Дифференциальные уравнения с частными производными

1 Лекция 1. Дифференциальные уравнения с частными производными В данном курсе будут изучаться дифференциальные уравнения с частными производным, т. е. уравнения, содержащие неизвестную функцию н е с к о л ь к и х переменных и ее частные производные. Обычно приходится иметь дело с уравнениями для функций двух или трех независимых переменных. Вот примеры таких уравнений (переменные x , y , z — независимые переменные, u — неизвестная функция): u u u u x 0   0, y x y x y  2 u  2 u u  2u  2u  2u  2   0,   u. 2 x  y y x 2 y 2 z 2 В первой строке написаны уравнения, содержащие частные производные только первого порядка. Такие уравнения называются уравнениями первого порядка. Соответственно уравнения, написанные во второй строчке, являются примерами уравнений второго порядка. Мы вовсе не ставим перед собой задачу изучать вообще способы решений дифференциальных уравнений с частными производными. Мы будем рассматривать только те конкретные уравнения (да и то далеко не все), которые существенны для физики, механики и техники. Именно эти уравнения и называются математической физики. дифференциальными уравнениями 2 Предварительно без доказательств познакомимся с простейшими свойствами уравнений с частными производными; будем считать, что неизвестная функция u зависит от двух переменных x и y . Возьмем уравнение Ясно, что искомая функция u( x, y) не зависит от переменной x , но может быть любой функцией от переменной y : u( x, y)   ( y) . (2) Действительно, дифференцируя функцию  (y) по переменной x , мы получаем нуль, а это и значит, что равенство (1) соблюдается. Следовательно, решение (2) уравнения (1) содержит одну произвольную функцию  (y) . В этом и заключается к о р е н н о е отличие решения уравнения с частными производными первого порядка от общего решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, которое содержит лишь произвольную постоянную. По аналогии решение (2), содержащее одну произвольную функцию, будем называть общим решением уравнения (1). Рассмотрим более сложное уравнение где — заданная функция. Все функции и(х,у), удовлетворяющие 3 уравнению (3), имеют вид u( x, y)   f ( y)dy  ( x) (4) где ψ(x) — произвольная функция от x. Это можно проверить, дифференцируя обе части равенства (4) по переменной y. Найденное решение уравнения (3) зависит от одной произвольной функции, т. е. является о б щ и м . Легко проверить, что уравнение x u u y 0 x y имеет общее решение u( x, y)   ( y / x) , где  — произвольная дифференцируемая функция. Напомним для этого правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Если u   (v,...,w) , где v,...,w — функции переменных x, y,...,t , то Аналогичные формулы имеют место и для производных по переменным у, . . . , t. При этом число промежуточных аргументов v,...,w , так же как и число независимых переменных x, y,...,t может быть любым. В нашем примере u   (v) , v y . x Поэтому u y   (v)  ( 2 ) , x x u 1   (v)  y x Подставляя эти выражения в уравнение, получим тождество x (v)  ( y 1 )  y (v)   0 . 2 x x 4 Точно так же можно проверить, что уравнение u u  0 x y имеет общее решение u( x, y)   ( y  x) ), а уравнение y u u x 0 x y имеет общее решение u( x, y)   ( y 2  x 2 ) , где —  произвольная дифференцируемая функция. Рассмотрим теперь уравнения в т о р о г о порядка. Пусть  2u  0. xy Положим (5) u  u v  v . Тогда уравнение (5) примет вид ( )  0. y x y x Общим решением уравнения v  0 будет произвольная функция x f (y) . Возвращаясь к функции u , получим опять уравнение первого порядка u  f ( y) . y Согласно (4) его общим решением будет функция u( x, y)   f ( y)dy  ( x) Так как функция f (y) является произвольной функцией от переменной у, то и интеграл от нее также является произвольной функцией, которую мы обозначим через функцию  (y) . результате мы получили решение в виде u( x, y)   ( x)   ( y) , (6) В 5 где  (y) и  (x) — произвольные дифференцируемые функции. Легко проверить, что функция ( 6) действительно удовлетворяет уравнению (5). Решение (6) уравнения (5) с частными производными второго порядка содержит уже две произвольные функций. В этом случае оно называется общим решением. Проверим, что функция является общим решением уравнения Пользуясь приведенным выше правилом дифференцирования сложной функции и обозначая x  y  v , последовательно получим Подставляя выражения для производных в левую часть уравнения, убеждаемся, что она обращается в нуль. ( ) . Можно проверить, что функция и(х,у)=φ(x+ay)+ψ(x-ay), где φ и ψ — 6 произвольные дважды дифференцируемые функции, является общим решением уравнения (√ 2  2u 2  u  a 0 y 2 x 2 а функция (√ ) — общим решением уравнения ) . До сих пор мы еще не ставили вопроса об отыскании частных решений. Позже будет выяснено, какие дополнительные условия нужно задать, чтобы с их помощью можно было выделить частное решение, т. е. функцию, удовлетворяющую как дифференциальному уравнению, так и дополнительным условиям. Оказывается дифференциальные уравнения математической физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься, имеют между собой довольно много общих черт: все они — в т о р о г о п о р я д к а и я в л я ю т с я линейными относительно неизвестной функции, и ее частных производных. Чаще всего все коэффициенты перед функцией и ее производными — постоянные числа. Общий вид таких уравнений для функции двух переменных х и у, таков:  2u  2u  2u u u A 2 B C 2  D E  Fu  f ( x, y ), xy x y x y (7) где A, В, С, D, Е и F — постоянные числа, а u и f — заданные функция переменных х и у. Отметим, что характер и поведение решений этого уравнения существенно зависят от его коэффициентов.