Дифференциальные уравнения, ряды

глава 11 Дифференциальные уравнения. глава 12 Ряды. Гл. 11. Дифференциальные уравнения. § 1.1 Дифференциальные уравнения. Определение 1. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные различных порядков этой функции. Общий вид дифференциального уравнения n-ого порядка: (1) Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной в него входящей. Примеры: - дифференциальное уравнение I-го порядка - дифференциальное уравнение II-го порядка Определение 2. Любая функция , которая удовлетворяет данному дифференциальному уравнению (1), т.е. обращает его в тождество при замене и его производных на и её производные называется решением дифференциального уравнения Замечание 1. Если искомая функция зависит от одной переменной то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Замечание 2. Если искомое решение получено в неявном виде, то это интеграл уравнения. График решения обыкновенного дифференциального уравнения I - ого порядка называется интегральной кривой этого уравнения. Термин проинтегрировать дифференциальное уравнение означает найти те или иные его решения. Определение 3. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение: которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения. Если общее решение задано в неявном виде , то его называют общим интегралом. § 1.2 Дифференциальные уравнения первого порядка. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: (2) или - форма дифференциального уравнения разрешённого относительно производной, - форма дифференциального уравнения в дифференциалах. Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения (2) называется такая функция двух аргументов и , которая при постоянном рассматривается как функция одного переменного. Решения , которые получаются из общего решения при нахождении постоянной , называются его частными решениями. На рис.1 изображено семейство кривых, т.е. совокупность линий соответствующих различным значениям постоянных . Интегральные кривые обладают свойством, что в каждой их точке наклон касательной удовлетворяет условию: Если задана точка , то из бесконечного семейства интегральных кривых выделяется одна интегральная кривая, которая соответствует частному решению дифференциального уравнения. Это означает наличие начального условия при . Для известного общего решения , можно найти, что позволяет определить и найти частное решение. Дифференциальное уравнение с заданными начальными условиями называется задача Коши: Найти решение дифференциального уравнения (2), удовлетворяющее данному начальному уравнению , т.е. принимающее при , заданное значение . Замечание 1. Если решение дифференциального уравнения не может быть получено из общего ни при каких начальных условиях оно называется особым. § 1.3 Простейшие дифференциальные уравнения первого порядка. 1) Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными: , где множителем при является функция, зависящая только от , а множителем при - функция, зависящая только от . Решение находится методом интегрирования обеих частей. Пример 1. - общий интеграл. 2) Дифференциальные уравнения вида , где правая часть представляет собой произведение двух функций, из которых одна не зависит от , а вторая не зависит от , называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения: Пример 2. ; умножаем на обе части уравнения - общий интеграл ; - общее решение 3) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, записанные в форме дифференциалов: или для решения таких дифференциальных уравнений их надо привести к виду 1 т.е. к дифференциальным уравнениям с разделёнными переменными. Пример 3. Разделим на произведение Проинтегрируем полученные выражения по свойству логарифмов - общий интеграл дифференциального уравнения. Определение 1. Функция называется однородной функцией n-ого измерения, если при замене в ней переменных и соответственно на и , где - произвольная величина (параметр) получается та же функция, умноженная на , т.е. если выполняется условие: n – степень однородности уравнения. Однородная функция степени n представима в виде Однородная функция нулевой степени может быть записана в виде Определение 2. Если функции и однородные одной и той же степени , то дифференциальное уравнение (3) называется однородным. Например уравнение является однородным поскольку функции и являются однородными. (Проверьте самостоятельно). Уравнение называется однородным, если оно имеет вид: (4) Очевидно, что - однородная функция нулевого измерения. Уравнения (3) и (4) приводятся к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки. т.е. и или в дифференциалах Пример 4. ; . Использовав замену переменных имеем . Далее , так как , то . Разделив переменные получим и после интегрирования . Применив свойства логарифмов получим , вернемся к исходной функции и получим общий интеграл уравнения . Другой способ: , воспользуемся заменой приведём подобные по дифференциалам разделив переменные и проинтегрировав, получим тот же ответ. § 1.4 Линейные уравнения первого порядка. Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется такое дифференциальное уравнение, в которое неизвестные функции и входят в первых степенях и не перемножаются между собой. Общий вид линейного уравнения первого порядка: (5) Если , то уравнение (5) – линейное однородное и одновременно с разделяющимися переменными. Методы решения: метод Бернулли и метод Лагранжа а) Метод Бернулли. 1) Будем искать решение в виде , тогда или (это подстановка Бернулли, где - вспомогательная функция.) Пример 1. 2) найдём функцию таким образом, чтобы выражение в скобках было равно нулю. Интегрируя уравнение, получаем . Поскольку функция выбрана, чтобы удовлетворять определенному условию мы опускаем постоянную . Полученное выражение подставляем в исходное уравнение (пункт 2). Объединив полученные выражения для и в подстановке Бернулли мы получим окончательное общее решение уравнения . б) Метод вариации произвольной постоянной. (Метод Лагранжа) Покажем применение метода на том же примере. 1) Сначала решаем данное уравнение без правой части: . Пусть - некоторая неизвестная функция в уравнение (1), тогда и . Подставляем в исходное уравнение Подставляем полученное выражение в и получаем окончательное решение . в) Уравнение Бернулли. Имеет вид: , слева линейное выражение, а справа присутствует множитель (). Применив подстановку и , получим дифференциальное уравнение вида или . Это линейное уравнение I-го порядка, для его решения применяем, например, подстановку Бернулли. Пример 1. Найдём Применяем подстановку Бернулли (1) (1) ; § 1.5 Уравнения в полных дифференциалах. Определение 1. Уравнением в полных дифференциалах называется дифференциальное уравнение вида: если в области определения функции и и существования решения дифференциального уравнения выполняется равенство Общий интеграл дифференциального уравнения ищем в виде a) или b) a) b) неизвестные и находят из второго условия Пример 1. Общий интеграл: ищем в виде a) значит ,отсюда - решение. § 1.6 Уравнения высших порядков. Определение 1. Все дифференциальные уравнения порядка выше первого называют дифференциальными уравнениями высших порядков. Общий вид: (1) В форме, разрешённой относительно старшей производной: (2) Общее решение будет зависеть от произвольных постоянных. Для выделения частного решения задаются дополнительные условия. Для уравнения (n)-ого порядка в качестве начальных условий задают значения искомой функции и всех её производных до (n-1) порядка включительно ,т.е.: ; ; ; … (3) Система (3) – система начальных условий. Определение 2. Задачу нахождения частного решения дифференциального уравнения (1), удовлетворяющую системе начальных условий (3), называют задачей Коши. § 1.7 Уравнения, допускающие понижение порядка. 1) Уравнения вида: Порядок понижается путём непосредственного интегрирования. Пример 1. - общее решение Заметим что количество постоянных в общем решении всегда равно порядку исходного дифференциального уравнения 2) Уравнения, не содержащие искомой функции т.е. вида: Метод решения: Вводится новая неизвестная функция получаем - уравнение 1-го порядка Пример 2. ; ; - линейное дифференциальное уравнение I-го порядка решаем методом Бернулли найдём функцию из условия . ; ; ; ,тогда ; ; вернёмся к исходной функции ; ; - общее решение. 3) Уравнение не содержащее независимой переменной ; Метод решения: - новая независимая переменная, тогда - новая функция Пример 3. нач. усл. ; ; ; или воспользуемся н.у. найдём ; ; ; ; найдём при ; Ответ: - частное решение. Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением n-ого порядка называется уравнение вида: (1) ,где , - произвольные функции от . Линейное – нет произведений и все функции и производные в 1-ой степени. Если то уравнение записывают в “приведённом” виде. (2) Если , то (3) Линейное однородное дифференциальное уравнение. § 1.8 Теоремы о свойствах частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений. Теорема 11.1. Если функции являются решением уравнения (3), то и функция , есть решение этого уравнения. Теорема 11.2. Если функция и является решением уравнения (3), то и функция , есть решение этого уравнения. Линейной комбинацией функций называют выражения вида: ,где - произвольные постоянные. Теорема 11.3. Если - частные решения линейного однородного дифференциального уравнения (3), то их линейная комбинация есть также решение этого уравнения. Определение 1. Рассмотрим систему функций определённых и непрерывных на одном и том же отрезке . Эта система функций называется линейно зависимой на отрезке , если существует таких чисел , что выполняется соотношение: (4) для всех на данном отрезке. При этом предполагают, что числа не равны нулю одновременно. Линейная зависимость системы функций означает, что хотя бы одна из функций системы представляет собой линейную комбинацию остальных. Определение 2. Если функции системы дифференцируемы - раз, то из них можно построить определитель - ого порядка вида: Теорема 11.4 Если линейно независимые функции, удовлетворяющие некоторому линейному однородному дифференциальному уравнению - ого порядка, то вронскиан такой системы не обращается в нуль ни в одной точке. Определение 3. Систему частных решений линейного однородного дифференциального уравнения - ого порядка будем называть фундаментальной, если она состоит из линейно независимых функций. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение обладает бесконечным множеством фундаментальных систем. Теорема 11.5 (об общем решении линейных однородных дифференциальных уравнении) Если функции образуют фундаментальную систему решений уравнения (3), то их линейная комбинация является общим решением однородного уравнения. § 1.9 Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Определение 1. Линейное однородное дифференциальное уравнение вида: (1) в котором все коэффициенты являются постоянными, есть линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Частные решения этого уравнения следует искать среди таких функций, которые в алгебраическом смысле подобны своим производным. Будем искать частные решения в виде , тогда: … подставив в уравнение, получим: (2) где - характеристический многочлен данного дифференциального уравнения. Функция тогда и только тогда удовлетворяет линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянным коэффициентом (1), когда число является корнем характеристического уравнения (3) Возможно несколько случаев корней характеристического уравнения: 1) Все корни действительные и разные. Имеем действительных корней , каждому соответствует частное решение: фундаментальная система решений. Общее решение: 2) Все корни различны, но среди них имеются комплексные. Если - один из корней, то - комплексно-сопряжённый ему им соответствуют два частных решения. и Рассмотрим линейные комбинации этих решений, которые также являются решениями. и Применим формулы Эйлера: тогда аналогично т.е. паре комплексных корней соответствуют решения 3) Среди корней характеристического уравнения есть кратные. Если есть корень кратности , то ему соответствуют – линейно независимых решений: , при каждом совпадении корня в решение добавляется множитель . Пример 1. , Пример 2. , Пример 3. , Пример 4. , . § 1.10 Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Неоднородным линейным дифференциальным уравнением называют уравнение вида: (1) Теорема 11.6 Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения представляет сумму частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного. . Теорема 11.7 Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма двух функций , то частное решение такого уравнения можно получить как сумму частных решений аналогичных уравнений с правыми частями соответственно и . (принцип наложения) Способ неопределённых коэффициентов. Применяется для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения Способ применим для уравнений с постоянными коэффициентами и специальным видом правой части: показательные функции, синусы, косинусы, многочлены или их целые рациональные комбинации. Частное решение следует искать в форме, аналогичной форме правой части. Случай 1: -многочлен -ной степени. - если среди корней характеристического уравнения нет , если среди корней есть , - кратность корня - многочлен степени . с неизвестными коэффициентами, которые находятся после подстановки в уравнение (1). Случай 2: Вид правой части или более общий Если не является корнем характеристического уравнения для уравнения (1), то частное решение ищем в виде Если - корень характеристического уравнения (1) то - кратность корня За нужно взять многочлен с буквенными коэффициентами -ой степени, коэффициенты определяются после подстановки в уравнение (1). Пример 1. Пример 2. Пример 3. Случай 3: ,где и многочлены степени и соответственно. Частное решение ищем в виде (если не корень характеристического уравнения) Если - корень характеристического уравнения, то - кратность корня. Пример 4. , частное решение , Случай 4: если среди корней характеристического уравнения нет числа если один из корней равен если 2 корня совпадают Пример 5. Пример 6. , , , § 1.11 Метод вариации произвольных постоянных. (Метод Лагранжа) Применим к любому виду неоднородного линейного дифференциального уравнения. Пусть известно общее решение соответствующего (1) однородного уравнения. ,тогда решение неоднородного уравнения ищется в виде где от функций требуем, чтобы они удовлетворяли условиям Эта неоднородная система уравнений. т.к. определитель системы есть вронскиан фундаментальной системы решений , то система имеет единственное решение относительно . Рассмотрим уравнение 2-ого порядка. и - фундаментальная система решений. Пример 1. ; § 1.12 Системы линейных уравнений. Для описания некоторых процессов и явлений требуется несколько функций. Отыскание этих функций может привести к нескольким дифференциальным уравнениям, образующим систему. Система дифференциальных уравнений - ого порядка вида: (1) называется нормальной системой дифференциальных уравнений. Решение такой системы сводится к решению одного дифференциального уравнения - ого порядка. Решением системы (1) называется совокупность - функций ,,удовлетворяющая всем уравнениям системы. Нахождение решения системы дифференциальных уравнений (1), удовлетворяющие начальным условиям. ; … , где - заданные числа называемые начальными данными, называется задачей Коши. Пример 1. Решение нормальной системы сведением к уравнению -ого порядка. Дифференцирование производится по переменной . Эквивалентное уравнение . , решение системы получим обратной подстановкой Выражения, представляющие собой конечные соотношения между искомыми функциями и независимыми переменными называют первыми интегралами системы. Знание интегралов облегчает решение задачи, каждый первый интеграл позволяет понизить порядок уравнения на единицу. § 1.13 Линейные системы с постоянными коэффициентами. Нормальная система дифференциальных уравнений (1) называется линейной, если функции - линейны относительно искомых функций. (2) причём все коэффициенты и - вообще говоря, являются произвольными функциями от . Если , то система (2) называется однородной, если нет неоднородной. Пусть , тогда система (2) – линейная система с постоянными коэфф. , пусть также (3) Система (3) приводится к линейному однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами, поэтому будем искать решение (3) в виде показательных функций. Частное решение ищем в виде ; ; … ; (4) где, , - постоянные, которые следует подобрать так, чтобы функции (4) удовлетворяли системе (3). Подставим (4) в (3), тогда сокращаем на и переносим всё вправо (5) Система (5) – однородная система линейных уравнений из - уравнений с - неизвестными. Чтобы система имела решение необходимо, чтобы определитель системы равнялся нулю. (6) Характеристическое уравнение системы (3). Решим систему с использованием её характеристического уравнения. Запишем систему в векторной форме , где ; ; Тогда её характеристическое уравнение имеет вид Каждому простому (действительному) корню , соответствует решение вида: ; ; … ; (7) Ограничимся случаем, когда все корни характеристического уравнения действительные и разные. Подставим решение вида (7) в уравнение (3) и сократим Эта система имеет множество решений. Достаточно найти одно частное решение, (значения коэффициентов ) Все частные решения вида (7) образуют фундаментальную систему решений. Линейная комбинация всех частных решений с произвольными постоянными коэффициентами даёт общее решение системы. Пример 1. , , находим из решения системы , находим из решения системы общее решение. Гл. 11. Ряды. § 1.1 Ряды сходящиеся и расходящиеся. 1) Задана бесконечная последовательность чисел а1, а2, . . . Рассмотрим выражение а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . , представляющее собой сумму бесконечного множества слагаемых. Это и есть числовой ряд. Определение 1. Рядом (бесконечным рядом) называется выражение а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . (1) где {аn} произвольная последовательность чисел. Пример 1. Зная форму общего члена ряда , записать числовой ряд. Решение: . Определение 2. Сумма n первых членов, ряда - называется n-й частичной суммой ряда. Замечание. Если существует, то ряд (1) сходится и его сумма . Если или не существует, то ряд (1) расходится. Пример 2. Определить сходимость или расходимость ряда Найдем для рассматриваемого ряда. Данный ряд представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем . Как известно, в случае геометрической прогрессии , где - первый член прогрессии. Следовательно, Т.к. , то данный ряд сходится и его сумма S=1. Пример 3. Определить сходимость или расходимость ряда Решение: Разложим выражение на элементарные дроби: ; Методом неопределенных коэффициентов находим: А=0.5 В=-0.5. Тогда , следовательно можно найти Сумму ряда по формуле: . Значит Таким образом, данный ряд сходится и сумма его Пример 4. Написать формулу общего члена ряда Решение: Перепишем члены ряда следующим образом Очевидно, что Пример 5. Написать формулу общего члена ряда Решение: Числа, стоящие как в числителе, так и в знаменателе членов данного ряда представляют арифметическую прогрессию, общий член ряда которой имеет вид , где d – разность арифметической прогрессии. Для числителя для знаменателя Тогда Пример 6. Написать формулу общего члена ряда Решение. Чередование знаков членов ряда записывается с помощью Тогда Теорема. Необходимый признак сходимости числовых рядов. Если ряд (1) сходится, то . Обратное утверждение неверно. Теорема. Достаточный признак расходимости числовых рядов. Если , ряд (1) расходится Замечание. Сходимость или расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число членов ряда. Пример 7. Выполняется ли необходимый признак сходимости ряда если его общий член задан формулой ? Решение: В соответствии с необходимым признаком сходимости ряда найдем значение предела . Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя. Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, следовательно, ряд расходится. Пример 8. Выполняется ли необходимый признак сходимости ряда Решение: Рассмотрим Используем правило Лопиталя Необходимый признак сходимости ряда выполняется, но вопрос о сходимости числового ряда не решен. § 1.2. Свойства сходящихся рядов. Поскольку сумма ряда определяется как предел последовательности его частичных сумм, то многие свойства вытекают из свойств пределов. 1. Если ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него путем отбрасывания конечного числа членов. 2. Если ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . (1) сходится и ряд (2) b1 +b2 + b3 + . . . + bn + . . .также сходится, а их суммы соответственно равны А и В, то будут сходится и ряд (а1 + b1) + (а2 +b2) . . . +( аn +bn ). . ., причем его сумма равна А+В. 3. Если ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . сходится и его сумма равна А, то сходится и ряд ка1 + ка2 + ка3 + . . . + каn + . . и его сумма равна кА. 4. Если ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . сходится, то сходится и любой ряд, полученный из исходного группировкой слагаемых, причем сумма обоих рядов одинакова. Определение. Пусть дан ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . ., тогда ряд ак+1 + ак+2 + ак+3 + . . . + ак+n , где к – произвольное натуральное число, называется остатком данного ряда, после к-го члена или просто остатком ряда, сумма которого обычно обозначается Rk. На основании свойства 1 сформулируем свойство для остатка ряда: 5. Если ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . сходится, то сходится и его остаток, причем их суммы связаны соотношением S= а1 + а2 + а3 + Rk. § 1.3. Достаточные признаки сходимости числовых знакоположительных рядов. Определение. Ряд а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . ., называется знакоположи- тельным, если среди его членов нет отрицательных. Поскольку все числа составляющие ряд положительные, то последовательность частичных сумм монотонно возрастает. Известно, что для существования предела монотонно возрастающей последовательности, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху. Теорема. (Критерий сходимости рядов с положительными членами). Для сходимости ряда с положительными членами необходимо и достаточно, чтобы все частичные суммы ряда были ограничены сверху одним и тем же числом. Данный критерий неудобен для применения в практических вычислениях, поэтому рассмотрим ряд признаков сходимости. Которые являются исключительно достаточными. Первый признак сравнения. Рассмотрим два ряда с положительными членами а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . (1) b1 + b2 + b3 + . . . + bn + . . .(2), причем члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго ряда, то есть начиная с некоторого номера n , то из сходимости ряда (2)следует сходимость ряда (1). Следствие Из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Пример Исследовать на сходимость ряд . Решение: Сравним этот ряд с обобщенным гармоническим рядом , который, как известно, сходится. Заметим, что при любом n выполняется неравенство , значит в соответствии с первым признаком сравнения данный ряд тоже сходится . В качестве рядов для сравнения обычно используют - геометрическую прогрессию , где q – знаменатель прогрессии, которая сходится при и расходится при ; - простой гармонический ряд , как расходящийся ряд ; - обобщенный гармонический ряд , который при k > 1 сходится, при k < 1 – расходится. Второй признак сравнения. Рассмотрим два ряда с положительными членами а1 + а2 + а3 + . . . + аn + . . . (1) b1 + b2 + b3 + . . . + bn + . . .(2), если , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Замечание. Особенно удобно применять второй признак сравнения в случае, если - где и - полиномы степеней n и m соответственно. В этом случае в качестве ряда сравнения выбирается ряд вида . Пример. Исследовать на сходимость ряд . Решение: В качестве ряда для сравнения используем ряд , т.к. , то ряд сходится. Рассмотрим . Следовательно, в соответствии со вторым признаком сравнения данный ряд сходится. Пример Исследовать на сходимость ряд . Решение: В качестве ряда для сравнения рассмотрим простой гармонический ряд . Следовательно, в соответствии с признаком сравнения данный ряд сходится. Признак Даламбера. Пусть существует . Ряд сходится, если , расходится, если . Если , то вопрос остается открытым. Пример. Исследовать на сходимость ряд Решение: Запишем . Найдем Следовательно, по признаку Даламбера ряд расходится. Радикальный признак Коши Пусть существует . Тогда ряд сходится при , и расходится при при вопрос остается открытым. Пример. Исследовать на сходимость ряд . Решение: Т.к. , то по радикальному признаку Коши ряд сходится. Пример Исследовать на сходимость ряд . Решение: Рассмотрим В соответствии с радикальными признаками Коши ряд расходится. Интегральный признак Коши Пусть ряд является положительным, убывающим и где функция положительна, монотонно убывает и непрерывна при . Тогда несобственный интеграл I рода и ряд сходятся и расходятся одновременно. Пример. Исследовать на сходимость ряд . Решение. Ряд убывающий. За функцию примем Вычислим Интеграл расходится. Следовательно, в соответствии интегральным признаком Коши ряд также расходится. Замечания: Исследование числовых рядов надо начинать с проверки выполнения необходимого условия сходимости, т.е. найти . Если , то дальнейшее исследование связано с видом общего члена ряда . Если содержит факториалы или показательную функцию, то в большинстве случаев применяется признак Даламбера. Если первообразную от общего члена ряда найти легко, то следует воспользоваться интегральным признаком Коши. Если вопрос о сходимости ряда не может быть решен с помощью вышеуказанных признаков, то исследование надо проводить с помощью признака сравнения, взяв для сравнения бесконечную геометрическую прогрессию, гармонический ряд или обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле). § 1.4 Знакопеременные, знакочередующиеся ряды. Определение. Ряд среди членов которого есть как положительные, так и отрицательные называется знакопеременным. Вопрос о сходимости знакочередующихся рядов решает следующая теорема. Теорема Лейбница. Если в знакочередующемся ряде а1 - а2 + а3 - … + аn члены таковы, что и , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена. Ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, называется рядом Лейбница. Остаток ряда Лейбница имеет знак своего первого члена, т.е. и Пример. Исследовать на сходимость - знакочередующийся ряд. Решение: Т.к. то по признаку Лейбница данный ряд сходится. Пример. Исследовать на сходимость - знакочередующийся ряд. Решение: Т.к. то требование признака Лейбница не выполнено, ряд расходится. Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если ряд, составленный из модулей, расходится, но сам ряд сходится (по признаку Лейбница). Пример. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд . Решение. Условия теоремы Лейбница выполняются. Составим ряд из модулей членов данного ряда: Этот ряд сходится, т.к. является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателями .Следовательно, исследуемый ряд абсолютно сходится. Пример Сколько членов ряда нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01 . Решение: Данный ряд знакочередующийся, его члены по модулю убывают, общий член ряда стремится к нулю, т.е. условие признака Лейбница выполнено, ряд сходится. Более того, ряд сходится абсолютно, т.к. представляет собой ряд обобщенный гармонический, который при к=3 является сходящимся рядом. Для того, чтобы найти сумму этого ряда с точностью 0,01, надо взять столько его членов, чтобы следующий член ряда по модулю был меньше 0,01. Тогда в соответствии со свойством знакочередующегося ряда весь остаток ряда также будет меньше 0,01, т.е. точность будет обеспечена. Для данного ряда Значит, § 1.4 Комплексные числовые ряды Определение. Комплексным числовым рядом называется ряд члены которого комплексные числа: Рассмотрим следующие выражения: Обозначим . Если существует то под пределом понимается комплексное число Ряд С будет сходиться только тогда, если сходятся вещественные ряды Таким образом, исследование на сходимость комплексного ряда сводится к исследованию двух вещественных рядов, признаки сходимости которых мы изучили ранее. Пример Исследовать на сходимость ряд Решение: Рассмотрим два вещественных числовых ряда Так как при любом n =1,2… ( см. разложение рациональной дроби на элементарные ), то перепишется так: Следовательно, . Ряд В представляет сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем Значит, сумма ряда В равна: Тогда Таким образом, исследуемый ряд сходится. § 1.5 Функциональные ряды Если все функции определены на множестве Е, то для каждой точки этого множества имеет смысл числовой ряд: Определение. Ряд (1), если считать в нем х произвольным числом множе- ства Е, называется функциональным рядом. Придавая различные числовые значения переменной х. будем получать различные числовые ряды, которые могут сходится и расходится. Скажем. Что функциональный ряд (1) сходится в точке х1, если сходится числовой ряд: Определение. Множество значений х, при которых функциональный ряд сходится называется областью сходимости этого ряда. Пример. Рассмотрим функциональный ряд: Этот ряд сходится для всех значений при которых сумма ряда есть сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем х вычисляемая по формуле: . Наибольший интерес среди функциональных рядов представляют степенные ряды особенности и свойства которых рассмотрим в следующем параграфе. § 1.5 Степенные ряды. Определение. Степенным называется функциональный ряд вида: где - постоянные коэффициенты, х0 – центр степен- ного ряда (константа). При рассмотрении степенных рядов условимся, что, член ряда находящийся на первом месте имеет номер равный 1, второй – 2 и т.д., в этом случае п-ый член ряда будет содержать х также в степени п. Примеры степенных рядов. а) , ряд с центром в точке х0=0 б) центр х0=1 Область сходимости степенного ряда описывается теоремой Абеля. Теорема (Абеля). Если степенной ряд сходится при некотором , то он сходится абсолютно для всех , для которых . Если ряд расходится при , то он расходится для всех , для которых . Теорема Абеля позволяет дать описание области сходимости степенных рядов. Для степенного ряда существует такое положительное число R , что для всех х , для которых , ряд сходится абсолютно, а для всех х, для которых , ряд расходится, где R – радиус сходимости ряда. Интервал (-R,R) – называется интервалом сходимости ряда. Точки исследуются отдельно. Если ряд сходится только при x=0, то радиус сходимости R=0, если ряд сходится для всех значений х , то радиус сходимости Обычно для определения радиуса сходимости R используют признак Даламбера или радикальный признак сходимости Коши, рассматривая данные критерии под знаком модуля, чтобы обеспечивать положительность членов ряда, т.е. требуется, чтобы выполнялось неравенство: Пример Найти область сходимости ряда Решение: Следовательно, Значит, радиус сходимости ряда R=2. Интервал сходимости Исследуем сходимость ряда в точках x=-2, x=2. При x=-2 получим ряд -знакочередующийся числовой ряд. По признаку Лейбница этот ряд сходится. При x=2 получаем гармонический ряд , который расходится. Область сходимости ряда Пример 2 Найти область сходимости ряда Решение: По признаку Даламбера Или Следовательно, радиус сходимости R=3. Интервал сходимости При x=7 получим расходящийся ряд. При x=13 получим ряд , который тоже расходится. Значит, областью абсолютной сходимости ряда является интервал (7,13). Пример 3. Найти область сходимости ряда Решение: Воспользуемся радикальным признаком Коши Следовательно, радиус сходимости R=8. Интервал сходимости -8 < x < 8. При - знакочередующийся ряд. По признаку Лейбница ряд расходится. При - положительный ряд. Необходимый признак сходимости ряда не выполняется, т.к. . Следовательно, ряд расходится. Значит, область сходимости ряда Свойства степенных рядов. 1. Степенной ряд сходится абсолютно на любом отрезке , целиком содержащемся внутри интервала сходимости. 2. На любом отрезке , целиком содержащемся внутри интервала сходимости, сума ряда есть функция непрерывная. 3. Если отрезок , целиком содержится внутри интервала сходимости, то интеграл на от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда 4. Степенной ряд в пределах интервала сходимости можно дифференцировать почленно любое число раз. При этом радиусы сходимости всех полученных рядов совпадают с радиусом сходимости исходного ряда. § 1.6 Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора и Маклорена. Одна из центральных задач, решаемых в теории степенных рядов, заключается в следующем. Пусть дана некоторая функция и требуется установить: - может ли эта функция на некотором отрезке быть представлена в виде суммы степенного ряда или, иначе, может ли функция быть «разложена в степенной ряд»? - если «да», то как найти этот ряд? Определение. Если функция определена в некоторой окре стности точки х=а и имеет в этой точке производные всех порядков, ее можно представить в виде степенного ряда: который называется рядом Тейлора для функции Таким образом мы получили ответ на второй вопрос. Для ответа на первый вопрос сформулируем следующую теорему. Теорема. Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора. Если , то ряд Тейлора сходится и его сумма равна данной функции. Если это условие не выполняется, то ряд данную функцию не представляет. Замечание. Положив в ряде Тейлора х0=0, получим частный случай ряда, который называется ряд Маклорена и имеет вид: Для разложения функции в ряд Тейлора или Маклорена достаточно: 1. Вычислить значения функции и ее производных в точке в предположении, что функция имеет производные любого порядка. 2. Найти интервал сходимости ряда. Пример. Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки Решение: Найдем значения заданной функции и ее производных в точке Следовательно, в соответствии с выражением (*) Разложение справедливо для любого , т.к. все производные заданной функции ограничены одним и тем же числом. Последнее утверждение следует из теоремы о разложимости функции в ряд Тейлора. Пример 2. Разложить в ряд Маклорена функцию Решение: Найдем значения заданной функции и ее производных в точке Следовательно, в соответствии с выражением (**) Заменим на , получим Областью сходимости данных рядов является вся числовая ось, т.к. для любого значения существует такое число С, что , т.е. все производные функции ограничены на промежутке , что соответствует теореме. Аналогично можно получить разложение для других функций: Биноминальный ряд: Так как степенные ряды в интервале их сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать, при этом интервал сходимости ряда не меняется, то разложение для функции можно получить, дифференцируя разложение в ряд Маклорена почленно. Или, получив разложение функции в биноминальный ряд: проинтегрируем обе части равенства от 0 до Х и, считая , получим Пример Разложить степеням х функцию Решение: Воспользуемся разложениями функции в ряд Маклорена § 1.7 Приложение степенных рядов. С помощью рядов можно вычислить значение тригонометрических функций, логарифмов чисел, корней, определенных интегралов, а также найти решения дифференциальных уравнений. С помощью рядов можно найти приближенное значение некоторой величины по частичной сумме ряда. Возникающую при этом ошибку определим либо по остаточному числу ряда где - n-ая частичная сумма ряда Тейлора, либо непосредственно оценивая остаток ряда. Например, если ряд знакочередующийся, то оценка проводится при помощи теоремы Лейбница, в случае положительного ряда подбирают другой ряд ( обычно геометрическую прогрессию), члены которого больше членов остатка ряда, сумму которого надо найти. Пример Вычислить с точностью . Решение: Воспользуемся биноминальным рядом, считая получим: Согласно свойству знакочередующегося сходящегося ряда, если ограничиться суммой трех первых членов ряда, то ошибка оценки суммы ряда будет меньше, чем 0,0001, Следовательно, с точностью Пример Вычислить определенный интеграл с точностью Решение: Используя биноминальный ряд при и заменяя , получим и сумма ряда Поскольку получен знакочередующийся ряд , то искомая точность оценивается с помощью отброшенного числа. Тогда Пример. Найти решение дифференциального уравнения при начальных условиях Решение будем искать в виде ряда Маклорена Из начальных условий находим, что Для отыскания подставим х=0 в уравнение: Найдем далее производные: Следовательно, Тогда решение уравнения При решение ищется в виде ряда Тейлора. § 1.7 Тригонометрические ряда. Ряды Фурье. Функциональный ряд вида (1) - называется тригонометрическим рядом. При каких условиях для некоторой функции можно найти тригонометрический ряд? Теорема. Если функция с периодом , кусочно-монотонная и ограниченная на отрезке , то ее ряд сходится в любой точке и его сумма равна , где коэффициенты определяются по формулам Фурье: ; ; Ряд (1) с коэффициентами определенными по вышеприведенным формулам называется рядом Фурье. Замечание. Из теоремы следует, что сумма ряда в точках непрерывности функции равна значению этой функции, а в точках разрыва первого рода - среднему арифметическому пределов слева и справа. Ряды Фурье нашли широкое применение в задачах гармонического анализа и математической физики. Пример 1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию периода , заданную следующим образом: Решение: ; = =. = = Тогда Или Полученный ряд сходится к в каждой точке промежутка . В точках Ряд Фурье для четных и нечетных функций на отрезке Если функция четная, то ее коэффициенты ряда Фурье определяются по формулам: Отсюда следует, что четная функция разлагается только по косинусам: Если функция нечетная, то Нечетная функция разлагается только по синусам Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию периода заданную на отрезке Решение: Функция на отрезке является четной, следовательно, разлагается в ряд Фурье по косинусам. Тогда Так как функция непрерывна на всей числовой оси, то ее ряд Фурье сходится к этой функции при любом . Пример. Разложить в ряд Фурье функцию заданную на отрезке Продолжим данную функцию нечетным образом на отрезке , т.е. рассмотрим функцию == Полученный ряд сходится к функции при всех из промежутка В точке ряд сходится к в точке и в точке к Если продолжить данную функцию на отрезок четным образом, получим разложения функции в ряд Фурье по косинусам. Ряд Фурье на отрезке длины . Если функция задана на отрезке ,то разложение в ряд Фурье имеет вид: Если - четная функция, то Если - нечетная функция, то , т. е. разложение в ряд Фурье для четных функций имеет вид: для нечетных функций Пример. Разложить в ряд Фурье функцию при Решение: Так как функция при является четной функцией, то она разлагается в ряд Фурье только по косинусам. В данном случае = Так как при непрерывна, то окончательно находим Список рекомендуемой литературы. 1. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1988.— 432 с. 2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа В 2 ч. - М.: Наука, 1971- 1973. Ч. 1. 1971.- 6ПО с.; Ч. 2.— 1973.— 448 с. 3. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс высшей математики. - М.: Высш. шк., 1988, 712 с. 4. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: В 2 т.— М.: Наука. 1985.- Т. 1.- 432 с.; Т. 2.— 576 с. Сборники задач и упражнений 1. Гусак А.А Справочное пособие к решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения. -. Минск, ТетраСистемс, 1998, 416 с. 2. Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая матема­тика в упражнениях и задачах: В 2 ч.— М.: Высш. шк., 1986.— Ч. 1.— 446 с.; Ч. 2.— 464 с. 3. Куринной Г.Ч. Математика: Справочник – Харьков: Фолио; М; ООО «Издательство АСТ», 2000 – 464с. 4. Демидович В. П. Сборник задач и упражнений по математи­ческому анализу. - М.: Наука, 1977.— 528 с. 5. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: Учеб.пособие.Ч.3 / А.П.Рябушко, В.В.Бархатов, В.В.Державец, И.Е.Юруть – Мн.: Выш.шк., 1991 – 228с. 6. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов/Г. С. Бараненков, Б. П. Демидович, В. Ефименко и др.; Под ред. Б. П. Демндовича. - М.: Наука, 1978. - 380 с.