Дифференциальные и разностные уравнения

Дифференциальные и разностные уравнения 1. Введение 1.1. Дифференциальные уравнения. При решении многих научных и практических задач возникают уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком производной или дифференциала. Уравнения, в которых неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называются дифференциальными уравнениями. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Действительно, задача решения дифференциальных уравнений есть задача обратная к дифференцированию. В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение вида . (1) Уравнение (1) также можно записать в виде . (2) Из интегрального исчисления известно, что решение уравнения (1) может быть получено в результате интегрирования (3) где произвольная постоянная. Мы видим, что решение уравнения (1), по формуле (3) определяется неоднозначно. Решение уравнения (1) в виде (3), где произвольное постоянное, называется общим решением. Если при этом каким-либо образом определить константу , то получится так называемое частное решение уравнения (1). Чтобы в конкретной ситуации определить константу , надо задать некоторые дополнительные условия. Пусть, например, известно, что при вестная функция принимает значение . Тогда, полагая 1 неизполучим Пример 1. Материальная точка движется по прямой с постоянным ускорением . Найти закон движения точки. Решение. Ускорение представляет производную от скорости времени , т.е. . Полученное уравнение можно записать в виде . (4) Интегрируя уравнение (4), получаем общее решение . (5) Для определения C1 положим, что скорость в начальный момент t  0 равна . Определим C1 из уравнения (5) v0  a  0  C1  C1 , т.е. C1  v0 . (6) Так как скорость есть производная пути s по времени, то из уравнения (5), ds  at  v0 или ds  (at  v0 )dt . Интегрируя последнее полагая C1  v0 , имеем dt равенство, получаем at 2 s  v0t  C2 . 2 (7) Для определения константы C2 будем считать, что в начальный момент времени путь равен s0 . Тогда из (7) находим s0  0  0  C2  C2 , т.е. C2  s0 . Таким образом, получаем требуемый закон движения материальной точки at 2 s  v0t  s0 . 2 Пример 2. Пусть в банк под % в год положена сумма руб. Требуется определить закон изменения вклада при условии, что проценты начисляются непрерывно и построить дифференциальное уравнение, для функции, определяющей этот закон. 2 Решение. Если проценты начисляются один раз в год, то по истечении года сумма вклада будет равна Здесь означает процентную ставку, выраженную в долях. Если проценты начисляются каждые полгода, то в конце года сумма вклада получится равной . Если проценты начисляются раз через равные промежутки времени, то к концу года сумма вклада составит . По истечении лет сумма вклада составит (8) При . Полагая , из (8) получим чение короткого промежутка времени . В те- имеем (9) Из (9) получаем, что закон изменения вклада описывается дифференциальным уравнением с заданным начальным условием . Существуют два основных типа дифференциальных уравнений: обыкновенные, в которых неизвестными функциями являются функции одного переменного, и в частных производных, в которые входят производные искомых функций по нескольким переменным. В данном курсе рассматриваются только обыкновенные дифференциальные уравнения, поэтому в дальнейшем при указании типа дифференциального уравнения слово «обыкновенное» будем опускать. 3 Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, присутствующей в уравнении. Говорят, что дифференциальное уравнение записано в нормальной форме, если оно разрешено относительно старшей производной. В противном случае дифференциальное уравнение представлено в общей форме. Дифференциальное уравнение порядка n называется линейным, если оно имеет вид , где функция, линейный дифференциальный оператор, неизвестная функция переменной . Линейный оператор есть оператор вида dy n dy n 1 dy L[ y ]  n  A1 ( x) n 1    An 1 ( x )  An ( x) y . dx dx dx Существует огромное количество задач, в которых требуется определить неизвестные функции , , аргумента , удовлетворяющих системе уравнений, содержащих производные этих функций по . Таким образом, приходят к системам дифференциальных уравнений. Например, закон движения материальной точки в трехмерном пространстве с заданным вектором скорости в виде функции времени и координат точки определяется решением системы трех дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение го порядка легко приводится к системе n дифференциальных уравнений первого порядка, и наоборот. Это свойство дифференциальных уравнений часто используется при интегрировании дифференциальных уравнений высокого порядка. Система дифференциальных уравнений  dy  dt  v,   dv   ky  dt 4 задает динамическую систему, называемую «гармоническим осциллятором». Её фазовым пространством является плоскость (x,v), где v — скорость точки x. Гармонический осциллятор моделирует разнообразные колебательные процессы — например, поведение груза на пружине. Его фазовыми кривыми являются эллипсы с центром в нуле. С другой стороны, эта система двух дифференциальных уравнений первого порядка эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка d2y  ky . dt 2 1.2.Разностные уравнения. В экономике значения величин часто рассматриваются в определенные дискретные моменты времени. Например, когда речь идет о годовом плане производства продукции с отчетностью по каждому месяцу, то удобно значения всех текущих показателей брать соответствующими каждому месяцу. Если рассматривается некоторая величина y , то вместо скорости изменения этой величины ределенный конечный интервал времени берут среднюю скорость за оп. Если выбрать масштаб вре- мени так, что длина рассматриваемого интервала времени равна 1, то скорость изменения y можно представить как разность yt  y (t  1) - y (t ) , которую называют правой разностью. В практике также используют левую разность, определяемую как ∇yt  y (t ) - y (t  1)  yt 1 . В дальнейшем часто будут использоваться обозначения дискретного аргумента у функции с помощью нижнего индекса, например, yt вместо y (t ) . Рассмотренные выше разности есть разности первого порядка. В численном анализе используются разности порядков выше первого: правые разности 5  2 yt  yt 1 - yt  yt 2  2 yt 1  yt  r  r yt   r 1 yt 1 -  r 1 yt   (1) j Crj yt r  j j 0 r r r-1 r-1 ∇ yt  ∇ yt - ∇ yt 1   yt r . и левые разности Обыкновенным разностным уравнением порядка r называется уравнение вида G (t , yt , yt 1 ,, yt r )  0 . (10) Обыкновенное разностное уравнением порядка r можно представить как соотношение, связывающее yt и разности i yt или ∇i yt вплоть до порядка r . Решением разностного уравнения (10) называется функция yt , которая обращает это уравнение в тождество. В качестве примера рассмотрим паутинообразную модель равновесия. Пусть рынок какого-либо отдельного товара характеризуется следующими объемами спроса и предложения: и . Для существования равновесия цена должна быть такой, чтобы товар на рынке был распродан, или . Цена равновесия P и соответствующий объем покупок- продаж, обозначаемый как X , задается уравнением: . Предположим, что от времени производства товара до его попадания на рынок требуется один временной период. Производитель выпускает товар в период , цена которого в этот период равна . При этом объем производимого товара равен . Этот товар попадает на рынок в период . Соответственно объем предложения на рынке в периоде будет ,и величина должна установиться так, чтобы был куплен весь объем предложенного товара. Иными словами , и объем покупок-продаж характеризуются уравнением: . (11) Итак, зная исходную цену с помощью уравнения (11) мы можем получить значения и . Затем, используя имеющуюся цену , аналогично получим 6 значения и т.д. В общем, изменение уравнением первого порядка (11). характеризуется разностным Решение можно проиллюстрировать графиком на рис.1, где и - соответственно графики спроса и предложения, а положение равновесия (со значениями и ) соответствует точке их пересечения. Рис.1. Устойчивое равновесие спроса и предложения На рис.1 видно, что для изображенных зависимостей довательность цен и сходится к цене равновесия P . 7 после- 2. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, записывается в виде dy  f ( x, y ) . dx (1) Функция f в (1) называется правой частью. В частном случае, когда правая часть зависит только от переменной x , решение уравнения (1) представляется в виде y   f ( x )dx  C , где C - произвольная постоянная, которая может быть определена, если известно значение решения в некоторой точке x0 , y( x0 )  y0 . В таком случае x y  y0   f ( x )dx . x0 В общем случае, когда правая часть есть функция переменных x и y , задача оказывается гораздо сложнее и для ее решения разрабатываются различные аналитические и численные методы. Во многих задачах переменные x и y могут рассматриваться как равноправные. Поэтому, если для определения дифференциальное уравнение 8 x и y требуется решить dy  f ( x, y ) , dx (2) то иногда имеет смысл для решения задачи рассматривать уравнение dx 1  . dy f ( x, y ) Например, если функция f (3) является функцией только переменной y , то легче интегрировать уравнение (3) чем уравнение (2). Если в некоторых точках одно из уравнений (2) или (3) теряет смысл, то в таких точках можно перейти к решению другого из этих уравнений. Если оба уравнения (2) и (3) имеют смысл, то они эквивалентны. Действительно, если функция y  y ( x) является решением уравнения (2), то обратная функция x  x( y ) является решением уравнения (3). 2.1. Геометрическое описание дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение (1) в каждой точке  x, y  задает направление касательной к графику решения. С геометрической точки зрения задача нахождения решений дифференциального уравнения (1) сводится к нахождению семейства кривых, у которых направления касательных совпадают с направлением поля, задаваемого этим дифференциальным уравнением. Графики решений дифференциального уравнения вида (1) называются интегральными кривыми. Пример 1. На рис.1 изображены поле направлений и интегральные кривые дифференциального 9 уравнения dy  x2 . dx Рис.1. Поле направлений и интегральные кривые в примере 1 Рассмотрим линии уровня функции f  x, y  , т.е. линии, на которых функция f сохраняет постоянное значение. Очевидно, что на этих линиях касательные к интегральным кривым сохраняют постоянное направление. Такие линии называются изоклинами. В примере 1 изоклинами являются прямые, параллельные оси ординат. Пример 2. Пусть дано дифференциальное уравнение dy  x 2  y 2 . Очевидно, dx уравнения изоклин имеют вид: x 2  y 2  r , где r - произвольная постоянная, и представляют собой окружности радиуса r с центром в начале координат. На рис.2 изображены соответствующие поле направлений и интегральные кривые. При этом хорошо видны изоклины в виде окружностей. Рис. 2. Поле направлений и интегральные кривые в примере 2 2.2. Уравнения с разделяющимися переменными 10 Дифференциальные уравнения вида f1 ( x ) f 2 ( y )dx  g1 ( x) g 2 ( y )dy (4) называются уравнениями с разделяющимися переменными. Предполагая, что g1 ( x) f 2 ( y )  0 , разделим уравнение (4) на g1 ( x ) f 2 ( y ) и затем проинтегрируем. В результате получим уравнение f1 ( x) g2 ( y) dx   g1 ( x)  f 2 ( y) dy  C , (5) где C - произвольная постоянная. Любое решение уравнения (5) является решением уравнения (4), но при этом следует помнить, что уравнение (5) имеет смысл только при условии g1 ( x) f 2 ( y )  0 . Поэтому для получения всех решений уравнения (4) надо исследовать нули функций f 2 и g1 . Замечание. При решении некоторых задач неопределенные интегралы в уравнении (5) невозможно будет выразить в элементарных функциях. Несмотря на это, в таких случаях задачу интегрирования дифференциального уравнения принято считать выполненной в том смысле, что эта задача сведена к более простой задаче вычисления неопределенных интегралов. В таких случаях говорят, что решение получено в квадратурах, т.е. в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них. Пример 1. Требуется решить уравнение 2 e x dx  dy . Решение. Интегрируя это уравнение, получаем 2 x  e dx   dy  C . 2 2 Откуда y  C   e x dx . Интеграл  e x dx не берется в элементарных функциях. Тем не менее, задача считается решенной, т.к. она доведена до квадратур. 11 Пример 2. Решить уравнение dy y  . dx x  1 Решение. Разделим уравнение на y ( y  0 ), умножим на dx и затем проинтегрируем dy  dx .  y  x 1 Из последнего равенства получим ln y  ln C ( x  1) . Потенцируя, получим y  C x  1 . Уравнение y  C x  1 , где C  0 эквивалентно уравнению y  C1 ( x  1) , где C1 может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Но C1  0 , т.к. предполагалось, что y не обращается в ноль. Непосредственной проверкой можно убедиться, что y  0 является решением. В этом случае можно считать, что в решении y  C1 ( x  1) константа C1 принимает значение ноль. Частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию, находится путем определения константы C1 . Например, при x0  1 , y0  5 получим C1  5  2.5 . 11 2.3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Существуют дифференциальные уравнения, которые можно привести к уравнениям с разделяющимися переменными путем замены переменных. Такими уравнениями являются уравнения вида 12 dy  f (ax  by) , dx где a и b - некоторые константы. Для приведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными используется замена z  ax  by . Действительно, переходя к переменным x и z , имеем dz  a  b dy dx dx или dz  a  bf ( z) . dx Затем разделяем переменные dz  dx . a  bf ( z ) Интегрируя последнее равенство, получим x dz  a  bf ( z)  C . Пример 3. Пусть требуется проинтегрировать уравнение dy  3x  4 y . dx dz dy  3  4 . Разdx dx делив переменные с последующим интегрированием, получим Решение. Вводим замену переменных z  3 x  4 y . Имеем 13 dz  dx , ln 3  4 z  4 x  ln C ( C  0 ), 3  4z 3  4 z  Ce4 x или 3  4 z  C1e 4 x , где C1  0 . Здесь мы предполагаем, что 3  4 z  0 . В результате имеем z ( x)  1 1 3 C1e4 x  3 или y ( x)   C1e 4 x  3   x .  4 16 4 Теперь рассмотрим случай, когда 3  4 z  0 . Для этого случая необходимо 3 потребовать, чтобы C1  0 . Тогда z   и с учетом введенной замены полу4 3 3 чим потерянное решение y   x  . 4 16 Однородные уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка dy    x, y  dx (6) называется однородным, если имеет место тождество   tx, ty     x, y  . (7) Однородные уравнения также могут быть записаны в виде M ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 , где M ( x, y ) , N ( x, y ) - однородные функции одной и той же степени. Функция g ( x, y ) называется однородной степени m , если для всех t  0 выполняется равенство g (tx, ty )  t m g ( x, y ) . 14 Полагая t  1 в равенстве (7), получим тождество x  y   x, y    1,  .  x Таким образом, правая часть уравнения (6) может быть представлена как y  y  y функция . Обозначив f     1,  , приходим к уравнению x  x  x dy  dx  y f  . x Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переy менными путем введения замены переменных z  . Действительно, дифx ференцируя равенство x dz  z  f ( z) dx dy  x dz  z , dx dx y  zx , имеем dz  dx . f ( z)  z x или Интегрируя последнее равенство, получим dz  dz   ln x  ln C , x  Ce f ( z ) z . f ( z)  z Пример 4. Требуется проинтегрировать уравнение dy x  y  . dx x Это уравнение является однородным. Делаем подстановку y  zx . В результате приходим к уравнению 15 zx dz dz  1  z или x  1  2 z . dx dx Теперь можно разделить переменные и проинтегрировать dz dx  , 1  2z x 1 ln x   ln 1  2 z  ln C , x  2 C 1  2z C  0 , Возведем последнее равенство в квадрат x2  C 1 2 y x  Cx C .  C  0  или x  x  2y x  2y x2  C Выразив y через x , получим решение y   C  0  . При делении на 2x 1 1  2z было потеряно решение y  x , которое проверяется непосредствен2 ной подстановкой в исходное уравнение. Также при делении на x было поdx x теряно решение x  0 уравнения , которое является обратным к  dy x  y исходному уравнению. Уравнения вида  a x  b1 y  c1  dy  f 1  dx  a2 x  b2 y  c2  (8) преобразуются в однородные уравнения путем переноса начала координат в точку  x* , y*  , которая является пересечением прямых a1 x  b1 y  c1  0 и a2 x  b2 y  c2  0 . Действительно, после введения новых координат x  x  x* , y  y  y* уравнение (8) преобразуется к виду dy  dx  a x  b1 y  f 1   a2 x  b2 y  16 y   a  b 1 1  dy x  ,  f y  dx  a2  b2  x   или которое является однородным. Этот метод не работает в случае, когда прямые a1 x  b1 y  c1  0 и a2 x  b2 y  c2  0 параллельны. Но в этом случае коэффициенты этих прямых при x и y пропорциональны, т.е. a2 b2   r . Тогда уравнение (8) можно переписать в виде a1 b1  a x  b1 y  c1  dy  f 1     a1 x  b1 y  , dx r a x  b y  c   1 1 2   и, как было указано ранее, замена переменных z  a1 x  b1 y приводит его к уравнению с разделяющимися переменными. Пример 5. dy x  2 y  1 .  dx 2 x  y  2 (9) Решением системы уравнений x  2 y  1, 2 x  y  2 является x*  1 , y*  0 . Вводим новые переменные x  x  x* , y  y  y* и делаем подстановку в уравнении (9) x  x  1, y  y . В результате приходим к уравнению y dy x  dx 2  y x 1 2 , (10) которое является однородным. Делая замену переменных z  17 y , получим x уравнение с разделяющимися переменными zx dz 1  2 z 2 z dx  или dz  . dx 2  z 1  4z  z2 x Проинтегрировав последнее равенство, будем иметь 1 1 ln x  ln 1  4 z  z 2  ln C  0 2 2 . Умножим последнее равенство на 2 и после потенцирования получим x 2 1  4 z  z 2   C или x 2  4 xy  y 2  C . Затем делаем переход к исходным переменным x 2  4 xy  y 2  2 x  4 y  1  C . 3. Линейные уравнения первого порядка Дифференциальное уравнение вида dy  a ( x ) y  f ( x) dx (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем предполагать, что функции a ( x ) , f ( x) непрерывны на интервале изменения переменной x , на котором требуется найти решение уравнения (1). Если f ( x )  0 , то уравнение (1) называется линейным однородным. В линейном однородном уравнении переменные разделяются: dy  a ( x)dx . y (2) Из уравнения (2) получим ln y    a ( x)dx  ln C1 ( C1  0 ),  a ( x ) dx y  Ce  (C  0) 18 . (3) При делении на y было потеряно решение y  0 . Это решение может быть включено в полученное общее решение, если допустить, что C может принимать значение 0. Для интегрирования неоднородного линейного уравнения (1) применяется так называемый метод вариации постоянной. Суть этого метода заключается в обобщении формулы общего решения однородного уравнения (3) на случай неоднородного уравнения. В (3) полагают, что C есть некоторая функция x , определить которую можно путем подстановки  a ( x ) dx y  C ( x )e  (4) в исходное уравнение (1) . Дифференцируя уравнение (4) и подставляя в уравнение (1)  a ( x ) dx  a ( x ) dx dy dC   a ( x ) dx  e  C ( x ) a ( x )e   C ( x ) a ( x )e   f ( x) , dx dx получаем дифференциальное уравнение для определения C ( x) a ( x ) dx dC  f ( x )e  . dx (5) Интегрируя уравнение (5), получаем C ( x )   f ( x )e  a ( x ) dx dx  C1 , и, окончательно  a ( x ) dx  a ( x ) dx  a ( x )dx y  C1e  e   f ( x)e dx . (6) Таким образом, общее решение неоднородного линейного уравнения (1) есть сумма общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, которое получается из (6) при C1  0 . Пример 1. dy 2 y 1   2 . dx x x  1 19 В данном уравнении a ( x )   a ( x ) dx 2 1 , f ( x)  2 . Найдем e  , x x 1  f ( x )e  a ( x ) dx dx и подставим в формулу (6) e  a ( x ) dx e 2 dx x e ln x 2 dx 2 2 a ( x ) dx 1   2, e  e x  eln x  x 2 , x x2 1   dx  1      x 2  1  dx  x  arc tg x . По формуле общего x2  1 решения (6) получаем f ( x )e  a ( x ) dx dx   y 1  C1  x  arc tg x  . x2 Покажем, что если имеется некоторое частное решение линейного неоднородного уравнения, то его можно привести к однородному уравнению. Пусть y1 - некоторое частное решение уравнения (1). Введем функцию z  y  y1 и подставим в уравнение (1) вместо функции y ее выражение через z и y1 dz dy1   a ( x) z  a ( x) y1  f ( x) . dx dx В результате получим однородное уравнение dz  a( x) z  0 . dx Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение вида dy  a ( x ) y  f ( x) y n , n  1 . dx (7) Покажем, что уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению. Заметим, что y  0 является решением уравнения (7). Будем искать другие решения. Разделим уравнение (7) на y n 20 yn dy  a ( x ) y1n  f ( x) dx (8) и введем замену переменных z  y1n . Подставив в уравнение (8) выражение y  n dy dz через производную , приходим к линейному уравнению dx dx 1 dz  a ( x) z  f ( x) . 1  n dx (9) С помощью формулы общего решения неоднородного линейного уравнения (6) находим решение уравнения (9) z  Ce  ( n 1) a ( x ) dx  (1  n)e  ( n 1) a ( x ) dx  f ( x )e  (1 n ) a ( x ) dx dx и общее решение уравнения Бернулли (7) 1 ( n 1) a ( x ) dx ( n 1) a ( x ) dx (1 n )  a ( x ) dx  1n . y  Ce   (1  n)e  f ( x ) e dx    (10) Пример 2. dy y 1 .   dx x y  x 3  1 1 1 , f ( x)  3 , n  1 . Общее решение нахоx x 1 дится с помощью формулы (10) Для данного уравнения a ( x )  dx 2 x   dx dx  2  2  e  y  Ce x  2e x  3 dx   x 1    1 2 . Из последнего равенства окончательно получаем 1 2  y   2  C  ln x3  1   3  x  21 1 2 . 4. Существование и единственность решения дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной При решении многих практических задач, связанных с математическим моделированием на основе дифференциальных уравнений, важно знать, что у построенных дифференциальных уравнений решения существуют и эти решения являются единственными. Во многих случаях возникающие в практике дифференциальные уравнения не имеют решения в квадратурах, и поэтому эти уравнения решают приближенно на ЭВМ с помощью численных методов. Но, если нет уверенности в том, что решение существует и единственно, то нельзя гарантировать, что полученные результаты расчетов будут соответствовать уравнениям модели. 22 Ниже дана теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения вида dy  f ( x, y ) , dx (11) с известным начальным условием y ( x0 )  y0 . (12) Теорема 1. Пусть в уравнении (11) функция f ( x, y ) непрерывна в прямоугольнике G : x0  a  x  x0  a , y0  b  y  y0  b , и удовлетворяет в G условию Липшица: f ( x, y1 )  f ( x, y2 )  L y1  y2 для некоторой постоянной L  0 , тогда существует единственное решение уравнения (11), удовлетворяющее начальному условию (12), на отрезке: x0  h  x  x0  h ,  b где h  min  a,  , K  max f ( x, y ) ( x , y )M  K . Аналогично можно доказать теорему существования и единственности для системы дифференциальных уравнений dyi  f i ( x, y1 ,, yn ) , yi (0)  yi 0 dx  i  1, 2,, n  . (13) Теорема 2. Пусть правые части системы уравнений (13) в области G , определяемой неравенствами: x0  a  x  x0  a , yi 0  bi  yi  yi 0  bi ,  i  1, 2,, n  удовлетворяют условиям: 1) функции f i ( x, y1 , , yn )  i  1, 2,, n  непрерывны, а следовательно, ограничены fi  K ; 23 2) функции f i ( x, y1 , , yn )  i  1, 2,, n  удовлетворяют условию Липшица: n fi ( x, y1 ,, yn )  f i ( x, z1 ,, zn )  L  yi  zi . i 1 Тогда существует единственное решение системы дифференциальных уравнений (13), состоящее из непрерывных функций y1 ( x ),, yn ( x) , определенных на отрезке b   b x0  h  x  x0  h , где h  min  a, 1 ,, n  . K  K 5. Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальное уравнение n - го порядка есть уравнение вида F  x, y, y,, y ( n )   0 . 24 (1) Будем предполагать, что F - непрерывная функция всех своих аргументов; в окрестности начальных значений  x0 , y0 , y0 ,, y ((0n))  выполняются условия: F  x0 , y0 , y0 ,, y ((0n))   0 , F y ( n ) 0 x  x0 , y  y0 , y  y0 ,, y (n ) .  y (( 0n )) Тогда согласно теореме о неявной функции можно утверждать, что в этой окрестности уравнение (1) однозначно разрешимо относительно y ( n ) , т.е. существует функция f такая, что уравнение (1) эквивалентно уравнению y ( n )  f  x, y, y,, y ( n1)  . (2) Для дифференциального уравнения вида (2) можно доказать теорему о существовании единственного решения, аналогичную теореме существования и единственности для системы дифференциальных уравнений первого порядка. Доказательство основано на применении этой теоремы к эквивалентной уравнению (2) системе уравнений: y  y1 ,   y1  y2 ,  ...........   yn2  yn1 ,   yn1  f  x, y, y1 ,, yn 1  . Теорема 1. Существует единственное решение дифференциального уравнения n - го порядка (2), удовлетворяющее условиям y ( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 ,, y ( n1) ( x0 )  y0( n1) , если в окрестности начальных значений ( x0 , y0 , y0 ,, y (( 0n)1) ) функция f является непрерывной функцией всех своих аргументов и удовлетворяет условию Липшица по всем аргументам, начиная со второго. 25 Общим решением дифференциального уравнения n - го порядка называется функция y   ( x, C1 , C2 ,, Cn ) , которая зависит от аргументов x и n независимых постоянных C1 , C2 ,, Cn , обращающая вместе со своими производными y, y,, y ( n ) это уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения n - го порядка называется решение, которое получается из общего решения, если придавать постоянным C1 , C2 ,, Cn определенные числовые значения. 5.1. Интегрирование уравнения y ( n )  f ( x) . (3) Общее решение уравнения (3) получается путем последовательного интегрирования этого уравнения n раз. Действительно, x y ( n 1)   f ( x )dx  C1 , x0 x y y ( n  2) ( n 3) x   dx  f ( x )dx  C1 ( x  x0 )  C2 , x0 x0 x x x   dx  dx  f ( x)dx  x0 x0 x0 C1 ( x  x0 )2  C2 ( x  x0 )  C3 , 2 …………………………………………………………………………………… x x x y   dx  dx  x0 x0 x0     C1 ( x  x0 )( n 1) C2 ( x  x0 )( n2) f ( x)dx    (n  1)! (n  2)! n Cn 1 ( x  x0 )  Cn . (4) Итак, получено общее решение уравнения (2), удовлетворяющее начальным данным: y ( x0 )  Cn , y( x0 )  Cn1 ,, y ( n1) ( x0 )  C1 . 26 Если положить в формуле (4) значения констант Ci (i  1,, n) равными нулю, то получим частное решение при нулевых начальных данных в точке x  x0 x x x y   dx  dx  f ( x )dx . x0 x0 (5) x0 Можно показать, что для интеграла в формуле (5) справедливо представление (формула Коши) x x x x 1 n 1 x dx x dx x f ( x)dx  (n  1)! x ( x  z) f ( z)dz . (6) d3y Пример 1.  sin x . Начальные значения x0  0 , y0 , y0 , y0 - некоторые заdx3 данные числа. Решение находим согласно формулам (4), (6) x 1 1 y   ( x  z )2 sin zdz  C1 x 2  C2 x  C3 20 2 (7) Берем интеграл в (7) методом интегрирования по частям x x 1 1 x ( x  z )2 sin zdz   ( x  z )2 cos z 0   ( x  z )cos zdz   20 2 x x2 x2 x  ( x  z )sin z 0   sin zdz   cos x  1 . 2 2 (8) Примем в (7) значения констант равные начальным значениям функции y и ее производных: C3  y0 , C2  y0 , C1  y0 . С учетом (8) окончательно получаем x2 y0x 2 y   cos x  1   y0 x  y0 . 2 2 27 5.2. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производных, т.е. уравнение вида a0 ( x ) y ( n )  a1 ( x ) y ( n 1)    an ( x) y  f ( x) . (9) Линейным однородным уравнением n -го порядка называется уравнение a0 ( x ) y ( n )  a1 ( x) y ( n 1)    an ( x) y  0 . (10) Будем предполагать, что решение уравнения (10) ищется на некотором отрезке a  x  b и на этом отрезке коэффициент a0 ( x) не равен нулю. Разделив уравнение (10) на a0 ( x) , приведем его к виду y ( n )  p1 ( x ) y ( n 1)    pn ( x) y  0 . (11) Обозначим L[ y ]  y ( n )  p1 ( x ) y ( n1)    pn ( x) - линейный дифференциальный оператор, тогда уравнение (11) можно записать в виде L[ y ]  0 . Свойства линейного оператора: 1) постоянный множитель выносится за знак оператора L : L[cy ]  cL[ y ] ; 2) применение оператора L к сумме двух функций равно сумме результатов применения этого оператора к каждой функции в отдельности: L[ y1  y2 ]  L[ y1 ]  L[ y2 ] . Из свойств 1), 2) оператора L следует n n L[ ci yi ]   ci L[ yi ] . i 1 i 1 28 (12) Тождество (12) позволяет доказать следующее утверждение: линейная n комбинация с произвольными постоянными коэффициентами  c y решеi i i 1 ний y1 , y2 , , yn линейного однородного уравнения L[ y ]  0 является решением этого уравнения. Функции y1 ( x ), y2 ( x ),, yn ( x) называются линейно зависимыми на некотором отрезке a  x  b , если существуют постоянные величины 1 , 2 , n , не все равные нулю, такие, что для любого x  [a, b] выполняется равенство 1 y1 ( x)   2 y2 ( x )     n yn ( x )  0 . Теорема 2. Если функции y1 , y2 , , yn линейно зависимы при x  [a, b] , то на отрезке [a, b] определитель Вронского W [ y1 , y2 ,, yn ]  y1 y1 y2 y2  y1( n1)   yn yn    y2( n1)  yn( n1) тождественно равен нулю. Теорема 3. Если линейно независимые функции y1 , y2 , , yn являются решениями линейного однородного уравнения y ( n )  p1 ( x ) y ( n 1)    pn ( x) y  0 с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами pi ( x) (i  1,, n) , то определитель Вронского W [ y1 , y2 ,, yn ] не может обратиться в нуль ни в одной точке отрезка [a, b] . Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n -го порядка называются любые n линейно незави29 симых решений этого уравнения. Фундаментальную систему можно построить, задавая n 2 произвольных чисел yi( k ) ( x0 ) ( k  0,, n  1 ; i  1,, n ) для любой точки x0  [a, b] таких, что y1 ( x0 ) y1( x0 )  ( n 1) y1 ( x0 ) y2 ( x0 ) y2 ( x0 )   yn ( x0 ) yn ( x0 )    ( n 1) ( n 1) y2 ( x0 )  yn ( x0 )  0. Тогда решения yi ( x) ( i  1,, n ), соответствующие начальным значениям yi( k ) ( x0 ) линейно независимы, т.к. определитель Вронского в точке x0 не равен нулю. Следовательно, эти решения образуют фундаментальную систему. Теорема 4. Если линейное однородное дифференциальное уравнение y ( n )  p1 ( x ) y ( n 1)    pn ( x) y  0 с действительными коэффициентами pi ( x) имеет комплексное решение y ( x)  u ( x)  iv ( x) , то действительная часть этого решения u ( x ) и его мнимая часть v( x) являются решениями этого уравнения. Теорема 5. Общим решением на отрезке [a, b] линейного однородного уравнения y ( n )  p1 ( x ) y ( n 1)    pn ( x) y  0 с непрерывными на [a, b] коэффициентами pi ( x) (i  1,, n) является лиn нейная комбинация y   i1 ci yi n линейно независимых на отрезке [a, b] частных решений с произвольными постоянными коэффициентами. Следствие. Максимальное число линейно независимых решений однородного линейного дифференциального уравнения равно его порядку. 30 Пример 2. Функции y1 ( x )  x , y1 ( x)  e x являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения y  x 1 y  y  0. x 1 x 1 Общим решением этого уравнения на любом отрезке [a, b] , не содержащем 1, является линейная комбинация y  C1 x  C2e x , где C1 , C2 - произвольные постоянные. Лемма. Пусть два дифференциальных уравнения y ( n )  p1 ( x ) y ( n 1)    pn ( x)  0 , y ( n )  q1 ( x) y ( n1)    qn ( x)  0 с непрерывными коэффициентами pi ( x) и qi ( x ) (i  1,, n) на отрезке [a, b] имеют общую фундаментальную систему решений. Тогда эти два уравнения совпадают, т.е. pi ( x)  qi ( x) (i  1,, n) при x  [a, b] . Таким образом, любая система n линейно независимых функций может быть фундаментальной системой только одного линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка. Возникает вопрос о возможности построения линейного однородного дифференциального уравнения n - го порядка по заданной системе n линейно независимых функций. Так как любое решение y уравнения (11) линейно зависит от решений y1 , y2 , , yn , составляющих фундаментальную систему решений, то определитель Вронского W [ y1 , y2 ,, yn , y ] равен нулю, т.е. 31 y1 y1   y2 y2 yn yn y y   0 . y2( n 1)  yn( n 1) y1( n )  yn( n) y1( n 1) y1( n ) (13) y ( n 1) y(n) Разложив определитель в (13) по элементам последнего столбца, получим линейное однородное дифференциальное уравнение, имеющее заданную фундаментальную систему решений y1 , y2 , , yn . y1 y1 y2 y2   yn yn W [ y1 , y2 ,, yn ] y ( n )   ( n  2) 1 (n) 1 y y y ( n  2) 2 (n) 1 y  y  ( n  2) n (n) n y ( n1)    0 . (14) y Поделив уравнение (14) на определитель Вронского W [ y1 , y2 ,, yn ]  0 , приходим к уравнению в форме (11), которое имеет заданную фундаментальную систему решений y1 , y2 , , yn . Пример 3. Построить однородное линейное дифференциальное уравнение, фундаментальной системой решений которого являются две линейно независимые функции y1  x , y2  x 2 . Решение. Запишем уравнение вида (13) для данной системы функций x x2 1 2x 0 2 y y  0 . y  32 Разложив определитель по последнему столбцу, получим требуемое дифференциальное уравнение x 2 y  2 xy  2 y  0 . Заметим, что определитель при y ( n1) в уравнении (14) равен производной W определителя Вронского W [ y1 , y2 ,, yn ] . Отсюда следует, что p1 ( x)   . W Интегрируя это дифференциальное уравнение, получим ln W    p1 ( x)dx  ln C . Откуда следует  p1 ( x ) dx . W  Ce  (15) При x  x0 , получим C  W ( x0 ) . Следовательно,  p1 ( x ) dx W  W ( x0 )e  (16) Формулы (15), (16) называются формулами Остроградского-Лиувилля. 5.3Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Рассмотрим однородное линейное дифференциальное уравнение a0 y (n )  a1 y ( n1)    an y  0 , где коэффициенты ai  i  0,, n  (1) - постоянные величины. Для нахождения общего решения уравнения (1) надо найти n линейно независимых решений этого уравнения, т.е. фундаментальную систему решений. 33 Будем искать частные решения уравнения (1) в виде y  e kx , где k - постоянная величина, которая может выбираться произвольно. Подставляя в уравнение (1) функцию y  e kx и ее производные, получим a0 k n e kx  a1k n1ekx    an e kx  0 . (2) После сокращения на множитель ekx получается алгебраическое уравнение n й степени a0 k n  a1k n 1    an  0 . (3) Уравнение (3) называется характеристическим уравнением. Если все корни k1 , k 2 ,, kn уравнения (3) различны, то это означает, что найдено n линейно независимых решений ek1 , e k2 ,, ekn уравнения (1). Это означает, что общее решение уравнения (1) записывается в виде y  c1e k1x  c2e k2 x  cn ekn x , (4) где ci – произвольные постоянные. Пример 1. Найти общее решение уравнения y  5 y  6 y  0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 2  5k  6  0 , его корнями являются k1  3 , k 2  2 . Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде y  c1e3 x  c2e2 x . Если среди корней характеристического уравнения (3) оказываются комплексные, то они входят во множество корней парами комплексно сопряженных чисел. Паре комплексно сопряженных корней k1    i  , k 2    i  соответствуют два решения уравнения (1) : e  и e  . Согласно формуле Эйлера для комплексной экспоненты запишем эти решения в виде  i  x e  i  x  e x  cos  x  i sin  x  , e  i  x  i x  e x  cos  x  i sin  x  . Как известно, если однородное дифференциальное уравнение с действительными коэффициентами имеет комплексное решение, то действительная и мнимая части этого решения также являются решениями этого уравнения. 34 Следовательно, паре комплексных корней k1    i  и k 2    i  соответствуют два действительных решения: e x cos  x и e x sin  x . Пример 2. Найти общее решение уравнения y  3 y  y  5 y  0 . Решение. Корнями характеристического уравнения k 3  3k 2  k  5  0 являются k1  1 , k 2  2  i , k3  2  i . Общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид y  c1e x  c2e 2 x cos x  c3e 2 x sin x . Рассмотрим случай, когда среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Если среди корней характеристического уравнения имеется кратный корень, то справедливо следующее утверждение. Утверждение. Пусть k j - корень характеристического уравнения, соответствующего уравнению (1), имеет кратность rj . Тогда функции e xe kjx r 1 k j x ,, x j e k jx , являются частными решениями уравнения (1). Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда характеристическое уравнение имеет корень k j  0 кратности rj . В этом случае левая часть характеr ристического уравнения a0 k n  a1k n 1    an  0 имеет множитель k j . Следовательно, все коэффициенты, которые умножаются на k в степени меньшей чем rj , равны нулю, т.е. anrj 1  anrj 2    an  0 . В этом случае соответствующее однородное дифференциальное уравнение имеет вид a0 y ( n )  a1 y ( n1)    an rj y ( rj )  0, r 1 и легко проверяется, что функции 1, x,, x j являются решениями этого уравнения. Пусть характеристическое уравнение имеет корень k j  0 кратности rj . В этом случае сделаем замену переменных k x y e j z. (5) Замена (5) приводит уравнение (1) к однородному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами. Действительно, выражение производной y ( p ) через производные функции z имеет вид 35 y( p)  e kjx p l p l ( p l ) j C k z (6) . l 0 После подстановки в уравнение (1) выражений производных функции y через производные функции z (6) и деления на множитель e нение вида (1) для функции z k jx получим урав- b0 z ( n )  b1 z ( n 1)    bn  0 . (7) Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (7) имеет вид b0 q n  b1q n1    bn  0 . (8) Корни характеристических уравнений (2) и (8) связаны между собой равенством k  q  k j , т.к. решения уравнений (1) и (7) связаны между собой соотk x ношением (5), т.е. ekx  e j e qx . Поэтому корню уравнения (2) k j кратности rj соответствует корень уравнения (8) p j  0 , имеющий кратность rj . Корню p j  0 кратности rj соответствуют частные решения уравнения (7) r 1 z  1 , z  x,, z  x j k x . Следовательно, т.к. y  e j z , корню k j уравнения (2) кратности rj будут соответствовать частные решения уравнения (1) k x k x r 1 k j x y  e j , y  xe j ,, y  x j e . (9) Частные решения (9) являются линейно независимыми. Это можно легко доказать, используя линейную независимость функций 1, x, x 2 ,, x k j 1 . Пример 3. Найти общее решение уравнения y  y  8 y  12 y  0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 3  k 2  8k  12  0 , его корнями являются k1  k2  2 , k3  3 . Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения записывается в виде y  c1e 2 x  c2 xe 2 x  c3e 3 x . 36 Если характеристическое уравнение имеет комплексный корень k j  p j  iq j кратности rj , то этому корню соответствуют 2rj линейно независимых действительных решений: pjx cos q j x, xe pjx sin q j x, xe e e pjx pjx r 1 p j x cos q j x,, x j e r 1 p j x sin q j x,, x j e cos q j x , sin q j x . Пример 4. Найти общее решение уравнения y IV  4 y  8 y  8 y  4 y  0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет вид k 4  4k 3  8k 2  8k  4  0 , его корнями являются k1  k2  1  i , k3  k4  1  i . Следовательно, общее решение рассматриваемого уравнения x y  e  c1 cos x  c2 x cos x  c3 sin x  c4 x sin x  . записывается в виде 5.4. Неоднородные линейные уравнения Рассмотрим неоднородное линейное уравнение вида L[ y ]  y ( n )  p1 ( x) y ( n1)    pn ( x) y  f ( x) . (10) Будем предполагать, что решение уравнения (10) ищется на интервале x  [a, b] и на этом интервале функции pi ( x) (i  1,, n) , f ( x) непрерывны. В этом случае уравнение (10) имеет единственное решение, удовлетворяющее при некотором заданном x0  [a, b] условиям y ( p ) ( x0 )  y p 0 ( p  0,, n  1) , где y p 0 - любые действительные числа. Теорема 1. Общее решение на отрезке [a, b] уравнения L[ y ]  f ( x ) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какогонибудь частного решения y неоднородного уравнения. n Доказательство. Общее решение однородного уравнения имеет вид c y , i i i 1 где ci (i  1,, n) - произвольные константы; yi (i  1,, n) - линейно незави37 симые решения однородного уравнения. Покажем, что общим решением неоднородного уравнения является сумма n c y  y . (11) i i i 1 Для этого достаточно показать, что подбором констант ci выражение (11) может удовлетворять произвольно заданным начальным условиям. y ( p ) ( x0 )  y p 0 ( p  0,, n  1) . (12) Записывая начальные условия для функции (11), получим систему n уравнений для определения коэффициентов ci n c y i ( p) i ( x0 )  y ( p ) ( x0 )  y p 0 ( p  0,, n  1) . (13) i 1 Система (13) имеет единственное решение, поскольку для любого x0  [a, b] определитель Вронского W [ y1 , y2 ,, yn ] отличен от нуля в силу линейной независимости yi (i  1,, n) . Теорема доказана. Таким образом, если найдено частное решение неоднородного уравнения, то для определения общего решения этого уравнения достаточно найти фундаментальную систему решений соответствующего однородного уравнения. Метод вариации постоянных. В случае, если не удается найти частное решение неоднородного уравнения, а общее решение соответствующего одноn родного уравнения c y i i найдено, то для определения общего решения не- i 1 однородного уравнения можно применить так называемый метод вариации постоянных. При использовании этого метода решение неоднородного уравнения ищетn ся в виде y   ci ( x ) yi ( x ) , т.е. нахождение неизвестной функции y ( x) своi 1 дится к нахождению n неизвестных функций ci ( x) . Для определения функций ci ( x) предлагается решать систему n линейных уравнений 38 n    ci( x) yi  0,  i1 n    ci( x) yi  0,  i1    n   ci( x) yi( n2)  0,  i1  n  ci( x ) yi( n 1)  f ( x).  i 1 (14) Система (14) однозначно разрешима относительно ci , т.к. матрицей этой системы является фундаментальная система решений однородного линейного дифференциального уравнения, соответствующего исходному неоднородному уравнению. В результате решения системы уравнений (14) получим дифференциальные уравнения для определения ci ( x) вида ci( x)   i ( x) , которые решаются в квадратурах ci ( x)    ( x )dx ci . Пример 5. Найти общее решение уравнения x  [1, 2] . y  2 y  y  2 xe  x на отрезке Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Запишем характеристическое уравнение: k 2  2k  1  0 . Характеристическое уравнение имеет кратный корень k1  k2  1 . Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид c1e  x  c2 xe x . Для определения частного решения неоднородного уравнения применим метод вариации постоянных. В соответствии с этим методом частное решение неоднородного уравнения ищем в виде c1 ( x)e  x  c2 ( x ) xe  x . Составим систему уравнений вида (14) для определения c1( x) , c2 ( x)  c1 ( x )e x  c2 ( x ) xe  x  0,  x x x x  c1( x)e  c2 ( x)(e  xe )  2 xe . 39 Находим c1( x)  2 x 2 , c2 ( x )  2 x , откуда c1 ( x)    2 x 2 dx  c1 , c2 ( x )   2 xdx  c2 . 2 Итак, c1 ( x)   x 3  c1 , c2 ( x )  x 2  c2 . 3 Общее решение исходного уравнения имеет вид  2  y ( x)    x 3  C1  e x   x 2  C2  xe  x .  3  6. Системы дифференциальных уравнений В общем случае система дифференциальных уравнений представляет собой систему уравнений вида   Fi t , y1 , y1, y1( m1 ) ,, yn , yn , yn( mn )  0  i  1,, n  . Мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенные относительно производных 40  dyi  dt  f i (t , y1 ,, yn ),   dy2  f (t , y ,, y ), 2 1 n  dt    dyn  f (t , y ,, y ). n 1 n  dt (1) Система дифференциальных уравнений вида (1) называется системой дифференциальных уравнений в нормальной форме. Будем говорить, что система (1) задана в области G (t , y1 ,, yn ) , если в каждой точке этой области функции f i (i  1,, n) определены. Общим решением системы (1) на отрезке a  t  b функций называется система yi  i (t , C1 , C2 ,, Cn ) (i  1,, n) , где C1 , C2 ,, Cn - независимые постоянные, такая что при подстановке функций i в (1), они обращают эти уравнения в тождества. Частным решением системы (1) на отрезке a  t  b которое получается из общего решения, если ным C1 , C2 ,, Cn определенные числовые значения называется решение, придавать постоян- Для системы дифференциальных уравнений вида (1) задача Коши формулируется следующим образом: требуется найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям yi (t0 )  yi 0 , (i  1,, n) . (2) Достаточные условия существования и единственности решения системы уравнений (1) при заданных начальных условиях (2) даны в теореме Пикара. Теорема 1 (Пикара). Пусть правые части системы (1) удовлетворяют следующим условиям: А) функции f i (i  1,, n) непрерывны по всем своим аргументам в n  1 мерном параллелепипеде 41 - G  t0  a, t0  a    y10  b, y10  b      yn 0  b, yn 0  b  и, значит, ограничены в G f i  t , y1 , y2 ,, yn   M  i  1,, n  ; Б) для функций f i (i  1,, n) выполняются условия Липшица относительно аргументов y1 ,, yn в G , т.е. f i  t , y1,, yn   f i  t , y1,, yn   K  y1  y2    yn  yn  , где K  0 - некоторая константа. Тогда существует единственное решение системы (1), удовлетворяющее наb чальным условиям (2), на отрезке t0  h, t0  h  , где h  min(a, ) ,. M Замечание. Условие Липшица будет выполнено, если функции (i  1,, n) непрерывно дифференцируемы по переменным y j  j  1,, n  fi в параллелепипеде G . 6.1. Системы линейных дифференциальных уравнений Система линейных уравнений первого порядка в нормальной форме имеет вид n dyi   aij (t ) y j  f i (t ) ,  i  1, 2,, n  . dt j 1 (3) Если все f i (t )  0  i  1, 2,, n  , то система (3) называется линейной однородной. В некоторых случаях удобно записывать систему вида (3) в векторной форме dY  AY  F , dt 42 (4)  dy1   dt   y1 (t )   f1    dy  y (t )  f  dY  2  2   где Y  ,   dt  , F   2  - n - мерные вектор-функции;    dt              yn (t )   fn   dyn     dt   a11 a12  a1n  a  a  a 21 22 2 n  - n  n матричная функция. A       a21 a22  a2 n  Зададим линейный оператор L : L Y   dY  AY . Тогда уравнение (4) можно dt записать в виде L Y   F . (5) Легко видеть, что оператор L обладает следующими свойствами: 1) L  cY   cL Y  ; 2) L Y1  Y2   L Y1   L Y2  .  k  k Из свойств 1), 2) следует L  ciYi    ci L Yi  .  i1  i 1 Теорема 2. Если Y является решением линейной однородной системы L Y   0 , то cY , где c - произвольная постоянная, является решением этой системы. Теорема 3. Если Y1 , Y2 являются решениями линейной однородной системы L Y   0 , то сумма Y1  Y2 является решением этой системы. k Из теорем 2, 3 следует, что линейная комбинация cY i i i 1 системы L Y   0 является решением этой системы. 43 решений Y1 ,Y2 , , Yk Теорема 4. Если линейная однородная система с действительными коэффициентами имеет комплексное решение Y  U  iV , то действительная и мнимая части U и V являются решениями этой системы. Вектор-функции Y1 ,Y2 , , Yn , где  y1i (t )   y (t )  Yi   2 i        yni (t )  являются линейно зависимыми на отрезке [a, b] , если существуют постоянные, не все равные нулю, такие, что для всех t  [a, b] 1Y1   2Y2     nYn  0 . (6) В противном случае Y1 ,Y2 , , Yn являются линейно независимыми. Тождественное равенство вектора нулю означает, что каждая компонента вектора в левой части (6) равна нулю. Если вектор-функции Y1 ,Y2 , , Yn линейно зависимы на отрезке [a, b] , то для всех значений t  [a, b] определитель системы уравнений (6) W y11 y21 y12  y1n y22  y2 n  yn1 yn 2  ynn (7) должен быть равен нулю. Определитель (7) называется определителем Вронского для системы вектор-функций Y1 ,Y2 , , Yn . Теорема 5. Если определитель Вронского W решений Y1 ,Y2 , , Yn линейной однородной системы L Y   0 с непрерывными коэффициентами aij (t ) на отрезке [a, b] равен нулю хотя бы в одной точке отрезка [a, b] , то решения Y1 ,Y2 , , Yn линейно зависимы на [a, b] , и, следовательно, W  0 для всех значений t  [a, b] . 44 n cY Теорема 6. Линейная комбинация i i n линейно независимых решений i 1 линейной однородной системы L Y   0 с непрерывными на отрезке [a, b] коэффициентами aij (t ) является общим решением этой системы на отрезке [ a, b] . Пример 1. Системе уравнений dy1  y1  y2 , dt dy2   y1  y2 dt  1  1 удовлетворяют два линейно независимых решения: Y1    , Y2  e 2t   .  1  1  1  1 Общее решение системы уравнений имеет вид Y  c1    c2e 2t   . 1  1 Теорема 7. Общее решение на отрезке [a, b] неоднородной системы L Y   F с непрерывными на [a, b] коэффициентами правыми частями fi  t  n равно сумме общего решения cY i i соответствующей однородной системы i 1 и частного решения Y рассматриваемой неоднородной системы. Метод вариации постоянных. В некоторых случаях бывает затруднительно dY определить частное решение линейной неоднородной системы  AY  F . dt Для этой цели можно использовать метод вариации постоянных. Пусть n dY ciYi является решением соответствующей однородной системы  AY .  dt i 1 Для нахождения решения неоднородной системы будем рассматривать коэффициенты ci как функции переменной t , т.е. ищем решение в виде n Y   ci  t Yi . i 1 Подставляя это выражение в неоднородное уравнение, получим 45 n n i 1 i 1  ci  t Yi   ci  t  В силу того, что n dYi  A ci  t Yi  F . dt i 1 dYi  AYi , приходим к векторному уравнению dt n  c   t Y  F . i i i 1 Покоординатная запись полученного уравнения дает следующую систему линейных уравнений относительно c  i n  c   t y i 1i  f1  t  ,  c   t y 2i  f2 t  , i 1 n i i 1 (8)  n  c  t y i ni  f n  t . i 1 Матрица системы (8) является невырожденной на отрезке [a, b] , т.к. ее определитель совпадает с определителем Вронского для n линейно независимых решений однородной системы. Решение системы (8) представляется в виде n дифференциальных уравнений ci  i  t  , из которых находим функции ci  t  ci  t    i  t  dt  ci  i  1, 2,, n  . Пример 2. Найти общее решение системы dy1  y1  y2  1, dt dy2   y1  y2  t. dt Общим решением соответствующей однородной системы является семейство 1  1 решений c1    c2e2 t   . Ищем решение неоднородной системы в виде 1  1  46  1  1 c1 (t )    c2 (t )e2 t   . Составим систему линейных уравнений для определе 1  1  ния ci 1 e 2t   c1  1    , 2t   1 e   c2   t  t 1 1 t , c2  . Интегрируя полученные 2 2e 2t tt e 2 t  1   уравнения, получаем c1 (t )    1   c1 , c2 (t )   t    c2 . Таким обра2 2  4  2 зом, получаем частное решение неоднородного уравнения решением которой является c1  2 t 1 t  t  1   1 e  1   1  2 t  Y  c1 (t )    c2 (t )e      1     t    .  1  1 2  2  1 4  2   1 Общее решение исходной системы имеет вид 2 t 1 t  t 1   1 e  1   1  2 t  Y  c1    c2e      1     t    . 1   1 2  2  1  4  2   1  6.2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами называется линейная система уравнений n dyi   aij y j  fi (t ) dy j 1  i  1, 2, , n  . (9) Векторная форма записи системы (9) имеет вид dY  AY  F , dt где A   aij  - матрица с постоянными коэффициентами. Рассмотрим решение однородной системы с постоянными коэффициентами 47 n dyi   aij y j dt j 1  i  1, 2, , n  . (10) Очевидно, что система (10) имеет тривиальное решение y1  0,, yn  0 . Будем искать ненулевое решение системы (10) в виде y1   1e kt , y2   2 ekt , , yn   n ekt , где  j ,  j  1, 2, , n  - (11) постоянные величины. После подстановки (11) в (10) и сокращения на ekt приходим к системе линейных однородных уравнений относительно  j  a11  k   1  a12 2    a1n n  0, a21 1   a22  k   2    a2 n n  0, (12)  an1 1  an 2 2     ann  k  a1n n  0. Для того, чтобы эта система n линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю, т.е.  a11  k  a12  a1n a21  a22  k   a2 n  an1 an 2   0. (13)  ann  k  Векторная запись уравнений (12) и (13) имеет вид, соответственно  A  kE    0 , det  A  kE   0 ,  1    где    2  , E - единичная матрица размера n  n . Уравнение (13) называет      n ся характеристическим. Корни уравнения (13) называются собственными числами матрицы A , а соответствующие этим собственным числам решения системы (12) – собственными векторами матрицы A . 48 Характеристическое уравнение имеет n корней. Если все собственные числа ki  i  1, 2,, n  вещественны и различны, то получаем n линейно независимых решений системы (12) X 1  (1)ek1t , X 2  (2)e k2t ,  , X n  ( n )e knt ,   1( i )   (i )   (i ) где    2  , (i  1,, n) - собственные векторы, соответствующие собст    ( i )  n  венным числам ki . Пример 1. Решить систему dy1  3 y1  y2 , dt dy2  5 y1  y2 . dt Найдем корни характеристического уравнения 3k 1 5 1  k  0 , k 2  2k  8  0, k1  4 , k 2  2. Корни вещественные и различные. Запишем уравнение для определения собственного вектора, соответствующего корню k1  4 ,  1   2  0 . 1 Положим  1  1, тогда собственным вектором является  (1)    . Аналогич1 но, подставляя k2  2 в систему уравнений для определения соответствующего собственного вектора, получим уравнение 5 1   2  0 . 1 В результате, получаем собственный вектор  (2)    .  5  49 Общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид 1 1 Y (t )  C1e 4t    C2e 2t   . 1  5  Рассмотрим случай, когда некоторые корни характеристического уравнения (13) являются комплексными. Комплексному корню уравнения (13) (собственному числу матрицы A ) k j    i соответствует комплексное решение Y j  ( j )e k jt (14) . Среди корней уравнения (13) должен быть и комплексно сопряженный, т.е. k j 1    i , которому соответствует комплексно сопряженное решение к решению (14). Если все коэффициенты aij вещественны, то эти два комплексно сопряженных решения можно заменить двумя вещественными решениями, каждое из которых представляет собой вещественную и мнимую части решения (14). Пример 2. Решить систему dy1  y1  y2 dt dy2  2 y1  y2 dt . Найдем корни характеристического уравнения 1 k 1 2 1 k  0 , k 2  2k  3  0 , k1  1  i 2 , k2  1  i 2 . Уравнение для определения собственного вектора, соответствующего k1  1  i 2 имеет вид i 2 1   2  0 . Положим  1  1, тогда  2  i 2 . В результате, получаем комплексное решение 50  1  Y  et   cos 2t  i sin 2t  i 2    . Выделим вещественную и мнимую части этого решения  cos 2t   sin 2t  t Y1  Re(Y )  et   , Y2  Im(Y )  e  .  2 sin 2t    2 cos 2t      Откуда получаем общее решение  C1 cos 2t  C2 sin 2t  Y (t )  e  .  C 2 sin 2t  C 2 cos 2t   1 2  t Рассмотрим случай, когда характеристическое уравнение имеет кратный корень k s кратности r . Если для кратного корня k s имеется столько линейно независимых собственных векторов  (1) ,,  ( r ) , какова его кратность, то ему соответствует   решение C1 (1)  C2 (2)    Cr  ( r ) e ks t . Пример 3. Найти общее решение системы dy1  3 y1, dt dy2  y1  2 y2  y3 , dt dy3  y1  y2  2 y3 . dt Найдем корни характеристического уравнения 3-k 1 2-k -1  (3  k )(k 2  4k  3)  0 . 1 -1 2-k Получаем k1,2  3 , k3  1 . 51 Найдем собственные векторы для кратного корня k1,2  3 . Для этого запишем и решим однородную систему уравнений  0 0 0   1   0   1   2   3  0,  1 -1 -1     0      2     1   2   3  0.  1 -1 -1    0    3    Очевидно, ранг матрицы системы равен 1, следовательно, число линейно независимых решений этой линейной однородной системы равно n  rank A  3  1  2 . В результате решения однородной системы линейных алгебраических уравнений находим два линейно независимых собственных вектора 1 1  (1)   1  ,  (2)   0  .  0 1     Следовательно, кратному корню k1,2  3 соответствует решение Y  C1(1) e3t  C2 (2)e3t , где C1 , C2 - произвольные постоянные. Аналогично находим собственный вектор, соответствующий собственному 0 значению k3  1 :  (3)   1  . 1   Таким образом, общее решение системы дифференциальных уравнений имеет вид Y  C1(1) e3t  C2 (2)e3t  C3(3)et . Если для корня ks кратности r имеется только m линейно независимых собственных векторов, и m  r , то решение, соответствующее этому корню, можно искать в виде произведений многочлена степени r  m на ekt , т.е. в виде  y1  (b10  b11t    b1r  mt r  m )e kt ,  (15)  .......................................................  r  m kt  yn  (bn0  bn1t    bnr  mt )e . Чтобы найти коэффициенты bij надо подставить решение (15) в исходную систему. Приравняв коэффициенты подобных членов в левой и правой части уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений отно52 сительно bij . При этом коэффициенты bij должны зависеть от r произвольных постоянных, где r - кратность корня ks . Пример 2. Решить систему дифференциальных уравнений Решение. Составим и решим характеристическое уравнение , (5) . Для простого корня систему находим находим собственный вектор . Значит собственный вектор есть , решая , и - частное решение исходной системы. Для кратного корня сначала определим число линейно независимых собственных векторов. При из (5) получаем матрицу . Ее порядок n=3, а ранг r=2. число линейно независимых собственных векторов равно . Корень имеет кратность k=2. Так как , то решение надо искать в виде произведения многочлена степени на , т.е. в виде (6) Чтобы найти коэффициенты a,b,...., подставляем (6) в исходную систему и приравниваем коэффициенты при подобных членах. Получаем систему 53 Общее решение этой системы есть Таким образом, все неизвестные выражены через c и d. Положив , имеем Подставив найденные значения a,b,... в (6), и прибавив частное решение, умноженное на , получим общее решение исходной системы: . Пример 3. Решить систему dy1  y1  y2 , dt dy2   y1  3 y2 . dt Запишем характеристическое уравнение 1 k 1 1 3k  0 или k 2  4k  4  0 . Уравнение имеет кратный корень k1,2  2 . Для определения собственного вектора составим систему линейных уравнений  1 1    1   0   1 1       0  .   2    Ранг матрицы этой системы равен 1. Число линейно независимых решений  1 равно 1. Собственным вектором является вектор     .  1 Следовательно, решение ищем в виде y1  (1  1t )e 2t , y2  ( 2   2t )e 2t . После подстановки в первое уравнение системы ДУ и деления на e2t получим 1  1  1t   2   2t . 54 Это равенство будет выполняться, если  2  1  1 ,  2  1 . Будем считать 1 , 1 произвольными постоянными, обозначив их соответственно c1 и c2 . Общее решение системы имеет вид y1  (c1  c2t )e2t , y2  (c1  c2  c2t )e2 t . 7. Разностные уравнения В данном разделе рассматриваются числовые функции, заданные на дискретном множестве точек {ti }  R . Дискретное множество значений аргумента {ti } принято называть сеткой, а значения ti - узлами. Функции, заданные на сетке, называют сеточными функциями. Будем считать, что узлы сетки упорядочены в порядке возрастания и для всех i ti1  ti  h  0 . Путем масштабирования аргумента можно задать сетку так, чтобы расстояние между соседними узлами было равно единице. В дальнейшем всегда будем считать, что h  1 , и все рассматриваемые сеточные функции определены на множестве целых чисел. В некоторых случаях значения целочисленного аргумента будем обозначать нижним индексом у обозначения функции, например, yt есть то же самое, что и y (t ) . Пусть дана функция y дискретного аргумента t . Правой разностью первого порядка функции y в точке t называется величина 55 yt  y (t  1) - y (t ) , (1) В практике также используют левую разность первого порядка, определяемую как ∇yt  y (t ) - y (t  1)  yt В численном анализе также используются разности порядков выше первого: правые разности:  2 yt  yt 1 - yt  y (t  2)  2 y (t  1)  y (t )  (2) r r r 1 r 1  yt   yt 1 -  yt   (1) j Crj y (t  r  j ) j 0 и левые разности: r r r-1 r-1 ∇ yt  ∇ yt - ∇ yt 1   yt r . Разностным уравнением порядка n называется уравнение вида G (t , y (t ), y (t  1),, y (t  n ))  0 . (3) Разностное уравнением порядка n можно представить как соотношение, связывающее yt и разности i yt или ∇i yt вплоть до порядка n . Решением разностного уравнения (3) называется функция y (t ) , которая обращает это уравнение в тождество. Если записать уравнение (3) в виде y (t  n)  G1  t , y (t ),, y (t  n  1)  , (4) то, задавая при t  t0 начальные значения y (t0 )  y0 , y (t0  1)  y1 ,, y (t0  n  1)  yn1 , получим значение y (t0  n) и, следовательно, при любом целом t значение y (t0  t ) . Таким образом, решение разностного уравнения n - го порядка зависит от n начальных значений, и его можно представить в виде y (t )  F  t , y0 , y1 ,, yn1  . 56 С другой стороны, если имеется функция y (t ) целочисленного аргумента, которая является представителем семейства y (t )  F  t , C1 ,, Cn  , то из уравнений y (t )  F  t , C1 ,, Cn  , y (t  1)  F  t  1, C1 ,, Cn  ,  y (t  n  1)  F  t  n  1, C1 ,, Cn  можно выразить константы C1 , , Cn через y (t ), y (t  1),, y (t  n  1) . После подстановки этих выражений в уравнение y (t  n)  F  t  n, C1 ,, Cn  придем к разностному уравнению n - го порядка. 7.1.Линейные разностные уравнения. Линейным разностным уравнением порядка n называется уравнение вида  n yt  a1 (t ) n1 yt    an (t ) yt  f (t ) . (5) Если f (t )  0 , то уравнение (3) называется однородным линейным разностным уравнением. Применяя формулы определения конечных разностей (1), (2), можно переписать уравнение (5) в виде y (t  n)  p1 (t ) y (t  n  1)    pn (t ) y (t )  f (t ) . (6) Рассмотрим свойства решений линейного однородного уравнения y (t  n)  p1 (t ) y (t  n  1)    pn (t ) y (t )  0 . (7) Теорема 1. Если y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) - решения уравнения (7), то функция C1 y1 (t )  C2 y2 (t ) Cn yn (t ) , где Ci (i  1,, n) - постоянные, тоже является решением уравнения (7). Теорема 2. Пусть y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) - решения уравнения (7), при этом определитель D[ y1 (0), , yn (0)]  y1 (0) y1 (1) y2 (0) y2 (1)  yn (0) yn (1)   y1 (n -1) y2 (n -1) 57  yn (n -1) (8) не равен нулю, то общее решение уравнения (7) имеет вид y (t )  C1 y1 (t )  C2 y2 (t )  Cn yn (t ) . Теорема 3. Общее решение неоднородного линейного уравнения y (t  n)  p1 (t ) y (t  n  1)    pn (t ) y (t )  f (t ) выражается в виде суммы его частного решения y (t ) и общего решения соn ответствующего однородного уравнения, т.е. y (t )  y (t )   Ci yi (t ) , где yi (t ) i 1 (i  1,, n) - частные решения однородного уравнения такие, что D[ y1 (0),, yn (0)]  0 . Функции y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) называются линейно зависимыми, если существуют постоянные C1 , , Cn , не равные нулю одновременно, такие, что при всех t  0 имеет место C1 y1 (t )  C2 y2 (t )    Cn yn (t )  0 . (9) Если равенство (9) может выполняться для всех t  0 только, когда Ci  0 , i  1,, n , то функции y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) являются линейно независимыми. Пример 1. Функции y1 (t )  2t , y2 (t )  3t являются линейно независимыми. Функции y1 (t )  sin 2 t , y2 (t )  cos 2 t , y3 (t )  1 являются линейно зависимыми. Лемма. Пусть y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) линейно независимые решения однородного уравнения n - го порядка, тогда определитель D[ y1 (t ),  , yn (t )]  y1 (t ) y1 (t  1) y2 (t ) y2 (t  1)  y n (t )  yn (t  1)     y1 (t  n -1) y2 (t  n -1) yn (t  n -1)  не может быть тождественно равным нулю. Метод вариации постоянных для решения неоднородного уравнения Предположим, что известны y1 (t ), y2 (t ), , yn (t ) - n линейно независимые решения линейного однородного уравнения 58 y (t  n)  p1 (t ) y (t  n  1)    pn (t ) y (t )  0 , и нам требуется найти частное решение неоднородного уравнения y (t  n)  p1 (t ) y (t  n  1)    pn (t ) y (t )  f (t ) при t  0 . Общее решение однородного уравнения, как известно, имеет вид n  C y (t ) , где C (i  1,, n) - произвольные постоянные. Решение неодноi i i i 1 n родного уравнения ищем в виде  C (t ) y (t ) путем выбора функций C (t ) . i i i i 1 Обозначим Cit  Ci (t  1)  Ci (t ) (i  1,, n) . Составляется система уравнений для определения Cit .  C1t y1 (t  1)  C2t y2 (t  1)    Cnt yn (t  1)  0,  C y (t  2)  C y (t  2)    C y (t  2)  0,  1t 1 2t 2 nt n     C1t y1 (t  n)  C2t y2 (t  n)    Cnt yn (t  n )  f (t ). (10) После определения разностей при любом t  0 можно определить Ci (t ) , если задать начальные значения C1 (0)  C10 , C2 (0)  C20 ,…, Cn (0)  Cn 0 . 7.2.Линейные уравнения с постоянными коэффициентами Для решения неоднородного линейного разностного уравнения надо найти линейно независимую систему решений соответствующего однородного уравнения. Для случая уравнения с постоянными коэффициентами ниже дается способ нахождения системы линейно независимых решений. Однородные линейные уравнения. Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами y (t  n)  a1 y (t  n  1)    an y (t )  0 . (11) Решение уравнения (1) будем искать в виде y (t )  qt . После подстановки в уравнение (1) получим уравнение для определения q 59 q t  n  a1qt n 1    an qt  0 . (12) Т.к. очевидное нулевое решение нас не интересует, будем считать, что q  0 . Поделив уравнение (12) на qt , получим q n  a1q n1    an  0 . (13) Уравнение (13) называется характеристическим для уравнения (11). Рассмотрим всевозможные типы корней характеристического уравнения. А) Все корни характеристического уравнения q1 , q2 ,, qn вещественные и различные. В этом случае уравнение (11) имеет n решений y1  q1t , y2  q2t ,, yn  qnt . (14) Покажем, что эти линейно независимы. Составим для этой цели определитель D[q1t ,, qnt ]  q1t q1t 1 q2t q2t 1   qnt qnt 1      qnt n-1 q1t n-1 q2t  n-1 . (15) Вынесем за знак определителя из каждого столбца в (15) qit D[q1t ,, qnt ]  q1t q2t  qnt 1 q1 1 q2  1 qn  .  q1n-1 q2n-1 qnn-1  (16) Считаем, что все qi отличны от нуля, т.к. в противном случае коэффициент an был бы равен нулю, и мы бы тогда рассматривали уравнение меньшего порядка. Определитель в правой части (16) есть определитель Вандермонда и он равен  (q j  qi ) и отличен от нуля, поскольку все корни характеристичеj i ского уравнения различны. Следовательно, решения y1  q1t , y2  q2t ,, yn  qnt - линейно независимы, и общее решение однородного разностного уравнения (7) имеет вид 60 y (t )  C1 y1 (t )  C2 y2 (t )    Cn yn (t ) . Пример 2. Найти общее решение уравнения y  t  2   2 y (t  1)  8 y (t )  0 . Решение ищем в виде y (t )  qt . После подстановки в уравнение и деления на qt получим характеристическое уравнение q 2  2q  8  0 . Корнями уравнения являются q1  2 , q2  4 . Общее решение уравнения имеет вид t y (t )  C1 2t  C2  4  . Б) Все корни различны, но среди корней характеристического уравнения есть комплексные. Если имеется комплексный корень qk    cos   i sin   , то комплексно сопряженное число к нему тоже является корнем характеристического уравнения. Обозначим его q j    cos   i sin   . Этим корням соответствуют решения yk (t )  qkt   t  cos t  i sin t  и y j (t )  q tj   t  cos t  i sin t  . (17) Известно, что, если решение однородного разностного уравнения с вещественными коэффициентами является комплексным, то вещественная и мнимая части этого решения в отдельности тоже являются решениями этого уравнения. Поэтому решения (17), соответствующие паре комплексно сопряженных корней можно заменить решениями yk (t )   t cos t , yj (t )   t sin t . Пример 3. Найти общее решение уравнения y  t  2   2 y (t  1)  4 y (t )  0 . После подстановки в уравнение y (t )  qt и деления на qt получим характеристическое уравнение q 2  2q  4  0 . Корнями уравнения являются q1  1  i 3 , q2  1  i 3 . Найдем представление корней в тригонометрической форме, т.е. вида   cos   i sin   . 2     1   1 2 1 1 1 3 3  3   1  3 2  2 , cos      , sin    .   2  2   2 61 2 2  2 2    Таким образом, получаем q1  2t  cos   i sin   , q2  2t  cos   i sin   . 3 3  3 3    2 2   Общее решение уравнения имеет вид y (t )  2t  C1 cos  t  C2 sin  t  . 3 3   В) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные. Пусть, например, корень характеристического уравнения q1 имеет кратность k . В этом случае, так же как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, корню q1 ставим в соответствие k решений: y1 (t )  q1t , y2 (t )  tq1t ,, yk (t )  t k 1q1t . Пример 3. Найти общее решение уравнения y  t  3  6 y (t  2)  12 y (t  1)  8 y (t )  0 . Характеристическое уравнение q 3  6q 2  12q  8  0 имеет корень q  2 кратности 3. Общее решение уравнения имеет вид y (t )  2t  C1  C2t  C3t 2  . Рассмотрим также пример применения метода вариации постоянных для неоднородного решения уравнения. Пример 4. Найти общее решение уравнения y  t  2   3 y (t  1)  2 y (t )  4 . Характеристическое уравнение q 2  3q  2  0 имеет корни q1  1 , q2  2 . Общее решение однородного уравнения имеет вид y (t )  C1  C2 2t . Найдем частное решение исходного уравнения методом вариации постоянных. Решение ищем в виде y (t )  C1 (t )  C2 (t )2t . Запишем систему линейных уравнений относительно приращений C1t  C1 (t  1)  C1 (t ) , C2t  C2 (t  1)  C2 (t ) C1t  C2 t 2t 1  0, C1t  C2t 2t  2  4. Решением системы уравнений являются C1t  4 , C2t  21t . Положим C1 (0)  0 , C2 (0)  0 . С помощью полученных приращений получим последовательности 62 C1 (0)  0 , C1 (1)  4 , C1 (2)  8 ,… , C1 (t )  4t C2 (0)  0 , C2 (1)  2 , C2 (2)  3 , C2 (3)  3 , 1 ,…, C2 (t )  2  St 1 , 2 t 1 1 где St  1       - сумма геометрической прогрессии. Окончательно 2 2 получаем C1 (t )  4t при t  0 ; t 1  1  C2 (0)  0 , C2 (1)  2 , при t  2 C2 (t )  2  2     .   2    Общее решение исходного уравнения: y (t )  C1  C2 2t  4t  4  2t  1 . 7.3.Нахождение частного решения линейного неоднородного уравнения для правой части специального вида. В случае, когда правая часть линейного неоднородного уравнения представляет собой полином с вещественными коэффициентами, умноженный на некоторое вещественное число в степени t , то на основании нижеприведенной теоремы для определения частного решения можно использовать метод неопределенных коэффициентов. Теорема 4. Пусть в уравнении y (t  n)  a1 y (t  n  1)    an y (t )  f (t ) (17) правая часть имеет вид f (t )  P (t )   t , где P (t ) - многочлен степени r с вещественными коэффициентами,  - вещественное число. Тогда, если  не является корнем соответствующего характеристического уравнения, то уравнение (17) имеет частное решение вида y (t )  Q(t )   t , где Q (t ) - многочлен степени r . Если  является корнем соответствующего характеристического уравнения кратности m , то уравнение (17) имеет частное решение вида y (t )  t mQ(t )   t , где Q (t ) - многочлен степени r . Пример 5. Найти общее решение уравнения 63 y (t  2)  4 y (t  1)  3 y (t )  (t  1)  2t . Характеристическое уравнение имеет вид k 2  4k  3  0 . Его корнями являются k1  1 , k 2  3 . При этом 2 не является корнем характеристического уравнения. Согласно теореме 4 частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y (t )  ( At  B )  2t . После подстановки в уравнение имеем ( A(t  2)  B )2t  2  4( A(t  1)  B)2t 1  3( At  B)2t  (t  1)2t . Откуда с использованием метода неопределенных коэффициентов находим A  1 , B  1 . Частным решением является функция y (t )  2t  (1  t ) . Общее решение неоднородного уравнения имеет вид y (t )  c1  c2  3t  2t  (1  t ) , где c1 и c2 – произвольные вещественные константы. Пример 6. Найти общее решение уравнения y (t  2)  4 y (t  1)  3 y (t )  (t  1)  3t . Данный пример отличается от предыдущего правой частью. При этом число 3, возведенное в степень t , является корнем характеристического уравнения. В этом случае согласно теореме 4 общее решение неоднородного уравнения ищется в виде y (t )  t ( At  B)  3t . После подстановки y (t ) в разностное уравнение с помощью метода неопределенных коэффициентов определяются коэффициенты A и B . В данном случае они получились следующие значения: A  1 , B   1 . Частным решением неоднородного уравнения является 12 2 1 1 функция y (t )  t ( t  )  3t . Общее решение неоднородного уравнения есть 12 2 1 1 функция y (t )  c1  c2  3t  t ( t  )  3t , c1 и c2 – произвольные вещественные 12 2 константы. 64