Дифференциальное исчисление функций одной переменной

ЛЕКЦИЯ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Задачи, приводящие к понятию производной Задача о касательной Пусть функция y  f (x) определена и непрерывна в точке M 0 ( x0 , y 0 ) и в некоторой окрестности этой точки. Требуется провести в точке M 0 ( x0 , y 0 ) касательную к графику функции в предположении, что касательная существует. Рис. 1. Возьмем на графике функции (рис.1) еще одну точку M ( x, y) и проведем через точки M 0 и M секущую. Устремим затем точку M к точке M 0 , то есть положим, что x  x0  x  0 . Поскольку точка M 0 неподвижна, секущая будет поворачиваться вокруг точки M 0 и в пределе займет положение MT. Касательной к графику функции y=f(x) в точке M 0 ( x0 , y 0 ) называется предельное положение секущей M 0 M при условии, что точка M ( x, y) стремится к M 0 ( x0 , y0 ) . Очевидно, что угловой коэффициент секущей M 0 M k  MP  tg в пределе M0P Δy . станет равным угловому коэффициенту касательной kT  tgα  lim Δx 0 Δx Зная этот угловой коэффициент и точку M 0 ( x0 , y 0 ) , можно провести касательную. Задача о скорости Пусть по прямой линии в одном направлении движется материальная точка по закону s = s(t). Ко времени t точка пройдет путь s(t), а ко времени t  t – путь s(t  t ) . Следовательно, за время t точка пройдет путь s  s(t  t )  s(t ) . Средняя скорость прямолинейного движения v ср за промежуток времени t определяется отношением пройденного пути ко времени: vср  s . t Если считать начальный момент времени t фиксированным, а промежуток t – переменным, то средняя скорость будет переменной величиной, зависящей от t . Скоростью v в данный момент времени t называется предел средней s . скорости v ср при t  0 , т.е. v  lim t t 0 Рассмотренные задачи, несмотря на их разное физическое содержание, привели нас к нахождению предела одного и того же вида – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю. К нахождению таких пределов приводят многие задачи в разных областях науки и техники. Поэтому рассмотрим этот алгоритм, отвлекаясь от физической сущности задачи. Производной функции y = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции y в этой точке к вызвавшему его приращению аргументу x при условии, что x  0 . Производная функции y = f(x) в данной точке x обозначается символом f'(x). Наряду с обозначением f'(x) используются и другие обозначения: y , y ( x), dy df ( x) , . dx dx Соответственно, в фиксированной точке x 0 производная обозначается: y x  x0  y( x0 )  f ( x 0 )  dy dx x  x0  df ( x0 ) . dx Иногда оказывается целесообразным указывать переменную, по которой берется производная в виде индекса. Например, для функции y=y(x) производная y (x ) обозначается y x , а для функции x=x(y) производная x ( y ) обозначается xy . Возвращаясь к рассмотренным ранее задачам, можем отметить геометрический и физический смысл производной:  Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x 0 равен значению производной этой функции в данной точке x 0 .  Скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть значение производной в этой точке от пути s по времени t. Пример. Найти производную y  x . 2 Решение. Находим приращение функции: y   x  x   x 2  2 xx  x 2 . Разделив приращение на x и переходя к пределу при x  0 , 2 найдем f (x)  lim x 0 y 2 xx  x 2  lim  2x . x x0 x В общем случае производная является функцией, в конкретной же точке она равна числу. Если функция y=f(x) имеет в некоторой точке производную, то она называется дифференцируемой в этой точке. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в интервале (a;b), если она дифференцируема в каждой точке этого интервала. Установим теперь связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции. Теорема. Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках недифференцируемы (например y  3 x ). Таким образом, непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости. Основные правила нахождения производной Если с – постоянная и u =нахождения (x),  = (x)производно – функции, имеющие 10.Основные правила й. Если спроизводные,  постоянная и то u   ( x),    ( x)  функции , имеющие производные, то 1) (c)  0; 2) ( x)  1; 3) (u   )  u    ; 4) (cu )  cu ; 5) (u )  u    u;   u  u    u 6)    (  0); 2    c  c 7)     2 (  0).    Таблица производных основных функций 1. ( x n )  nx n 1. 1 2. ( x )  ( x  0). 2 x 3. (sin x )  cos x. 4. (cos x )   sin x. 1 5. ( tgx )  . 2 cos x 1 6. (ctgx )   . 2 sin x 1 7. (arcsin x )  ( x  1). 2 1 x 1 8. (arccos x )   ( x  1). 2 1 x 1 9. (arctgx )  . 1 x2 10. (arcctgx )   1 2 x 1 . 11. (a x )  a x ln a. 12. (e x )  e x . 13. (ln x)  1 x 14. (log a x)  (x  0). log a e 1  x ln a x (x  0, a  0, a  1). Производная сложной функции Пусть y = y(u)и u = u (x). Тогда y есть сложная функция переменной x, а переменная u – промежуточный аргумент: y=y(u)=y(u(x)). Теорема. Если функция u=u(x) имеет производную u x в точке x, а функция y=y(u) имеет производную y u в соответствующей точке u, то сложная функция y = y(u(x)) в данной точке x имеет производную y x , которая находится по формуле: yx  yu  ux . Правило дифференцирования сложной функции: Если y=f(u) и u   (x), т.е. y  f [ ( x)], где функции y и u имеют производные, то yx  yu  ux или в других обозначениях: dy dy du   . dx du dx Это правило распространяется на цепочку из любого конечного числа дифференцируемых функций. Пример 1. Найти производную функции y  ( x 2  2 x  3) 5 . Решение. Полагая y  u 5 , где u  x 2  2 x  3 , согласно формуле y x  y u  u x , будем иметь: y   (u 5 )u ( x 2  2 x  3)x  5u 4 (2 x  2)  10( x  1)( x 2  2 x  3) 4 . Пример 2. Найти производную функции y  sin 3 4 x. Решение. Полагая y  u ; 3 u  sin  ;   4 x., находим: y  3u 2  cos  4  12 sin 2 4 x cos 4 x. основная литература: 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учебник. В 3-х томах. Т.1 -13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 608 с. Т.2 13-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань», 2019. 800 с. Т.3 – 10-е изд., стер. СПб.: Изд-во «Лань». стер 2019. 656 с. 2. Зубков В.Г., Ляховский В.А., Мартыненко А.И., Миносцев В.Б., Пушкарь Е.А. Курс математики для технических высших учебных заведений. М.: МГИУ, 2012. 400 экз. https://e.lanbook.com/ ГМ курс 3. Миносцев В.Б., Мартыненко А.И., Ляховский В.А., Зубков В.Г. Курс высшей математики: Учебное пособие. Часть 1.М.: МГИУ, 2007; Часть 2.М.: МГИУ, 2007. Часть 3. М.: МГИУ, 2011. 400 экз. https://e.lanbook.com/ дополнительная литература: 1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах. М.: Интеграл - Пресс, 2009. 180 экз.