Дифференциальные уравнения второго порядка. Общие определения и теоремы

Дифференциальные уравнения второго порядка. 1.Общие определения и теоремы. Общий вид дифференциального уравнения второго порядка: F(x,y,y',y'')=0 (1) Если уравнение разрешено относительно y'' y''=f(x,y,y') (2) Для записи общего решения дифференциального уравнения второго порядка требуется две произвольные постоянные (теорема о количестве произвольных постоянных в записи общего решения дифференциального уравнения). Это иллюстрирует пример 1, где y' и y определялись подбором. Пример 1: y''=x y'= y= Итак, дифференциальное уравнение второго порядка имеет бесчисленное множество решений, которые выражаются формулой y= ,содержащей две произвольные постоянные. Эта совокупность решений называется общим решением. Для отыскания частных решений задаются начальные условия: (3) Начальные условия (3) означают, что в некоторой точке задается значение неизвестной функции и её производной Пример (продолжение примера 1) Найдем частное решение дифференциального уравнения из примера 1,соответствующее начальным условиям При подстановке y' и y в равенства начальных условий получим C2=0, C1=1. Таким образом yч=+x Геометрический смысл начальных условий дифференциального уравнения второго порядка: Уравнения интегральных кривых уравнения (1) имеют вид y= .Их бесчисленное множество. Первое из начальных условий (3) задает точку на плоскости XOY и с его помощью определяется одна из произвольных постоянных, например . Уравнения интегральных кривых, проходящих через точку , имеют вид y=. Таких кривых тоже бесчисленное множество. Второе из начальных условий (3) задает угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в точке M0 ((x0)=kкас-угловой коэффициент касательной) ,то есть выделяет единственную интегральную кривую, которая является графиком частного решения дифференциального уравнения (1), удовлетворяющего начальным условиям (3). Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения второго порядка. Если в уравнении y''=f(x,y,y') функция f(x,y,y') непрерывна при значениях ,то существует решение y=(x) , такое что y(= , y'(x)=y*. Если, кроме того, непрерывны так же и частные производные и ,то такое решение единственно. Замечание: является ли функция y= общим решением дифференциального уравнения y''=x ? = y''=xy является решением уравнения Но y= , то есть y фактически содержит только одну произвольную постоянную и общим решением не является Вывод: функция y= является общим решением для дифференциального уравнения (1), если 1)она удовлетворяет уравнению 2)содержит фактически две произвольные постоянные 3)любое частное решение, соответствующее заданным начальным условиям вида (3),можно получить из неё при конкретных значениях Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение вида (1), где p и q – постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если , уравнение называется неоднородным, если – однородным. Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1), имеет вид (2). Введем обозначения: – общее решение уравнения (1), – общее решение уравнения (2), – какое-либо, любое частное решение уравнения (1). Можно доказать, что можно получить следующим образом: =+ (3) Таким образом, поиск разбился на две части: 1) определение ; 2) определение . Общее решение линейного однородного уравнения. Уравнение (4) называется характеристическим уравнением уравнения (2). (4) – квадратное уравнение и, следовательно, имеет 2 корня, обозначим их и . Дискриминант уравнения (4) обозначим D. Здесь возможны три случая: 1) и – действительные и (при этом ) 2) и – действительные и = (при этом ) 3) и – комплексно-сопряженные, то есть (при этом ) Для каждого случая выведена формула для определения общего решения линейного однородного уравнения . 1) (5) 2) == (6) 3) (7) Примеры. Найти общее решение линейного однородного уравнения 1) Шаг 1: составляем характеристическое уравнение: Шаг 2: находим корни характеристического уравнения: =3, =4. Здесь , случай 1, Шаг 3: выписываем решение, формула (5): 2) Здесь , == -5, случай 2, находим по формуле (6); 3) Здесь случай 3, , , для выбираем формулу (7); 4) ; ,=0, =4, , случай 1), формула (5). 5) ; ,=2, = -2, , случай 1), формула (5); 6) , ;Здесь случай 3, , , формула (7) Метод неопределенных коэффициентов определения Отметим, что – любое частное решение уравнения (1). Это означает, что в качестве можно взять любую функцию , такую, что при подстановке ее и ее производных в уравнение (1) последнее превращается в тождество. Метод неопределенных коэффициентов – метод подбора . Он разработан для тех уравнений вида (1), у которых правая часть имеет специальный вид. Введем обозначения – многочлен степени . Например: обозначим ; обозначим ; обозначим . Постоянные будем обозначать , считая их многочленами нулевой степени. Например, числа 3 или -2 обозначим . Рассмотрим 2 типа правых частей уравнения (1), для которых выведены формулы подбора . 1) f(x)= eµx Pn(x)=xl eµx Qn (x) (8) – многочлен той же степени, что и , но с неопределенными коэффициентами. 2) f(x)= eµx (Mcosx+Nsinx)=xl eµx (A cosx+B sinx) (9) Здесь A и B- неопределенные коэффициенты. Замечание 1. – частный случай первого типа при . (А – постоянная величина) – частный случай первого типа, здесь =А – многочлен нулевой степени. Замечание 2. Как записывается . Обозначим неопределенные коэффициенты А, В, С, … Тогда , , , ,… Конкретные значения неопределенных коэффициентов А,В,С, … находятся из того условия, что должно удовлетворять уравнению (1). Для их определения подставляем , , в исходное уравнение (1) и подбираем А,В,С,… так, чтобы уравнение превратилось в равенство. Замечание3. Принцип суперпозиции. Пусть правая часть уравнения (1) представляет из себя сумму нескольких функций . Тогда частное решение уравнения (1) можно искать в виде где – частное решение уравнения (1), соответствующее правой части . Пример 1. а) Найти общее решение уравнения y''-2y'=(-x-3) 1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-2y'=0. -2k=0 k(k-2)=0 =0 =2 =+ C2e2x=+ C2e2x 2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (8) f(x)=(-x-3), =1. -x-3=(x)(x) • =(x)=(A+Bx+C). = (A+Bx+C)+(2Ax+B)= (A+Bx+C+2Ax+B) = (A+Bx+C+2Ax+B)+(2Ax+B+2A)=(A+Bx+C+4Ax+2B+2A) Подставляем и в левую часть исходного уравнения, общий множитель ex выносим за скобки (A+Bx+C+4Ax+2B+2A-2A-2Bx-2C-4Ax-2B)=(-x-3) Многочлен в левой части распишем по степеням x (A-2A)+x(B+4A-2B-4A)+C+2B+2A-2C-2B=-x-3 Два многочлена могут быть равны тогда и только тогда, когда у них равны коэффициенты при одинаковых степенях x. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой части, получаем систему линейных уравнений для определения A, B и C Итак, =(-+x+1) =+=+C2e2x + (-+x+1). б)Найти частное решение исходного уравнения yчастн, удовлетворяющее заданным начальным условиям y(0)=2++1=2+=1 =2+(-+x+1)+(-2x+1) y'(0)=22+1+1=22=0=0 =1; =1+(-+x+1) Пример 2. Найти общее решение уравнения y''- 4y'+4y=3e2x 1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+4y=0. -4k+4=0 = =2 =(x+ C2) e2x 2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (8) f(x)=3 e2x , =2=k1=k2 l=2 3=P0(x)Q0(x)=A = Ax2e2x = 2 e2x A+2Ax e2x = e2x (2A+2Ax) =2 e2x (2A+2Ax)+ e2x (4Ax+2A)= e2x (4A+8Ax+2A) Подставляем и в левую часть исходного уравнения, общий множитель e2x выносим за скобки e2x (4A+8Ax+2A-8A-8Ax+ 4Ax2)= 3e2x Многочлен в левой части распишем по степеням x (4A-8A+4A)+x(8A-8A)+2A=32A=3, A=1.5 Итак, =1.5x2e2x; =+=(x+C2) e2x +1.5x2e2x Пример 3.Найти общее решение уравнения y''- 4y'+8y=sin2x 1.Находим общее решение соответствующего однородного уравнения y''-4y'+8y=0. -4k+8=0 k= , =2, , =(cos2x+ C2sin2x) e2x 2. Анализируем правую часть уравнения и выписываем с неопределенными коэффициентами в соответствии с формулами (9) f(x)=sin 2x , =0 =2, +i=2il=0 = x0(Acos2x+Bsin2x)= Acos2x+Bsin2x, = -2Asin2x+2Bcos2x , = -4Acos2x-4Bsin2x, Подставляем и в левую часть исходного уравнения -4Acos2x-4Bsin2x+8Asin2x-8Bcos2x+8Acos2x+8Bsin2x=sin2x Cos2x(4A-8B)+sin2x(8A+4B)=sin2x Равенства вида Mcosx+Nsinx= Pcosx+Qsinx имеют место тогда и только тогда, когда коэффициенты при cosx и sinx слева и справа соответственно равны, то есть Таким образом, коэффициенты A и B – решения системы уравнений A=0.1, B=0.05 =+=(cos2x+ C2sin2x) e2x+0.1cos2x+0.05sin2x Пример 4 y”+9y=37 +9=0 =-9 = =(+)= + f(x)= 37 M=-1 V=3 M+iV=-1+3il=0 =(Acos3x+Bsin3x)= (Acos3x+Bsin3x)= (Acos3x+Bsin3x) ’=-(-Acos3x-Bsin3x-3Asin3x+3Bcos3x)+(3Asin3x-3Bcos3x-9Acos3x-9Bsin3x)=-9Acos3x-9Bsin3x) (-8Acos3x-8Bsin3x+6Asin3x-6Bcos3x+9Acos3x+9Bsin3x)= 37 cos3x(A-6B)+sin3x(B+6A)= 37 A=1 B=-6 =-(cos3x-6sin3x) =+=cos3x+sin3x+(cos3x-6sin3x)