенты находятся на окружностях выступов, поэтому фактически зацепление будет происходить не по всей длине прямой , а только на ее части .Точки и являются точками пересечения прямой и окружностей выступов. Отрезок - активная линия зацепления. Часть зуба , расположенная между делительной окружностью и окружностью вершин называют делительной головкой зуба. Часть зуба , заключенная между делительной окружностью и окружностью впадин называют делительной ножкой зуба. Между окружностями диаметрами и существует зазор . Обычно ; и . Высота зуба равна Обычно , , тогда , отсюда получаем: В этих формулах верхние математические знаки относятся к колесам с внешним зацеплением, а нижние к колесам с внутренним зацеплением. Пусть в момент вхождения в зацепление профиль зуба занимает положение I, а в момент выхода из зацепления II (рис.30). Рис.30 На рис.30 - угол зацепления, - активная линия зацепления. Начальная точка эвольвенты с в положении I совпадает с точкой a. Угол поворота зубчатого колеса φ из положения вхождения в зацепление I в положение выхода из зацепления II называется углом перекрытия. Дуга , на которую перекатятся начальные окружности из положения I вхождения в зацепление до положения II выхода из зацепления, называется, называется дугой зацепления. Выразим длину дуги зацепления через длину активной линии зацепления. Откуда Тогда Из свойств эвольвенты следует Но и тогда Из чертежа ясно, если дуга зацепления равна шагу зацепления, то при перекатывании начальных окружностей на эту дугу только одна пара сопряженных профилей зубьев находится одновременно в зацеплении. Если - то в зацеплении произойдет перерыв. Если - то некоторое время в зацеплении будет находиться одна пара сопряженных профилей зубьев, а остальное время две. Для внешнего зацепления должно соблюдаться условие Коэффициентом торцевого перекрытия называется соотношение Но , а , где Тогда В то же время Где – окружной шаг по основной окружности 10.Понятие о косозубых колесах и их геометрических параметрах. У косозубых колес зубья располагаются не по образующей делительного цилиндра, а составляют с ней некоторый угол . Профиль косого зуба в нормальном сечении совпадает с профилем прямого зуба (рис.31). Рис.31 Шаг колеса в торцевом сечении определяется соответственно окружной модуль будет равен Тогда диаметры косозубого колеса будут определяться по формулам. В этих формулах верхние математические знаки относятся к колесам с внешним зацеплением, а нижние к колесам с внутренним зацеплением. 11. Трение в кинематических парах. Трением называется сопротивление относительному перемещению соприкасающихся тел, возникающее в месте соприкосновения. По кинематическим признакам различают: трение скольжения и трение качения. По характеру смазки трущихся поверхностей: сухое; граничное - S смазки 0,1мкм); жидкостное; полусухое - сочетание сухого и граничного; полужидкостное - сочетание жидкостного и граничного. Рассматривать будем сухое и полусухое трения скольжения. По величине относительного перемещения соприкасающихся тел различают: неполную силу трения - соответствует предварительным смещениям. Предварительные смещения- микроскопические, частично обратимые относительные перемещения соприкасающихся тел. полную силу трения - соответствует предельной величине предварительного смещения. Сила трения движения - соответствует относительному движению соприкасающихся тел. Отношение силы трения к силе нормального давления между трущимися поверхностями называется коэффициентом трения. Различают три вида коэффициентом трения: коэффициент трения в зоне предварительных смещений. Где неполная сила трения, сила нормального давления. коэффициент трения покоя. Где полная сила трения. коэффициент трения движения. Где сила трения движения. Как видно из этих формул, коэффициент трения безразмерная величина. и Коэффициент трения в большинстве случаев уменьшается при увеличении скорости скольжения. Для органических материалов (кожа, резина) коэффициент трения c увеличением скорости обычно возрастает. Из формул (85) и (86) можно получить формулы для приближенного определения полной силы трения покоя и силы трения движения – формулы Амонта-Кулона. Определим полную реакцию поверхности в данной точке (рис.32). Рис.32 Полная реакция поверхности в данной точке слагается из нормальной реакции и силы трения . угол трения покоя, угол трения движения. Все возможные направления R заключаются в пределах так называемого конуса трения. 11.1.Трение в поступательной паре. Рассмотрим равномерное движение ползуна по наклонной плоскости вверх (рис.33). Введем обозначения: - вес ползуна, - движущая или тормозная сила, - угол наклона плоскости, β - угол, образуемый силой P с вертикалью, - коэффициент трения, φ- угол трения. Рис.33 Проставим все силы, действующие на ползун. В данном случае - движущая сила, сила трения. . Запишем векторное уравнение сил, действующих на ползун при равномерном движении. Построим, согласно уравнению сил (89), замкнутый многоугольник. Используя теорему синусов, получим. Тогда Рассмотрим движение ползуна вниз по наклонной плоскости. Cила , в данном случае, играет роль тормозящей силы, а также сила трения меняет свое направление на противоположное (на рисунке она показана пунктирной линией). Договоримся еще об одном условии . Построим план сил в этом случае (рис.34) Выберем полюс O и через него проведем нормаль , линию параллельную плоскости скольжения и вертикальную линию . Рис.34 От точки О с правой стороны линии под углом к ней откладываем вектор . С конца вектора откладываем вектор параллельно . С конца вектора откладываем вектор под углом к . Получили треугольник , причем а . Отсюда по теореме синусов получаем Тогда Рассмотрим отдельно случай, когда . (рис.35). Рис.35 Движение вниз в этом случае будет возможно, если положительная сумма проекций всех сил, действующих на тело, будет больше, либо равно сумме отрицательных проекций сил, т.е. Так как движение по оси не происходит, то Откуда Подставим значение в формулу (94). Величина, стоящая слева в неравенстве (96) , так как , а величина стоящая справа при условии всегда больше . Фактически получается, что условие (96) не соблюдается, т.е. движения вниз не будет. Допустим, что сила отсутствует, т.е. , то формула (96) примет вид , которое не может выполняться ни при каком значении , т.е. какой бы вертикальной силой мы не нагружали тело, движения вниз не будет. Плоскость, где соблюдается условие - , называется самотормозящей, а само явление получило название самоторможение. 11.2.Клинчатый ползун. Рис.36 Обозначим через половину угла при вершине желоба, а через – вертикальную нагрузку на ползун. Тогда , Где - нормальные реакции направляющих плоскостей. В соответствии с уравнением (98) построим план сил (рис.37). Рис.37 Из треугольника сил получаем. Тогда, чтобы тело равномерно двигалось, должно соблюдаться условие Величину называют приведенным коэффициентом трения клинчатого ползуна. Из формулы (100) видно, что чем меньше , тем больше . Таким образом, изменяя , можно увеличивать силу трения. Примеры использования: 1.Клиноременная передача (рис.38). Рис.38 2.Коническая муфта (рис.39). Рис.39 За счет угла увеличивается . Предварительно создается усилие Q и передается крутящий момент. 11.3.Трение в винтовой кинематической паре. Рассмотрим винт с прямоугольной резьбой (рис.40) Рис.40 Винт нагружен осевой силой Q и вращающим моментом M. Направления вращения и движения винта показаны на рисунке. В рисунке 40 используются следующие обозначения: r - средний радиус резьбы; α - угол подъема винтовой линии ; f -коэффициент трения; φ - угол трения; и - элементарные силы нормального давления и трения между резьбой гайки и винта Составим уравнения равновесия для винта. Из первого уравнения определим . Откуда Разделим числитель и знаменатель в уравнении (104) на . Из тригонометрии известно, что Тогда 11.4.Определение КПД винтовой пары. - является моментом движущих сил, тогда мощность движущих сил равна - сила полезного сопротивления, тогда мощность равна - скорость поступательного движения винта вдоль оси. Винтовую линию, если ее развернуть, можно представить как наклонную линию с углом подъема α. Тогда понятно, что повороту винта относительно гайки на величину будет соответствовать подъему винта на (см.рис. 41), которые связаны зависимостью. Рис.41 Отсюда Определим к.п.д. винтовой пары Как уже говорилось раньше, резьбу можно представить как развернутую наклонную плоскость с углом. Естественно, гайку - можно представить как тело, которое находится на этой плоскости. Тогда понятно, что при наличии условия будет наблюдаться явление самоторможения, т.е. какой бы силой мы не нагружали винт (момент не действует) движения вниз винта не будет. Резьба, у которой , называется самотормозящейся. Помимо прямоугольной резьбы существуют и различные другие, например, с треугольным профилем. При треугольной резьбе можно приближенно считать, что движение винта аналогично движению клинчатого ползуна по желобу. Тогда в выше указанных формулах коэффициент и угол трения необходимо заменить величинами и , причем - половина угла профиля резьбы (см. рис.42) Рис.42 11.5.Трение во вращательной паре. Вращательная пара на рисунке 44 состоит из цапфы 1 и подшипника 2. Рис.44 Между подшипником и цапфой имеется радиальный зазор. Пусть равнодействующая внешних нагрузок направлена параллельно оси △. Если бы была направлена по оси △ и вал не вращался, то точка максимального контакта цапфы и подшипника находилась бы в положении и сила уравновешивалась бы нормальной реакцией подшипника. Сообщим валу вращение, показанное стрелкой. Тогда точка максимального контакта цапфы и подшипника переместится в положение (цапфа набегает на подшипник), а полная реакция подшипника будет направлена по касательной к так называемому кругу трения. Обозначим радиус круга трения через 𝜌, а радиус цапфы - через , тогда Где - угол трения и коэффициент трения. При малых значениях можно принять Функцию можно разложить в степенной ряд Вследствие малости ограничимся двумя первыми членами. При получаем еще более простую зависимость Так как поступательные перемещения цапфы исключены, то главный вектор всех действующих на цапфу сил (активных и реактивных) равен нулю, откуда, т.е. полная реакция подшипника всегда параллельна равнодействующей внешних нагрузок. Если линия действия касается круга трения, т.е. и направлены по одной прямой, то они образуют уравновешенную систему, и вал вращается равномерно или находится в покое. Если линия действия силы проходит вне круга трения, то силы и образуют пару сил одного направления с угловой скоростью, и вал вращается ускоренно. Если же линия действия силы пересекает круг трения, то вал вращается замедленно или находится в покое. Момент трения во вращательной паре равен отличается от . Экспериментально установлено: для неприработавшейся цапфы По Вейсбаху. для приработавшейся цапфы по Рейе Если вращательная пара воспринимает нагрузку, которая направлена вдоль оси вращения, то элементами этой пары являются пята 1 и подпятник 2. Определим момент сил трения в случае плоской кольцевой пяты (рис.45). Рис.45 Cила равномерно распределена по площади кольца Определим удельное давление . Момент трения на элементарной площадке (заштрихованной) определится так: Полный момент трения в пяте определится как сумма элементарных моментов. Подставляя в выражение (116) получим Для сплошной пяты, полагая, имеем 12.Трение качения. Сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому, называется трением качения и обуславливается деформациями этих тел (точка приложения нормальной реакции смещается) (Рис.46). Рис.46 - движущая сила, пара сил препятствует качению; - коэффициент трения качения. – момент трения качения. , Где – радиус колеса. Каток будет в равновесии, если 12.1.Перемещение груза на катках. Рис.47 Пусть платформа вместе с грузом перемещается на катках. Проскальзывание при этом отсутствует. Не изменяя баланса мощности, все нагрузки приведем к одному катку. Введем обозначения: – вес платформы с грузом; – суммарный вес катков; – коэффициент трения качения между катками и опорной поверхностью; - коэффициент трения качения между катками и платформой; - сила трения, приведенная к какой-либо точке платформы. Тогда имеем Приравняем мощность приведенной силы трения сумме мощностей, развиваемых моментами и . , где - скорость платформы; – угловая скорость катка – диаметр катка. Тогда Введем обозначение Тогда Или Где – приведенный коэффициент трения при перемещении груза на катках. Если вес катков очень мал , то 12.2. Перемещение груза на колесах. Определим сопротивление трения перемещению тележки с грузом (рис.48). Рис.48 Введем следующие обозначения: – вес тележки с грузом; – суммарный вес колес; - коэффициент трения скольжения в цапфе колеса; – коэффициент трения качения между колесами и опорной поверхностью; – радиус цапф; – радиус колеса. - сила трения, приведенная к какой-либо точке тележки. Все нагрузки условно отнесем к одному колесу. Тогда имеем Момент трения качения между колесом и опорной поверхностью равен. Момент трения скольжения в цапфе колеса равен Приравняем мощность приведенной силы трения сумме мощностей, развиваемых моментами и . , где - скорость платформы; – угловая скорость катка; – радиус колес. Отсюда Введем обозначение Получаем Или Где – приведенный коэффициент трения при перемещении груза на тележке. Обычно весьма мало, и тогда, пренебрегая этой величиной, имеем 13.Трение гибкой нити о неподвижный барабан. Пусть гибкая нерастяжимая нить, охватывающая неподвижный круглый шкив, скользит по этому шкиву (рис.49). Рис.49 , - силы натяжения ветвей нити; – угол обхвата барабана. Выделим элементарный элемент нити . На элемент нити, которому соответствует центральный угол , действуют силы натяжения в начале и конце этого элемента, - сила трения и нормальная реакция шкива. Уравнения равновесия этого элемента имеют вид. Учитывая, что - величина бесконечно малая, можем положить Тогда из первого уравнения имеем . Из второго уравнения с учетом, что имеем (пренебрегаем бесконечно малыми величинами второго порядка). Но , Где – коэффициент трения между нитью и шкивом. Таким образом, Откуда получаем формулу Эйлера. ОГЛАВЛЕНИЕ Введение 3 1. Приведенные массы, моменты инерции, силы и моменты сил 4 2. Классификация сил, действующих на механизм. 6 3.Уравнение движения механизмов в конечной форме. Три стадии движения механизма. 8 4.Силовое исследование механизма. 9 4.1.Понятие о статически определимой кинематической цепи. 9 4.2.Инерционные усилия для различных случаев движения твердого тела. 9 4.3.Кинетостатический анализ кривошипно-балансирного механизма. 11 5.Механический коэффициент полезного действия. 15 6.Определение КПД зубчатых механизмов 19 7.Механизмы передач вращательного движения. 21 8.Зубчатая передача. 24 8.1.Эвольвента (построение эвольвенты). 25 8.2 Основной закон зацепления. 26 9.Геометрия зубчатого зацепления. 29 10.Понятие о косозубых колесах и их геометрических параметрах 33 11.Трение в кинематических парах. 34 11.1.Трение в поступательной паре. 35 11.2.Клинчатый ползун. 38 11.3.Трение в винтовой кинематической паре. 40 11.4.Определение КПД винтовой пары. 41 11.5Трение во вращательной паре. 43 12.Трение качения. 46 12.1.Перемещение груза на катках. 47 12.2. Перемещение груза на колесах. 48 13.Трение гибкой нити о неподвижный барабан. 49