Дифракция света

МГУ Им. адм. Г.И. Невельского Кафедра физики В. В. Брунбендер Конспект лекций по физике Дифракция света Владивосток 2021 План лекции Принцип Гюйгенса – Френеля. Дифракция Френеля: метод зон Френеля; дифракция плоской волны на круглом отверстии; расчет радиуса и площади зоны Френеля; расчет амплитуды и интенсивности в центре дифракционной картины; дифракция сферической волны на круглом отверстии; зонные пластинки; дифракция на круглом непрозрачном экране. Дифракция Фраунгофера: дифракция света на щели; дифракция монохроматического света на дифракционной решетке; дифракция немонохроматического света на дифракционной решетке; разрешающая способность решетки. Разрешающая сила объектива. Дифракция рентгеновских лучей. Принцип Гюйгенса – Френеля Дифракция света – явление отклонения световых лучей от прямолинейного распространения на резких неоднородностях среды (отверстиях, экранах, щелях, решетках и т. д.). Для наблюдения дифракции света размеры неоднородности должны быть достаточно малыми по сравнению с расстоянием от нее до точки наблюдения. Не следует путать дифракцию с явлениями преломления и отражения света. Явление дифракции объясняют на основе принципа Гюйгенса – Френеля. Каждая точка волнового фронта является источником вторичных сферических когерентных волн; амплитуда волны в данной точке является результатом интерференции волн, излученных вторичными источниками. Различают два вида дифракции света. Дифракцию в ближней зоне (в сходящихся лучах) называют дифракцией Френеля. Дифракцию в дальней зоне (в параллельных лучах) называют дифракцией Фраунгофера. В данной лекции рассматривают наиболее важные и часто встречающиеся виды дифракции. Дифракция Френеля Разбиение фронта волны на зоны Френеля. На основе изложенного ранее принципа Френелем был разработан метод зон для расчета амплитуды колебаний вектора E световой волны в центре дифракционной картины (точке M экрана). При расчете амплитуды Френель добавил к принципу Гюйгенса – Френеля два постулата. 1). Равные площади волнового фронта излучают равные мощности. Данный постулат выполняется для плоских, сферических и цилиндрических волн, то есть для волн, у которых кривизна постоянна по всему фронту. 2 2). Наибольшая мощность переносится волной в сторону внешней нормали к волновому фронту. Если направление переноса мощности составляет с нормалью некоторый угол , то мощность, переносимая в данном направлении, уменьшается с ростом угла . При    переноса мощности не происходит. Дифракция плоской волны на круглом отверстии. Пусть непрозрачный экран с круглым отверстием освещают плоской монохроматической световой волной длиной  В момент прохождения волной отверстия открытую часть волнового фронта разбивают на зоны Френеля так, чтобы расстояния от границ соседних зон до точки M отличались друг от друга на половину длины волны  2 (рис. 1). Рис. 1. Разбиение открытой части волнового фронта на зоны Френеля: 1, 2, 3, …, m – номера зон Френеля; b – расстояние от отверстия до экрана; вид А показывает размещение зон Френеля в отверстии Волны, приходящие в точку M из соседних зон, при таком разбиении имеют в среднем разность хода в половину длины волны и при интерференции ослабляют друг друга. Если в отверстии укладывается нечетное число зон, в центре картины наблюдают светлое пятно (дифракционный максимум). При четном числе зон в центре картины наблюдают темное пятно (дифракционный минимум). Расчет радиуса и площади зоны Френеля. Пусть в отверстии укладывается m зон. По теореме Пифагора определяют радиус rm последней зоны  rm2 =  b +  m  − b2 ,  2  2 3 После преобразований получают выражение rm2 = bm − m2  2 4 . Членом m2 2 4 можно пренебречь вследствие его малости (рассмотрим пример: пусть m = 20, b m2 2 = 0,5 м;  = 0,65  10−6 м; тогда bm = 6,5  10−6 м, а член = 4,2  10−11 м, то 4 есть меньше примерно в сто тысяч раз). Откуда получают формулу для расчета радиуса зоны Френеля rm2 = bm  rm = mb . (1) Из формулы (1) определяют радиус первой зоны r1 = b , радиусы последующих зон rm = m  r1, то есть радиус зоны пропорционален квадратному корню из номера зоны. Расчет (рекомендуют сделать самостоятельно) показывает, что площади зон Френеля равны между собой (2) S1 = S2 = = Sm =  b. Расчет амплитуды Е и интенсивности J в центре дифракционной картины Все зоны Френеля излучают равные мощности, так как равны их площади. Но излучение из центра первой зоны в точку M направлено по нормали к фронту волны, а лучи из последующих зон в точку M образуют с нормалью некоторый угол , увеличивающийся с ростом номера зоны. Следовательно, первая зона создаст наибольшую амплитуду волны Е1 в центре дифракционной картины, амплитуда Е2, созданная второй зоной, будет несколько меньше Е1, амплитуда Е3, созданная третьей зоной, будет несколько меньше Е2 и так далее. Поскольку радиусы зон малы по сравнению с расстоянием b, амплитуды волн, созданные зонами в точке M, медленно монотонно убывают с ростом номера зоны: E1  E2  E3   Em. В данном случае неравенства интерпретируют как Е1 немного больше Е2, Е2 немного больше Е3 и так далее. Амплитуду волны в точке M рассчитывают ЕM = Е1 – Е2 + Е3 − Е4 + Е5 − … , (3) так как волны от четных зон приходят в противофазе с волнами от нечетных зон. Формулу (3) представляют в другой форме EM = E  E E1  E1 E  +  − E2 + 3  +  3 − E4 + 5  + . 2  2 2   2 (4) 2  Выражения в скобках практически равны нулю, поэтому при реальных расчетах их опускают. Например, если в отверстие укладывается одна зона, амплитуда 4 волны EM = E1 2 + E1 2 = E1. В точке M в этом случае наблюдают наиболее яркий дифракционный максимум. Если в отверстие укладывается две зоны, амплитуE E да волны EM = 1 + 1 − E2  0. В точке M в этом случае наблюдают наиболее 2 2 глубокий дифракционный минимум. В случае трех зон EM = E1 2 + E3 2  E1 , наблюдают максимум, но менее яркий, чем для случая одной зоны. С ростом числа зон, укладывающихся в отверстие, максимумы становятся менее яркими, а минимумы менее глубокими, видность картины дифракции уменьшается. В случае отсутствия экрана с отверстием (полностью открытый фронт) число зон E Френеля бесконечно большое, амплитуда EM = 1 , то есть в два раза меньше по 2 сравнению с первым случаем. Интенсивность света для случая одной зоны в четыре раза больше интенсивности для полностью открытого фронта J1 = 4 J  , поскольку J E2 . Проведенный расчет доказывает справедливость второго постулата Френеля; первая зона в точке М создает волну с амплитудой Е1, остальные зоны при полностью открытом фронте уменьшают амплитуду в два раза. Дифракция сферической волны на круглом отверстии. Пусть непрозрачный экран с круглым отверстием освещают сферической монохроматической световой волной длиной  Разбиение открытой части фронта волны на зоны Френеля дано на рис. 3. Рис. 3. Разбиение открытой части сферического фронта на зоны Френеля: m – номер зоны Френеля; а – расстояние от источника до отверстия; b – расстояние от отверстия до экрана для наблюдения дифракции 5 Разбиение волнового фронта на зоны Френеля в этом случае проводят по методу, рассмотренному ранее. Данную тему рекомендуют рассмотреть самостоятельно, поскольку она достаточно полно освещена в учебниках по физике. Формула для расчета радиуса m зоны Френеля rm = a b m . a+b (5) Зонные пластинки в простейшем случае представляют собой прозрачные пластинки с зачерненными зонами, соответствующими четным зонам Френеля (рис. 4). Через зачерненные зоны световые волны не попадают в центр дифракционной картины, амплитуда волны в точке М складывается из амплитуд волн, прошедших через нечетные зоны Френеля. Например, если на пластинке открыты первая, третья и пятая зоны, то ЕМ = Е1 + Е3 + Е5  3 Е1. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно JM  9 J1  36 J  . При помощи зонных пластинок возможна концентрация мощности монохроматического свеРис.4. Зонная пластинка та в центре дифракционной картины, поэтому их также называют «линзами Френеля». Зонные пластинки изготавливают для определенной длины волны, определенных расстояний а и b, размеры открытых и зачерненных зон рассчитывают по формулам (1) для плоской и (5) для сферической волны. В фазовых зонных пластинках четные зоны не зачерняют, а увеличивают  толщину прозрачного слоя на x = , что увеличивает разность хода на  , 2n вследствие чего волны от четных зон приходят в точку М совпадающими по фазе с волнами от нечетных зон, что делает фазовые зонные пластинки значительно эффективнее простых. Дифракция света на круглом непрозрачном экране Пусть сферическая монохроматическая волна падает на круглый непрозрачный экран Н Э. Открытую часть волнового фронта разбивают на зоны Френеля по рассмотренному ранее методу (рис. 5). 6 Рис. 5: а – разбиение волнового фронта на зоны Френеля; б – картина дифракции на непрозрачном экране E1 , так как 2 выражения в скобках с ростом номера зоны уменьшаются, каждая скобка равна нулю, а число скобок стремится к бесконечности: Амплитуду волны в точке М определяют по формуле (4), она равна Амплитуда волны в центре дифракционной картины не равна нулю, следовательно, в центре геометрической тени наблюдают светлое пятно (рис. 5б), яркость которого уменьшается при увеличении размеров экрана. Наличие светлого пятна в центре геометрической тени, с позиции теории зон Френеля, предсказал С. Пуассон в 1818 году. Он пытался этим абсурдным, с точки зрения здравого смысла явлением, опровергнуть теорию дифракции Френеля. Однако проведенный Д. Араго эксперимент подтвердил наличие этого пятна, что стало важным аргументом в пользу волновой теории света. Дифракция Фраунгофера Дифракцию света на щели в параллельных лучах по методу Фраунгофера наблюдают по схеме на рис. 5. Волновой фронт волны в момент прохождения щели, по принципу Гюйгенса – Френеля, является источником вторичных сферических волн. Наибольшую интенсивность имеют лучи, параллельные главной оптической оси объектива, так как они направлены по нормали к фронту. Разность хода между этими лучами равна нулю (линза не вносит дополнительной разности хода), их объектив собирает в центре дифракционной картины, где наблюдают яркий центральный дифракционный максимум. 7 Рис. 6. Схема наблюдения: плоскость экрана находится в фокальной плоскости объектива Пусть параллельный пучок лучей дифрагируют под углом  к главной оптической оси объектива. Эти лучи попадают на экран в точке пересечения побочной оптической оси и фокальной плоскости объектива. Расчет разности хода между лучами делают следующим методом. Из точки А опускают перпендикуляр на пучок лучей. Разность хода между лучами возникает на пути лучей от щели до перпендикуляра. Открытую часть фронта волны разбивают на полуволновые зоны (зоны Шустера). На фронте волны находят точки В, С, D, …, от которых разность хода с лучом, испущенном из точки А, равна    ; 2 ; 3 ; ..., 2 2 2 соответственно. Разбиение фронта волны на зоны выполняют для углов  при которых по ширине щели укладывается целое число зон. /2  = sin   b = . Ширину зоны Шустера находят из геометрии: b 2sin  a 2a sin   z= . Если b  z нечетное, то в точке на экране, в которую придут эти лучи, будут наблюдать дифракционный максимум. При четном z будут наблюдать дифракционный минимум. Наблюдаемая картина дифракции на щели имеет широкие светлые полосы (максимумы) и достаточно четкие узкие темные полосы (минимумы), поэтому формулу для дифракции Фраунгофера на щели обычно записывают для дифракционных минимумов: z = 2m, откуда Количество зон, укладывающихся по ширине щели, z = z = 2m  a sin  = m , (7) 8 где m = 1, 2, 3, … - номер дифракционного минимума. Дифракция света на дифракционной решетке Дифракционная решетка – оптическое устройство, представляющее в собой пластинку с нанесенными на нее узкими щелями (или штрихами), расположенными друг от друга на строго определенных расстояниях. Расстояния между центрами соседних щелей называют п о с т о я н н о й р е ш е т к и d (другое название – пространственный период). Различают решетки, работающие в режиме отражения и пропускания света. Для наблюдения дифракции в видимой области применяют решетки с d от 0,5 мкм до 0,05 мм. Дифракционная картина, полученная при помощи решетки в проходящем свете, создается двумя факторами: – дифракцией света на отдельной щели; – интерференцией света от всех освещенных щелей решетки. При достаточно узких щелях решетки (а ~ ) интенсивность главных максимумов слабо убывает с ростом порядка максимума. Расстояния между центральным максимумом и максимумом m-ого порядка определяются только дифракцией света на решетке. При освещении решетки монохроматическим светом от лазера на экране возникает дифракционная картина, являющаяся результатом интерференции света от всех освещенных щелей. Пусть пучок лучей дифрагирует под углом  к оптической оси объектива. Лучи попадают в определенную точку экрана, расположенного в фокальной плоскости объектива, так как линза собирает в фокальной плоскости все параллельные лучи. Разность хода между лучами возникает на участке между решеткой и линзой, сама линза дополнительной разности хода не вносит. Из схемы Рис. 7. Схема наблюдения дифракции света на дифракционной решетке: распределение интенсивности на экране показано в виде графика J() 9 опыта находят разность хода между лучами, идущих от соседних щелей:  = d sin  () Если на разности хода укладывается целое число длин волн ( = m ), то волны усиливают друг друга (соответствует условию интерференционного максимума). В точках экрана, где выполняются эти условия, наблюдают главные максимумы. Из формулы (8) и условия максимума получают формулу для распределения главных максимумов в зависимости от угла дифракции d sin  = m   () где m = 1, 2, 3, … – порядок дифракционного максимума. При небольшом количестве освещенных щелей решетки на дифракционной картине, в промежутках между главными максимумами, наблюдают минимумы и побочные максимумы. С увеличением числа освещенных щелей амплитуда побочных максимумов уменьшается, амплитуды главных максимумов возрастают, главные максимумы становятся более узкими и яркими. Дифракция немонохроматического света на дифракционной решетке Дифракционные решетки применяют в оптических приборах для спектрального разложения сложного по составу света. Важной характеристикой решеток является их разрешающая способность R = m N () где N – число освещенных щелей решетки. Смысл R состоит в следующем. Пусть при помощи дифракционной решетки необходимо разделить на экране максимумы, создаваемыми двумя близкими по длине волны световыми волнами  и . Это будет возможно, если выполняется условие:  (11) R ,   + где  = 1 2 ;  = 2 − 1 . 2 При освещении решетки белым светом происходит разделение света по длинам волн. Из формулы (9) следует, что sin   , следовательно, наиболее сильно решеткой отклоняются длинноволновые лучи красного света, менее всего отклоняются волны фиолетового света. Центральный максимум образуется в результате наложения волн всех цветов, поэтому он белый. Дифракционная 10 картина на экране представляет ряд спектральных полос, возникающих в результате слияния главных максимумов различных длин волн (рис. 8). Рис. 8 Картина дифракции белого света на дифракционной решетке Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке Кристаллы имеют упорядоченную структуру, атомные плоскости в них расположены на строго определенных (для данного типа) друг от друга расстояниях. Кристаллическая структура образуют пространственную дифракционную решетку для электромагнитных волн с длиной волны  сравнимой с расстоянием d между атомными плоскостями. Для волн оптического диапазона  d , поэтому дифракция невозможна. Рентгеновское излучение имеет диапазон волн, для которых выполняется условие для дифракции:   d . Впервые дифракцию рентгеновских лучей на кристаллах наблюдали в 1913 году в опытах немецкого ученого М. Лауэ. Формулу для расчета дифракционной картины для рентгеновских лучей на кристаллической решетке в 1913 году получили независимо друг от друга русский ученый Г. Вульф и английские ученые У. Брэгг и Л. Брэгг. Они рассматривали дифракцию рентгеновских волн как результат отражения их от атомных плоскостей кристалла. Пусть на кристалл под углом скольжения  к атомным плоскостям падает монохроматическая плоская рентгеновская волна  (рис ) Рис. 9 Разность хода между лучами 1 и 2, отраженными от двух соседних атомных 11 плоскостей,  = ED + DF . Из геометрии рисунка ED = DF = d  sin θ. Разность хода между лучами 1 и 2  = 2d  sinθ. Используя условие интерференционного максимума  = m , , получают формулу Вульфа – Брэггов для расчета дифракционных максимумов при дифракции рентгеновских лучей 2d  sin θ = m. (12) Дифракцию рентгеновских лучей применяют для проведения кристаллографических исследований. Картина дифракции (рентгенограмма) зависит от типа кристаллической решетки, по рентгенограммам определяют тип кристаллической решетки, расстояния между атомными плоскостями, наличие дефектов кристалла. Примеры рентгенограмм кристаллов даны на рис. 10. Рис. 10. Рентгенограммы кристаллов разной структуры Дифракционный предел разрешения объектива Объектив – собирающая линза, вставленная в круглую оправу (отверстие), при помощи объектива проводят наблюдение удаленных или близлежащих предметов. При прохождении света через отверстие неизбежно возникает дифракция света и не важно, вставлено в него линза или нет. Дифракция ограничивает разрешение объектива. При наблюдении удаленных предметов возникает дифракция в параллельных лучах (дифракция Фраунгофера), в центре дифракционной картины находится центральный максимум, размеры которого и ограничивают разрешение объектива (рис. 11). Рис. 11 12 Минимальный угловой размер, под которым виден центральный максимум,  min = 1,22  , A (13) где А – диаметр отверстия (апертура объектива), в которое вставлен объектив. Минимальное расстояние между точками 1 и 2, разрешаемое объективом, r , где r – расстояние от предмета до объектива. Величину, A A , откуда обратную min , называют разрешающей силой объектива R = 1,22 dmin = r  min = 1,22  d min = r . R (14) Пример: с МКС (высота над поверхностью земли примерно 400 км) космонавт фотографирует поверхность земли при помощи фотоаппарата с объективом А = 10 см. Съемка проводится на длине волны  = 550 нм (область наибольшей прозрачности атмосферы). Какое наименьшее расстояние между двумя точками на поверхности земли можно разрешить по полученному фотоснимку? Результаты расчетов: R  1,49 105 ; dmin  2,7 м. На полученной фотографии можно рассмотреть автомобили на дороге, но прочитать газету невозможно. На рисунке 12 показаны фотоснимки двух светящихся точек, сделанные при помощи объективов с разными разрешающими силами. Рис. 12: на левом снимке разрешение недостаточное; на правом – удовлетворительное Вопросы для самоконтроля 1. Определение дифракции света. Виды дифракции. 2. Принцип Гюйгенса – Френеля. Дополнения Френеля к этому принципу. 13 3. По какому принципу разбивают открытую часть фронта волны на зоны Френеля? Усиливают или ослабляют световые колебания в центре дифракционной картины волны, пришедшие из соседних зон Френеля? 4. Что наблюдают (светлое или темное пятно) в центре дифракционной картины, если в отверстии укладывается четное или нечетное число зон? Как зависит интенсивность дифракционного максимума или глубина дифракционного минимума при увеличении числа открытых зон? 5. При помощи каких формул рассчитывают радиусы зон Френеля для плоского и сферического волнового фронта. Как зависит размер зоны Френеля от длины волны света? 6. Что представляет собой зонная пластинка, почему ее называют линзой Френеля? 7. Что такое пятно Пуассона? Как зависит яркость пятна от размеров экрана? 8. По какой схеме наблюдают дифракцию Фраунгофера на щели? На каком расстоянии должен находиться экран от объектива? В какую точку экрана объектив собирает параллельные лучи? 9. По какой формуле рассчитывают углы, под которыми наблюдают дифракционные минимумы? Как зависит угол дифракции от ширины щели и от длины волны света? 10. Сколько дифракционных максимумов наблюдают на экране при d   ? 11. Что представляет собой дифракционная решетка? Какие бывают виды решеток? Для каких целей применяют дифракционные решетки? 12. По какой схеме наблюдают дифракцию Фраунгофера на дифракционной решетке? На каком расстоянии должен находиться экран от объектива? 13. По какой формуле рассчитывают углы, под которыми наблюдают дифракционные максимумы? Как зависит угол дифракции от постоянной решетки и от длины волны света? 14. Какой вид имеет картина дифракции света на дифракционной решетке в монохроматическом свете? Как зависит интенсивность и ширина дифракционных максимумов от количества освещенных щелей? 15. Какой вид имеет картина дифракции света на дифракционной решетке в белом свете? Какой цвет имеет центральный дифракционный максимум? 14 16. Как рассчитывают разрешающую способность решетки R? Как зависит R от количества освещенных щелей и от порядка максимума? 17. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке. Формула Вульфа – Брэгга. Как зависит угол дифракции от расстояния между атомными плоскостями кристалла? 18. Как влияет дифракция света на разрешение объектива? Как рассчитывают разрешающую силу объектива? Какое наименьшее расстояние между двумя точками на поверхности Земли можно определить с борта международной космической станции (высота над землей 400 км) при помощи фотоаппарата с объективом апертурой А = 5 см на длине волны 450 нм? 15