Дифракция

Лекция 7. ДИФРАКЦИЯ § 7.1. Принцип Гюйгенса-Френеля В рамках геометрической оптики справедливо понятие геометрической тени: «крайние» лучи, то есть лучи, проходящие от источника через края препятствия, ограничивают область за препятствием, куда свет вообще не может попасть. Это означает, что наличие препятствия по законам геометрической оптики не изменяет направление распространения света, как бы близко от края препятствия оно не проходило (рис. 7.1, левый). Дифракцией в оптике называется обусловленное волновой природой света изменение направления распространения света при прохождении его вблизи препятствия (рис. 7.1, правый). геометрическая волновая оптика оптика Рис. 7.1 Явление дифракции принято анализировать, исходя из принципа Гюйгенса-Френеля. Основным понятием этого принципа является понятие вторичного источника, предложенное Гюйгенсом. Окончательно принцип сформулирован Френелем в 1815 году. Формулировка принципа содержит ряд положений. 1. При расчёте амплитуды и фазы световых колебаний, возбуждаемых исМ точником S0 в произвольной точке М, ис- S S0 точник можно заменить эквивалентной ему системой вторичных источников − малых участков dS любой замкнутой Рис. 7.2 вспомогательной поверхности S, проведённой так, чтобы она охватывала источник и не охватывала точку наблюдения. Амплитуды вторичных источников совпадают с амплитудами колебаний, приносимых от первичного источника в точки dS, а фазы совпадают с точностью до постоянного слагаемого. 2. Вторичные источники когерентны друг другу, поскольку все они когерентны S0. Следовательно, возбуждаемые ими волны интерферируют друг с другом, и наблюдаемое в точке М излучение от источника S0 может быть описано как результат этой интерференции. Если часть поверхности S закрыть непрозрачными экранами, то вторичные источники закрытых участков «выключаются», а остальные излучают так же, как в отсутствие экранов. Изменение направления распространения света может быть объяснено изменением состава участников суперпозиции. 3. Амплитуда dA колебаний, приносимых от вторичного источника в точку М, выражается формулой:  М S0 A0  dS dA = f ( α )  , r Рис. 7.3 где dS − элементарная площадь поверхности вторичных источников; А0 − амплитуда первичной волны в  точке dS; r − радиус-вектор точки наблюдения относительно вто ричного источника;  − угол между векторами dS и r (рис. 7.3). Функция f() монотонно убывает от 1 при =0 до 0 при =. 1 + cosα Кирхгоф впоследствии вывел формулу f ( α ) = . Благодаря 2λ функции f() исключается влияние вторичных источников в области пространства внутри поверхности S, поскольку при >/2 f()=0. § 7.2. Метод зон Френеля Расчёт интерференции вторичных источников наиболее прост, если S − волновая поверхность для первичного источника S0. В этом случае фазы колебаний всех вторичных источников одинаковы. Зоной Френеля по отношению к точке М называется часть волновой поверхности, максимальная разность оптического хода между точками которой до точки М равна половине длины волны в вакууме. На рисунке 7.4 показаны 1-я (беL0+2вак/2 лая) и окружающая её 2-я (тёмная) зоны L0+вак/2 Френеля по отношению к точке M плосМ кой волновой поверхности. O, ближайL0 шая к M точка волновой поверхности, О Рис. 7.4 по отношению к точке M называется полюсом. По мере удаления от полюса растёт оптический ход до точки наблюдения и номер зоны Френеля. На рисунке 7.5 показан комплексIm Z ный вектор dA в точке М, связанный с Re Z влиянием элементарного участка dS волновой поверхности как вторичного точечного источника, в данный момент вреРис. 7.5 мени. A  dS dA = f ( α )  0  exp i ( ωt − kr ) r Влияние всех элементарных участIm Z ков зоны  Френеля − это векторная сумма Re Z всех dA , условно представленных на диаграмме. Из рисунка 7.6 видно, что все Рис. 7.6 вклады в суммарную амплитуду имеют составляющую с общим направлением (вниз). То есть ни один из вторичных источников зоны Френеля не «работает» против этого общего для всех направления. Следовательно, вторичные источники одной зоны Френеля усиливают влияние друг друга в общей суперпозиции. Очевидно, что общие амплитуды двух соседних зон будут направлены в противоположную сторону. Если зонам присвоить порядковые номера соответственно их расположению на волновой поверхности, то влияние всех нечётных зон будет взаимно усиливать друг друга и ослаблять влияние Рис. 7.7 всех чётных. И наоборот. Обратите внимание, что фаза, приносимая в точку наблюдения от вторичного источника, расположенного в полюсе, опережает на /2 фазу суммарного вклада первой зоны Френеля (рис.7.7). А именно этот вклад определяет фазу всей суперпозиции вторичных источников. Но полюс − единственный вторичный источник, пространственный набег фазы которого совпадает с изменением фазы первичной волны при переходе волновой поверхности из положения с точкой О в положение с точкой М. О М Рис. 7.8 Следовательно, если не внести дополнение в формулировку принципа ГФ, то фаза, создаваемая в точке наблюдения суперпозицией вторичных источников будет отставать от реальной на /2. Итак, последнее положение принципа ГФ в дополнение к изложенным в параграфе 7.1: 4. Фаза вторичных источников на /2 опережает фазу первичной волны на поверхности S. Рассмотрим (рис. 7.9) сферическую волновую поверхность первичной волны, идущей от источника S0, и точку наблюдения М. Bn a S0 a−xn Rn xn O M b Рис. 7.9 Радиусом n-й зоны Френеля на сферической волновой поверхности по отношению к точке наблюдения М называется расстояние от внешней границы зоны Вi до луча S0M. Rn2 = a 2 − (a − xn )2 = (2a − xn )xn . С другой стороны, 2 nλ  nλ 2    nλ  2 Rn =  b +  − ( b + xn ) =  2b + + xn  − xn  . 2  2    2  При небольших номерах зон: xn  a, b; nλ  b , следовательно,    nλ   2 ax = 2 b  n  nλ   − xn   2axn + 2bxn = nbλ  2 Rn = 2b   − xn    2  2   bλ bλ .  xn = n  = n  x1 , где x1 = 2( a + b) 2(a + b) Тогда, подставляя полученное xn в первое из выражений квадрата радиуса зоны Френеля, получаем для малых n: Rn2 = 2axn abλ a+b Как известно из стереометрии, площадь сферического сегмента, «отрезаемого» от волновой поверхности внешней границей nй зоны Френеля, выражается формулой Sn = 2πa  xn . Подставляя выражение высоты сферического сегмента, полученного для начальных номеров, получаем Sn = 2πa  nx1 = n  2πax1 = n  S1 . Значит, площадь, состоящая из n первых зон Френеля равна n площадей первой зоны. Следовательно, на сферической волновой поверхности площади всех зон Френеля малых номеров равны площади первой зоны. Поэтому соотношение амплитуд, связанных с разными зонами, определяется только множителем Фраунгофера f(), который с увеличением номера зоны уменьшается, т.е. A1  A2  A3  A4 .... Поскольку, все чётные зоны «работают» против всех нечётных, то A(M ) = A1 − A2 + A3 − A4 ...  A1 . Значит, если закрыть непрозрачным экраном всю волновую поверхность S кроме полюса О, то амплитуда волны в точке М этого «не заметит». То есть для прохождения волны из точки S0 в точку М на любой волновой поверхности между ними важны только полюсы. Это означает, что свет в однородной среде распространяется по прямой. Легко сообразить, что множители Френеля соседних зон слабо отличаются друг от друга. Тогда слабо отличаются и амплитуды, создаваемые в точке наблюдения соседними зонами. То есть, An  An+1 . Но тогда получается, что Rn = n A1 − A2 + ... + (− 1)n−1  An  A2 − A3 + ... + (− 1)n  An+1 . Обозначим левую сумму как A1n , а правую − как A2(n+1) : A1n  A2(n+1)  2 A1n  A1n + A2(n+1) . Но очевидно, что A1n + A2(n+1) = A1 + (− 1)n  An+1 . Значит, 2 A1n  A1 + (− 1)n  An+1  A1 n  ( ( ) 1 A1 + (− 1)n  An +1  2 ) 1 lim A1 + (− 1)n  An +1 . n → 2 n → Предел левой части равенства равен амплитуде в точке наблюдения: lim ( A1 n ) = A(M ) .  lim ( A1 n )  n → В правой части ( ) lim A1 + (− 1)n  An +1 = A1 , n → поскольку вклад в амплитуду в точке наблюдения от зон высокого порядка стремится к 0 с увеличением номера зоны. В результате, A1 2 Амплитуда возмущения в точке наблюдения приблизительно равна половине амплитуды, создаваемой первой зоной Френеля. A(M )  § 7.3. Дифракция Френеля на круглом отверстии Дифракцией Френеля называется перераспределение по сравнению с предсказанием геометрической оптики амплитуды световой волны в точках, расположенных недалеко от волновой поверхности, целостность которой нарушена наличием препятствий. Рассмотрим (рис. 7.10) экран с круглым отверстием (диафрагмой), на оси которого находится точечный источник, и точку наблюдения, лежащую на оси диафрагмы с другой стороны экрана. Для точек наблюдения, не лежащих на оси, расчёт амплитуды сложен, и мы ограничимся только качественными выводами. Для осевых точек очень хорошо подходит метод зон Френеля, и поэтому для них можно сделать определённый количественный анализ. М О d S0 а b Рис. 7.10 Здесь d − диаметр диафрагмы; а − расстояние от источника до полюса волновой поверхности, вписанной в диафрагму, приблизительно равно расстоянию от источника до экрана; b − расстояние от полюса до точки наблюдения, лежащей на оси диафрагмы, приблизительно равно расстоянию от экрана диафрагмы до экрана изображения. Сколько зон Френеля умещается в диафрагме по отношению к точке М? Обозначим искомую величину как n * (b ) . Радиус зоны под этим номером должен совпадать с радиусом диафрагмы, следовательно, ab d d2 a +b d2  1 1  n * λ=  n * (b ) =  =  + . a+b 2 4λ ab 4λ  a b  Отсюда видно, что с удалением точки наблюдения от экрана (с увеличением b) количество зон Френеля, умещающееся в диафрагме, уменьшается. Минимальное количество открытых зон  d2  1 1  d2  . nmin = lim   +   = b→ 4λ  a b   4aλ  При превышении b1, на котором количество целых зон, умещаю щихся в диафрагме, n* = n1 = nmin + 1 (квадратные скобки означают целую часть числа) уже не меняется, в центре удаляющегося экрана изображения наблюдается монотонный, пропорционально 1/b2, спад  интенсивности. Для простоты изложения будем считать, что nmin − четное. Тогда n * (b1 ) − минимальное нечётное число целых зон Френеля, умещающихся в диафрагме. Это значит, что при приближении экрана изображения из бесконечности к диафрагме на расстоянии b1 в центре будет наблюдаться максимум зависимости интенсивности от расстояния b. Дело в том, что при b  b1 начинает открываться чётная зона, «работающая» против предыдущей зоны. Значит, при переходе через точку b1 интенсивность, ранее монотонно возраставшая, начнёт убывать. При дальнейшем приближении на расстоянии b2 откроется чётное число целых зон Френеля, следовательно, на этом расстоянии в центре экрана будет наблюдаться минимум интенсивности, поскольку «противодействие» зоны с номером n1 + 1 зоне с номером n1 реализуется полностью. Итак, зависимость интенсивности в центре экрана изображения носит немонотонный характер (рис. 7.11). I b4 b3 b2 b1 b Рис. 7.11 На расстояниях, при которых число полностью открытых зон Френеля нечётно, имеют место максимумы. Наоборот, при чётном количестве полностью открытых зон имеют место минимумы. По закону сохранения энергии суммарная интенсивность на экране изображения равна интенсивности, проходящей через диафрагму, и, следовательно, не должна изменяться с изменением расстояния b. Значит, если на оси возникает минимум интенсивности, то она должна перераспределяться, т.е. увеличиваться в точках, не лежащих на оси. Опыт показывает, что на расстояниях, соответствующих минимумам интенсивности в центре вокруг оси формируется гало, которое при дальнейшем уменьшении расстояния уже не исчезает. Таким образом, на расстоянии b2 возникает одно гало, на расстоянии b4 к нему добавляется ещё одно и т.д. При открытии большого числа зон Френеля все кольца-гало сольются в одно общее круглое пятно с диаметром, равным диаметру отверстия и чёткими краями. Это означает исчезновение дифракционной картины на экране изображения и переход от волновой к геометрической оптике. Рассмотрим плоскую волну, падающую на диафрагму ( a =  ) , и выделим области расстояний b от двумерного препятствия до точки наблюдения, в которых дифракционная ситуация качественно отличается. Во-первых, для плоской волны количество целых зон, умещаd2 1 ющихся в диафрагме, n * ( b ) = , поскольку = 0 . Как было ска4bλ a зано выше, в области малых расстояний b применима геометрическая оптика. Критерием применимости является очень большое число открытых зон Френеля: d2  1 . n * (b )  1  bλ Когда открыта одна или несколько зон, то мы имеем ярко выраженную дифракцию Френеля: d2 1. n * (b)  1  bλ В области, для которой число открытых зон значительно меньше 1, реализуется дифракция Фраунгофера: d2  1 . n * (b )  1  bλ Как видим, все перечисленные оптические режимы характеризуются одним и тем же безразмерным параметром. Последнее соотношение означает, что дифракция Фраунгофера реализуется тогда, когда разность фаз, приносимая от двух любых вторичных источников отверстия на экран наблюдения значительно меньше . § 7.4. Дифракция Фраунгофера плоских волн По названию параграфа видно, что мы будем рассматривать падающее на препятствие излучение в виде плоских волн. Из последней формулы предыдущего параграфа следует, что результат интерференции вторичных волн в случае дифракции Фраунгофера рассматривается на очень большом расстоянии от двумерного препятствия. Тогда можно считать, что все лучи от вторичных источников открытого отверстия идут в точку наблюдения параллельно друг другу. Поэтому в отличие от дифракции Френеля, когда рассматривается дифракция сферических волн и интерференция вторичных волн в той или иной точке, в случае дифракции Фраунгофера рассматривается интерференция вторичных волн в определённое направление, характеризуемое углом дифракции  при условии, что на препятствие падает плоская волна. То есть, дифрагированное излучение можно, как и падающее на препятствие, представить в виде плоских волн. Следовательно, здесь актуально рассмотрение соотношения фаз, приносимых от разных вторичных источников не в одну точку пространства, а на общую волновую поверхность. В зависимости от соотношения фаз, приносимых на конкретные волновые поверхности, возникает распределение суммарной амплитуды вторичных волн по направлениям дифрагированных плоских волн dE0 / dβ. Если дифракцию Френеля легче всего рассматривать на круглых препятствиях или отверстиях, то дифракцию Фраунгофера плоских волн− на щелях с параллельными краями. 7.4.1. Дифракция Фраунгофера плоских волн на щели Технически переход от дифракции Френеля к дифракции Фраунгофера при падающей плоской волне осуществляется с помощью установки собирающей линзы между экраном препятствий и экраном наблюдения так, что последний совпадает с фокальной плоскостью линзы. Линза, для того чтобы весь свет, прошедший через щель, попал на неё, устанавливается как можно ближе к препятствию. Световое поле дифрагированного излучения на большом расстоянии от препятствия в отсутствие линзы представляет собой совокупность плоских волн, следующих в разных направлениях. Но оно однозначно определяется световым полем вблизи препятствия, которое описывается дифракцией Френеля и является суперпозицией не плоских, а сферических волн. Плоские волны Фраунгофера как бы скрыты в сферических волнах Френеля. Собирающая линза скрытую волну Фраунгофера выделяет и собирает всю её интенсивность в определённой точке своей фокальной плоскости. На рисунке 7.12 изображён экран с щелью АС шириной d, на который нормально падает плоская волна; плоская волна, дифрагированная в интервал углов дифракции d около угла ; собирающая линза (конденсор) с фокусным расстоянием F; экран наблюдения, расположенный в фокальной плоскости конденсора. Линза и экран наблюдения образуют систему измерения интенсивности дифрагированной волны I(). Где бы мы ни взяли волновую поверхность последней, результат будет одинаковым. Например, будем рассматривать волновую поверхность AC, проходящую через центр щели. Необходимо отметить, что система измерения не вносит дополнительного сдвига фаз, то есть, соотношение фаз на поверхности AC полностью совпадает с соотношением фаз в точке В. падающая плоская волна d система регистрации интенсивности дифрагированной x волны дифрагированная плоская волна d/2 A A dx 0  C -d/2 C  F В I() Рис. 7.12 Вектор-представитель элементарного гармонического возмущения, приносимого на поверхность AC от вторичного источника щели шириной dx, расположенного в координате x, в момент времени t в комплексной форме имеет вид: E d 2 E ( x, , t ) = 0 dx  ei (t −kxsin )  d  , d где Е0 − полная амплитуда электромагнитной волны, проходящей че2 рез щель, d E0 = E0 dxdβ , φ ( x, t ) = ( ωt − kx  sinβ ) − соответственно d амплитуда и фаза, попадающие на волновую поверхность дифрагированной волны от вторичного источника в момент времени t. Суперпозиция возмущений, приходящих от всех вторичных источников на волновую поверхность AC рождает вектор-представитель возмущения на этой поверхности: E0 d /2 i (t −kxsin ) dE (, t ) = d   e dx . d − d/2 В направлении нулевого угла дифракции все элементарные векторы-представители сонаправлены друг другу на комплексной плоскости, поскольку их фаза (− k  x  sin 0) = 0 . Поэтому при β = 0 реализуется дифракционный максимум. Для качественного анализа зависимости амплитуды дифрагированного излучения от угла дифракции изобразим сложение элементарных комплексных векторов в случае ненулевого угла дифракции методом треугольника (рисунок 7.13). Все слагаемые векторы образуют дугу окружности радиуса R. Действительно, набег фазы, связанный с одним элементарным вторичным источником R Рис. 7.13 dφ = −k sinβ  dx . С другой стороны, на рисунке мы видим, что E0 E = const . R d = d 2 E  R  k sinβ  dx = 0 dx  R = d  k sinβ d Полный набег фазы на ширине всей щели  (  ) =  d = d /2  ( −k sin  ) dx = −k sin   d . − d /2 Принципиальными являются значения углов, при которых возникает нулевая амплитуда дифрагированного излучения. Из рисунка 7.13 видно, что необходимое и достаточное условие этого имеет вид: φ = −2nπ  −k sinβ  d = −2nπ ; n − натуральное. В самом деле, в этом случае начало комплексного вектора от элементарного вторичного источника в координате x=-d/2 совпадает с концом вектора-представителя от вторичного источника в координате x=d/2, поскольку комплексные векторы от всех элементарных вторичных источников щели образуют полную окружность. Тогда амплитуда волны, дифрагированной в направлении угла , векторпредставитель которой соединяет начало первого вектора и конец последнего, равна 0. Перепишем условие направления нулевой амплитуды: 2π k sinβ  d = 2nπ  sin β  d = 2nπ . λ Отсюда получаем набор направлений, в которых амплитуда, а значит, и интенсивность дифрагированных волн равны 0. λ sinβ n = n  ; n = 1,2,3,... d Эти направления называются направлениями дифракционных минимумов Наличие дифракционного максимума при нулевом угле дифракции и набор направлений дифракции с нулевой амплитудой позволяет качественно построить ход зависимости условной амплитуды дифрагированной волны от угла дифракции E (β ) . Во-первых, отметим важное обстоятельство: набег фазы на щели, равный 2π , соответствует изменению фазы дифрагированной волны на π по сравнению с волной, для которой набег фазы на щели равен 0. Действительно, вектор-представитель нулевого дифракционного максимума имеет нулевую фазу, то есть, на рисунке 7.13 должен быть направлен направо. А в случае β1 комплексный вектор волны, дифрагированной в это направление, хоть и имеет нулевую   амплитуду, но условно направлен от начала dE (0) к концу dE (b ) , то есть, на рисунке 7.13 налево. Изменение фазы возмущения на π означает изменение его знака. Это значит, что при переходе через направление дифракции β n зависимость E (β ) меняет знак. Во-вторых, знакопременная функция E (β ) является непрерывной и гладкой. Это значит, что между двумя её соседними нулями должен находиться экстремум. E0 В-третьих, радиус окружности R = , дугу которой соd  k sinβ ставляют комплексные векторы возмущений от вторичных источников щели, уменьшается с увеличением угла дифракции . Поэтому одинаковые полные набеги фазы на ширине всей щели φ (β ) = −k sinβ  d будут соответствовать разным амплитудам дифрагированных волн: чем больше угол дифракции, тем амплитуда меньше. Учёт всех перечисленных обстоятельств приводит к следующей качественной зависимости E (β ) (левый график рисунка 7.14). На графике представлены только малые углы дифракции, для которых справедливо равенство sinβ = β [рад]. Е I   Рис. 7.14 Зависимость интенсивности дифрагированных волн от угла дифракции I (β ) E 2 ( β ) представлена на правом графике рисунка 7.14. Но нам по силам все качественные рассуждения, приведённые выше, заменить точным аналитическим выводом. В самом деле, действительное волновое возмущение, переносимое в направлении угла дифракции :  E0 d /2 i ( t −kxsin )  E0 d /2 dE ( , t ) = Re  d   e dx  = d   cos ( t − kx sin  ) dx .   d d − d /2 − d /2   Интеграл легко берётся методом замены переменных. Введём переменную:  = t − kx sin  ; d  = −k sin   dx  dx = − x = −d / 2,  = t + kd sin ; 2 d ; k sin  x = d / 2,  = t − kd sin  2 . Тогда угловая плотность возмущения, идущая в направлении угла , kd sin  2 kd sin  2 dE (, t ) E0  d  E0 = cos  − = cos ( ) d  = ( ) d d t + kd sin   k sin  kd sin  t − kd sin  t − 2 t + 2 E0   kd kd      sin  t + sin  − sin  t − sin   .    kd sin    2 2 По формуле разности синусов = kd kd      kd  sin  t + sin  − sin  t − sin  = 2sin  sin   cos (t ) .      2  2 2 Значит, E (, t ) E0  kd  =  2sin  sin   cos (t ) .  2  d kd sin  Таким образом, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, возмущение на поверхности AC представляет собой гармоническое колебание. Его амплитуда и есть угловая плотность амплитуды плоской волны, дифрагированной в направлении угла дифракции :  kd   d  sin  sin  sin  sin   2     dE0 . = E0 = E0 kd d d sin  sin  2  На первый взгляд кажется странным, что плотность амплитуды местами становится отрицательной. Всё дело в оптическом ходе, основном понятии интерференции. В пределах нулевого дифракционного максимума (в интервале углов дифракции − / d     / d разность оптического хода от разных возможных вторичных источников не превышает λ / 2 . Это значит, что все гармонические возмущения от вторичных источников, приносимые на волновую поверхность дифрагированной волны, имеют один знак. В интервалах пер−2 / d    − / d вых дифракционных максимумов и  / d    2 / d знаки возмущений тоже одинаковы, но противоположны интервалу нулевого максимума, потому что их оптические ходы сдвинуты больше, чем на λ / 2 . Интенсивность этой плоской волны прямо пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно, угловая плотность интенсивности  kd  sin 2  sin   2   d  sin 2  sin     dI , = I0 = I0 2 2 d  kd   d  sin   sin    2  где I0 − полная интенсивность, проходящая через щель. 7.4.2. Дифракция Фраунгофера плоских волн на одномерной решётке Одномерной решёткой называется двумерное препятствие с одномерной периодичностью расположения щелей. Необходимо отметить, что плоскую дифрагированную волну формирует вся площадь решётки, а не только поверхность щелей. Поэтому лучи дифрагированной волны можно с одиx наковым успехом начинать как с открытых, так и с закрытых участков. a На рисунке 7.15 показан  начальный участок одномерной ди- d b фракционной решётки: а − ширина 2 щели, b − расстояние между щелями, d = a + b − период решётки. Обозначим N количество щелей решётки. 1 Комплексный вектор гармонических колебаний, приносимых от  всех вторичных источников j-ой щели на общую волновую поверхРис. 7.15 ность от всей решётки: dE j (, t ) = d E01 () ei (t −k jd sin ) , j = 1,2,..., N . Здесь E01 (β ) − плотность распределения амплитуды колебаний от одной щели по углам дифракции, одинаковая для всех щелей. Как показано в предыдущем пункте:  πa  sin  sinβ  λ , E01 ( β ) = E01   πa sinβ λ где E01 − полная амплитуда падающей волны, проходящая через одну щель. Вклады от всех щелей одинаковы по модулю, сдвиг по фазе между двумя соседними щелями, как видно из формулы и рисунка 7.16 2πd φ = kd sinβ =  sinβ λ одинаков для всей решётки. Значит, векторная диаграмма суммы вкладов от всех щелей представляет собой «сегмент» правильного многоугольника, включающий в себя N сторон.  R   R Рис. 7.16 Радиус описанной около многоугольника окружности dφ  E01 ( β ) R= . φ 2  sin 2 Плотность амплитуды, идущей в направление дифракции  E01 ( β ) R  N  φ   N  φ  E0 ( β ) = 2  sin  = 2   sin    φ dφ 2  2    2  sin 2 . Подставляя выражение  и E0 ( β ) , окончательно получаем: 1  πa   Nπd  sin  sinβ  sin  sinβ  λ   λ  E0 ( β ) = E01   . πa πd   sinβ sin  sinβ  λ  λ  Исследуем это выражение. 1. При =0 второй сомножитель выражения равен 1, а третий N. Тогда амплитуда, уходящая в нулевой угол (нулевой максимум) E0 (0) = N  E01 . 2. Условие главных дифракционных максимумов − это равенство 0 знаменателя третьего сомножителя: πd  πd  sin  sinβ  = 0  sinβ n = nπ  d sinβn = nλ . λ  λ  3. Условие главных дифракционных минимумов: амплитуда от одной щели равна 0 (равенство 0 второго множителя). В полном соответствии с тем, что было получено раньше: a  sinβm = mλ . 4. Кроме главных минимумов имеют место побочные, определяемые из условия: Nπd kλ  Nπd  sin  sinβ  = 0  sinβ k = k  d sin β k = λ N  λ  для k не кратных N (k – индекс, а не волновое число). График зависимости интенсивности от угла дифракции (рис. 7.17) представляет собой «частокол» главных дифракционных максимумов, возвышающихся над «подлеском» из побочных максимумов и минимумов, «отформованный» дифракционным откликом от одной щели. I 1 1 4 3 2 2 3 4 sin 0 ' '' Рис. 7.17 Для двух побочных минимумов, окружающих главный дифракционный максимум n-го порядка (углы ' и '') имеем соотношения: ( nN − 1) λ nN − 1 d sinβ = λ  sinβ = N Nd ( nN + 1) λ nN + 1 d sin   = λ  sinβ = . N Nd Следовательно, 2λ sin β − sin β = . Nd С другой стороны, β β + β β − β sinβ − sinβ = 2cos  sin  2cosβ n  n , 2 2 2 где β n − ширина главного дифракционного максимума n-го порядка. Тогда имеем равенство: 2λ 2λ cosβ n  β n =  β n = . Nd Nd cosβ n Для главных максимумов не слишком высоких порядков cosβn  1, следовательно, 2λ Nd A n Заметим, что ширина нулевого главного макC симума в два раза больше остальных. d Обратимся к условию главных дифракB ционных максимумов: d sinβn = nλ . Из АВС (рис. 7.18): d sin  n = AC − разность Рис. 7.18 оптического хода от ближайших сходственных точек решётки до общей волновой поверхности. Следовательно, доказано правило отбора направлений главных дифракционных максимумов: направление главного дифракционного максимума реализуется тогда, когда в разности оптического хода от ближайших сходственных точек до волновой поверхности плоской волны, идущей в этом направлении, укладывается целое число длин волн. Это правило позволяет легко определять направления главных дифракционных максимумов в случае не нормального падения волны на решётку (рис. 7.19). Разность ходов лучей 1 и 2 от волновой поверхности AD падающей волны до волновой поверхности AC дифрагированной волны L = DB − AB = d sin  0 − d sin  n = d (sin  0 − sin  n ) . β n = 0 A C D B n 1 2 Рис. 7.19 Тогда условие главных дифракционных максимумов будет иметь вид: d ( sinβ0 − sinβn ) = nλ . 7.4.3. Дифракция Фраунгофера на многомерной решётке Если двумерную решётку можно представить как суперпозицию двух одномерных решёток, и картину главных дифракционных максимумов можно получить также по принципу суперпозиции, то в случае трёхмерной решётки ситуация становится сложной для понимания. С другой стороны, именно трёхмерные решётки являются естественными, поскольку реализованы в природе в виде кристаллических решёток. В начале ХХ века русский и английский учёные Георгий Викторович Вульф и Уильям Брэгг предложили простое правило определения направлений главных дифракционных максимумов кристаллической решётки. Для того чтобы усвоить это правило необходимо ознакомиться с понятием семейства кристаллических плоскостей. Кристаллической плоскостью называется сечение кристаллической решётки, на котором узлы решётки образуют двумерную периодическую совокупность. Кристаллические плоскости образуют семейство, внутри которого они переходят друг в друга в результате одинакового для семейства пространственного сдвига. Рис. 7.20 На рисунке 7.20 показаны кристаллические плоскости четырёх разных семейств. Для каждой кристаллической структуры характерна своя конечная совокупность семейств кристаллических плоскостей. В соответствие Вульфу и Брэггу дифракция плоских волн рассматривается как отражение на семействах кристаллических плоскостей. То есть, при дифракции в данное направление должно существовать семейство кристаллических плоскостей, для которого падающая и дифрагированная волны удовлетворяют закону отражения. Если такого семейства нет, то дифракции в это направление не будет. Далее, не все волны, направление которых «подходит» данному семейству, эффективно отражаются от него. Те длины волн, для которых в данном направлении реализуется главный дифракционный максимум, удовлетворяют условию Вульфа-Брэгга: в разности оптического хода для лучей, отражённых от ближайших плоскостей семейства, укладывается целое число длин волн. На рисунке 7.21 изображены две соседние кри O  сталлические плоскости одного семейства, расположенd ных на характерном для сеA B C мейства межплоскостном Рис. 7.21 расстоянии d. Направление падения и отражения заданы углом скольжения . Разность оптического хода равна ходу нижнего луча от волновой поверхности ОА до волновой поверхности ОВ, то есть, сумме отрезков АС и СВ: L = AC + CB = 2d sin θ  2d sin θ = kλ . При λ  2d дифракция невозможна, и электромагнитная волна распространяется по кристаллу прямолинейно, т.е. кристалл для волны является однородной оптической средой. Поэтому видимый свет не дифрагирует на кристаллах: он либо преломляется в них, либо отражается от их поверхности. На кристаллах дифрагирует рентгеновское излучение, чья длина волны, как и характерное межплоскостное расстояние, составляет величину прядка одного ангстрема (1 Å=10-10 м). Дифракция рентгеновских лучей была первым методом определения структуры кристаллов. 7.4.4. Одномерная дифракционная решётка как спектральный прибор Пусть падающая на дифракционную решётку плоская волна не является монохроматической, то есть представляет собой суперпозицию двух монохроматических волн с длинами I и II. Условия n-го порядка для этих волн d sinβnI = nλI ; d sinβnII = nλ II Вычтем почленно первое равенство из второго: ( ) d sinβnII − sinβnI = n ( λ II − λ I ) . Обозначим λII − λI = λ и преобразуем разность синусов в левой части:  β n − β nI   β nII + β nI  d sinβ nII − sinβ nI = 2sin  II  cos   . 2 2     Обозначим βnII − βnI = β и подставим всё в разностное уравнение. В результате:  β nII + β nI  β d  2sin  cos   = n  λ . 2 2   Для малой разности углов последнее соотношение примет вид: d  β  cosβn = n  λ . Для невысоких порядков главных максимумов βn  1  cosβn  1. Тогда получаем выражение угла между направлениями главного максимума для двух близких длин волн: n β =  λ . d Дадим определение: две длины волны считаются разрешёнными дифракционной решёткой в данном главном дифракционном максимуме,  если разница в направлениях максимума для этих длин волн больше или Рис. 7.22 равна его полуширине (рис. 7.22). β β  n , 2 2λ где β n = − ширина главного максимума, как было показано Nd раньше. На рисунке 7.22 показана ситуация предельного разрешения. Подставляя выражения β n и β в условие разрешения, получаем: n λ λ  λ    n N d Nd λ ( ) Таким образом, минимальная разрешаемая разность длин волн λ min удовлетворяет соотношению: λ = n N λ min Разрешающей силой спектрального прибора R на уровне данной длины волны называется отношение этой длины волны к минимальной разрешаемой разности длин волн, значение которых близко к данной. То есть, λ Rλ = . λ min Следовательно, разрешающая способность дифракционной решётки Rλ = n  N § 7.5. Альтернативное принципу Гюйгенса-Френеля описание дифракции: параметр дифракции Дифракция плоских волн на щели (§7.4) ярко демонстрирует сущность явления дифракции: пучок лучей, вписывающийся в отверстие на экране препятствия, после прохождения через него должен разойтись на угол, называемый углом дифракции: λ , d где  − длина волны падающего света, d − характерный размер отверстия. Действительно, условие дифракционных минимумов при дифракции Фраунгофера плоских волн на щели d  sinβ = mλ , где d − ширина щели, при небольших углах дифракции, выраженных в радианах, выглядит так: D  d  β = mλ Это означает, что распределение интенсивности дифрагированного излучения по направлениям дифракции имеет следующий вид (рис. 7.23). I() m=1 d m=1 Рис. 7.23 То есть, угловой размер половины нулевого дифракционного максимума, включающего в себя подавляющую часть интенсивности, прошедшей через щель, равен λ/d . Понятно, что этот угловой размер вполне можно считать углом расхождения  D пучка лучей, прошедших через щель. Смысл соотношения D  λ/d в том, что любое пространственное ограничение волны вызывает её расхождение. В качестве d в общем случае выступает характерный поперечный размер. Если имеем непрозрачное препятствие, то это его габарит. Если луч проходит вблизи края полубесконечного препятствия, то расстояние от луча до края. Но нагляднее всего рассуждать на примере отверстия. Вследствие дифракционного уширения пучка параллельных лучей, на экране наблюдения будет наблюдаться увеличение светового отклика отверстия (рис. 7.24): hD = L   D . L D hD Рис. 7.24 Здесь L − расстояние от препятствия до экрана наблюдения. Расстояние, на котором дифракционное уширение светового отклика становится сравнимым с размером препятствия, называется длиной дифракции LD. LD  D  d . Подставляя выражение угла дифракции, получаем связь между длиной дифракции и размером препятствия через длину волны: λ d2 LD   d  LD  . d λ Теперь займёмся сравнением расстояния L и длины дифракции LD. d2 d2 LD  L  L   1. λ Lλ Левая часть последнего сравнения называется параметром дифракции и совпадает с выражением n* из §7.3 количества зон Френеля, умещающихся в отверстии, освещаемом плоской волной. В полном соответствии с выводами параграфа 7.3 мы можем сказать, что в случае падающих плоских волн дифракция Фраунгофера имеет место, если параметр дифракции значительно меньше 1: d2  1. Lλ А можно ли ввести параметр дифракции для случая, когда на препятствие падает сферическая волна? Этому ничего не мешает, потому что для падающих плоских волн имеем: d2 d d d . = = = Lλ L  ( λ / d ) L   D hD В случае падающих плоских волн d − это и размер отверстия, и размер геометрического светового отклика отверстия. То есть, параметр дифракции равен отношению размера геометрического светового отклика препятствия к дифракционному увеличению светового отклика. Такое определение параметра дифракции годится и для падающих сферических волн. Изобразим луч сферической волны, выходящей из точечного источника S, который проходит через отверстие с характерным размером d вблизи края отверстия (рис. 7.25). L2 L1 S d  hгеом D hD hD Рис. 7.25 Здесь L1 − это расстояние от источника до плоскости препятствия, L2 − расстояние от плоскости препятствия до экрана наблюдения светового отклика. Из чертежа видно, что размер геометрического светового отклика hгеом = ( L1 + L2 )   . Мы рассматриваем небольшие углы, выраженные в радианах, для которых справедливо  = tg  . Размер дифракционного отклика: hD = L2  (  + D ) + d . Тогда величина дифракционного уширения: hD = hD − hгеом = L2  (  +  D ) + d − ( L1 + L2 )   = = L2  + L2  D + d − L1 − L2  = L2 D − L1 + d . Очевидно, что угол дифракционного отклонения луча по-прежнему d λ , а угол  = . Следовательно: L1 d λ d λ λ hD = L2 − L1 + d = L2 − d + d = L2 d L1 d d Тогда параметр дифракции в случае падающей сферической волны: hгеом d λ ( L1 + L2 )  d  1 1  d 2 = ( L1 + L2 )  : L2 = =  +  . λ hD L1 d  L1 L2  λ L1  L2 d В случае падающей плоской волны L1 =  , и параметр ди1 d2  фракции может стать очень малым при L2 →  . В резульL2 λ тате, возникает дифракция Фраунгофера. В случае падающей D  расходящейся волны расстояние L1 конечно и параметр дифракции не будет стремиться к 0 при увеличении L2 расстояния между препятствием и экраном наблюдения:  1 1  d2 d2 =  0. lim  +   L2 → L L λ L λ  1 2  1 Значит, в этом случае дифракция Фраунгофера невозможна. Ситуация меняется, если препятствие осветить сходящейся волной (рис. 7.27). Геометрическая оптика учит, что точку схождения пучка лучей можно рассматривать как мнимый источник. L1 b S0 L2 Рис. 7.27 То есть, расстояние L1 в выражении параметра дифракции нужно брать со знаком минус. Тогда параметр дифракции примет вид: d2  1 1  − +  . λ  L1 L2  И в этом случае условие дифракции Фраунгофера будет выполнено при L1  L2 . Для экспериментальной реализации дифракции Фраунгофера сходящихся волн нужно плоскую волну или расходящуюся волну пропустить через собирающую линзу, так чтобы лучи сошлись на экране наблюдения и образовали изображение источника. Препятствие нужно помещать после собирающей линзы по ходу лучей. Дифракционный отклик наблюдается в плоскости изображения (рис. 7.28). L= L1= L2 d l Рис. 7.28 Чем ближе препятствие расположено к собирающей линзе, тем больше размер дифракционной картины на экране наблюдения, и яснее различаются её детали. Поэтому оптимально, когда база L равна расстоянию от линзы до изображения l. В случае дифракции Фраунгофера плоских волн на одномерной дифракционной решётке, направления главных дифракционных максимумов определяются соотношением d sinβn = nλ , где d − период решётки. При небольших углах дифракции x sin β n = tgβ n = n . Здесь хn − координата дифракционного рефлекса nF го порядка на экране наблюдения, отсчитанная от главной оптической оси линзы, стоящей далеко впереди по ходу лучей от препятствия. F − её фокусное расстояние. В результате, условия главных дифракционных максимумов приобретают вид: x d  n = nλ F В случае сходящихся волн формула та же, только вместо фокусного расстояния нужно брать L − расстояние между препятствием и экраном наблюдения: d xn = nλ L § 7.6. Альтернативное описание дифракции Фраунгофера плоских волн: соотношение неопределённостей Расходимость лучей падающей плоской волны после прохождения через щель или отверстие можно объяснять, не прибегая к принципу Гюйгенса-Френеля. Вспомним основное свойство пакетов плоских гармонических волн, являющееся следствием пространственного разложения Фурье (§5.3): неопределённость волнового вектора обратно пропорциональна пространственной ширине волнового пакета: y 2π . y = k y d x Пусть плоская монохроматическая волна нормально падает на непрозрачный экран с щелью шириной d. Направим ось x по направлеРис. 7.29 нию движения волны, а ось y перпендикулярно щели в плоскости экрана. До падения волны на экран неопределённость волнового вектора вдоль оси y k y = 0 , поскольку волновой  вектор падающей волны направлен по оси x, равен k x  i , а k y = 0 . Согласно соотношению неопределённостей размер волны в направлении оси y равен бесконечности, что соответствует размеру волновой поверхности При прохождении через препятствие волна редуцируется в волновой пакет с пространственной шириной d вдоль оси y. Поэтому у неё должна появиться конечная неопределённость волнового вектора вдоль этой оси: 2π 2π k y = = k ymax  k ymax = . d d Это означает (рис. 7.30), что волна разойдётся в разные стороны относительно оси x, так как максимально отклонённые от её направления составляющие волнового пакета будут иметь волновые векторы 2π k * = k x  i   j. d y d x Рис. 7.30 Очевидно, что это расхождение волны, прошедшей через отверстие является ничем иным, как дифракцией. Угол дифракции k ymax  2π   2π   D  = / = . kx  d     d Как видим, результат совпадает с угловым размером половины нулевого дифракционного максимума на щели, полученным с помощью принципа Гюйгенса-Френеля. В дифракционных исследованиях структуры кристаллических решёток и микрообъектов используется именно пространственное разложение Фурье, а не принцип Гюйгенса-Френеля. Контрольные вопросы к главе 7 1 Чем являются вторичные источники: реальными физическими объектами или математическими абстракциями, с помощью которых можно описать дифракционные явления? (§ 7.1) 2. Возможна ли ситуация, когда после установления на пути волны препятствия её интенсивность в точке наблюдения увеличивается? (§ 7.2) 3. Какова интенсивность света в центре дифракционной картины от круглого экрана, если он закрывает точно первую зону Френеля? Интенсивность света в отсутствие экрана I0. (§ 7.2) 4. Изменится ли фаза излучения в центре из предыдущей задачи, если круглый экран убрать?) (§ 7.2) 5. Интенсивность света в некоторой точке на оси за отверстием в непрозрачном экране, на который нормально падает параллельный пучок монохроматического света, на большом расстоянии от экрана равна 18,34 Дж/(м2с). Чему будет равна интенсивность в этой же точке, если радиус отверстия уменьшить на треть? (Ответ: 3,62 Дж/(м2с)) (§ 7.3) 6. Параллельный пучок монохроматического света длиной волны 600 нм нормально падает на непрозрачный экран с круглым отверстием диаметром 1,2 мм. На расстоянии 18 см за экраном на оси отверстия наблюдается тёмное пятно. На какое минимальное расстояние нужно сместиться от этой точки вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракционной картины вновь наблюдалось тёмное пятно? (Ответ: 27 см) (§ 7.3) 7. Угол падения параллельного пучка лучей с длиной волны 650 нм на щель равен 0,01 рад. Ширина щели равна 0,1 мм. Чему равен угол дифракции, соответствующий первому дифракционному минимуму? (Ответ: 0,0165 рад). (§ 7.4) 8. Какой рисунок, изображающий дифракцию плоской волны на перпендикулярной ей одномерной дифракционной решётке, является верным? (§ 7.4) 9. Можно ли считать плоскую волну, прошедшую через дифракционную решётку без изменения направления (нулевой дифракционный максимум), дифрагированной? (§ 7.4) 10. Где лучше располагать собирающую линзу для визуализации дифракции плоских волн: в непосредственной близости от дифракционной решётки или как можно дальше? (§ 7.4) 11. Плоская монохроматическая волна падает нормально на дифракционную решётку, с заданной полной шириной. При каком отношении ширины щели к периоду решётки интенсивность главного дифракционного максимума второго порядка будет максимальна? (Ответ: 0,25 или 0,75) (§ 7.4) 12. Дифракционная решётка имеет полную ширину, равную 1,5 см и период 5 мкм. В спектре какого порядка получатся раздельные изображения двух спектральных линий с длинами волн 759,05 и 760,05 нм? (Ответ: 1) (§ 7.4) 13. На грань кристалла падает параллельный пучок рентгеновского излучения длиной волны 147 пм. Чему равно расстояние между ближайшими друг к другу кристаллическими плоскостями, параллельными грани, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда угол скольжения равен 3130? (Ответ: 0,28 нм) (§ 7.4)