Динамика и устойчивость сооружений

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Тульский государственный университет» Кафедра «Строительство, строительные материалы и конструкции» Теличко Г.Н. профессор КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по дисциплине ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ СООРУЖЕНИЙ Направление подготовки: 270800.62 «Строительство» Профиль подготовки: «Промышленное и гражданское строительство» Степень выпускника: бакалавр Форма обучения: очная Тула 2012 г. 1 Рассмотрено на заседании кафедры протокол № __ от «______» ________ ______ 20____г. Зав. кафедрой ____________ А.А. Трещёв 2 Содержание Раздел 1. Исследование устойчивости плоских расчётных схем 1.1. Методы исследования устойчивости стержневых систем 1.1.1. Понятие о неоднозначности формы равновесия сооружения 1.1.2. С 1.1.3. татический метод 1.1.4. Энергетический метод 1.1.5. Динамический метод 1.2. Оценка устойчивости методом эквивалентного стержня 1.2.1. Потеря устойчивости по Эйлеру 1.2.2. Обобщённая формула Эйлера для критической силы сжатия стержня 1.2.3. Оценка критической силы сжатия стержня при упругом опирании 1.3. Исследование устойчивости методом перемещений 1.3.1. Уравнение продольного изгиба сжатого стержня 1.3.2. Решение уравнения продольного изгиба в форме метода начальных параметров 1.3.3. Определение критической узловой нагрузки в рамах методом перемещений 1.3.4. Табличные эпюры метода перемещений для сжато-изогнутого стержня 1.4. Учёт влияния поперечных сил на значение критической нагрузки 1.4.1. Устойчивость стержней сплошного сечения 1.4.2. Устойчивость стержней сквозного сечения 1.5. Устойчивость стержней переменного сечения 1.6. Решение задачи устойчивости на ЭВМ Раздел 2. Исследование колебаний плоских расчётных схем 2.1. Методы исследования движения расчётных схем 2.1.1. Понятие о динамической модели сооружения 2.1.2. Кинетостатический метод 2.1.3. Кинематический метод 2.1.4 Энергетический метод 2.2. Динамические модели расчётных схем с сосредоточенными и распределёнными массами 2.2.1. Модель сооружения с конечным числом динамических степеней свободы 2.2.2. Способы моделирования массы сооружения конечным числом динамических степеней свободы 2.2.3. Модель сооружения с бесконечным числом динамических степеней свободы 2.3. Свободные колебания расчётных схем с сосредоточенными массами 2.3.1. Уравнения колебаний системы с конечным числом динамических степеней свободы 2.3.2. Определитель частот свободных колебаний 2.3.3. Формы собственных колебаний 2.4. Вынужденные колебания расчётных схем с сосредоточенными массами 2.4.1. Понятие о неустановившихся вынужденных колебаниях 2.4.2. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях 2.4.3. Понятие о коэффициенте динамического усиления действия нагрузки 2.5. Учёт влияния сопротивления на характеристики колебательного процесса 2.5.1. Характеристики сопротивления строительных материалов и конструкций 2.5.2. Амплитудно-частотная характеристика колебаний при наличии сопротивления 2.6. Колебания стержневых систем с распределённой массой 2.6.1. Уравнение колебаний балки с распределённой массой 2.6.2. Балочные функции решения 2.6.3. Исследование колебаний методом перемещений 2.7. Решение задачи вынужденных колебаний на ЭВМ 3 ЛЕКЦИЯ 1 Важность этих разделов строительной механики определяется тем, что недоучёт динамических явлений и потери устойчивости деформированных элементов строительных сооружений приводит к серьёзным последствиям. Именно об этом свидетельствую те аварии инженерных сооружений, от которых написано немало книг под обобщённым названием "Аварии конструкций". 1. Исследование устойчивости плоских расчётных схем Основы теории устойчивости форм равновесия деформируемых систем заложены Леонардом Эйлером в середине XVIII столетия. В дальнейшем эти теория получила большое развитие и в настоящее время является одним из важнейших разделов механики деформируемого тела, в частности – в строительной механике. РАЗДЕЛ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКИХ РАСЧЁТНЫХ СХЕМ 1.1. Методы исследования устойчивости стержневых систем 1.1.1. Понятие о неоднозначности формы равновесия сооружения При одних и тех же внешних нагрузках и условиях закрепления упругая система может иметь не одну, а несколько форм равновесия. Например, пусть возможны две формы: и Здесь k – жёсткость упругого шарнира в узле 1. Составим уравнение равновесия для отклонённого положения стержня: Для удобства анализа преобразуем это уравнение к безразмерному виду, выделив параметр нагрузки v, Полученное уравнение будем анализировать в предположении, что значение параметра v > 0 (иначе система не имеет нагрузки). Параметр нагрузки определяется двумя решениями: 1 Если φ ≠ 0, то, поделив уравнение на φ, получим . 2 Если φ = 0, то делить на φ нельзя и значение параметра v неопределено, так при любом его значение уравнение удовлетворяется за счёт нулевого значения угла. Полученный результат можно проиллюстрировать следующим графиком . 4 Таким образом, в точке А решение уравнения начинает "ветвиться": - одна ветвь (на ней лежит точка 2) соответствует неотклонённому положению стержня при φ = 0 и v > 0; - вторая ветвь (на ней лежат точки 1 и 1') соответствует отклонённым положениям стержня на угол ± φ ≠ 0, причём каждому значению параметра нагрузки соответствуют некоторое значения угла отклонения (знак угла остаётся неопределённым!). Заметим, что ветвление начинается со значения v = 1. Соотвествующее значение Pкр = k/l называется "критическим значением" нагрузки. До достижения критического значения нагрузки форма равновесия остаётся единственной (без отклонения от вертикали). Обратите внимание! Значения угла отклонения в данном примере ничем не ограничены. Если же принять угол отклонения малым настолько, что синус угла и сам угол равны по значению, то вторая ветвь вырождается в прямую v = 1. В этом случае неопределённым остаётся не только знак угла отклонения, но и значение этого малого угла. Что следует из уравнения равновесия для состояния с малым углом отклонения. Устойчивость характеризуется как способность упругой системы сохранять определённую форму равновесия под действием заданной нагрузки. Однако утрата такой способности в зависимости от свойств системы может выражаться по-разному, и под потерей устойчивости подразумевают несколько совершенно различных явлений. Основы теории устойчивости форм равновесия упругих систем были заложены Эйлером более 200 лет назад. Согласно концепции Эйлера признаком неустойчивости формы равновесия служит существование смежной (т.е. сколько угодно близкой к исходной) отклонённой формы равновесия при неизменной нагрузке. При этом неявно принимается гипотеза о том, что эта новая форма является устойчивой, а исходная – неустойчивой. Такая постановка задачи предполагает, что потеря устой- 5 чивости выражается в переходе системы к смежной форме равновесия, причём для этого перехода достаточно любого ничтожно малого возмущения исходной формы равновесия. В упругих стержневых системах смежное состояние характеризуется появление малых деформаций изгиба (малых поперечных перемещений на фоне осевого сжатия стержней). Возвращаясь к примеру об устойчивости рассмотренной расчётной схемы, сформулированную точку зрения можно пояснить следующим обобщающим графиком: Здесь аргументом является относительное малое (смежное) перемещение (линейное или угловое), которое характеризует отклонённое состояние, а ординатой – безразмерный параметр, зависящий от нагрузки. Точка ветвления форм равновесия на этом графике соответствует координатам (0, v(Pкр)). В соответствии с подходом Эйлера устойчивой является смежная форма (представлена множеством точек (|u|>0,v(P)>v(Pкр)), а неустойчивой – исходная (представлена множеством точке (u=0,v(P)≥v(Pкр)). Обратите внимание! Такая интерпретация характера форм равновесия имеет место только, если нагрузка не меньше Pкркритическую. Для Pu2 соответственно. 2. Потеря устойчивости переходом от состояния покоя к состоянию движения при наличии множества неустойчивых форм равновесия. Особенность этой расчётной схемы заключается в том, что сжимающая нагрузки оказывается "следящей" за поворотом сечения, в котором она приложена. Следует обратить внимание на то, что отклонённом состоянии появляется "возвращающая" со* ставляющая нагружающей силы P X. Эта сила стремится уменьшить возникающий прогиб стержня. Анализ соответствующего уравнения равновесия показывает, что значение этой составляющей в * состоянии равновесия равно нулю! Т.е. не существует форм равновесия с P X ≠0. А это, в свою оче7 редь, означает, что и формы равновесия в виде изгиба, вызванные следящей сжимающей силой, не существуют. Превышение значения критической нагрузки для соответствующих систем приводит к движению * системы за счёт возвращающей силы P X, так что все состояния при v(P)>v(Pкр) не являются состояниями равновесия. Устойчивые же состояния равновесия определяются нагрузками, меньше критических. Таким образом, неустойчивые состояния равновесия представлены множеством точек (0, v≥v(Pкр)). Подобные системы не могут быть исследованы на базе уравнений равновесия и требуют рассмотрения неустойчивого состояния в форме движения, т.е. требуют применения методов исследования динамического поведения систем. 3. Потеря устойчивости переходом от состояния покоя с состоянию движения при единственной неустойчивой форме равновесия В качестве примера рассматривается растягиваемый упругий стержень с изменяемой, в соответствии с законом Пуассона, площадью поперечного сечения. Анализ уравнения равновесия растянутого стержня показывает, что при нагружении стержня нагрузкой, превышающей значение Pкр= EF0/e , перемещения неограниченно увеличиваются (здесь e=2.718 – основание натурального логарифма). 8 Таким образом, неустойчивые формы равновесия представлены всего одним состоянием – точкой (0, v(Pкр)). Устойчивой же является формы, которые представлены множеством точек (u=0, vπ ). Функция прогиба y(x) подбирается из условия удовлетворения основным (геометрическим) краевым условиям. 21 Метод Ритца даёт более точные результаты. , где каждая из функций ряда должна удовлетворяться основным краевым условиям, а параметры α k являются неизвестными постоянными, определяющими предполагаемую форму смежного состояния. Критическая нагрузка определяется из системы условий минимума нагрузки P по параметрам αk: Полученная система уравнений относительно является однородной, что из условия ненулевых значений этих параметров требует равенства нулю определителя системы. Таким образом формируется уравнение устойчивости. Метод Ритца можно применить и в форме условия стационарности изменения полной потенциальной энергии: . Формируемая система уравнений является однородной, поэтому имеет тождественно ненулевое решение при условии, что её определитель равен нулю – также формирует уравнение устойчивости. При любом варианте использования энергетического метода значение критической силы является завышенным. Но оно тем ближе к истинному значению, чем больше параметров αk использовано для приближения формы равновесия. Что касается устойчивости формы равновесия с критическим значением нагрузки, то в рамках энергетического метода следует пользоваться теоремой Лагранжа и определять, является ли полная потенциальная энергия исследуемой формы равновесия минимальной. Для этого вычисляют вторую производную изменения полной потенциальной энергии и исследуют её знак: если она положительна, то искомый минимум наличествует и форма равновесия устойчива. 1.4.1. Устойчивость стержней сплошного сечения В рамках энергетического метода запишем изменение потенциальной энергии при переходе в смежное состояние с учётом поперечных сил для шарнирно-опёртого стержня, задав простейшую форму смежного состояния: 22 Подсчитаем значения коэффициента α для стержня сплошного сечения: Т.е. влияние сдвига на значение критической силы для стержней сплошного сечения незначительное! 1.4.2. Устойчивость стержней сквозного сечения В качестве примера таких стержней можно привести двухветвевые колонны типа "ферма" (с раскосной решёткой) и типа "рама" (с планками). Конструкция этих стержней отличается тем, что стержни-ветви колонн воспринимают поперечную нагрузку в виде системы часто расположенных сосредоточенных сил, которые уравновешиваются поперечными усилиями, значительно превосходящими по величине поперечные усилия от изгиба при переходе в смежное состояние. Поэтому вначале требуется выяснить, как влияют поперечные силы на устойчивость стержня в случае сплошного сечения. Теперь оценим влияние сдвига в стержнях составного сечения. Для этого применим способ, основанный на вычислении сдвига от единичной поперечной силы, поскольку имеет место следующее соотношение: Таким образом, поправочный коэффициент, учитывающий деформацию сдвига в сечении, может быть представлен в форме Решётка типа "ферма". Рассмотрим одну панель стержня составного сечения на базе соединения ветвей стержнями. 23 Сдвиг распорок относительно друг друга можно определить, вычислив перемещение узла 3. Для этого в качестве грузового и направляющего состояний назначим состояние нагружения единичными горизонтальными силами. Заметим, что силы этого направления являются перерезывающими, а не поперечными. Но поскольку в формуле для перемещений от продольных усилий учитываются их произведения, разницой между единичными поперечными и перерезывающими силами можно пренебречь. Числовую оценку влияния сдвига на значение критической силы проведём, воспользовавшись тем, что максимальное значение отношения Pкр/Fc (Fc – площадь поперечного сечения стержня) не может превышать предела текучести. Так что имеем Задавшись материалом и соотношением площадей, можно получить числовую оценку коэффициента. Для стальных стержней в реальном диапазоне соотношений коэффициент может достигать значений 10% и более. При этом более влиятельной оказывается площадь раскосов (в сравнении с площадью распорок). 24 Решётка типа "рама". Теперь рассмотрим стержень, ветки которого соединены планками. Поскольку планки имеют значительную изгибную жёсткость, вычисление сдвига внутри одной панели, которая выделяется сечениями стоек с нулевыми значениями момента в смежном состоянии, производится на основе эпюры изгибающих моментов. При этом грузовое и направляющее состояния являются тождественными. Единичная направляющая сила распределяется между стойками сечения. С учётом значения критической силы Эйлера для шарнирно-опёртого стержня для значения коэффициента получаем выражение (J – момент инерции всего сечения) Задаваясь реальными соотношениями размеров панели и моментов инерции, можно получить числовую оценку значения коэффициента. Его значение для металлических стержней достигает 15% и более. Таким образом, можно сделать вывод о том, что влияние поперечных сил в стержнях составного сечения на значение критической силы достаточно весомо снижает критическую силу. Самостоятельная работа 1.5. Устойчивость стержней переменного сечения См. [2, глава 3] Самостоятельная работа 1.6. Решение задачи устойчивости на ЭВМ См. [1, п. 15.5 ] ЛЕКЦИЯ 5 РАЗДЕЛ 2. ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛОСКИХ РАСЧЁТНЫХ СХЕМ В задачах статики нагрузки рассматриваются как постоянные во времени или меняющимися так медленно, что сооружение остаётся практически неподвижными. В противоположность этому в задачах динамики рассматриваются нагрузки, изменяющиеся во времени настолько быстро, что в результате их действия конструкция приходит в движение и её элементы приобретают значительные ускорения, которые порождаются соответствующие силы инерции. Эти дополнительные нагрузки (силы инерции) должны быть учтены в расчёте. 25 Из истории аварий строительных конструкций вследствие динамических являений Дата Авария Причина Во время дождя и сильного ветра при Резонанс вследствие прохождении по мосту воинского отряда об- но-подвижной нагрузки рушился тросовый мост длиной 120 м на реке Мэн в г. Анжер (Франция) удар- 1905 г. Обрушение "Египетского" подъемного Резонанс вследствие моста через реку Фонтанку (Петроград) во но-подвижной нагрузки время движения по нему кавалерийского отряда удар- 1940 г. Обрушение 3-х пролетного висячего моста Резонанс вследствие колебаний, (335,5+854+335 м) у г. Таколы (США) порожденных завихрениями воздуха при большой скорости и силе ветра 1850 г. 1965 г. Трещины в стенках трубопроводного пеРезонанс от действия вихрей рехода через реку (у опор, 275+275 м, диа- (Кармана) при обтекании трубы ветметр 508 мм, давление 50 атм) в Польше. ром Через год после сдачи в эксплуатацию Обрушение крана-перегружателя на Усталостное разрушение верхнего 70-е го- складе сыпучих материалов (пролет 76,35 м, пояса консоли 32 и 37 м. После 10 лет эксплуатации ды оба верхние пояса балки разорвались точно XX в. песередине пролета (Польша) 1970 г. Многочисленные трещины в узлах балки Большой размах колебаний (300 автодорожного моста в виде неразрезной 3-з мм при высоте балки в 2000 мм), пролетной балки (39,5+68+39,2 м) в Польше. возбуждаемых проходящими трамЭксплуатация прекращена. ваями (резонанс) 2.1. Методы исследования движения расчётных схем Движение системы характеризуется изменением во времени перемещений, деформаций и усилий. Причина движения – нагрузки, у которых значения, направления или место приложения меняются во времени (динамические нагрузки), главным признаком которых служит появление сил инерции. Виды динамических нагрузок Класс нагрузки Периодическая Импульсная Ударная Характеристика во времени Многократно повторяющаяся через определенные промежутки времени (период). Важнейший вид – гармоническая (по закону sin/cos) Быстрое развитие и исчезновение (например, взрыв) Резкое изменение скорости ударяемого тела в короткий промежуток времени Подвижная Меняющееся местоположение на сооружении Сейсмическая Движение почвы при землетрясениях Реакция сооружения на динамические нагрузки порождает в каждой точке оси расчётной схемы следующие силы: силы упругости, значения и направления которых определяются гипотезами строительной механики (M, Q, N) о линейно-деформируемом твёрдом теле: здесь с – жёсткость в точке оси (сила, возникающая при смещении точки на 1 единицу длины); силы инерции, значения и направления которых при поступательном движении определяются 2-м законом Ньютона: 26 здесь фигурирует ускорение массы в точке (т.е. точка считается "тяжёлой": её "тянет" к земле с ускорением 9,81 м/сек^2) и линейное перемещение точки; силы сопротивления, значения и направления которых определяются линейной зависимостью от скорости смещения точки: здесь b – коэффициент сопротивления (сила, препятствующая движению со скоростью "единица"). Вращательным движением точек стержневых систем пренебрегают, так как момент инерции вращения (аналого массы в линейном движении) из относительно малых размеров поперечных сечения порождает малые вращающие моменты! Поскольку в любой стержневой расчётной схеме имеется бесчисленное число точек, каждая из которых имеет массу, приходится рассматривать дифференциально малый элемент оси dx площадью F, масса которого определяется его плотностью и объёмом: Таким образом, учёт сил инерции и сопротивления требует работы с дифференциальными, а не алгебраическими зависимостями от времени и координат. В связи с этим были сделаны успешные попытки упрощения моделей движения путём сосредоточения массы конструктивных элементов в конечном числе узлов расчётной схемы. Таким образом, в строительной механике плоских стержневых систем различают две динамические модели сооружения: Модели с бесконечно большим числом динамических степеней свободы (системы с рас• пределённой массой). Модели с конечным числом динамических степеней свободы (системы с сосредоточенными • массами). Характеристики колебательного процесса Большинство наблюдаемых в природе и технике динамических явлений являются колебательными: т.е. во времени они характеризуются поочередным возрастанием и убыванием наблюдаемых значений некоторого параметра. Наиболее важным для инженерных приложений является периодический колебательный процесс. Его кинематическими характеристиками являются: Период колебаний T (частота колебаний ω, техническая частота f) Закон изменения параметра (гармонические колебания) Амплитуда колебаний Фаза колебаний Линейность гармонических колебаний Исследование колебаний осуществляется несколькими методами. 2.1.2. Кинетостатический метод Метод основан на принципе Даламбера, который состоит в том, что расчетная схема в каждый момент времени находится в равновесии под действием заданных динамических нагрузок, вызываемых ими инерционных сил и реакций связей, наложенных на систему. После формулировки соответствующих уравнений равновесия, применяются методы статики сооружений. 27 2.1.3. Кинематический метод Метод на равенстве нулю возможных работ в заданной системе, если она находится в состоянии равновесия (принцип Лагранжа) 2.1.4. Энергетический метод Метод основан на использовании энергетических принципов: закона сохранения полной механической энергии, в которую включены слагаемые от инерционных и других сил. В частности, если сопротивления движению нет (или оно не учитывается), то используя закон сохранения полной механической энергии можно записать: U – потенциальная энергия упругого деформирования Здесь первое слагаемое кинетической энергии K – вклад точечных масс при поступательном перемещении, а второе слагаемое относится к массам, распределенным вдоль оси. Для рассмотренного примера получаем: 28 Так как потенциальная энергия упругого деформирования зависит только от начального и конечного положений, то ее значение определяется зависимостью от прогибов, а не от скоростей или ускорений. Это нужно иметь ввиду, когда выполняется дифференцирование компонент потенциально энергии по времени (см. в формуле выше). ЛЕКЦИЯ 6 2.2. Динамические модели расчётных схем с сосредоточенными и распределёнными массами 2.2.1. Модель сооружения с конечных числом динамических степеней свободы Существуют формулы, которые дают оценку интервала содержания минимальной частоты подобных моделей. Формулы Бернштейна-Смирнова. Применяются для оценки первой (низшей) частоты системы с конечным числом динамических степеней свободы Wд=N. Оценка С.А. Бернштейна где Частота вычисляется как среднее значение Следует обратить внимание на условия вычисления второго слагаемого: суммируются внедиа- гональные элементы матрицы податливости [δ], компоненты которой определяются на основе за- гружения расчётной схемы единичными силами инерции. Теория утверждает, что точность вычисления низшей частоты спектра как середины интервала оценки вполне достаточная, т.е. относительная погрешность не превышает 10-15%. Чтобы доказать 29 это, следует обратить внимание на подкоренное выражение "внутреннего" корня, которое должно быть не меньше нуля! Тогда приближённое значение частоты определяется выражением Функция относительной погрешности определяется формулой Для случай, когда выполняется равенство единице, имеем Если же x<1, то относительная погрешность меньше этого значения (т.е. всё равно меньше 10%), что следует из графика функции погрешности -1 Аналитическое доказательство основано на разложении функции (1-x) в ряд в окрестности точки x. Студентам предлагается выполнить соответствующие выкладки для подтверждения этого вывода. Оценка А.Ф. Смирнова 30 Низшая частота определяется формулой С учётом обозначения для x, из формулы Смирнова получаем Это даёт нам возможность записать функцию относительной погрешности в форме Чтобы при маленьких значениях x погрешность не могла быть отрицательной, преобразуем выражение к виду График этой функции имеет вид Вывод: погрешность формулы Смирнова возрастает для для маленьких значений x и может достигать 50%, в то время как в формуле Бернштейна относительная погрешность не превышает 10%. 2.2.2. Способы моделирования массы сооружения конечным числом динамических степеней свободы Способы замены распределённой массы сосредоточенными Способ А. Деление участка на равные интервалы и сосредоточение массы интервала в узле, лежащем на линии центра тяжести площади эпюры распределения массы на интервале (это середина интервала в случае равномерно распределённой массы) Способ Б. Деление участка на равные интервалы и сосредоточение массы интервала в узлах концов интервала по закону рычага (правило определения реакций в элементарной шарнирно опёртой балке от сосредоточенной силы – если интенсивность распределения массы неравномерная) – по половине массы интервала, если масса распределена по интервалу равномерно. 31 Способ переноса масс В основе способа лежит идея замены заданной динамической расчётной схемы системой с одной массой. При этом эквивалентная масса не равна сумме составляющих масс, а вычисляется по специальному алгоритму, суть которого состоит в том, что независимо от положения приведенной массы низшая частота свободных колебаний должна быть одной и той же т.е.перенос mK в другое место (узел S) требует изменения mK на коэффициент μK=δKK/δSS. Если таких масс несколько, то приведенная масса вычисляется по формуле где S - узел приведения, а δii - перемещение вдоль i-й динамической степени свободы от единичной силы инерции (в том числе - степени свободы S). Если масса распределена вдоль оси расчётной схемы то формула может быть обобщена где δxx - перемещение узла x от единичной силы инерции. Таким образом, Следует, однако отметить, что формула может давать иногда довольно грубые приближения . 2.2.3. Модель сооружения с бесконечным числом динамическийх степеней свободы Формулы Рэлея-Граммеля Идея Рэлея заключается в том, чтобы использовать условие стационарности полной энергии движущейся системы при задаваемой форме движения, которая отражает граничные условия при минимальной энергии деформации. 32 Идея Граммеля заключается в том, чтобы из всех моментов времени выбрать такой, когда силы инерции максимальны. И именно в этот момент подсчитать потенциальную и кинетическую энергии при условии их стационарности . Максимальная (амплитудная) сила инерции равна Здесь уменьшенной в – амплитудный изгибающий момент, а раз, вызываемой условной нагрузкой – изгибающий момент от нагрузки, . . Таким образом, при обоих подходах нужно иметь выражение . Чем ближе форма движения к истинной форме 1-й моды колебаний, тем ближе результаты между собой. Но в целом формула Граммеля оценивается как более точная. Способ приведения массы Идея метода основана на равенстве кинетической энергии заданной системы и заменяющей балки. Решение задачи колебаний в соответствии с методом разделения переменных представляется в форме (распределённая по х масса) (сосредоточенная в узле х масса), где функция времени одна для всех точек системы. Т.е., предполагается, что все массы колеблются с одной частотой. Используем эти формы для представления кинетической энергии исходной системы 33 C другой стороны у заменяющей балки с массой Mx в точке x (её положение произвольное!) кинетическая энергия равна Здесь Y(x) - функция прогибов вдоль оси участка, а Yi - прогиб узла с сосредоточенной массой i. Например, для однопролётной шарнирно опёртой балки в качестве функции прогибов могут быть использованы функции Во 2-й строке приведена кривая прогибов от сосредоточенной силы, приложенной посередине пролёта. В 3-й строке – кривая прогибов от равномерно распределённой нагрузки. Приравнивая энергии, получаем формулу для приведенной массы Таким образом, низшая частота может быть вычислена по формуле Сравнение результатов оценки Точное решение для минимальной частоты собственных колебаний защемлённой балки с равномерно распределённой массой: ; приближенное решение задачи по Рэлею (амплитудная форма прогиба 34 ): ; приближенное решение задачи по Граммелю (амплитудная форма прогиба ): приближённое решение задачи для модели с одной массой (по Смирнову) ЛЕКЦИЯ 7 2.3. Свободные колебания расчётных схем с сосредоточенными массами 2.3.1. Уравнения колебаний системы с конечным числом динамических степеней свободы Сравнительно простым способом получения уточнённой (в сравнении с приближенными) значением частоты собственных колебаний системы является использование уравнения движения расчётной схемы, масса которой представлена некоторым числом сосредоточенных масс. Такие модели называются моделями к конечным числом динамических степеней свободы. Понятие динамической свободы сосредоточенной массы возникает в связи с тем, что эта идеализированная масса, не имеющая поперечных размеров, при наличии ускорения порождает вектор силы инерции. В глобальной системе координат этот вектор в общем случае имеет две проекции, каждая из которых и соответствует одной степени свободы движения массы – динамической степени свободы. Уравнения движения плоской расчётной схемы в рамках принципа Даламбера можно рассматривать как уравнения равновесия. А поскольку реальные расчётные схемы строительной механики являются статические неопределимыми, то принципиально возможны два способа формирования уравнений движения: 1) метод сил; 2) метод перемещений. Метод сил в статике формулируется в виде системы условий отсутствия перемещений во направлению "лишних" связей под внешними воздействиями (статическими!): Здесь задействован принцип независимости воздействий в линейно деформируемых системах, которыми мы и занимаемся в курсе строительной механики. Если считать, что силы инерции (и силы сопротивления) возникают в дополнительных "лишних" связях, а ко внешним воздействиям добавляются динамические нагрузки, то уравнения метода сил можно применить к состоянию системы и в произвольный момент времени (принцип Даламбера). Это позволяет сформировать следующую систему уравнений: В квадратных скобках записаны суммы статических и динамических составляющих перемещений от внутренних сил и внешних воздействий соответствующего типа. Статические перемещения из этого уравнения можно исключить, так как их сумма равна нулю. Так что движение будет происходить вокруг положения равновесия: Для единичных значений сил инерции и сопротивления с учётом принципа независимости действия сил в линейно деформируемых системах получим Далее примем во внимание, как именно силы инерции и сопротивления зависят от перемещений: 35 здесь матрицы [m] и [b] -- диагональные (на главной диагонали массы или коэффициенты сопротивления, а остальные элементы 0). С учётом этих зависимостей получим уравнения движения относительно перемещений {y(t)}: (1.1) Решение {y(t)} этого уравнения в общем виде можно можно представить в форме суммы общего решения {y(t)} однородного ({?(t)}={0}) и частного решения {y*(t)} неоднородного уравнения (1.2) Решение {y0(t)} с учётом постоянных значений коэффициентов однородной части уравнений (1.1) можно искать на основе подстановки Эйлера: а решение {y*(t)} -- в зависимости от вида {?(t)}: если это функции типа элементарных (cos, sin, ...), то это решение имеет вид этих же функций, но с неопределёнными коэффициентами, которые определяются подстановкой частного решения в неоднородное уравнение. Метод перемещений в статике основан на принципе независимости воздействий в механике линейно деформируемых систем и имеет форму: которая описывает равновесие узлов с дополнительными связями под действием узловых нагрузок и запрещённых перемещений. Согласно принципа Даламбера, учёт сил инерции в произвольный момент времени позволяет рассматривать систему как равновесную. Учтём также наличие сил сопротивления и динамической нагрузки. И пользуясь методом перемещений с дополнительными связями по направлениям возникновения сил инерции запишем условия равновесия узлов с дополнительными связями: В квадратных скобках записаны суммы статических и динамических составляющих упругих сил и внешних воздействий соответствующего типа. Статические компоненты уравнения суммарно дают нулевой вклад, поэтому их можно исключить. Что даёт систему уравнений типа: Используя принцип независимости воздействий, раскроем формулы для сил в уравнениях метода перемещений: (2.1) Поскольку независимо от применяемого метода составления уравнения движения должны быть идентичны (при одной и той же системе гипотез: в данном случае гипотез линейно деформируемого тела), приведём уравнения к сравнимому виду, выделив в уравнениях метода перемещений вектор -1 {y(t)}. Для этого умножим уравнение (2.1) слева на [r] : Сравнивая с уравнением (1.1) (1.1) видим, что должны выполняться условия: (2.2) Анализ этих условий показывает, что: -1 (I) (R) (I) (R) 1. Матрицы [r] и [δ ] ([δ ]) обратны друг другу, при этом [δ ]=[δ ]=[δ], так как это матрицы перемещений от единичных сил одного и того же направления (силы инерции и сопротивления в точке действуют в одном направлении). Этот вывод легко принять, рассмотрев физический смысл матриц жёсткости [r] и податливости [δ] для одномерного случая. U 2. Вектор узловых динамических нагрузок {S (t)} определяется произведением матрицы жёстU кости [r] на вектор узловых динамических перемещений {Δ(t)}, т.е. имеет место формула {S (t)}=[r]{ 36 Δ (t)}. Этот вывод является очевидно верным, принимая во внимание физический смысл матрицы жёсткости. 3. Какой вариант использовать для решения конкретной задачи, должен решать исследователь. Однако опыт показывает, что более популярным является метод силе, так как в методе перемещений при реализации матричной формы всё равно приходится строить эпюры в основной системе метода сил. 2.3.2. Определитель частот свободных колебаний В отсутствии внешних сил и сил сопротивления (свободное движение) уравнения по методу сил имеют вид Решение ищем в форме подстановки Эйлера Подставив это решение в уравнение движения, получим: Поскольку в произвольный момент времени exp(?t)?0, то для определения имеем уравнение Чтобы вынести вектор в качестве общего члена, используем операцию умножения на единичную матрицу [E] (напомним, что по определению этом матрица, которая получается умножением квадратной матрицы на себе обратную так что Теперь вектор перемещений можно вынести за скобки: Поскольку вектор {Y} не может состоять полностью из нулевых компонентов, получаем уравнение для определения значений λ (определитель частот): Например, для единственной силы инерции имеем 2.3.3. Формы собственного движения Для одной динамической степени мы получили решение: Воспользуемся известными соотношениями Эйлера между экспоненциальной функцией и тригонометрическими функциями: -0.5 Традиционно коэффициент [1/(δ11m1] 37 обозначают ω1. Его размерность имеет вид что соответствует понятию частота, а с учётом того, что этот коэффициент принадлежит тригонометрической функции, – понятию круговая частота свободного движения. Итак, решение уравнения движения с одной динамической степенью свободы имеет вид Из этих выражений видно, что решение включает две тригонометрические функции, из которых можно составить общее решение Постоянная φ 1 называется фазой движения, а Y1 -- его амплитудой. Величина T=((2 π )/( ω 1)) называется периодом. А движение, осуществляющееся по приведенному закону, называется гармоническими колебаниями (вибрацией). Поскольку после определения частоты уравнение движения в любой момент времени тождественно удовлетворяется, определить амплитуду в этом движении не представляется возможным. Полученное уравнение описывает форму свободного колебания системы в одной степенью свободы. Если предполагать, что в системе с несколькими динамическими степенями свободы все массы движутся с одной и той же частотой, то для каждой найденной частоты определяется своя форма собственных колебаний. Частоты, упорядоченные по возрастанию, образуют спектр частот. А им соответствующие формы собственных колебаний – спектр форм. ЛЕКЦИЯ 8 2.4. Вынужденные колебания расчётных схем с сосредоточенными массами Рассмотрим пример системы с одной степенью свободы при наличии сопротивления и внешнего воздействия. Уравнение движения будет иметь вид Домножив уравнение слева последовательно на матрицы, обратные матрицам податливости и масс, можно получить Для одной степени свободы имеем Учитывая выражение для частоты свободных колебаний системы с одной степенью свободы, получим В случае вибрационного нагружения уравнение принимает вид Использование принципа наложения позволяет утверждать, что Т.е. кинематическое воздействие может быть заменено на эквивалентной силовое, для чего нужно вычислить перемещение от единичного значения предполагаемой нагрузки. Решение ищем в виде суммы общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений 38 2.4.1. Понятие о неустановившихся вынужденных колебаниях Решение в полученной форме состоит из двух частей: первая зависит от частоты собственных колебаний, а вторая – от частоты внешнего воздействия. Во времени первая составляющая достаточно быстро перестаёт быть значимой. В связи с этим полное решение называют решением задачи о неустановившихся вынужденных колебаниях. А решение с учётом только слагаемого, определяемого частотой внешнего воздействия – установившимися вынужденными колебаниями. Заметим также, что большую роль в «угасании» компоненты общего решения, зависящего от частоты собственных колебаний, играет внутреннее сопротивление материала. 2.4.2. Решение задачи об установившихся вынужденных колебаниях Итак, в случае установившихся вынужденных колебаний в системе с одной динамической степенью свободы, решение имеет вид. Y1(t) = B·sin(θt+C). Поскольку частоты внешнего воздействия задана, требуется определить постоянные B и С, значения которых зависят от начальных условия колебаний. 2.4.3. Понятие о коэффициенте динамического усиления действия нагрузки Наблюдаемое на практике явление увеличения характеристик напряжённо-деформированного состояния расчётной схемы в случае приближения значения частоты внешнего воздействия к одной из частот собственных колебаний может получить объяснение, если сравнить, например, амплитуду установившихся вынужденных колебаний при изгибе Y*A и статический прогиб ∆ от статического приложения той же нагрузки. Результат представляется формулой Это отношение называется коэффициентом динамического усиления или амплитудно-частотной характеристикой. Рассмотрим его вычисление для системы с одной динамической степенью свободы, когда система уравнений для определения амплитуд установившихся вынужденных колебаний представлена одним уравнением: Напомним, что частота свободных колебаний системы с одной динамической степенью свободы определена формулой Так что искомое отношение принимает вид Чтобы не терять физического смысла коэффициента динамического усиления, преобразуем формула так, чтобы исключить отрицательные значения этого отношения: 39 График коэффициента динамического усиления представлен на рисунке ниже. Из графика видно, что исследуемое отношение действительно даёт значительное увеличение амплитуды вынужденных колебаний в случае близких значений частот внешней и собственной. 2.5. Учёт влияния сопротивления на характеристики колебательного процесса Реальные конструкции состоят из материалов, которые характеризуются внутренним сопротивлением при их деформировании, что выражается в рассеянии части работы внешних сил в виде тепла. Именно такое сопротивление, которое принимается пропорциональным скорости движения, не позволяет коэффициенту динамического усиления достигать сверхбольших значений. 2.5.1. Характеристики сопротивления строительных материалов и конструкций В литературе имеются экспериментальные данные, представленные таблицей ниже Здесь использованы обозначения: Ψср – коэффициент рассеяния энергии за период колебаний; β – коэффициент удельного сопротивления; γ0 – коэффициент неупругого сопротивления. Располагая частотой свободных колебаний и данными этой таблицы можно определить параметр α , а затем и коэффициент удельного сопротивления β. Заметим, что наличие узлов соединения элементов конструкции изменяет характеристики сопротивления в меньшую сторону. 40 2.5.2. Амплитудно-частотная характеристика колебаний при наличии сопротивления Свободные колебания с сопротивлением Уравнение свободных колебаний при наличии сопротивления Здесь использовано обозначение – коэффициент удельного сопротивления β. Подставим решение в форме Эйлера Выполняя дифференцирование и приводя подобные, получим Для определения коэффициента λ имеем квадратное уравнение решение которого имеет вид Здесь ω1 – частота свободных колебаний без сопротивления! 1. В случае отсутствия сопротивления 2. Если коэффициент удельного сопротивления численно равен частоте Начальное отклонение уменьшается по закону экспоненты, т.е. отклонённая от положения равновесия система просто возвращается в своё первоначальное положение (правда, длится это асимтотически долго); никакого колебательного движения нет. 3. Если коэффициент удельного сопротивления больше частоты В этом случае используем связь экспоненциальной функции и гиперболических функций И, с точностью до обозначения неопределённых постоянных, получим Такая форма решения указывает на непереодичность процесса. Причём, процесс также затухает с самого начала движения из состояния отклонённого от положения равновесия. 4. Если коэффициент удельного сопротивления меньше частоты свободных колебаний 41 В этом случае используем формулы Эйлера связи экспоненциальной и тригонометрических функций Это позволяет с точностью до обозначения постоянных записать решение в виде В этом случае наблюдается периодический процесс, который называется гармоническими колебаниями. Для удобства анализа придадим решению следующий вид а затем обозначим Тогда решение можно записать в виде где прописная буква "омега" является круговой частотой собственных колебаний с учётом сопротивления, а множитель при функции sin() – функцией амплитудных перемещений, т.е. значение амплитуды колебаний во времени изменяется. Приведём график функции подобного типа Период свободных колебаний с сопротивлением вычисляется по формуле. Заметьте, что период (как и частота) свободных колебаний при наличии сопротивления во времени не изменяется. Чтобы оценить степень влияния сопротивления, рассмотрим, как уменьшается амплитуда колебаний за один период. Для этого рассмотрим отношение амплитуд в моменты времени, разделённые 42 отрезком времени, равным периоду колебаний. Это отношение называется декрементом затухания колебаний d. Натуральный логарифм от декремента называется логарифмическим декрементом затухания Удвоенный логарифмический декремент называется коэффициентом рассеяния энергии за период Коэффициент рассеяния энергии за период в масштабе 2π называется коэффициентом неупругого сопротивления Важно помнить, что α – это отношение коэффициента удельного сопротивления β = b1/2m1 к частоте свободных колебаний без сопротивления ω1. Уравнение колебаний Вынужденные колебания с сопротивлением Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде правой части Подставим это выражение в уравнение 43 Учтём линейную независимость тригонометрических функций: Решение этой системы уравнений относительно функций от В имеет вид Воспользуемся свойствами тригонометрических функций от В и определим А и В Итак, частное решение неоднородного уравнения *A . Это значение амплитуды установившихся вынужденных колебаний, выраженное через прогиб от статического приложения амплитудной нагрузки. Их отношение определяет коэффициент динамического усиления μ, который вычисляется по формуле Рассмотрим смысл выражения для Y1 44 Исследуем поведение коэффициента динамического усиления При реальных значениях характеристик строительных конструкций и материалов Поведение коэффициента динамического усиления в теоретическом диапазоне значений коэффициента сопротивления Следует обратить внимание на то, что общее выражение перемещения с учётом сопротивления и внешнего гармонического воздействия имеет вид Здесь часть, связанная характеристиками свободного движения с сопротивлением существует очень недолго и называется переходным периодом, который сменяется установившимися вынужденными колебаниями с частотой внешнего воздействия. Например, 45 Самостоятельная работа 2.6. Колебания стержневых систем с распределённой массой См. [2, пп. 39-40] Самостоятельная работа 2.7. Решение задачи вынужденных колебаний на ЭВМ См. [1, п. 15.6] 46 Библиографический список 1. Теличко, Г.Н. Основы строительной механики плоских стержневых систем : учебник для вузов и сузов / Г. Н. Теличко .— 3-е изд., стер. — Тула : Изд-во ТулГУ, 2010 .— 440 с. 2. Киселев В.А. Строительная механика: Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений / Учебник для вузов, М.: Стройиздат, 1980. - 616 с. 47