Дифференциальная геометрия

ÄÀËÜÍÅÂÎÑÒÎ×ÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ . Å.Å. Ñêóðèõèí ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÃÅÎÌÅÒÐÈß Âëàäèâîñòîê 2009 . Å.Å. Ñêóðèõèí. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ.: Ó÷åáíîå ïîñîáèå 2009. 72 c. Îòâåòñòâåííûé ðåäàêòîð: ä.ô.-ì.í, ïðîôåññîð Ã.Ê.Ïàê. Ðåöåíçåíò: ä.ô.-ì.í. À.À. Ñòåïàíîâà. Íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêàÿ ðàáîòà âûïîëíåíà â ðàìêàõ ÔÖÏ "Íàó÷íûå è íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêèå êàäðû èííîâàöèîííîé Ðîññèè"íà 2009-2013 ãîäû ISBN 978-5-8044-0932-7 © Ñêóðèõèí Å. Å., 2008 ã. Äëÿ ïîäãîòîâêè äîñòàòî÷íî èñïîëüçîâàòü: 1. Ìåòîäè÷êà ïðîøëîãî ñåìåñòðà + ìåòîäè÷êà î êðèâûõ è ïîâåðõíîñòÿõ. 2. Êîíñïåêòû. Ìàòåðèàëû, ïðåäñòàâëåííûå íèæå è ñãðóïïèðîâàííûå â ðàçäåëû: 3. Ïîäïðîñòðàíñòâà, èõ çàäàíèå è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. 4. Ïîäïðîñòðàíñòâà, çàäàâàåìûå ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè.Èõ çàäàíèå è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. ìåæäó ïîäïðîñòðàíñòâàìè è ìåæäó òî÷êàìè è ïîäïðîñòðàíñòâàìè. 5. Îðòîãîíàëüíûå ïðîåêöèè è ðàññòîÿíèÿ 6. Ìàòðèöû ïåðåõîäà è ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. 7. Îðèåíòèðîâàííûå óãëû è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. 2 2.1. Ïîäïðîñòðàíñòâà åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà è ïàðàëëåëüíûå ïåðåíîñû. (ïîäïðîñòðàíñòâà). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Íåïóñòîå ìíîæåñòâî òî÷åê L ⊂ E íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E , åñëè îíî îáëàäàåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: äëÿ ëþáûõ òî÷åê A, B ∈ L, òàêèõ, ÷òî A 6= B , ïðÿìàÿ l(AB) ëåæèò â L. Îïðåäåëåíèå 2.1.1. 1. Òàê êàê ÷åðåç ëþáûå 2 òî÷êè ïðîõîäèò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ, òî ëþáàÿ ïðÿìàÿ ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E. 2. Ïîäïðîñòðàíñòâîì ÿâëÿåòñÿ ñàìî ïðîñòðàíñòâî E . 3. Åñëè A ∈ E è L = {A}, òî åñòü ìíîæåñòâî, ñîäåðæàùåå åäèíñòâåííóþ òî÷êó A, òî L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E .  ñàìîì äåëå, â L íåò òî÷åê A, B ∈ L, òàêèõ, ÷òî A 6= B , òàê ÷òî ñ ëîãè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ îíî óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ 2.1.1. 4. Åñëè Li (i ∈ I) ïîäïðîñòðàñòâà E , òî èõ ïåðåñå÷åíèå L = ∩{Li | i ∈ I} ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E . Ïðèìåðû. Íàïîìíèì, ÷òî åñëè L  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E , A ∈ E , òî ÷åðåç LA îáîçíà÷àåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ, íà÷àëîì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ òî÷êà A, à êîíöû ïðèíàäëå−−→ æàò L. Òàêèì îáðàçîì, ⃗a ∈ LA ⇔ ⃗a = AB , ãäå B ∈ L. Î÷åâèäíî, ÷òî L ⊂ M ⇔ LA ⊂ MA , L = M ⇔ LA = MA , Ïóñòü L  îäíî èç ïîäïðîñòðàíñòâ, ðàññìîòðåííûõ âûøå â êà÷åñòâå ïðèìåðîâ, A ∈ L. Åñëè L = E , òî LA = EA , òî åñòü ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ E ñ íà÷àëîì â òî÷êå A. Åñëè L = l  ïðÿìàÿ, B = 6 A òî÷êà íà ïðÿìîé l, òî ñîãëàñíî −−→ òåîðåìå 1.2.6, LA = lA  ýòî ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ âèäà αAB , ãäå α  ÷èñëî. Åñëè L = {A}, òî LA ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî íóëåâîãî âåê−→ òîðà AA. 3 Ïîëíîå îïèñàíèå ñâÿçè ìåæäó ïîäïðîñòðàíñòâàìè E è ïîäìíîæåñòâàìè ëèíåéíûõ ïðîñòðàíñòâ EA äà¼òñÿ ñëåäóþùèì ðåçóëüòàòîì. Òåîðåìà 2.1.2.(Âåêòîðíîå îïèñàíèå ïîäïðîñòðàíñòâ). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Åñëè L  íåêîòîðîå ìíîæåñòâî òî÷åê ïðîñòðàíñòâà E , A ∈ L, òî ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: (1) L ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E (2) Ìíîæåñòâî âåêòîðîâ LA ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà EA . 2). Åñëè A ∈ E , V  ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà EA , òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî L ⊂ E , òàêîå, ÷òî LA = V . Äîêàçàòåëüñòâî. 1). (1) ⇒ (2). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî òî÷åê L ⊂ E ÿâëÿåòñÿ åâêëèäîâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì E . Ïîêàæåì, ÷òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ LA çàìêíóòî îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ íà ÷èñëî, òî åñòü îáëàäàåò ñâîéñòâàìè (a) è (b): (a) Äëÿ ëþáûõ ⃗a, ⃗b ∈ LA , ⃗a + ⃗b ∈ LA (b) Äëÿ ëþáîãî ⃗a ∈ LA , è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà α, α⃗a ∈ LA . −−→ Ñíà÷àëà ïðîâåðèì óñëîâèå (b). Åñëè ⃗a ∈ LA , òî ⃗a = AB , ãäå −→ −−→ A, B ∈ L. Åñëè A = B , òî α⃗a = AA ∈ LA . Åñëè A 6= B è αAB = −→ −→ AC , òî C ∈ l(AB), è òàê êàê l(AB) ⊂ L, òî C ∈ L, òî åñòü AC ∈ LA . −−→ −→ Òåïåðü óñëîâèå (a). Òàê êàê ⃗a, ⃗b ∈ LA , òî ⃗a = AB , ⃗b = AC , − − → − → − → ãäå B, C ∈ L. Ïî îïðåäåëåíèþ ñóììû, ⃗a + ⃗b = AB + AC = 2AE , ãäå E = c[B, C]  ñåðåäèíà îòðåçêà [B, C]. Åñëè B = C , òî E = B ∈ L. Åñëè B 6= C , òî E ∈ l(BC), è òàê êàê L  åâêëèäîâî −→ ïîäïðîñòðàíñòâî, B, C ∈ L, òî E ∈ L. Òàêèì îáðàçîì, AE ∈ LA è −→ ñëåäîâàòåëüíî, â ñèëó óñëîâèÿ (b), ⃗a + ⃗b = 2AE ∈ LA . (2) ⇒ (1). Ïóñòü B, C ∈ l, B 6= C , l = l(B, C). Ïîêàæåì, ÷òî −−→ l ⊂ L. Åñëè X ∈ l, òî â ñèëó âåêòîðíîãî îïèñàíèÿ ïðÿìîé, BX = −−→ −−→ −−→ −→ −−→ tBC , òî åñòü AX − AB = t(AC − AB), ÷òî ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó −−→ −→ −−→ −→ −−→ AX = tAC + (1 − t)AB . Òàê êàê AC, AB ∈ LA è LA ïîäïðî−−→ ñòðàíñòâî EA , òî AX ∈ LA è çíà÷èò X ∈ L. 4 2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç L ìíîæåñòâî âñåõ òàêèõ òî÷åê X ∈ E , ÷òî −−→ −−→ AX ∈ V . Òîãäà äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ E , AX ∈ V ⇔ X ∈ L ⇔ −−→ AX ∈ LA . Òàêèì îáðàçîì, LA = V è çíà÷èò LA  ïîäïðîñòðàíñòâî ëèíåéíîãî ïðîñòðàíñòâà EA . Ïî 1), L  åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî E . Åñëè M  åù¼ îäíî åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî E è MA = V , òî LA = MA è çíà÷èò L = M. øå. Ñîïîñòàâèì ýòîò ðåçóëüòàò ñ ïðèìåðàìè, ðàññìîòòðåííûìè âû- Åñëè L = E , òî LA = EA , òî åñòü âåêòîðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî LA ñîâïàäàåò ñ = EA . Åñëè L = l  ïðÿìàÿ, A ∈ l, òî ñîãëàñíî òåîðåìå 1.2.6, LA = lA  ýòî âåêòîðíîå ïîäïðîñòðàíñòâî âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà EA , ñî−−→ ñòîÿùåå èç âñåõ âåêòîðîâ âèäà αAB , ãäå α ∈ R, B 6= A ôèêñèðîâàííàÿ òî÷êà íà ïðÿìîé l. Åñëè L = {A}, òî LA ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî íóëåâîãî âåê−→ òîðà AA, òî åñòü ÿâëÿåòñÿ íóëåâûì ïîäïðîñòðàíñòâîì âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà EA . Íàçîâ¼ì âåêòîð ⃗a ïàðàëëåëüíûì ïîäïðîñòðàíñòâó M (⃗a k M), åñëè îí ðàâåí âåêòîðó, ëåæàùåìó â M, òî åñòü åñëè èìåþòñÿ òàêèå −−→ òî÷êè C, D ∈ M, ÷òî ⃗a = CD. Ëåììà 2.1.3.(Î ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâàì). E. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, M ïîäïðîñòðàíñòâî −−→ −−→ 1).a). Åñëè BC = DE , B, C, D ∈ M, òî E ∈ M. −−→ b). Îòëîæèì îò òî÷êè A âåêòîð AB , ðàâíûé ⃗a. Åñëè A ∈ M è ⃗a k M, òî B ∈ M. 2). a). Åñëè âåêòîðû ⃗b1 , ..., ⃗bm ïàðàëëåëüíû M, òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïàðàëëåëüíà M. b). Åñëè ⃗a + α⃗b = ⃗a′ + α′⃗b, ãäå ⃗a, ⃗a′ k M, ⃗b íå ïàðàëëåëåí M, òî ⃗a = ⃗a′ è α = α′ .  ÷àñòíîñòè, åñëè ⃗a k M, òî ⃗a + α⃗b k M ⇔ α = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. 5 −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1)a). Åñëè BC = DE , òî BC + BD = BE . Òàê êàê B, C, D ∈ M, −−→ −−→ −−→ òî BC, BD ∈ MB è çíà÷èò èõ ñóììà BE ∈ MB , òî åñòü E ∈ M. 1)b). Òàê êàê ⃗a ïàðàëëåëåí M, òî èìåþòñÿ C, D ∈ M, òàêèå, −−→ −−→ −−→ ÷òî ⃗a = CD. Ïîýòîìó CD = AB è ïî 1)a), B ∈ M. 2)a). Ïóñòü ⃗b = β 1⃗b1 + ... + β m⃗bm . Çàôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ M, −−→ è îòëîæèì îò íå¼ âåêòîðû, ðàâíûå ⃗bi : AB i = ⃗bi . Ïî 1), Bi ∈ M, −−→ − − → −−→ −−→ −−→ òàê ÷òî AB i ∈ MA . Åñëè β 1 AB 1 + ... + β m AB m = AB , òî ⃗b = AB −−→ è AB ∈ MA . Ïîýòîìó B ∈ M è çíà÷èò ⃗b k M. 2)b). Åñëè ⃗a + α⃗b = ⃗a′ + α′⃗b, ãäå ⃗a, ⃗a′ k M, òî (α − α′ )⃗b = ⃗a − ⃗a′ . Îáîçíà÷èì γ = α − α′ , d⃗ = ⃗a − ⃗a′ . Åñëè γ 6= 0, òî ⃗b = γ −1 d⃗ è ïî 2)a), γ −1 d⃗ k M, òî åñòü ⃗b k M - ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, γ = α − α′ = 0 è ñëåäîâàòåëüíî ⃗a = ⃗a′ . Ïîíÿòèå ïàðàëëåëüíîñòè òåñíî ñâÿçàíî ñ ïîíÿòèåì ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà. Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, ⃗a ∈ VE  âåêòîð. Ïàðàëëåëüíûì ïåðåíîñîì, èëè òðàíñëÿöèåé, èëè ñäâèãîì íà âåêòîð ⃗a íàçûâàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèå T⃗a : E → E ïðîñòðàíñòâà E , çàäàâàåìîå ñëåäóþùèì îáðàçîì. Åñëè A ∈ E , òî −−→ T⃗a (A) = B ⇔ AB = ⃗a. Òàêèì îáðàçîì, T⃗a (A)  ýòî êîíåö âåêòîðà, îòëîæåííîãî îò A è ðàâíîãî ⃗a. Áóäåì ïðèìåíÿòü òî æå îáîçíà÷åíèå T⃗a äëÿ îòîáðàæåíèÿ âåê−−−−−−−−→ −−→ −−→ òîðîâ, ïîëàãàÿ T⃗a (CD) = T⃗a (C)T⃗a (D), òî åñòü T⃗a (CD)  ýòî âåêòîð ñ íà÷àëîì T⃗a (C) è êîíöîì T⃗a (D). Îïðåäåëåíèå 2.1.4. Òåîðåìà 2.1.5. (Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ òî÷åê). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Åñëè A, B  òî÷êè E , òî T− −→ (A) = B . AB ⃗ 2). Ïóñòü ⃗a, b ∈ VE  âåêòîðû. Òîãäà: a). Åñëè ⃗a = ⃗b, òî T⃗a = T⃗ , òî åñòü äëÿ ëþáîé òî÷êè X , T⃗a (X) = b T⃗b (X). b). Åñëè èìååòñÿ òî÷êà A, òàêàÿ, ÷òî T⃗a (A) = T⃗b (A), òî ⃗a = ⃗b, òàê ÷òî T⃗a = T⃗b . 6 3). Ïóñòü ⃗a, ⃗b ∈ VE  âåêòîðû. Òîãäà: a). Ïðåîáðàçîâàíèå T⃗a+⃗b ÿâëÿåòñÿ ñóïåðïîçèöèåé T⃗a ◦ T⃗b ïðåîáðàçîâàíèé T⃗a è T⃗b , òî åñòü äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ E , T⃗a+⃗b (X) = T⃗a (T⃗b (X)). b). Ïðåîáðàçîâàíèå T−⃗a ÿâëÿåòñÿ îáðàòíûì ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèþ T⃗a , òî åñòü äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ E , T⃗a (T−⃗a (X)) = T−⃗a (T⃗a (X)) = X . c). Ïðåîáðàçîâàíèå T⃗0 ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì, òî åñòü äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ E , T⃗0 (X)) = X . Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïî îïðåäåëåíèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, T− −→ (A) = C , ãäå AB −−→ −→ AB = AC . Íî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî êàê ðàç è îçíà÷àåò, ÷òî B = C . −−→ −−→ 2). a). Ïóñòü T⃗a (X) = Y , T⃗b (X) = Z . Òîãäà ⃗a = XY , ⃗b = XZ è −−→ −−→ òàê êàê ⃗a = ⃗b, òî XY = XZ , îòêóäà Y = Z , òî åñòü T⃗a (X) = T⃗b (X). −−→ b). Ïóñòü T⃗a (A) = T⃗b (A) = B . Òîãäà , òî ⃗a = AB = ⃗b, òàê ÷òî ïî 2)a), T⃗a = T⃗b . 3). a). Ïóñòü T⃗b (X)) = Y , T⃗a (Y ) = Z , T⃗a+⃗b (X) = F . Òîãäà ⃗b = −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ XY , ⃗a = Y Z , ⃗a +⃗b = XF . Ïîýòîìó XF = ⃗a +⃗b = XY + Y Z = XZ , −−→ −−→ îòêóäà XF = XZ , òî åñòü F = Z , è çíà÷èò T⃗a (T⃗b (X)) = T⃗a (Y ) = Z = F = T⃗a+⃗b (X). −−→ c). Ïóñòü T⃗0 (X)) = Y . Òîãäà XY = ⃗0 è çíà÷èò ïî òåîðåìå 1.2.8.5), Y = X . b). Ïî a) è b), T⃗a (T−⃗a (X)) = T⃗a+(−⃗a) (X) = T⃗0 (X) = X . Àíàëîãè÷íî, T−⃗a (T⃗a (X)) = T−⃗a+⃗a (X) = T⃗0 (X) = X . Òåîðåìà 2.1.6. (Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ âåêòîðîâ). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ ⃗a, ⃗b ∈ VE , T⃗a (⃗b) = ⃗b. Íàîáîðîò, åñ−−→ −−→ ëè AB = CD, òî T−→ (A) = C , T−→ (B) = D, òàê ÷òî âåêòîð AC−−→ AC −−→ −−→ T−→ (AB) ñîâïàäàåò ñ CD. Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð AB ðàâåí âåêAC −−→ òîðó CD òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà èìååòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ, ïåðåâîäÿùèé A â C è B â D. 2). Ïóñòü ⃗a, ⃗b, ⃗c - âåêòîðû ïðîñòðàíñòâà E , α  ÷èñëî. Òîãäà a). T⃗a (⃗b + ⃗c) = T⃗a (⃗b) + T⃗a (⃗c). 7 b). T⃗a (α⃗b) = αT⃗a (⃗b). Äîêàçàòåëüñòâî. −−→ −−→ 1). Ïóñòü ⃗b = CD, T⃗a (C) = E , T⃗a (D) = F . Òîãäà T⃗a (⃗b) = EF −−→ −−→ è ïî îïðåäåëåíèþ ïðåîáðàçîâàíèÿ T⃗a , CE = ⃗a = DF . Òàê êàê −−→ −−→ −−→ −−→ CE = DF , òî CD = EF , òî åñòü ⃗b = T⃗a (⃗b). −−→ −−→ Íàîáîðîò, åñëè AB = CD, òî T−→ (A) = C ïî òåîðåìå 1.6.2.1). −−→ AC −−→ Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð T−→ (AB) îòëîæåí îò òî÷êè C è ðàâåí AB , AC −−→ ïîýòîìó îí ñîâïàäàåò ñ CD, ïîñêîëüêó îò äàííîé òî÷êå ìîæíî îòëîæèòü ëèøü îäèí âåêòîð, ðàâíûé äàííîìó (òåîðåìà 1.2.8.3)). 2). a). Ïî 1) è òåîðåìå 1.5.4, T⃗a (⃗b + ⃗c) = ⃗b + ⃗c = T⃗a (⃗b) + T⃗a (⃗c). b). Ïî 1) è òåîðåìå 1.5.4, T⃗a (α⃗b) = α⃗b = αT⃗a (⃗b). Îïðåäåëåíèå 2.1.7.(ïàðàëëåëüíîñòè) Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L, M  åâêëèäîâû ïîäïðîñòðàíñòâà E . Ïîäïðîñòðàíñòâî L íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì M (îáîçíà÷åíèå: L k M), åñëè èìååòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ T⃗a , òàêîé, ÷òî T⃗a (L) ⊂ M. Âåêòîð ⃗b íàçûâàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì M ⃗b k M, åñëè èìåþòñÿ −−→ C, D ∈ M, òàêèå, ÷òî ⃗b = CD, òî åñòü òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ⃗b ðàâåí íåêîòîðîìó âåêòîðó, ëåæàùåìó â M. Ýòî ðàâíîñèëüíî ñóùåñòâîâàíèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, ïåðåâîäÿùåãî íà÷àëî è êîíåö âåêòîðà ⃗b â M. Åñëè W íåêîòîðîå ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, òî W k M ⇔ ∀⃗b ∈ W, ⃗b k M. Ëåììà 2.1.3'.(Î ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ ïîäïðîñòðàí- Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Ïóñòü M ïîäïðîñòðàíñòâî E . −−→ −−→ a). Åñëè BC = DE , B, C, D ∈ M, òî E ∈ M. b). Ïóñòü ⃗a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð E , A ∈ M. Îòëîæèì îò òî÷êè −−→ A âåêòîð AB , ðàâíûé ⃗a. Åñëè ⃗a k M, òî B ∈ M. c). Åñëè ⃗b k L, L k M, òî ⃗b k M. d). Åñëè ïîäïðîñòðàíñòâà L è M ïåðåñåêàþòñÿ, ⃗b k L, ⃗b k M, ⃗ òî b k L ∩ M. 2). a). Åñëè âåêòîðû ⃗b1 , ..., ⃗bm ïàðàëëåëüíû M, òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ ïàðàëëåëüíà M. ñòâàì) 8 b). Åñëè ⃗a + α⃗b = ⃗a′ + α′⃗b, ãäå ⃗a, ⃗a′ k M, ⃗b íå ïàðàëëåëåí M, òî ⃗a = ⃗a′ è α = α′ .  ÷àñòíîñòè, åñëè ⃗a k M, òî ⃗a + α⃗b k M ⇔ α = 0. 3). Ïóñòü L, M ïîäïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà E , A ∈ L. Åñëè êàæäûé âåêòîð èç L ïàðàëëåëåí M, òî L k M. Áîëåå òîãî, åñëè W ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïàðàëëåëåí M, è êàæäûé âåêòîð ⃗c ∈ LA ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W , òî L k M. Äîêàçàòåëüñòâî. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1)a). Åñëè BC = DE , òî BC + BD = BE . Òàê êàê B, C, D ∈ M, −−→ −−→ −−→ òî BC, BD ∈ MB è çíà÷èò èõ ñóììà BE ∈ MB , òî åñòü E ∈ M. 1)b). Òàê êàê ⃗a ïàðàëëåëåí M, òî èìåþòñÿ C, D ∈ M, òàêèå, −−→ −−→ −−→ ÷òî ⃗a = CD. Ïîýòîìó CD = AB è ïî 1)a), B ∈ M. 1)c. Ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ ïåðåâîäèò âåêòîð â ðàâíûé åìó. −−→ 1)d). Ïóñòü A ∈ L ∩ M, AB = âåêòîð, ðàâíûé ⃗b. Ïî 1), òàê êàê ⃗b k L, òî B ∈ L, à òàê êàê ⃗b k M, òî B ∈ M. Òàêèì îáðàçîì, −→ ⃗b = − AB , A, B ∈ L ∩ M, ÷òî è îçíà÷àåò ⃗b k L ∩ M. 2)a). Ïóñòü ⃗b = β 1⃗b1 + ... + β m⃗bm . Çàôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ M, −−→ è îòëîæèì îò íå¼ âåêòîðû, ðàâíûå ⃗bi : AB i = ⃗bi . Ïî 1), Bi ∈ M, −−→ − − → −−→ −−→ −−→ òàê ÷òî AB i ∈ MA . Åñëè β 1 AB 1 + ... + β m AB m = AB , òî ⃗b = AB −−→ è AB ∈ MA . Ïîýòîìó B ∈ M è çíà÷èò ⃗b k M. 2)b). Åñëè ⃗a + α⃗b = ⃗a′ + α′⃗b, ãäå ⃗a, ⃗a′ k M, òî (α − α′ )⃗b = ⃗a − ⃗a′ . Îáîçíà÷èì γ = α − α′ , d⃗ = ⃗a − ⃗a′ . Åñëè γ 6= 0, òî ⃗b = γ −1 d⃗ è ïî 2)a), γ −1 d⃗ k M, òî åñòü ⃗b k M - ïðîòèâîðå÷èå. Òàêèì îáðàçîì, γ = α − α′ = 0 è ñëåäîâàòåëüíî ⃗a = ⃗a′ . " ÷àñòíîñòè"ïîëó÷àåòñÿ òàê. Ïóñòü ⃗a′ = ⃗a + α⃗b. Òîãäà ⃗a + α⃗b = ⃗a′ + 0 · ⃗b, è åñëè ⃗a′ k M, òî ⃗a = ⃗a′ è α = 0. 3). Çàôèêñèðóåì òî÷êó C ∈ M è ïîêàæåì, ÷òî T−→ (L) ⊂ M. −−→ −−→AC Ïóñòü X ∈ L. Òîãäà AX ∈ LA è çíà÷èò ïî 2)a), AX k M. Ïóñòü −→ −−→ −−→ −−→ T−→ (X) = Y . Òîãäà AC = XY è çíà÷èò AX = CY . Òàê êàê AC C ∈ M, òî ïî 1)b), Y ∈ M. Ëåììà 2.1.8.(î ïàðàëëåëüíîñòè ïîäïðîñòðàíñòâ). Ïóñòü E 9 åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Ïóñòü L ïîäïðîñòðàíñòâî E . Òîãäà T⃗a (L) ïîäïðîñòðàíñòâî E , òàê ÷òî åñëè l ⊂ E ïðÿìàÿ, òî T⃗a (l) ïðÿìàÿ. 2). a). Îòíîøåíèå ïàðàëëåëüíîñòè íà ìíîæåñòâå åâêëèäîâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ E òðàíçèòèâíî è ðåôëåêñèâíî (íî, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ñèììåòðè÷íî). b). Åñëè L ïîäïðîñòðàíñòâî E , T⃗a ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ, òî L k T⃗a (L) è T⃗a (L) k L. 3).a).Ïóñòü L, M ïîäïðîñòðàíñòâà E . Åñëè L∩M 6= ∅ è L k M, òî L ⊂ M. Åñëè ïðè ýòîì M k L, òî L = M. b). L ïîäïðîñòðàíñòâî E , C ∈ E . Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ïîäïðîñòðàíñòâî M ïîäïðîñòðàíñòâà E , òàêîå, ÷òî A ∈ M, M k L, L k M. 4). Ïóñòü L, M ïîäïðîñòðàíñòâà ïðîñòðàíñòâà E , A ∈ L. Åñëè êàæäûé âåêòîð èç L ïàðàëëåëåí M, òî L k M. Áîëåå òîãî, åñëè W ìíîæåñòâî âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïàðàëëåëåí M, è êàæäûé âåêòîð ⃗c ∈ LA ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W , òî L k M. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïóñòü A, B ∈ l, A 6= B , T⃗a (A) = C , T⃗a (B) = D. Îáîçíà÷èì l(CD) = m è äîêàæåì, ÷òî T⃗a (l) = m. Ïî îïðåäå−→ −−→ ëåíèþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà, AC = ⃗a = BD. Åñëè X ∈ l, òî −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ AX = αAB . Ïóñòü CY = αCD. Òîãäà Y ∈ m è AX = CY è çíà−→ −−→ ÷èò ⃗a = AC = XY , òàê ÷òî T⃗a (X) = Y ∈ m. Ïîëó÷èëè T⃗a (l) ⊂ m. −−→ −−→ −−→ −−→ Íàîáîðîò, åñëè Y ∈ m, òî CY = αCD, è ïîëàãàÿ AX = αAB ïîëó−−→ −−→ ÷àåì X ∈ l è AX = CY , òî åñòü T⃗a (X) = Y . Ðàâåíñòâî T⃗a (l) = m äîêàçàíî. Ïóñòü C, D ∈ T⃗a (L). Ïîêàæåì, ÷òî l(CD) ⊂ T⃗a (L). Ïóñòü A, B ∈ L, T⃗a (A) = C , T⃗a (B) = D. Åñëè l = l(AB), òî ïî äîêàçàííîìó, T⃗a (l) - ïðÿìàÿ, è òàê êàê C, D ∈ T⃗a (l), òî l(CD) = T⃗a (l) ⊂ T⃗a (L). 2)a) Ïóñòü L k M, M k N , òî åñòü, T⃗a (L) ⊂ M, T⃗b (M) ⊂ N . Òîãäà T⃗b (T⃗a (L)) ⊂ T⃗b (M) ⊂ N , òî åñòü T⃗b+⃗a (L)) ⊂ N è çíà÷èò L k N . Òàê êàê T⃗0 (L) = L ⊂ L, òî L k L. 2)b). Òàê êàê T⃗a (L) ⊂ T⃗a (L), òî L k T⃗a (L). Òàê êàê T−⃗a (T⃗a (L)) = L ⊂ L, òî T⃗a (L) k L. 10 3)a). Ïóñòü A ∈ L ∩ M, X ∈ L ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà. Òîãäà −−→ AX k M, A ∈ M, òàê ÷òî ïî ëåììå î ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ 2.1.3, X ∈ M. 3)b). Çàôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ L è ïîëîæèì M = T⃗a (L), ãäå −→ ⃗a = AC . Òîãäà L k M è M k L ïî 2)b). Òàê êàê T⃗a (A) = C , òî C ∈ M. Åñëè A ∈ M′ , M′ k L, L k M′ , òî M∩ ∈ M′ 6= ∅ è ïî 2)a), M k M′ è M′ k M, òàê ÷òî ïî 3)a), M′ = M. 4). Çàôèêñèðóåì òî÷êó C ∈ M è ïîêàæåì, ÷òî T−→ (L) ⊂ M. −−→ −−→AC Ïóñòü X ∈ L. Òîãäà AX ∈ LA è çíà÷èò ïî 2)a), AX k M. Ïóñòü −→ −−→ −−→ −−→ T−→ (X) = Y . Òîãäà AC = XY è çíà÷èò AX = CY . Òàê êàê AC C ∈ M, òî ïî ëåììå 2.1.3, Y ∈ M. Òåîðåìà 1.6.6.(Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ). Ïóñòü E  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Ïàðàëëåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå âñåõ ïðÿìûõ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, òàê ÷òî lkl, åñëè lkm, òî mkl è åñëè lkm, mkn, òî lkn. 2). Ïóñòü l, m  ïðÿìûå ⃗a  íàïðàâëÿþùèé âåêòîð l, ⃗b íàïðàâëÿþùèé âåêòîð m. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: (a) lkm, òî åñòü âåêòîðû ⃗a è ⃗b êîëëèíåàðíû (b) ̸ (l, m) = 0 (c) Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ⃗b, ëåæàùåãî íà m, pl (⃗b) = ⃗b (d) Èìååòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð ⃗b, ëåæàùèé íà m, òàêîé, ÷òî pl (⃗b) = ⃗b. −−→ −−→ 3). Ïóñòü lkm, A, B ∈ l, C ∈ m, CD = αAB . Òîãäà D ∈ m.  −−→ −−→ ÷àñòíîñòè, åñëè A, B, C ∈ l, CD = αAB , òî D ∈ l. 4). Ïóñòü l  ïðÿìàÿ, C ∈ E  òî÷êà. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ l è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç C . Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâàìè ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ, äîêàçàííûìè â òåîðåìå 1.6.3. 1). Òàê êàê T⃗0  òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òî T⃗0 (l) = l, îòêóäà lkl. Åñëè lkm, òî m = T⃗a (l), è çíà÷èò T−⃗a (m) = T−⃗a (T⃗a (l)) = T⃗0 (l) = l, ÷òî è îçíà÷àåò mkl. 11 Åñëè lkm, mkn, òî m = T⃗a (l), n = T⃗b (m), îòêóäà n = T⃗b (T⃗a (l)) = T⃗b+⃗a (l) è çíà÷èò lkn. 2). (a) ⇒ (b). Äîêàçàíî â òåîðåìå 1.6.4.2). (b) ⇒ (c). Òàê êàê âåêòîð pl (⃗b) ëåæèò íà ïðÿìîé l, òî ïî òåîðåìå 1.5.5.4), pl (⃗b) = γ⃗b. Ïðèìåíÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà ôóíêöèþ pl , ïîëó÷àåì â ëåâîé ÷àñòè pl (pl (⃗b)) = pl (⃗b), à â ïðàâîé pl (γ⃗b) = γpl (⃗b), îòêóäà γ = 1. (c) ⇒ (d). Î÷åâèäíî. (d) ⇒ (a). Òàê êàê pl (⃗b) = ⃗b, òî èìååòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ T⃗c , ïåðåâîäÿùèé âåêòîð pl (⃗b) â âåêòîð ⃗b (òåîðåìà 1.6.3.1)). Ïîýòîìó âåêòîð ⃗b ëåæèò êàê íà ïðÿìîé T⃗c (l), òàê è íà ïðÿìîé m, òàê ÷òî T⃗c (l) = m. 3). Ïóñòü E ∈ m  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, îòëè÷íàÿ îò C . Òàê −−→ −−→ −−→ êàê ̸ (l, m) = 0, òî ïî òåîðåìå 1.5.4, AB = β CE . Ïîýòîìó CD = −−→ −−→ αAB = αβ CE è çíà÷èò D ∈ m. " ÷àñòíîñòè" ïîëó÷àåòñÿ ïðè l = m. 4). Ïðÿìàÿ m1 = T−→ (l) ñîäåðæèò òî÷êó C è ïàðàëëåëüíà AC l. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðÿìàÿ m2 îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè. Çàôèêñèðóåì òî÷êè A, B ∈ l, A 6= B è ïóñòü D òàêàÿ òî÷êà, ÷òî −−→ −−→ AB = CD. Òîãäà ïî 3), D ∈ m1 è D ∈ m2 . Òàê êàê ÷åðåç äâå òî÷êè ïðîõîäèò òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ, òî m1 = m2 . Òåîðåìà 1.6.6.(Ñâîéñòâà ïàðàëëåëüíûõ ïðÿìûõ). Ïóñòü E  åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Ïàðàëëåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå âñåõ ïðÿìûõ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, òàê ÷òî lkl, åñëè lkm, òî mkl è åñëè lkm, mkn, òî lkn. 2). Ïóñòü l, m  ïðÿìûå ⃗a  íàïðàâëÿþùèé âåêòîð l, ⃗b íàïðàâëÿþùèé âåêòîð m. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: (a) lkm, òî åñòü âåêòîðû ⃗a è ⃗b êîëëèíåàðíû (b) ̸ (l, m) = 0 (c) Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ⃗b, ëåæàùåãî íà m, pl (⃗b) = ⃗b (d) Èìååòñÿ íåíóëåâîé âåêòîð ⃗b, ëåæàùèé íà m, òàêîé, ÷òî pl (⃗b) = ⃗b. 12 −−→ −−→ 3). Ïóñòü lkm, A, B ∈ l, C ∈ m, CD = αAB . Òîãäà D ∈ m.  −−→ −−→ ÷àñòíîñòè, åñëè A, B, C ∈ l, CD = αAB , òî D ∈ l. 4). Ïóñòü l  ïðÿìàÿ, C ∈ E  òî÷êà. Òîãäà ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ l è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç C . Äîêàçàòåëüñòâî. Âîñïîëüçóåìñÿ ñâîéñòâàìè ïàðàëëåëüíûõ ïåðåíîñîâ, äîêàçàííûìè â òåîðåìå 1.6.3. 1). Òàê êàê T⃗0  òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, òî T⃗0 (l) = l, îòêóäà lkl. Åñëè lkm, òî m = T⃗a (l), è çíà÷èò T−⃗a (m) = T−⃗a (T⃗a (l)) = T⃗0 (l) = l, ÷òî è îçíà÷àåò mkl. Åñëè lkm, mkn, òî m = T⃗a (l), n = T⃗b (m), îòêóäà n = T⃗b (T⃗a (l)) = T⃗b+⃗a (l) è çíà÷èò lkn. 2). (a) ⇒ (b). Äîêàçàíî â òåîðåìå 1.6.4.2). (b) ⇒ (c). Òàê êàê âåêòîð pl (⃗b) ëåæèò íà ïðÿìîé l, òî ïî òåîðåìå 1.5.5.4), pl (⃗b) = γ⃗b. Ïðèìåíÿÿ ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà ôóíêöèþ pl , ïîëó÷àåì â ëåâîé ÷àñòè pl (pl (⃗b)) = pl (⃗b), à â ïðàâîé pl (γ⃗b) = γpl (⃗b), îòêóäà γ = 1. (c) ⇒ (d). Î÷åâèäíî. (d) ⇒ (a). Òàê êàê pl (⃗b) = ⃗b, òî èìååòñÿ ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ T⃗c , ïåðåâîäÿùèé âåêòîð pl (⃗b) â âåêòîð ⃗b (òåîðåìà 1.6.3.1)). Ïîýòîìó âåêòîð ⃗b ëåæèò êàê íà ïðÿìîé T⃗c (l), òàê è íà ïðÿìîé m, òàê ÷òî T⃗c (l) = m. 3). Ïóñòü E ∈ m  ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, îòëè÷íàÿ îò C . Òàê −−→ −−→ −−→ êàê ̸ (l, m) = 0, òî ïî òåîðåìå 1.5.4, AB = β CE . Ïîýòîìó CD = −−→ −−→ αAB = αβ CE è çíà÷èò D ∈ m. " ÷àñòíîñòè" ïîëó÷àåòñÿ ïðè l = m. 4). Ïðÿìàÿ m1 = T−→ (l) ñîäåðæèò òî÷êó C è ïàðàëëåëüíà AC l. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðÿìàÿ m2 îáëàäàåò òåìè æå ñâîéñòâàìè. Çàôèêñèðóåì òî÷êè A, B ∈ l, A 6= B è ïóñòü D òàêàÿ òî÷êà, ÷òî −−→ −−→ AB = CD. Òîãäà ïî 3), D ∈ m1 è D ∈ m2 . Òàê êàê ÷åðåç äâå òî÷êè ïðîõîäèò òîëüêî îäíà ïðÿìàÿ, òî m1 = m2 . ïîäïðîñòðàíñòâà). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, M. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ìíîæåñòâî âåêòîðîâ W ⊂ VE çàäà¼ò íàïðàâëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà M, èëè ÷òî Îïðåäåëåíèå 2.3.4(Íàïðàâëåíèÿ 13 M ïðîõîäèò â íàïðàâëåíèè W , åñëè W k M è äëÿ ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà N ⊂ E èç òîãî, ÷òî W k N cëåäóåò M k N . Òåîðåìà 2.3.4'ï(Î ïîñòðîåíèè ïîäïðîñòðàíñòâ). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, A ∈ E , W ⊂ VE - ìíîæåñòâî âåêòîðîâ. Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî òî÷åê L = S(W, A), ïîëàãàÿ: −−→ X ∈ S(W, A) ⇔ AX ðàâíÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W . 1). a). S(W, A) ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E è A ∈ S(W, A). b). Ìíîæåñòâî W çàäà¼ò íàïðàâëåíèå ïîäïðîñòðàíñòâà L = S(W, A). Òàêèì îáðàçîì, åñëè N ïîäïðîñòðàíñòâî E , òî L k N ⇔ ∀w ⃗ ∈ W, w ⃗ k N.  ñâÿçè ñ ýòèì, L íàçûâàåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì, ïðîõîäÿùèì ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè W . 2). ∀⃗c ∈ VE , ⃗c k L ⇔ ⃗c ðàâíÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç W .  ÷àñòíîñòè, ∀w ⃗ ∈ W, w ⃗ k L. 3). Ïóñòü W = {w ⃗ 1 , ..., w ⃗ k } ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, L = S(W, A). Òîãäà −−→ a). (∗)X ∈ L ⇔ AX = λ1 w ⃗ 1 + ... + λk w ⃗ k . Ïðè ýòîì, äëÿ äàííîé 1 k òî÷êå X ÷èñëà λ , ..., λ îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî.  ñâÿçè ñ ýòèì, âûðàæåíèå (∗) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïîäïðîñòðàíñòâà L, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè {w ⃗ 1 , ..., w ⃗ k }. Ïðè ýòîì, ∀⃗c ∈ VE , ⃗c k L ⇔ ⃗c = γ 1 w ⃗ 1 + ... + γ k w ⃗ k. −−→ −−→ b). Îòëîæèì îò òî÷êè A âåêòîðû AD1 = w ⃗ 1 , ..., ADk = w ⃗ k . Òî−−→ −−→ ãäà (A, {AD1 , ..., ADk }) ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò íà L = S(W, A).  ÷àñòíîñòè, dim L = k . c). Ïóñòü L = S(W, A) ⊂ N , (a) = (O, {⃗a1 , ..., a⃗n }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà N , [w ⃗ i ](a) = (γi1 , ..., γin ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà 1 âåêòîðà w ⃗ i = γi ⃗a1 + ... + γin⃗an , [A](a) = (x1A , ..., xnA ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A, X ∈ N , [X](a) = (x1 , ..., xn ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè X . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî X ∈ L ⇔ ñòðîêè ìàòðèöû M ëèíåéíî çàâèñèìû, òî åñòü ⇔ ðàíã r(M ) ìàòðèöû M ìåíüøå k + 1. 14   x1 − x1A γ11 ... γk1 . . . xk − xkA . . . xn − xnA   ... γ1k ... γ1n   M =    ... ... ... ... ... γkk ... γkn −→ −→ Äîêàçàòåëüñòâî. 1)a). Òàê êàê AA = ⃗0 = 0 · w ⃗ , òî AA ðàâíÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W , òàê ÷òî A ∈ S(W, A).  ñèëó −−→ −−→ îáîçíà÷åíèé, AX ∈ S(W, A)A ⇔ X ∈ S(W, A) ⇔ AX ðàâíÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W . Òàê êàê ñóììà ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåêòîðîâ èç W è ïðîèçâåäåíèå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W íà ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç W , òî S(W, A)A ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì EA . Ïî òåîðåìå î âåêòîðíîì îïèñàíèè ïîäïðîñòðàíñòâ, S(W, A) ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E . 1)b). ⇒. Òàê êàê w ⃗ k S(W, A), S(W, A) k S , òî w ⃗ k L ïî ëåììå î ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ. ⇐. Ïî îïðåäåëåíèþ ìíîæåñòâà S(W, A), êàæäûé âåêòîð èç S(W, A)A ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W , òàê ÷òî S(W, A) k L ïî ëåììå î ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ. −→ 2). Îòëîæèì îò òî÷êè A, âåêòîð, ðàâíûé ⃗c: ⃗c = AC . Ïî ëåììå î ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ, ⃗c k S(W, A) ⇔ C ∈ S(W, A), òî åñòü ⇔ −→ âåêòîð AC , à çíà÷èò è ⃗c ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ èç W . 3)a). Ïðÿìî ñëåäóåò èç 1) è îïðåäåëåíèÿ ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè. b). Ïî ñâîéñòâàì ïàðàëëåëüíîñòè âåêòîðîâ, Di ∈ L, òî åñòü −−→ ADi ∈ LA . Ïî 3)a) è ñâîéñòâàì ðàâåíñòâà âåêòîðîâ, −−→ −−→ −−→ AX ∈ LA ⇔ AX = α1 AD1 + ... + αk ADk −−→ −−→ è ñèñòåìà {AD1 , ..., ADk } ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òàê ÷òî −−→ −−→ {AD1 , ..., ADk } - áàçèñ LA . Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî −−→ −−→ (A, {AD1 , ..., ADk }) ÿâëÿåòñÿ àôôèííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò íà L = S(W, A). −−→ c). Ïî 3)a), X ∈ L ⇔ AX = λ1 w ⃗ 1 + ... + λk w ⃗ k , è òàê êàê ñèñòåìà −−→ w ⃗ 1 , ..., w ⃗ k ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî X ∈ L ⇔ {AX, w ⃗ 1 , ..., w ⃗ } ëèíåé−−→ k íî çàâèñèìà, òî åñòü ⇔ ðàíã ñèñòåìû âåêòîðîâ {AX, w ⃗ 1 , ..., w ⃗ k} 15 ìåíüøå k + 1. Íî ðàíã ýòîé ñèñòåìû, ïî ñâîéñòâàì êîîðäèíàò, ñîâïàäàåò ñ ðàíãîì ìàòðèöû M . Ñëåäóþùèé îáùèé ðåçóëüòàò äàåò íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ òîãî, ÷òî 2 ýâêëèäîâûõ ïîäïðîñòðàíñòâà ïåðåñåêàþòñÿ, òî åñòü èìåþò õîòÿ áû îäíó îáùóþ òî÷êó. Òåîðåìà 2.3.5ï.(Î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ) Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L, M  åãî ïîäïðîñòðàíñòâà, A ∈ L, B ∈ M. −−→ 1). Ïîäïðîñòðàíñòâà L è M èìåþò îáùóþ òî÷êó ⇔ AB = ⃗b+⃗c, ãäå ⃗b k L, ⃗c k M. −−→ 2). Åñëè AB ðàâíÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ïàðàëëåëåí ëèáî L, ëèáî M, òî L è M èìåþò îáùóþ òî÷êó. Äîêàçàòåëüñòâî. −→ −−→ 1. (⇒). Ïóñòü C  îáùàÿ òî÷êà L è M. Òîãäà AC k L, CB k M −→ −−→ −−→ è AC + CB = AB . −−→ (⇐). Ïî óñëîâèþ, AB = ⃗b + ⃗c, ãäå ⃗b k L, ⃗c k M. Îòëîæèì îò −→ òî÷êè A âåêòîð, ðàâíûé ⃗b. Òîãäà ⃗b = AC , è òàê êàê A ∈ L, òî ïî −−→ −→ −−→ −→ −−→ ëåììå 2.3.2, C ∈ L. Òàê êàê AB = AC + ⃗c, òî ⃗c = AB − AC = CB −−→ è çíà÷èò −⃗c = BC . Ïîñêîëüêó −⃗c k M, B ∈ M, òî ïî ëåììå 2.3.2, C ∈ M. −−→ 2). Ïî ëåììå 2.3.2, AB ðàâåí ñóììå 2 âåêòîðîâ, îäèí èç êîòîðûõ ïàðàëëåëåí L, à äðóãîé M, òàê ÷òî ïî 1), L è M èìåþò îáùóþ òî÷êó. Îïðåäåëåíèå 2.3.6ï.(ãèïåðïëîñêîñòè) Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Ïîäïðîñòðàíñòâî M ⊂ L íàçûâàåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â L, åñëè äëÿ ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà N ⊂ E èç òîãî, ÷òî M ⊂ N ⊂ L ñëåäóåò, ÷òî ëèáî N = M èëè N = L. 16 õàðàêòåðèñòèêå ãèïåðïëîñêîñòåé). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, M ⊂ L - ïîäïðîñòðàíñòâà E , ⃗b âåêòîð L, íå ïàðàëëåëüíûé M, A ∈ M, {⃗a1 , ..., ⃗ak } áàçèñ ïðîñòðàíñòâà MA . 1). Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: (1) M ãèïåðïëîñêîñòü â L; (2) Äëÿ ëþáîãî âåêòîðà ⃗cA ∈ LA , ⃗cA = ⃗aA + γ⃗b, ãäå ⃗aA ∈ MA , γ ∈ R; (3) {⃗a1 , ..., ⃗ak , ⃗ak+1 }, ãäå ⃗ak+1 ∈ MA - âåêòîð, ðàâíûé ⃗b, ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì LA ; (4) dim M + 1 = dim L. Äîêàçàòåëüñòâî. (1)⇒(2). Ïóñòü L′ = S(W, A), òî åñòü ïîäïðîñòðàíñòâî, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó A ïàðàëëåëüíî W , ãäå W = MA ∪{⃗b}. Ïî òåîðåìå î ïîñòðîåíèè ïîäïðîñòðàíñòâ (2.7.4), X ∈ L′ −−→ ⇔ AX = ⃗aA + γ⃗b, ãäå ⃗aA ∈ MA , γ ∈ R. Î÷åâèäíî, M ⊂ L′ ⊂ L, M 6= L′ , è òàê êàê M ãèïåðïëîñêîñòü â L, òî L = L′ . Ïîýòîìó −−→ −−→ −−→ AX = ⃗cA ∈ LA ⇔ AX ∈ L′A ⇔ AX = ⃗aA + γ⃗b, ãäå ⃗aA ∈ MA , òàê ÷òî óñëîâèå (2) âûïîëíåíî. (2)⇒(3). Ïî ëåììå 2.3.2, ⃗ak+1 íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ {⃗a1 , ..., ⃗ak }, òàê ÷òî {⃗a1 , ..., ⃗ak , ⃗ak+1 } ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Åñëè ⃗cA ∈ LA , òî ïî (2), ⃗cA = ⃗aA + γ⃗ak+1 , ãäå ⃗a ∈ MA , òàê ÷òî ⃗a = α1⃗a1 + ... + αk⃗ak è çíà÷èò {⃗a1 , ..., ⃗ak , ⃗ak+1 } ÿâëÿåòñÿ áàçèñîì LA . (3)⇒(1). Ïóñòü M ⊂ N ⊂ L, M 6= N . Òîãäà èìååòñÿ òî÷êà −→ −→ C ∈ N , C 6∈ M, òàê ÷òî ⃗c = AC ∈ NA , ⃗c = AC 6∈ MA . Ïîýòîìó, åñëè ⃗c = α1⃗a1 + ... + αk⃗ak + αk+1⃗ak+1 , òî αk+1 6= 0 è çíà÷èò ⃗ak+1 ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ {⃗a1 , ..., ⃗ak , ⃗c}. Îòñþäà −−→ ñëåäóåò, ÷òî êàæäûé âåêòîð AX , ãäå X ∈ L, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ {⃗a1 , ..., ⃗ak , ⃗c} è çíà÷èò ïðèíàäëåæèò NA . Òàêèì îáðàçîì, X ∈ N è çíà÷èò N = L. (3)⇒(4). Î÷åâèäíî. (4)⇒(1). Ïóñòü M ⊂ N ⊂ L. Òîãäà MA ⊂ NA ⊂ LA è çíà÷èò dim MA ≤ dim NA ≤ dim MA + 1. Òàêèì îáðàçîì, ëèáî dim MA ≤ dim NA è òîãäà N = L, ëèáî dim NA = dim MA + 1 = dim LA , è òîãäà N = L. Ëåììà 2.3.7'ï.(î 17 Òåîðåìà 2.3.8'ï.(î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ïîäïðîñòðàíñòâà ñ ãèïåðïëîñêîñòüþ). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, N ⊂ L ïîäïðîñòðàíñòâà E , M ãèïåðïëîñêîñòü â L. 1). Åñëè N 6k M, òî N ∩ M ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â N .  ÷àñòíîñòè, åñëè N ∩ M = ∅, òî N k M. 2). Ïóñòü ⃗b, ⃗c âåêòîðû èç L, îðòîãîíàëüíûå M, òî åñòü êàæäîìó âåêòîðó, ëåæàùåìó â M. Åñëè ⃗b 6= ⃗0, òî ⃗c = β⃗b. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî N íå ïàðàëëåëüíî M. Òîãäà èìååòñÿ âåêòîð ⃗b k N , ⃗b 6k M. Çàôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ M. Ïî òåîðåìå î õàðàêòåðèñòèêå ãèïåðïëîñêîñòåé (2.3.7), äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ L, −−→ (∗)AX = ⃗a + α⃗b, ãäå ⃗a ∈ MA . Çäåñü ⃗a k M, ⃗b k N , òàê ÷òî âçÿâ X ∈ N ïîëó÷àåì, ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ, ÷òî N ′ = N ∩ M 6= ∅. Åñëè òåïåðü A ∈ N ′ , ⃗bA = ⃗b - âåêòîð, îòëîæåííûé îò òî÷êè A, −−→ òî òàê êàê ⃗b k N , òî ⃗bA ∈ NA .  ñèëó âûðàæåíèÿ (∗), ⃗a = AX−α⃗bA , òàê ÷òî åñëè X ∈ N , òî ⃗a ∈ NA . Òàêèì îáðàçîì êîíåö âåêòîðà ⃗a ïðèíàäëåæèò M è N è çíà÷èò ⃗a ∈ NA′ . −−→ Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî X ∈ N ⇔ AX = ⃗aA + α⃗b, ãäå ⃗aA ∈ NA′ . Ïî òåîðåìå î õàðàêòåðèñòèêå ãèïåðïëîñêîñòåé (2.3.7), N ′ = N ∩ M ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â N . 2). Åñëè âåêòîð îäíîâðåìåííî ïàðàëëåëåí è îðòîãîíàëåí íåêîòîðîìó ïîäïðîñòðàíñòâó, òî îí îðòîãîíàëåí ðàâíîìó ñåáå âåêòîðó è çíà÷èò ðàâåí ⃗0. Òàê êàê ⃗b 6= ⃗0, òî îí íå ïàðàëëåëåí M. Ïî òåîðåìå 2.3.7, ⃗c = ⃗a + β⃗b, ãäå ⃗a âåêòîð èç M, îòêóäà ⃗c − β⃗b = ⃗a. Òàêèì îáðàçîì, (⃗a, ⃗a) = (⃗a, ⃗c − β⃗b) = 0, òî åñòü ⃗0 = ⃗a = ⃗c − β⃗b, (⃗a, ⃗a) = (⃗a, ⃗c − β⃗b) = 0, òî åñòü ⃗0 = ⃗a = ⃗c − β⃗b, òàê ÷òî ⃗c = β⃗b. (Î êàíîíè÷åñêîì óðàâíåíèè ïðÿìîé). Ïóñòü l ïðÿìàÿ â ïîäïðîñòðàíñòâå L åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E , A ∈ l, ⃗a íàïðàâëÿþùèé âåêòîð l, (a) = (O, {a1 , ..., ak }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L, [A](a) = (x1A , ..., xnA ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A, [⃗a](a) = (α1 , ..., αk ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà âåêòîðà ⃗a, X ∈ L, [X](a) = (x1 , ..., xk ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè X . Òîãäà Òåîðåìà 18 X ∈ L ⇔ ñòðîêè (x1 − x1A , . . . , xk − xkA ) è (α1 , ..., αk ) ïðîïîðöèîíàëüíû. Ïîñëåäíåå óñëîâèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå x1 −x1 x2 −x2 xk −xk (∗) α1 A = α2 A =· · ·= αk A , â ñâÿçè ñ ÷åì âûðàæåíèå (∗) íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ⃗a.  ýòîì âûðàæåíèè íåêîòîðûå ÷èñëà, ñòîÿùèå â çíàìåíàòåëå ìîãóò áûòü ðàâíû 0, íî ïðè óñëîâèè, ÷òî ñòîÿùèå íàä íèìè ÷èñëà â ÷èñëèòåëè òàêæå ðàâíû 0. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âåêòîðíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé, −−→ X ∈ L ⇔ âåêòîðû AX è ⃗a ïðîïîðöèîíàëüíû, òî åñòü â ñèëó ñâîéñòâ àôôèííûõ êîîðäèíàò, èõ êîîðäèíàòíûå ñòðîêè (x1 − x1A , . . . , xk − xkA ) è (α1 , ..., αk ) ïðîïîðöèîíàëüíû. (Î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè 2 ïðÿìûõ). Ïóñòü l m ïðÿìûå â ïîäïðîñòðàíñòâå L åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E , A ∈ l, B ∈ m, ⃗a, ⃗b íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðÿìûõ l è m ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó âåêòîðîâ −−→ (∗){AB, ⃗a, ⃗b}. Òîãäà: 1). a). Åñëè ñèñòåìà (∗) ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî ïðÿìûå ñêðåùèâàþùèåñÿ, òî åñòü íå ïàðàëëåëüíû è íå ïåðåñåêàþòñÿ. b). Åñëè ðàíã ñèñòåìû (∗) ðàâåí 2, òî ïðÿìûå l è m ëåæàò â ïëîñêîñòè è íå ñîâïàäàþò. Ïðè ýòîì, åñëè âåêòîðû ⃗a è ⃗b ïðîïîðöèîíàëüíû, òî l k m, à åñëè íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî ïåðåñåêàþòñÿ. c). Åñëè ðàíã ñèñòåìû (∗) ðàâåí 1, òî ïðÿìûå l è m ñîâïàäàþò. 2). (a) = (O, {a1 , ..., ak }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L, [A](a) = (x1A , ..., xnA ), [B](a) = (x1B , ..., xnB ), [⃗a](a) = (α1 , ..., αk ), [⃗b](a) = (β 1 , ..., β k ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè òî÷åê A, B , è âåêòîðîâ ⃗a, ⃗b. Ñîñòàâèì ìàòðèöó Òåîðåìà   x1 − x1 x2B − x2A . . . xkB − xkA   B 1 A α α2 ... αk M =  β1 β2 ... βk Òîãäà 19 a). Åñëè ðàíã r(M ) ìàòðèöû M ðàâåí 3, òî ïðÿìûå ñêðåùèâàþùèåñÿ, òî åñòü íå ïàðàëëåëüíû è íå ïåðåñåêàþòñÿ. b). Åñëè r(M ) = 2, òî ïðÿìûå l è m ëåæàò â ïëîñêîñòè è íå ñîâïàäàþò. Ïðè ýòîì, åñëè âòîðàÿ è òðåòüÿ ñòðîêè ìàòðèöû M ïðîïîðöèîíàëüíû, òî l k m, à åñëè íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî l è m ïåðåñåêàþòñÿ. c). Åñëè r(M ) = 1, òî ïðÿìûå l è m ñîâïàäàþò. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). a). Òàê êàê íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî ïðÿìûå íå ïàðàëëåëüíû. Åñëè ïðÿìûå ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïî òåîðå−−→ ìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ, AB = α⃗a+β⃗b è ïîýòîìó ñèñòåìà (∗) ëèíåéíî çàâèñèìà. Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìûå íå ïåðåñåêàþòñÿ. −−→ (∗){AB, ⃗a, ⃗b}. Òîãäà: b). Åñëè âåêòîðû ⃗a è ⃗b ïðîïîðöèîíàëüíû, òî l k m ïî ñâîéñòâàì ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ. Òàê êàê ðàíã ñèñòåìû (∗) ðàâåí 2, òî −−→ âåêòîð AB íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ⃗a è ⃗b è çíà÷èò ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ, l è m íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Åñëè æå ⃗a è ⃗b íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî òàê êàê ðàíã ñèñòåìû −−→ (∗) ðàâåí 2, òî AB ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ⃗a è ⃗b è çíà÷èò ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ, l è m ïåðåñåêàþòñÿ.  îáîèõ ýòèõ ñëó÷àÿõ ïðÿìûå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. c). Åñëè ðàíã ñèñòåìû (∗) ðàâåí 1, òî âåêòîðû ⃗a è ⃗b ïðîïîðöèîíàëüíû è çíà÷èò ïðÿìûå l è m ïàðàëëåëüíû. Êðîìå òîãî, âåêòîð −−→ AB ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ⃗a è ⃗b è çíà÷èò ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ, l è m èìåþò îáùóþ òî÷êó è ñëåäîâàòåëüíî ñîâïàäàþò. 2). Ïðÿìî ñëåäóþò èç 1) è ñâîéñòâ êîîðäèíàò. Ïóñòü - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. Ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ íåïóñòîå ìíîæåñòâî òî÷åê P ⊂ E , îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: (1). ∀A, B ∈ P åñëè A 6= B , òî l(AB) ⊂ P . (2). Èìåþòñÿ òî÷êè A, B, C ∈ P , íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé, òàêèå, −−→ −−→ −→ ÷òî ∀X ∈ P , AX = αAB + β AC . Îïðåäåëåíèå ïëîñêîñòè. 20 Òåîðåìà.(î âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Ìíîæåñòâî P ⊂ E ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ⇔ P ÿâëÿåòñÿ äâóìåðíûì ïîäïðîñòðàíñòâîì åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà E . 2). Ïóñòü A ∈ E , ⃗a, ⃗b íåêîëëèíåàðíûå âåêòîðû. a). Èìååòñÿ ïëîñêîñòü ïëîñêîñòü P , òàêàÿ, ÷òî A ∈ P , ⃗a k P , ⃗b k P . À èìåííî, òàêîé ïëîñêîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê, çàäàâàåìîå óñëîâèåì: −−→ (∗) X ∈ P ⇔ AX = α⃗a + β⃗b.  ñâÿçè ñ ýòèì âûðàæåíèå (∗) íàçûâàåòñÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïëîñêîñòè, ïðîõîäùåé ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ ⃗a è ⃗b. b). Òàêàÿ ïëîñêîñòü åäèíñòâåííà, òî åñòü åñëè L ïëîñêîñòü, A ∈ L, ⃗a k L, ⃗b k L, òî −−→ X ∈ L ⇔ AX = α⃗a + β⃗b, òî åñòü L = P . Ïðè ýòîì, åñëè îòëîæèòü îò òî÷êè A âåêòîðû, ðàâíûå ⃗a è ⃗b: −−→ −→ −−→ −→ ⃗a = AB , ⃗b = AC , òî {AB, AC} áàçèñ âåêòîðíîãî ïðîñòðàíñòâà PA . 3). Åñëè P ïëîñêîñòü, çàäàííàÿ óðàâíåíèåì (∗), ⃗c âåêòîð, òî ⃗c k P ⇔ ⃗c = λ⃗a + µ⃗b. Äîêàçàòåëüñòâî: 1). (⇒).  ñèëó (1) P ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E è òàê êàê òî÷êè A, B, C ∈ P è íå ëåæàò íà ïðÿìîé, òî −−→ −→ {AB, AC} ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà. −−→ −−→ −−→ −→  ñèëó (1), AX ∈ PA ⇒ X ∈ P ⇒ AX = αAB + β AC .  ñèëó òåîðåìû î âåêòîðíîì îïèñàíèè ïîäïðîñòðàíñòâ (ò. 2.1.2), −−→ −−→ −→ −−→ AX = αAB + β AC ⇒ AX ∈ PA . −−→ −→ Òàêèì îáðàçîì, {AB, AC} áàçèñ PA è çíà÷èò dimP = 2. −−→ −−→ (⇐). Åñëè {AB 1 , AB 2 } áàçèñ PA , òî òî÷êè A, B1 , B2 íå ëåæàò íà ïðÿìîé, òàê ÷òî óñëîâèÿ (1) è (2) îïðåäåëåíèÿ ïëîñêîñòè âûïîëíÿþòñÿ. 2).a). Îïðåäåëèì ìíîæåñòâî P ⊂ E , ïîëàãàÿ −−→ X ∈ P ⇔ AX = α⃗a + β⃗b. Óáåäèìñÿ, ÷òî P ïëîñêîñòü. (a) P ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E . Ïóñòü D, E ∈ P , D 6= E . Ïîêàæåì, ÷òî l(DE) ⊂ P . Åñëè −−→ −−→ −−→ −−→ −→ X ∈ l(DE), òî DX = tDE , òî åñòü AX = (1 − t)AD + tAE . Òàê 21 −−→ −→ êàê AD = α⃗a + β⃗b, AE = α′⃗a + β ′⃗b, òî −−→ AX = (1 − t)(α⃗a + β⃗b) + t(α′⃗a + β ′⃗b)= α′′⃗a + β ′′⃗b, òî åñòü X ∈ P . Òàêèì îáðàçîì, l(DE) ⊂ P è ñëåäîâàòåëüíî P ïîäïðîñòðàíñòâî E . (b). P ïëîñêîñòü, A ∈ P , ⃗a k P, ⃗b k P . −→ Òàê êàê AA = 0 · ⃗a + 0 · ⃗b, òî A ∈ P . −−→ Ïóñòü B ∈ E òàêàÿ òî÷êà, ÷òî AB = 1 · ⃗a + 0 · ⃗b. Òîãäà B ∈ P −−→ è AB = ⃗a, òî åñòü â P åñòü âåêòîð, ðàâíûé ⃗a. Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî ⃗a k P . Àíàëîãè÷íî, ⃗b k P . −−→ −→ Òàê êàê âåêòîðû ⃗a è ⃗b íå êîëëèíåàðíû, òî âåêòîðû AB è AC íå ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé è çíà÷èò òî÷êè A, B, C íå ëåæàò íà ïðÿìîé.  ñèëó îïðåäåëåíèÿ P , −−→ −−→ −→ ∀X ∈ P AX = α⃗a + β⃗b=αAB + β AC . Òàêèì îáðàçîì P óäîâëåòâîðÿåò îïðåäåëåíèþ ïëîñêîñòè. −−→ −→ b). Òàê êàê ⃗a = AB , ⃗b = AC , ⃗a k L, ⃗b k L, òî ïî ëåììå 2.3.2, −−→ −→ B, C ∈ L è çíà÷èò {AB, AC} ∈ LA . Òàê êàê ⃗a è ⃗b íå êîëëèíåàðíû, −−→ −→ òî {AB, AC} ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Òàê êàê L ïëîñêîñòü, −−→ −→ òî ïî 1), LA äâóìåðíî è ïîýòîìó {AB, AC} áàçèñ LA . Îòñþäà −−→ −−→ −−→ −→ −−→ X ∈ L ⇔ AX ∈ LA ⇔ AX = αAB + β AC ⇔ AX = α⃗a + β⃗b. 3). Ïî 2), A ∈ P , ⃗a k P, ⃗b k P è çíà÷èò, ïî ëåììå 2.3.2, åñëè ⃗c = λ⃗a + µ⃗b, òî ⃗c k P . Íàîáîðîò, ïóñòü ⃗c k P . Îòëîæèì îò òî÷êè A âåêòîð, ðàâíûé ⃗c: −−→ −−→ ⃗c = AD. Ïî ëåììå 2.3.2, D ∈ P , òàê ÷òî ⃗c = AD = λ⃗a + µ⃗b. Òåîðåìà.(î ïëîñêîñòÿõ, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç 3 òî÷êè, ÷åðåç 2 ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ÷åðåç ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Ïóñòü P ⊂ E ïëîñêîñòü, l, m ïðÿìûå â P . Åñëè l ∩ m = ∅, òî l k m. 2).a). Ïóñòü A, B, C ∈ E òî÷êè, íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé. Òîãäà èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ ýòè òî÷êè. b). Ïóñòü l, m ïðÿìûå, l 6= m, l k m. Òîãäà èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ l è m. c). Ïóñòü l, m ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå, l 6= m. Òîãäà èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ l è m. 22 Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Òàê êàê ïðÿìûå ÿâëÿþòñÿ ãèïåðïëîñêîñòÿìè â ïëîñêîñòè, òî ðåçóëüòàò ñëåäóåò èç îáùåé òåîðåìû î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ïîäïðîñòðàíñòâà è ãèïåðïëîñêîñòè. −−→ −→ 2).a). Îáîçíà÷èì ⃗a = AB , ⃗b = AC è ïóñòü P ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ ⃗a è ⃗b. Ïî òåîðåìå î −−→ −→ âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè, AB, AC ∈ PA è çíà÷èò A, B, C ∈ P . Òàê êàê ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ òî÷êè A, B, C ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ ⃗a è ⃗b, òî ïî òåîðåìå î âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè, îíà ñîâïàäàåò ñ P . b). Ïóñòü l, m ïðÿìûå, l 6= m, l k m, A, B ∈ l, C ∈ m A 6= B . Òîãäà òî÷êè A, B, C íå ëåæàò íà ïðÿìîé è ïî 2)a), èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü P , ñîäåðæàùàÿ òî÷êè A, B, C . Òàê êàê l = l(AB), òî l ⊂ P . Òàê êàê m k l, òî m k Pl. Ïîñêîëüêó m è P èìåþò îáùóþ òî÷êó, òî ïî ñâîéñòâàì ïàðàëëåëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, m ⊂ P. c). Ïóñòü l, m, l 6= m A îáùàÿ òî÷êà ïðÿìûõ l è m. Ïóñòü B ∈ l, C ∈ m - òî÷êè, îòëè÷íûå îò A. Òîãäà îíè íå ëåæàò íà ïðÿìîé è ïî 2)a) èìååòñÿ åäèíñòâåííàÿ ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ òî÷êè A, B, C . Òàê êàê l = l(AB), òî l ⊂ P , è òàê êàê m = l(AC), òî m ⊂ P . (Î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, P ïëîñêîñòü, çàäàâàåìàÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì −−→ AX = α⃗a + β⃗b, òî åñòü ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A ïàðàëëåëüíî íåêîëëèíåàðíûì âåêòîðàì ⃗a è ⃗b, l ïðÿìàÿ, çàäàâàåìàÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíè−−→ åì BY = λ⃗c, òî åñòü ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó B ïàðàëëåëüíî âåêòîðó ⃗c. −−→ 1). Ðàññìîòðèì ñèñòåìó âåêòîðîâ (1) {AB, ⃗a, ⃗b, ⃗c}. Òàê êàê âåêòîðû {⃗a, ⃗b} ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ðàíã ñèñòåìû (1) ≥ 2, òàê êàê âñåãî â íåé 4 âåêòîðà, òî ðàíã å¼ ≤ 4. a). Ïóñòü ñèñòåìà (1) ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî åñòü ðàíã å¼ ðàâåí 4. Òîãäà ïðÿìàÿ l íå ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè P è îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. Òåîðåìà 23 b). Ïóñòü ðàíã ñèñòåìû (1) ðàâåí 3. Òîãäà, åñëè âåêòîðû {⃗a, ⃗b, ⃗c} ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ èìåþò åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó, à åñëè âåêòîðû {⃗a, ⃗b, ⃗c} ëèíåéíî çàâèñèìû, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè è íå èìååò ñ íåé îáùèõ òî÷åê. c). Ïóñòü ðàíã ñèñòåìû (1) ðàâåí 2. Òîãäà ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè P . 2). Ïóñòü (a) = (O, {⃗a1 , ..., ⃗ak }) - àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â ïðîñòðàíñòâå E . [⃗a](a) = (α1 , ..., αk ), [⃗b](a) = (β 1 , ..., β k ), [⃗c](a) = (γ 1 , ..., γ k ) - êîîðäèíàòíûå ñòðîêè âåêòîðîâ ⃗a, ⃗b, ⃗c ñîîòâåòñòâåííî, [A](a) = (x1A , ..., xkA ), [B](a) = (x1B , ..., xkB ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè òî÷åê A è B ñîîòâåòñòâåííî. Ðàññìîòðèì ìàòðèöó     M = x1B − x1A x2B − x2A α1 α2 β1 β2 1 γ γ2 . . . xkB − xkA ... αk ... βk ... γk      Òîãäà ðàíã ýòîé ìàòðèöû ≥ 2 è ïðè ýòîì: a). Ïóñòü ðàíã ìàòðèöû M ðàâåí 4. Òîãäà ïðÿìàÿ l íå ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè P è îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. b). Ïóñòü ðàíã ìàòðèöû M ðàâåí 3. Òîãäà, åñëè ïîñëåäíèå 3 ñòðîêè ìàòðèöû ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ïëîñêîñòü è ïðÿìàÿ èìåþò åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó, à åñëè ïîñëåäíèå 3 ñòðîêè ëèíåéíî çàâèñèìû, òî ïðÿìàÿ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè è íå èìååò ñ íåé îáùèõ òî÷åê. c). Ïóñòü ðàíã ìàòðèöû M ðàâåí 2. Òîãäà ïðÿìàÿ l ëåæèò â ïëîñêîñòè P . Äîêàçàòåëüñòâî. 1). a). Òàê êàê âåêòîðû {⃗a, ⃗b, ⃗c} ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ⃗c} íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåòîðîâ {⃗b, ⃗c}, òàê ÷òî ïî òåîðåìå 2.3.7 î âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè, ïðÿìàÿ l íå ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè P . Åñëè l è P ïåðåñåêàþòñÿ, òî ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ åâêëè−−→ äîâà ïðîñòðàíñòâà, AB = ⃗u + ⃗v , ãäå ⃗u k l, ⃗v k P . Íî òîãäà ⃗u = γ⃗c, − −→ ⃗v = α⃗a +β⃗b, îòêóäà AB = α⃗a +β⃗b+γ⃗c, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ëèíåéíîé 24 íåçàâèñèìîñòè ñèñòåìû (1). Òàêèì îáðàçîì, l è P íå ïàðàëëåëüíû è íå ïåðåñåêàþòñÿ. −−→ b). Åñëè {⃗a, ⃗b, ⃗c} ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî AB = α⃗a + β⃗b + γ⃗c, òàê ÷òî ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, l è P èìåþò îáùóþ òî÷êó. Ýòà òî÷êà åäèíñòâåííà, òàê êàê â ïðîòèâíîì ñëó÷àå l ëåæàëà áû â P è çíà÷èò áûëà áû ïàðàëëåëüíà P . Ïóñòü {⃗a, ⃗b, ⃗c} ëèíåéíî çàâèñèìû. Òàê êàê {⃗a, ⃗b} ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî ⃗c ÿâëÿåòñÿ èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé, è ïî òåîðåìå 2.3.7 î âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè, ïðÿìàÿ l ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè P . Òàê êàê ðàíã ñèñòåìû (1) ðàâåí 3, −−→ òî AB íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé âåêòîðîâ veca è ⃗b, è çíà÷èò, â ñèëó âåêòîðíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè, B 6∈ P . Òàê êàê l ïàðàëëåëüíà P , òî ýòî çíà÷èò, ÷òî l è P íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. c). Åñëè ðàíã ñèñòåìû (1) ðàâåí 2, òî òàê êàê âåêòîðû {⃗a, ⃗b} ëèíåéíî íåçàâèñèìû, òî îíè îáðàçóþò áàçèñ ñèñòåìû (1). Ïîýòîìó ⃗c ÿâëÿåòñÿ èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé, è ïî òåîðåìå 2.3.7 î âåêòîðíîì ïàðàìåòðè÷åñêîì óðàâíåíèè ïëîñêîñòè, l ïàðàëëåëüíà P . −−→ Âåêòîð AB òàêæå ÿâëÿåòñÿ èõ ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé, è çíà÷èò â ñèëó âåêòîðíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè, B 6∈ P . Òàêèì îáðàçîì, l ⊂ P . 2). Ïðÿìî ñëåäóåò èç 1) è ñâîéñòâ êîîðäèíàò. ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;; 25 4. Ïîäïðîñòðàíñòâà, çàäàâàåìûå ëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè.Èõ çàäàíèå è âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå. Ëåììà 2.3.10ï(î ëèíåéíûõ ôîðìàõ). Ëèíåéíîé ôîðìîé íà ëèíåéíîì ïðîñòðàíñòâå L íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ëèíåéíàÿ âåùåñòâåííàÿ ôóíêöèÿ íà L, òî åñòü òàêîå îòîáðàæåíèå f : L → R, ÷òî f (a + b) = f (a) + f (b), f (α · a) = α · f (a). Íóë¼ì ôîðìû f íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ñòðîêà a, òàêàÿ, ÷òî f (a) = 0. Óòâåðæäàåòñÿ: 1). Ïóñòü f : Rk → R ëèíåéíàÿ ôîðìà íà Rk . Èìåþòñÿ òàêèå îäíîçíà÷íî îïðåäåë¼ííûå ÷èñëà α1 , ..., αk , ÷òî äëÿ âñÿêîãî x = (x1 , ..., xk ) ∈ Rk , f (x) = f (x1 , ..., xk ) = α1 x1 + ... + αk xk . À èìåííî, åñëè ei = (0, ..., 1, ..., 0) ∈ Rk , ñòðîêà, åäèíñòâåííûé îòëè÷íûé îò 0 ýëåìåíò êîòîðîé ðàâåí 1 è ñòîèò íà i-ì ìåñòå, òî αi = f (ei ). 2). a). Îòîáðàæåíèå, ñîïîñòàâëÿþùåå êàæäîìó x = (x1 , ..., xk ) ∈ P k R ÷èñëî f (x) = f (x1 , ..., xk ) = α1 x1 + ... + αk xk = ki=1 αi xi , ãäå α1 , ..., αk ôèêñèðîâàííûå ÷èñëà, ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôîðìîé íà Rk . b). Ïóñòü f (x1 , ..., xk ) = α1 x1 + ... + αk xk , g(x1 , ..., xk ) = β1 x1 + ... + βk xk . Åñëè f = g , òî åñòü f (x) = g(x) äëÿ âñåõ x ∈ Rk , òî αi = βi (i = 1, ..., k). 3). Ïóñòü f : L → R, g : L → R ëèíåéíûå ôîðìû, ïðè÷¼ì f íåíóëåâàÿ, òî åñòü f (x0 ) 6= 0 äëÿ íåêîòîðîãî x0 ∈ L. Åñëè êàæäûé íóëü ôîðìû f ÿâëÿåòñÿ íóë¼ì ôîðìû g , òî g = γf , òî åñòü èìååòñÿ òàêîå γ ∈ R, ÷òî äëÿ êàæäîãî x ∈ L, g(x) = γ · f (x). Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïóñòü x ∈ Rk . Òîãäà x = (x1 , ..., xk ) = x1 e1 + ... + xk ek è ïîýòîìó, â ñèëó ëèíåéíîñòè, f (x) = x1 f (e1 ) + ... + xk f (ek ) = α1 x1 + ... + αk xk , ãäå αi = f (ei ). 2)a). Åñëè x = (x1 , ..., xk ), y = (y 1 , ..., y k ), f (x) = α1 x1 + ... + αk xk , f (y) = α1 y 1 + ... + αk y k , òî x + y = (x1 + y 1 , ..., xk + y k ), αx = (αx1 , ..., αxk ), òàê ÷òî f (x + y) = α1 (x1 + y 1 )... + αk (xk + y k )=α1 x1 + ... + αk xk + α1 y 1 + ... + αk y k = f (x) + f (y), f (αx) = α1 αx1 + ... + αk αxk = α(α1 x1 + ... + αk xk )=αf (x). 2)b). Ïî 1), αi = f (ei ) = g(ei ) = βi (i = 1, ..., k). 3). Ïóñòü x ∈ L. Òàê êàê f (x0 ) 6= 0, òî 26 (x) (x) f (x) = ff(x f (x0 ) = βf (x0 ) = f (βx0 ), ãäå β = ff(x . Òîãäà 0) 0) f (x − βx0 ) = f (x) − βf (x0 ) = 0 è çíà÷èò g(x − βx0 ) = 0. Ïîýòîìó, g(x) = g((x − βx0 ) + βx0 ) = g(x − βx0 ) + g(βx0 ) = βg(x0 ) è çíà÷èò g(x) g(x0 ) g(x0 ( f (x) = f (x0 ) . Ïîëàãàÿ γ = f (x0 ) , ïîëó÷àåì g(x) = γf (x). Îïðåäåëåíèå 2.3.10'(óðàâíåíèÿ, çàäàþùåãî ìíîæåñòâî Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E , (a) = (A, {⃗a1 , ..., ⃗ak }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L, f : Rk → R ôóíêöèÿ k ïåðåìåííûõ. Ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êà C ∈ L óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1)f (x) = β , èëè áîëåå ïîäðîáíî, f (x1 , ..., xk ) = β , ãäå β ∈ R, åñëè êîîðäèíàòû òî÷êè C óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (1) òî åñòü åñëè f (x1C , ..., xkC ) = β , ãäå (x1C , ..., xkC ) = [C](a) = [AC](a) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè C . Ìíîæåñòâî S ⊂ L çàäà¼òñÿ óðàâíåíèåì (1), èëè óðàâíåíèå (1) ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ìíîæåñòâà S , åñëè ìíîæåñòâî âñåõ òî÷åê C ∈ L, óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (1), ñîâïàäàåò ñ S . Óðàâíåíèå (1) íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè f ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé ôîðìîé, òî åñòü åñëè îíî èìååò âèä α1 x1 + ... + αk xk = β . òî÷åê) Òåîðåìà 2.3.11'ãï(Îá óðàâíåíèè ãèïåðïëîñêîñòè). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E , (a) = (O, {⃗a1 , ..., a⃗k }) ⃗ 1 , ..., w ⃗ n−1 } ëèàôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L, A ∈ L, W = {w íåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâà L. Òîãäà ïîäïðîñòðàíñòâî M = S(W, A), ïðîõîäÿùåå ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè W ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â L, çàäàâàåìîé ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ k íåèçâåñòíûìè, òî åñòü óðàâíåíèåì âèäà (1) α1 x1 + ... + αk xk = β , ïðè÷¼ì òàêèì, ÷òî (α1 , ..., αk ) 6= (0, ..., 0), òî åñòü íå âñå êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ ðàâíû 0. À èìåííî, ïóñòü [w ⃗ i ](a) = (γi1 , ..., γik ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà âåêòîðà w ⃗ i = γi1⃗a1 +...+γik⃗ak , [A](a) = (x1A , ..., xkA ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A, X ∈ N , [X](a) = (x1 , ..., xk ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè X . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî X ∈ M ⇔ det M = 0, ãäå 27     M = x1 − x1A x2 − x2A γ11 γ12 ... ... 1 2 γk−1 γk−1 . . . xk − xkA ... γ1k ... ... k ... γk−1      Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î ïîñòðîåíèè ïîäïðîñòðàíñòâ (2.3.4'), dim M = k − 1, òàê ÷òî M ãèïåðïëîñêîñòü â L. Ïî òîé æå òåîðåìå, X ∈ M ⇔ ñòðîêè ìàòðèöû M ëèíåéíî çàâèñèìû. Òàê êàê M êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, òî, êàê èçâåñòíî èç àëãåáðû, ñòðîêè ìàòðèöû M ëèíåéíî çàâèñèìû ⇔ det M = 0. Ðàñêëàäûâàÿ îïðåäåëèòåëü ïî âåðõíåé ñòðîêå, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âèäà α1 (x1 − x1A ) + ... + αk (xk − xkA ) = 0, òî åñòü α1 x1 + ... + αk xk = β . Åñëè âñå αi = 0, òî ïðè β = 0 ýòî óðàâíåíèå çàäà¼ò ìíîæåñòâî L, à ïðè β 6= 0 ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ïîñêîëüêó ôàêòè÷åñêè ýòî óðàâíåíèå çàäà¼ò ãèïåðïëîñêîñòü, òî íå âñå αi = 0. Òåîðåìà 2.3.11'ïë(Îá óðàâíåíèè ïëîñêîñòè â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, (a) = (O, {⃗a1 , ⃗a2 , a⃗3 }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â E , A ∈ E , {⃗b, ⃗c} ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà E , P ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ {⃗b, ⃗c}. Ïóñòü [⃗b](a) = (β 1 , β 2 , β 3 ), [⃗c](a) = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) - êîîðäèíàòíûå ñòðîêè âåêòîðîâ ⃗b è ⃗c, [A](a) = (x1A , x2A , x3A ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A, X ∈ E , [X](a) = (x1 , x2 , x3 ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè X . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî X ∈ P ⇔ det M = 0 ãäå   x1 − x1A x2 − x2A x3 − x3A   β1 β2 β3 M =  1 2 3 γ γ γ Òàêèì îáðàçîì, ïëîñêîñòü P çàäà¼òñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ 3 íåèçâåñòíûìè, òî åñòü óðàâíåíèåì âèäà α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + α = 0, ïðè÷¼ì òàêèì, ÷òî íå âñå êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ ðàâíû 0. 28 Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âåêòîðíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïëîñêîñòè P , −−→ X ∈ P ⇔ AX = α⃗b + β⃗c, è òàê êàê âåêòîðû ⃗b, ⃗c ëèíåéíî íåçà−−→ âèñèìû, òî ⇔ {AX, ⃗b, ⃗c} ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Ïî ñâîéñòâàì êîîðäèíàò, ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ëèíåéíî çàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû M . Òàê êàê ìàòðèöà êâàäðàòíàÿ, òî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü å¼ ñòðîê ýêâèâàëåíòíà ðàâåíñòâó 0 å¼ îïðåäåëèòåëÿ. Ðàñêëàäûâàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ïåðâîé ñòðîêå, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âèäà α1 (x1 − x1A ) + α2 (x2 − x2A ) + α3 (x3 − x3A ) = 0, òî åñòü α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + α = 0. Åñëè âñå αi = 0, òî ïðè α = 0 ýòî óðàâíåíèå çàäà¼ò ìíîæåñòâî E , à ïðè α 6= 0 - ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ïîñêîëüêó ôàêòè÷åñêè ýòî óðàâíåíèå çàäà¼ò ïëîñêîñòü, òî íå âñå αi = 0 . Òåîðåìà 2.3.11'ïð(Îá óðàâíåíèè ïðÿìîé â ïëîñêîñòè). Ïóñòü P ïëîñêîñòü, (a) = (O, {⃗a1 , ⃗a2 }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â P , A ∈ P , ⃗b íåíóëåâîé âåêòîð, l ⊂ P ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó A â íàïðàâëåíèè âåêòîðà ⃗b. Ïóñòü [⃗b](a) = (β 1 , β 2 ), [A](a) = (x1A , x2A ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè âåêòîðà ⃗b è òî÷êè A, X ∈ P , [X](a) = (x1 , x2 ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè X . Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî X ∈ l ⇔ det M = 0 ãäå M= x1 − x1A x2 − x2A β1 β2 ! Òàêèì îáðàçîì, ïðÿìàÿ l çàäà¼òñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ 2 íåèçâåñòíûìè, òî åñòü óðàâíåíèåì âèäà α1 x1 + α2 x2 + α = 0, ïðè÷¼ì òàêèì, ÷òî íå âñå êîýôôèöèåíòû ïðè íåèçâåñòíûõ ðàâíû 0. Äîêàçàòåëüñòâî.  ñèëó âåêòîðíîãî ïàðàìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðÿìîé l, 29 −−→ −−→ X ∈ l ⇔ AX = α⃗b, è òàê êàê âåêòîð ⃗b 6= 0, òî ⇔ {AX, ⃗b} ëèíåéíî çàâèñèìàÿ ñèñòåìà. Ïî ñâîéñòâàì êîîðäèíàò, ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî ëèíåéíî çàâèñèìîñòè ñòðîê ìàòðèöû M . Òàê êàê ìàòðèöà êâàäðàòíàÿ, òî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü å¼ ñòðîê ýêâèâàëåíòíà ðàâåíñòâó 0 å¼ îïðåäåëèòåëÿ. Ðàñêëàäûâàÿ îïðåäåëèòåëü ïî ïåðâîé ñòðîêå, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå âèäà α1 (x1 − x1A ) + α2 (x2 − x2A ) = 0, òî åñòü α1 x1 +α2 x2 +α = 0. Åñëè âñå αi = 0, òî ïðè α = 0 ýòî óðàâíåíèå çàäà¼ò ïëîñêîñòü P , à ïðè α 6= 0 - ïóñòîå ìíîæåñòâî. Ïîñêîëüêó ôàêòè÷åñêè ýòî óðàâíåíèå çàäà¼ò ïðÿìóþ, òî íå âñå αi = 0. Òåîðåìà 2.3.11ãï(î ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ è åãî êîýôôèöèåíòîâ). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E , (a) = (O, {⃗a1 , ..., ⃗ak }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L. f (x) = α1 x1 + ... + αk xk íåíóëåâàÿ ëèíåéíàÿ ôîðìà, δ ∈ R. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ: (∗) α1 x1 + ... + αk xk = δ (òî åñòü f (x) = δ ) (∗′ ) α1 x1 + ... + αk xk = 0 (òî åñòü f (x) = 0). 1). Ìíîæåñòâî M, çàäàâàåìîå óðàâíåíèåì (∗), ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â L. 2). a). Âåêòîð ⃗c èç L ïàðàëëåëåí M ⇔ f ([⃗c](a) ) = 0, òî åñòü ⇔ êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [⃗c](a) âåêòîðà ⃗c óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (∗′ ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè [⃗c](a) = (γ 1 , ..., γ k ), òî ⃗c k M ⇔ α1 γ 1 + ... + αk γ k = 0. −−→ b). Ïóñòü A ∈ M. Òîãäà, äëÿ ëþáîé òî÷êè X ∈ L, AX ∈ MA ⇔ −−→ −−→ f ([AX](a) ) = 0, òî åñòü ⇔ êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [AX](a) ) âåêòîðà −−→ AX óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (∗′ ). 3). Ïóñòü (a) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Òîãäà âåêòîð p⃗, êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [⃗ p](a) êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî ñòðîêîé (α1 , ..., αk ), ñîñòàâëåííîé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ â óðàâíåíèè (∗), îðòîãîíàëåí ïîäïðîñòðàíñòâó M. Äîêàçàòåëüñòâî. 2)b). Òàê êàê A ∈ M, òî f ([A](a) ) = δ . Ïîýòîìó, åñëè X ∈ L, òî −−→ AX ∈ MA ⇔ X ∈ M ⇔ f ([X](a) ) = δ = f ([A](a) ) ⇔ f ([X](a) ) − −−→ f ([A](a) ) = 0 ⇔ f ([X](a) ) − [A](a) ) = 0 ⇔ f ([AX](a) ) = 0. 30 −−→ 2)a). Ïóñòü AB - âåêòîð, ðàâíûé ⃗c, ãäå A ∈ M. Òàê êàê êîîðäèíàòíûå ñòðîêè ðàâíûõ âåêòîðîâ ñîâïàäàþò, òî f ([⃗c](a) ) = −−→ f ([AB](a) ). Ïî ñâîéñòâîì ïàðàëëåëüíûõ âåêòîðîâ, ⃗c k M ⇔ B ∈ −−→ M, à ïî 2)b) ýòî èìååò ìåñòî ⇔ f ([AB](a) ) = 0, òî åñòü ⇔ f ([⃗c](a) ) = 0. 1). (a) M ÿâëÿåòñÿ ïîäïðîñòðàíñòâîì E . Ïóñòü D, E ∈ M, D 6= E . Òîãäà f ([D](a) ) = f ([E](a) ) = δ . −−→ −−→ Ïîêàæåì, ÷òî l(DE) ⊂ M. Åñëè X ∈ l(DE), òî DX = tDE , òî −−→ −−→ −−→ åñòü ïî ñâîéñòâàì êîîðäèíàò, [OX](a) ) = (1 − t)[OD](a) + t[OE](a) . −−→ −−→ −−→ Ïîýòîìó f ([X](a) ) = f ([OX](a) ))=(1 − t)f ([OD](a) ) + tf ([OE](a) ) =(1 − t)f ([D](a) )) + tf ([E](a) )=(1 − t)δ + tδ = δ , îòêóäà X ∈ M. Òàêèì îáðàçîì, l(DE) ⊂ M è ñëåäîâàòåëüíî M ïîäïðîñòðàíñòâî E . (b) M ãèïåðïëîñêîñòü â L. Âîñïîëüçóåìñÿ ëåììîé î õàðàêòåðèñòèêå ãèïåðïëîñêîñòåé. Ïî óñëîâèþ f íåíóëåâàÿ ôîðìà, òàê ÷òî èìååòñÿ b ∈ Rk , òàêàÿ, ÷òî f (b) 6= 0. Çàôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ M è ïóñòü ⃗b ∈ LA , òàêîé âåêòîð, ÷òî [⃗b](a) = b. Ïî 2)a), ⃗b 6k M. Ïóñòü ⃗c ∈ LA ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, −−→ α = f (⃗⃗c) . Òîãäà f ([⃗c](a) ) − αf ([⃗b](a) ) = 0 è çíà÷èò ⃗c = AB + γ⃗b, f (b) −−→ −−→ ãäå AB = ⃗c − α⃗b. Òàê êàê f ([AB](a) ) = f ([⃗c − α⃗b](a) ) = 0, òî ïî −−→ 2)b), AB ∈ MA . Ïî ëåììå î õàðàêòåðèñòèêå ãèïåðïëîñêîñòåé, M ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â L. 3). Åñëè ⃗c âåêòîð èç M, [⃗c](a) = (γ 1 , ..., γ k ), p⃗ âåêòîð, [⃗ p](a) = (α1 , ..., αk ), è ñèñòåìà êîîðäèíàò (a) äåêàðòîâà, òî ïî 2)a), (⃗ p, ⃗c)=α1 γ 1 + ... + αk γ k = 0. Òåîðåìà 2.3.11ïë(î ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ 3 íåèçâåñòíûìè è åãî êîýôôèöèåíòîâ). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, (a) = (O, {⃗a1 , ⃗a2 , ⃗a3 }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà E . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ: (∗) α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α (∗′ ) α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = 0. 1). Ìíîæåñòâî P , çàäàâàåìîå óðàâíåíèåì (∗), ÿâëÿåòñÿ ïïëîñêîñòüþ. 31 2). Âåêòîð ⃗c ïàðàëëåëåí P ⇔ êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [⃗c](a) âåêòîðà ⃗c óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (∗′ ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè [⃗c](a) = (γ 1 , γ 2 , γ 2 ), òî ⃗c k l ⇔ α1 γ 1 + α2 γ 2 + α3 γ 3 = 0. 3). Ïóñòü (a) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Òîãäà âåêòîð p⃗, êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [⃗ p](a) êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî ñòðîêîé (α1 , α2 , α3 ), ñîñòàâëåííîé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ â óðàâíåíèè (∗), îðòîãîíàëåí ïðÿìîé l. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïëîñêîñòü â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ, òî ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáùåé òåîðåìû î ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ è åãî êîýôôèöèåíòîâ. Òåîðåìà 2.3.11ïð(î ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ 2 íåèçâåñòíûìè è åãî êîýôôèöèåíòîâ). Ïóñòü P - ïëîñêîñòü, (a) = (O, {⃗a1 , ⃗a2 }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà P . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ: (∗) α1 x1 + α2 x2 = α (∗′ ) α1 x1 + α2 x2 = 0. 1). Ìíîæåñòâî l, çàäàâàåìîå óðàâíåíèåì (∗), ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. 2). Âåêòîð ⃗c ïàðàëëåëåí l ⇔ êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [⃗c](a) âåêòîðà ⃗c óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (∗′ ). Òàêèì îáðàçîì, åñëè [⃗c](a) = (γ 1 , γ 2 ), òî ⃗c k l ⇔ α1 γ 1 + α2 γ 2 = 0. 3). Ïóñòü (a) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò. Òîãäà âåêòîð p⃗, êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà [⃗ p](a) êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñî ñòðîêîé (α1 , α2 ), ñîñòàâëåííîé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ â óðàâíåíèè (∗), îðòîãîíàëåí ïðÿìîé l. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ïðÿìàÿ â ïëîñêîñòè ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ, òî ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì îáùåé òåîðåìû î ãåîìåòðè÷åñêîì ñìûñëå ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ è åãî êîýôôèöèåíòîâ. Òåîðåìà 2.3.12ãï(î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè 2 ãèïåðïëîñêîñòåé). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E , 32 (a) = (O, {⃗a1 , ..., ⃗ak }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1) ãèïåðïëîñêîñòè M è óðàâíåíèå (2) ãèïåðïëîñêîñòè N â L: (1) α1 x1 + ... + αk xk = α (òî åñòü f (x) = α) (2) β1 x1 + ... + βk xk = β (òî åñòü g(x) = β ). 1). M k N ⇔ g = γf , òî åñòü ⇔ ñòðîêè (α1 , ..., αk ) è (β1 , ..., βk ) ïðîïîðöèîíàëüíû. 2). M = N ⇔ g(x) − β = γ(f (x) − α), òî åñòü ⇔ ñòðîêè (α1 , ..., αk , α) è (β1 , ..., βk , β) ïðîïîðöèîíàëüíû. 3). Åñëè ñòðîêè (α1 , ..., αk ) è (β1 , ..., βk ), íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî åñòü ôîðìû f è g íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî M ∩ N ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â êàæäîì èç ïîäïðîñòðàíñòâ M è N . Äîêàçàòåëüñòâî. 1). (⇒) Åñëè M k N , òî êàæäûé âåêòîð M ïàðàëëåëåí N . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñòðîêà a ÿâëÿåòñÿ íóë¼ì ôîðìû f : f (a) = 0. Òîãäà, ïî ëåììå 2.3.11, âåêòîð ⃗a, êîîðäèíàòíîé ñòðîêîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ a, ïàðàëëåëåí M, à çíà÷èò ïî ëåììå î ïàðàëëåëüíîì âåêòîðå (2.3.2) ⃗a k N , òî åñòü g([⃗a](a) ) = g(a) = 0. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé íóëü ôîðìû f ÿâëÿåòñÿ íóë¼ì ôîðìû g . Ïî ëåììå î ëèíåéíûõ ôîðìàõ, g = γf . Òàê êàê ïî ëåììå î ëèíåéíûõ ôîðìàõ êîýôôèöèåíòû ïðè ïåðåìåíûõ îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî, òî βi = γαi , òî åñòü (β1 , ..., βk )=γ(α1 , ..., αk ) è çíà÷èò ñòðîêè (α1 , ..., αk ) è (β1 , ..., βk ) ïðîïîðöèîíàëüíû. (⇐). Åñëè g = αf , òî êàæäûé íóëü ôîðìû f ÿâëÿåòñÿ íóë¼ì ôîðìû g . Ïî ëåììå 2.3.11, êàæäûé âåêòîð M ïàðàëëåëåí N , è çíà÷èò, ïî ëåììå î ïàðàëëåëüíûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ, M k N . 2). (⇒) Ïóñòü M = N . Òîãäà M k N è çíà÷èò, ïî 1), g(x) = γf (x), òî åñòü (β1 , ..., βk )=γ(α1 , ..., αk ). Åñëè C ∈ M, òî f ([C](a) = α, g([C](a) = γf ([C](a) = γα. Òàê êàê C ∈ N , òî g([C](a) = β , òàê ÷òî γα = β è çíà÷èò (β1 , ..., βk , β)=γ(α1 , ..., αk , α). (⇐) Åñëè (β1 , ..., βk , β)=γ(α1 , ..., αk , α), òî äëÿ ëþáîé òî÷êè C ∈ L, C ∈ M ⇔ α1 x1C + ... + αk xkC = α ⇔ γα1 x1C + ... + γαk xkC = γα ⇔ β1 x1C + ... + βk xkC = β ⇔ C ∈ N , òî åñòü M = N . 3). Ïî 1), ôîðìû f è g íå ïðîïîðöèîíàëüíû ⇔ ïîäïðîñòðàíñòâà M è N íå ïàðàëëåëüíû. Ïî òåîðåìå 2.3.8, M è N íå ïàðàë33 ëåëüíû ⇔ M ∩ N ÿâëÿåòñÿ ãèïåðïëîñêîñòüþ â M è N . Òåîðåìà 2.3.12ïë(î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè 2 ïëîñêîñòåé â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, (a) = (O, {⃗a1 , ⃗a2 , ⃗a3 }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò â E . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1) ïëîñêîñòè P è óðàâíåíèå (2) ïëîñêîñòè Q: (1) α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 = α (2) β1 x1 + β2 x2 + β3 x3 = β . 1). P k Q ⇔ ñòðîêè (α1 , α2 , α3 ) è (β1 , β2 , β3 ) ïðîïîðöèîíàëüíû. 2). P = Q ⇔ ñòðîêè (α1 , α2 , α3 , α) è (β1 , β2 , β3 , β) ïðîïîðöèîíàëüíû. 3). Åñëè ñòðîêè (α1 , α2 , α3 ) è (β1 , β2 , β3 ), íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî P ∩ Q ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîé. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ãèïåðïëîñêîñòÿìè â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå ÿâëÿþòñÿ ïëîñêîñòè, à ãèïåðïëîñêîñòÿìè â ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå, òî ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ãèïåðïëîñêîñòåé Òåîðåìà 2.3.12ïð(î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè 2 ïðÿìûõ â ïëîñêîñòè). Ïóñòü P ïëîñêîñòü, (a) = (O, {⃗a1 , ⃗a2 }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà P . Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå (1) ïðÿìîé l è óðàâíåíèå (2) ïðÿìîé m: (1) α1 x1 + α2 x2 = α (2) β1 x1 + β2 x2 = β . 1). l k m ⇔ ñòðîêè (α1 , α2 ) è (β1 , β2 ) ïðîïîðöèîíàëüíû. 2). l = m ⇔ ñòðîêè (α1 , α2 , α) è (β1 , β2 , β) ïðîïîðöèîíàëüíû. 3). Åñëè ñòðîêè (α1 , α2 , ) è (β1 , β2 ), íå ïðîïîðöèîíàëüíû, òî l ∩ m ÿâëÿåòñÿ îäíîòî÷ê÷íûì ìíîæåñòâîì. Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ãèïåðïëîñêîñòÿìè â ïëîñêîñòè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûå, à ãèïåðïëîñêîñòÿìè â ïðÿìîé ÿâëÿþòñÿ îäíîòî÷å÷íûå ìíîæåñòâà, òî ðåçóëüòàò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ãèïåðïëîñêîñòåé. 5. Îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå è ðàññòîÿíèå ìåæäó ïîäïðîñòðàíñòâàìè. è ìåæäó òî÷êàìè è ïîäïðîñòðàíñòâàìè. 34 Íàïîìíèì, ÷òî âåêòîðû ⃗a è ⃗b íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè èõ ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàíî íóëþ: (⃗a, ⃗b) = 0. Åñëè ýòî íåíóëåâûå âåêòîðû, ëåæàùèå íà ïðÿìûõ l è m ñîîòâåòñòâåííî, òî îíè îðòîãîíàëüíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà l è m ïåðïåíäèêóëÿðíû (ëåììà 2.0.10). Ñëåäóþùåå ñâîéñòâî îðòîãîíàëüíîñòè ñëåäóåò èç îáùèõ ñâîéñòâ îïåðàöèé íàä ïðîèçâîëüíûìè âåêòîðàìè (§1.5). (Îá îðòîãîíàëüíîñòè âåêòîðîâ). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî. 1). Åñëè âåêòîðû ⃗b1 , ⃗b2 , ..., ⃗bn ∈ E îðòîãîíàëüíû âåêòîðó ⃗a, òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ îðòîãîíàëüíà ⃗a. 2). Ïóñòü U è W òàêèå ìíîæåñòâà âåêòîðîâ ïðîñòðàíñòâà E , ÷òî êàæäûé âåêòîð èç U îðòîãîíàëåí êàæäîìó âåêòîðó èç W . Òîãäà ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ âåêòîðîâ èç U îðòîãîíàëüíà ëþáîé ëèíåéíîé êîìáèíàöèè âåêòîðîâ èç W . Äîêàçàòåëüñòâî: 1). Ïóñòü ⃗c = β1⃗b1 +...+βn⃗bn Ïî òåîðåìå 1.5.8, (⃗c, ⃗a) = β1 (⃗b1 , ⃗a)+ ... + βn (⃗bn , ⃗a) = 0. 2). Ïðÿìî ñëåäóåò èç 1). Ëåììà 2.5.1. Îòìåòèì åù¼ îäíî ïîëåçíîå ñëåäñòâèå ðåçóëüòàòîâ §1.5. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L  åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî E . Âåêòîð ⃗a íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíûì èëè ïåðïåíäèêóëÿðíûì L (îáîçíà÷åíèå ⃗a⊥L), åñëè ⃗a îðòîãîíàëåí êàæäîìó âåêòîðó ëåæàùåìó â L. Ïðÿìàÿ l íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé èëè ïåðïåíäèêóëÿðíîé L (îáîçíà÷åíèå l⊥L), åñëè íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé l îðòîãîíàëåí L.  ñèëó ëåììû 2.5.1, ýòî ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî êàæäûé âåêòîð, ëåæàùèé íà l, îðòîãîíàëåí L. Îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì äâóõ åâêëèäîâûõ ïîäïðîñòðàíñòâ íàçûâàåòñÿ âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé îáîèì è òàêîé, íà÷àëî êîòîðîãî ïðèíàäëåæèò îäíîìó èç ýòèõ ïîäïðîñòðàíñòâ, à êîíåö äðóãîìó. Îïðåäåëåíèå 2.5.3. 35 Ïîíÿòèå îðòîãîíàëüíîñòè íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíî ñ îïåðàöèåé îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ òî÷åê íà ïðÿìûå. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, l ïðÿìàÿ â E , C ∈ E , D = pl (C). Òîãäà: −−→ 1). Âåêòîð CD îðòîãîíàëåí l. 2). Åñëè E ∈ l, E 6= D, òî |CD| < |CE|. Òàêèì îáðàçîì, îðòîãîíàëüíîå ïðîåêòèðîâàíèå òî÷åê íà ïðÿìûå â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå îäíîçíà÷íî çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì óñëîâèåì: òî÷êà pl (C)  ýòî áëèæàéøàÿ ê C òî÷êà íà ïðÿìîé l. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïî îïðåäåëåíèþ óãëà ìåæäó ïðÿìûìè, óãîë ìåæäó l è l(CD) ðàâåí π2 , à çíà÷èò ýòîé æå âåëè÷èíå ðàâåí óãîë ìåæäó ëþáûìè 2 íåíóëåâûìè âåêòîðàìè, îäèí èç êîòîðûõ ëåæèò íà l, à −−→ äðóãîé íà l(CD). Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð CD îðòîãîíàëåí êàæäîìó âåêòîðó, ëåæàùåìó â l. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2). Òàê êàê CE = CD + DE è (CD, DE) = 0 , òî |CE|2 = −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 2 −−→ 2 −−→ −−→ −−→ (CD + DE, CD + DE) = |CD| + |DE| + 2(CD, DE) = |CD|2 + −−→ 2 −−→ 2 |DE| > |CD| . Òåîðåìà 2.5.4. Ñâîéñòâî 1) îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèè òî÷êè íà ïðÿìóþ áåð¼òñÿ çà îñíîâó ïðè îïðåäåëåíèè ïðîåêöèé íà åâêëèäîâû ïîäïðîñòðàíñòâà. Îïðåäåëåíèå 2.5.5. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L  åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî E , C ∈ E . Òî÷êà D ∈ L íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé C íà L è îáîçíàâ÷àåòñÿ pL (A), åñëè −−→ âåêòîð CD îðòîãîíàëåí L. Îðòîãîíàëüíîé ïðîåêöèåé pL (⃗a) âåê−−−−−−−−→ −−→ òîðà ⃗a = AB íà L íàçûâàåòñÿ âåêòîð pL (A)pL (B) ñ íà÷àëîì pL (A) è êîíöîì pL (B). Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð pL (⃗a) ëåæèò â L. Îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîåêöèé òî÷åê ôîðìóëèðóþòñÿ â ñëåäóþùåé ëåììå. Òåîðåìà 2.5.6. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L, N  åâêëèäîâû ïîäïðîñòðàíñòâà E , C ∈ E . 36 1). Îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ D òî÷êè C íà L îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî è çàäà¼òñÿ ñëåäóþùèì óñëîâèåì: åñëè E ∈ L, E 6= D, òî |CD| < |CE|. Òàêèì îáðàçîì, |CD| ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì èç ðàññòîÿíèé îò òî÷êè C äî òî÷åê ìíîæåñòâà L è â ñâÿçè ñ ýòèì íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò C äî L è îáîçíà÷àåòñÿ d(C, L). 2). Ïóñòü C, E ∈ L, D, F ∈ N . −−→ a). Åñëè CD  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N , òî |CD| ≤ |EF |. Òàêèì îáðàçîì, |CD| ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøèì èç ðàññòîÿíèé ìåæäó òî÷êàìè E è F , òàêèìè, ÷òî E ∈ L, F ∈ N .  ñâÿçè ñ ýòèì |CD| íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó L è N è îáîçíà÷àåòñÿ d(L, N ). −−→ −−→ b). Ïóñòü CD è EF  îáùèå ïåðïåíäèêóëÿðû L è N . Òîãäà −−→ −−→ −−→ −−→ CD = EF , è êàæäûé èç âåêòîðîâ CE = DF ïàðàëëåëåí êàê L, òàê è N . −−→ Íàîáîðîò, ïóñòü CD  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N , ⃗a  âåêòîð, ïàðàëëåëüíûé êàê L, òàê è N . Îòëîæèì îò òî÷åê C è D ïî âåêòî−−→ −−→ −−→ ðó, ðàâíîìó ⃗a: CE = ⃗a = DF . Òîãäà EF  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N. Äîêàçàòåëüñòâî. −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1). Òàê êàê CE = CD + DE è (CD, DE) = 0, òî |CE|2 = (CD + −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ DE, CD + DE) = |CD|2 + |DE|2 + 2(CD, DE) = |CD|2 + |DE|2 > −−→ 2 |CD| . 2). a). Ïî ïðàâèëàì ñëîæåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ âåêòîðîâ(ïóíêò −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ 1.5), EF = EC + CD + DF = CD + (DF + EC). Âåêòîð CD ÿâëÿåòñÿ îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì L è M è çíà÷èò, ïî ëåììå 2.5.1, −−→ −−→ −−→ −−→ îðòîãîíàëåí âåêòîðó ⃗a = DF + EC . Ïîýòîìó |EF |2 = (CD + −−→ −−→ 2 − − → − − → − − → ⃗a, CD + ⃗a) = |CD| + |⃗a|2 + 2(CD, ⃗a) = |CD|2 + |⃗a|2 ≥ |CD|2 . −−→ −−→ b). Ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, EF − CD = −−→ −−→ −−→ −−→ EC − F D. Òàê êàê EF è CD îáùèå ïåðïåíäèêóëÿðû L è N , òî −−→ êàæäûé èç ýòèõ âåêòîðîâ îðòîãîíàëåí êàæäîìó èç âåêòîðîâ EC −−→ −−→ −−→ è F D è çíà÷èò ïî ëåììå 2.5.1, âåêòîð ⃗c = EF − CD îðòîãîíàëåí − − → − − → ⃗ = 0, âåêòîðó d⃗ = EC − F D. Ïîñêîëüêó ⃗c = d⃗, òî |⃗c|2 = (⃗c, ⃗c) = (⃗c, d) −−→ −−→ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ îòêóäà ⃗c = d = 0. Òàê êàê ⃗c = 0, òî EF = CD. Òàê êàê d = ⃗0, òî −−→ −−→ −−→ −−→ EC = F D. Òàêèì îáðàçîì, EC ëåæèò â L è ðàâåí âåêòîðó F D, ëåæàùåìó â N , ñëåäîâàòåëüíî ïàðàëëåëåí êàê L, òàê è N . 37 −−→ Íàîáîðîò, ïóñòü CD  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N , ⃗a  âåêòîð, −−→ −−→ ïàðàëëåëüíûé êàê L, òàê è N , CE = ⃗a = DF . Ïî ëåììå 2.1.5.1), −−→ −−→ −−→ −−→ E ∈ L, F ∈ N . Èç ðàâåíñòâà CE = DF ñëåäóåò, ÷òî EF = CD, −−→ òàê ÷òî EF  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N . Ðàññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïðîåêöèé è âûâåäåì ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàññòîÿíèÿ d(C, L) îò òî÷êè C äî åâêëèäîâà ïîäïðîñòðàíñòâà L. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L, N  åãî êîíå÷íîìåðíûå åâêëèäîâû ïîäïðîñòðàíñòâà. Òîãäà 1). Äëÿ ëþáîé òî÷êè C ∈ E ñóùåñòâóåò è îäíîçíà÷íî îïðåäåëåíà å¼ îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ pL (C) íà ïîäïðîñòðàíñòâî L. À èìåííî, åñëè (A, {⃗e1 , ..., ⃗em })  äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â L, C ′ = pL (C), òî −−→ −→ P −→ a). CC ′ = CA − m ei )⃗ei . i=1 (CA, ⃗ P −−→ −→ −→ b). d(C, L)2 =|CD|2 =|CA|2 − m ei )2 . i=1 (CA, ⃗ 2).a). Ñóùåñòâóåò îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N . b). Åñëè A ∈ L è B ∈ N , òî ðàññòîÿíèå îò L äî N ìîæåò áûòü íàéäåíî òàê: d(L, N )=d(A, M), ãäå M  åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî, ñîäåðæàùåå òî÷êó B , êàæäûé âåêòîð êîòîðîãî èìååò âèä ⃗a + ⃗b, ãäå ⃗a k L, ⃗b k N . Äîêàçàòåëüñòâî. −→ −−→ P i e è çíà÷èò − CD = 1).a). Äëÿ ëþáîé òî÷êè D ∈ L, AD = m i i=1 α ⃗ −→ −−→ −→ Pm i CA + AD = CA + i=1 α ⃗ei . Ïîäáåð¼ì êîýôôèöèåíòû αi òàê, −−→ ÷òîáû CD áûëî îðòîãîíàëüíî êàæäîìó âåêòîðó ⃗ek . Ïîñêîëüêó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ ⃗ei ÿâëÿåòñÿ îðòîíîðìèðîâàííîé, òî −−→ −→ ïî ñâîéñòâàì ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ (CD, ⃗ek ) = (CA, ⃗ek ) + αk − → −−→ è îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðè αk = −(CA, ⃗ek ), òàê ÷òî âåêòîð CD = −→ Pm −→ CA − i=1 (AC, ⃗ei )⃗ei îðòîãîíàëåí êàæäîìó ⃗ek . Ïîñêîëüêó êàæäûé −−→ âåêòîð èç L ðàâåí ëèíåéíîé êîìáèíàöèè ⃗ek , òî ïî ëåììå 2.5.1, CD îðòîãîíàëåí L. −→ −−→ −→ P −→ −→ P ei )⃗ei ) ⃗ei )⃗ei , CA− m b). d(C, L)2 =|CD|2 =(CA− m i=1 (CA, ⃗ i=1 (CA, P Pm −→ − → − → −−→ 2 −→ 2 = |CA| + | i=1 (CA, ⃗ei )⃗ei |2 − 2(CA, m ( CA, ⃗ e )⃗ e ) = | CF | + i i Pm −→ → → 2 i=1Pm −→ 2. 2 − 2 Pm (− 2 = |− ( CA, ⃗ e ) CA, ⃗ e ) CA| − ( CA, ⃗ e ) i i i i=1 i=1 i=1 Òåîðåìà 2.5.7. 38 06.04.2020 2). a). Çàôèêñèðóåì òî÷êè A ∈ L è B ∈ N è ïóñòü M  ïîäïðî−−→ ñòðàíñòâî E , îïðåäåëÿåìîå òàê: X ∈ M ⇔ BX = ⃗a + ⃗b, ãäå ⃗a k L, − → ⃗b k N . Ïóñòü C = pM (A), ⃗c = AC , L′ = T⃗c (L). Òàê êàê C ∈ M, −−→ òî BC = ⃗a + ⃗b, ãäå ⃗b k N , ⃗a k L è çíà÷èò ⃗a k L′ . Ïî òåîðåìå 2.1.9, L′ è N èìåþò îáùóþ òî÷êó E . Ïîñêîëüêó E ∈ L′ , òî E = T⃗c (D), −−→ −→ −→ D ∈ L, òàê ÷òî DE = ⃗c = AC . Âåêòîð AC îðòîãîíàëåí M, à çíà−−→ ÷èò îðòîãîíàëåí L è N , ïîýòîìó è DE îðòîãîíàëåí L è N . Ïðè −−→ ýòîì D ∈ L, E ∈ N , çíà÷èò DE  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð L è N . −−→ −→ −−→ −→ b). Òàê êàê DE = AC , òî d(L, N )=|DE|= |AC| è ïîñêîëüêó −→ C = pM (A), òî |AC|=d(A, M), îòêóäà d(L, N )=d(A, M). Äîêàæåì îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðîåêòèðîâàíèÿ âåêòîðîâ, â ÷àñòíîñòè, ëèíåéíîñòü îïåðàöèè îðòîãîíàëüíîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ íà ïðîèçâîëüíûå åâêëèäîâû ïîäïðîñòðàíñòâà. Ëåììà 2.5.8. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L åãî ïîäïðîñòðàíñòâî, ⃗a ïðîèçâîëüíûé âåêòîð E . 1).a). Âåêòîð ⃗a − pL (⃗a) îðòîãîíàëåí L, òàê ÷òî ⃗a = ⃗b + ⃗c, ãäå ⃗b k L, ⃗c ⊥ L; b). Åñëè ⃗a = ⃗b+⃗c = b⃗′ +c⃗′ , ãäå ⃗b, b⃗′ k L, ⃗c, c⃗′ ⊥ L, òî ⃗b = b⃗′ = pL (⃗a) è ⃗c = c⃗′ . Òàêèì îáðàçîì, ⃗b = pL (⃗a) ⇔ ⃗b k L è (⃗a − ⃗b) ⊥ L. 2).a). ⃗akL ⇔ pL (⃗a) = ⃗a. b). ⃗a⊥L ⇔ pL (⃗a) = ⃗0. −−→ −−→ Äîêàçàòåëüñòâî. 1). a). Ïóñòü ⃗a = EF , òîãäà pL (⃗a) = E ′ F ′ , −−→ ãäå E ′ = pL (E), F ′ = pL (F ). Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîåêöèè, EE ′ ⊥ L, −−→′ −−→ −−→ −−→ −−→ F F ⊥ L. Ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà, EF + F F ′ = EE ′ + E ′ F ′ , òàê −−→ −−→ −−→ −−→ ÷òî ⃗a − pL (⃗a)= EF − E ′ F ′ =EE ′ − F F ′ - âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé L. Ïîëàãàÿ ⃗b = pL (⃗a), ⃗c = ⃗a − pL (⃗a), ïîëó÷àåì ⃗a = ⃗b + ⃗c, ãäå ⃗b k L, ⃗c ⊥ L; b). Èìååì ⃗b + ⃗c = b⃗′ + c⃗′ , ãäå ⃗b, b⃗′ k L, ⃗c, c⃗′ ⊥ L. Ïîýòîìó ⃗ ⃗ d) ⃗ = 0 è çíà÷èò d = ⃗b − b⃗′ = c⃗′ − ⃗c, òàê ÷òî d⃗ k L, d⃗ ⊥ L, îòêóäà (d, d⃗ = 0. Òàêèì îáðàçîì, ⃗b = b⃗′ , ⃗c = c⃗′ . 39 Ïîëîæèì b⃗′ = pL (⃗a). Òîãäà b⃗′ k L. Ïî a), c⃗′ = (⃗a − pL (⃗a)) ⊥ L, è òàê êàê ⃗a = b⃗′ + c⃗′ , òî ïî äîêàçàííîìó, ⃗b = b⃗′ = pL (⃗a). 2). a). Èìååì ⃗a = ⃗a + ⃗0, ⃗0 ⊥ L. Ïîýòîìó, ïî 1)b), ⃗a k L ⇔ pL (⃗a) = ⃗a. b). Èìååì ⃗a = ⃗0 + ⃗a, ⃗0 k L. Ïîýòîìó, ïî 1), ⃗a ⊥ L ⇔ pL (⃗a) = ⃗0. Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L  åãî åâêëèäîâî ïîäïðîñòðàíñòâî, ⃗a, ⃗b ∈ VE , α ∈ R. Òîãäà 1). a). pL (⃗a + ⃗b) = pL (⃗a) + pL (⃗b). b). pL (α⃗a) = αpL (⃗a). 2). Åñëè ⃗a = ⃗b, òî pL (⃗a) = pL (⃗b). 3). Ïóñòü (A, {⃗e1 , ..., ⃗em })  äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò â L, P ⃗a ∈ VE . Òîãäà pL (⃗a) = m a, ⃗ei )⃗ei . i=1 (⃗ Äîêàçàòåëüñòâî. 1)a). a). Ïî ëåììå 2.5.8, ⃗a − pL (⃗a) ⊥ L, ⃗b − pL (⃗b) ⊥ L, à çíà÷èò, ⃗a + ⃗b − (pL (⃗a) + pL (⃗b))= (⃗a − pL (⃗a)) + (⃗b − pL (⃗b)) ⊥ L. Òàê êàê pL (⃗a) + pL (⃗b) k L, òî ïî 2.5.8, pL (⃗a) + pL (⃗b) = pL (⃗a + ⃗b). b). Ïî ëåììå 2.5.8, ⃗a − pL (⃗a) ⊥ L è çíà÷èò, α⃗a − αpL (⃗a) = α(⃗a − pL (⃗a)) ⊥ L. Òàê êàê αpL (⃗a) k L, òî ïî ëåììå 2.5.8, αpL (⃗a) = pL (α⃗a). 2). Ïî ëåììå 2.5.8, ⃗a − pL (⃗a) ⊥ L, è åñëè ⃗a = ⃗b, òî ⃗b − pL (⃗a) = ⃗a − pL (⃗a) ⊥ L, îòêóäà, ïî ëåììå 2.5.8, pL (⃗a) = pL (⃗b). P a, ⃗ei )⃗ei . Òàê êàê ⃗b k L, òî äëÿ äîêàçà3). Îáîçíà÷èì ⃗b = m i=1 (⃗ ⃗ òåëüñòâà ðàâåíñòâà b = pL (⃗a) äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü, ÷òî ⃗a−⃗b ⊥ L. Èìååì, (⃗a − ⃗b, ei ) = (⃗a, ei ) − (⃗b, ei ) = (⃗a, ei ) − (⃗a, ei ) = 0. Ïî ëåììå 2.5.1, (⃗a − ⃗b) ⊥ L è çíà÷èò ïî ëåììå 2.5.8, ⃗b = pL (⃗a). Òåîðåìà 2.5.9. Òåîðåìà 2.5.10. (î ðàññòîÿíèè îò òî÷êè äî ïðÿìîé). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, l ïðÿìàÿ, A ∈ l, ⃗a íàïðàâ−→ 2 −→ ,⃗a) ëÿþùèé âåêòîð l, C ∈ E . Òîãäà d(C, l)2 =|CA|2 − (CA . |⃗a|2 Äîêàçàòåëüñòâî. Åñëè ⃗e åäèíè÷íûé âåêòîð íà ïðÿìîé l, òî P −→ −−→ −→ ei )2 èç òåîðåìû ïî ôîðìóëå d(C, L)2 =|CD|2 =|CA|2 − m i=1 (CA, ⃗ − → − → 2.3.7, ïîëó÷àåì d(C, l)2 =|CA|2 − (CA, ⃗e)2 . Åñëè ⃗a ïðîèçâîëüíûé íàïðàâëÿþùèé âåêòîð ïðÿìîé l, òî ⃗e= |⃗⃗aa| - åäèíè÷íûé âåêòîð, è −→ −→ (CA, ⃗a) = |⃗a|(CA, ⃗e), òàê ÷òî 40 −→ 2 −→ −→ 2 −→ → −→ ,⃗a) 2 − (CA,|⃗a|⃗e) = − |CA|2 − (CA = CA| CA|2 − (CA, ⃗e)2 = d(C, l). 2 |⃗a| |⃗a|2 Òåîðåìà 2.5.11ãï.(î ðàññòîÿíèè äî ãèïåðïëîñêîñòè). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E , M ãèïåðïëîñêîñòü â L. 1). Ïóñòü p⃗ íåíóëåâîé âåêòîð L, îðòîãîíàëüíûé M, A ∈ M. a). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C ∈ L äî ïîäïðîñòðàíñòâà M d(C, M) = . −→ |(AC, p⃗)| |⃗ p|2 b). Ïóñòü N ⊂ L ïîäïðîñòðàíñòâî E , N k M, B ∈ N . Òîãäà −−→ |(AB, p⃗)| d(N , M) = |⃗ p|2 . 2). Ïóñòü (e) = (O, {⃗e1 , ..., ⃗ek }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L, α1 x1 + ... + αk xk = α óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè M. a). Åñëè [C](e) = (x1C , ..., xkC ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè C ∈ L, òî d(C, M) = . |α1 x1C + ... + αk xkC − α)| p (α1 )2 + ... + (αk )2 b). Ïóñòü N ⊂ L ïîäïðîñòðàíñòâî E , N k M, B ∈ N . Òîãäà d(N , M) = . |α1 x1B + ... + αk xkB − α)| p (α1 )2 + ... + (αk )2 c). Ïóñòü N ãèïåðïëîñêîñòü â L, N k M. Òîãäà óðàâíåíèå N ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå α1 x1 + ... + αk xk = α′ è òîãäà 41 . |α − α′ | d(N , M) = p (α1 )2 + ... + (αk )2 −−→ Äîêàçàòåëüñòâî. 1). a). Ïóñòü C ′ = pM (C). Òàê êàê p⃗, C ′ C −−→ îðòîãîíàëüíû ãèïåðïëîñêîñòè M, òî C ′ C = γ⃗ p. Èìååì −−′→ −→ −−′→ −−′→ −→ −→ −−′→ C ,C C ) = |(C A+AC ,γ⃗p)| = |(AC ,γ⃗p)| = |(AC ,⃗p)| . d(C, M) = |C C| = (C − −′→ |γ⃗ p| |γ⃗ p| |⃗ p| |C C | − − → 1)b). Ïóñòü B ′ = pM (B). Òàê êàê B ′ B îðòîãîíàëåí M, à N k −−→ M, òî B ′ B ÿâëÿåòñÿ îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì N è M, è çíà÷èò, ïî 1)a), . −−→ −−′→ |(AB, p⃗)| d(N , M) = |B B| = d(B, M) = |⃗ p|2 2)a). Ïî ãåîìåòðè÷åñêîìó ñìûñëó êîýôôèöèåíòîâ ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ, âåêòîð p⃗, òàêîé, ÷òî [⃗ p](e) = (α1 , ..., αk ), îðòîãîíàëåí M. Çàôèêñèðóåì òî÷êó A ∈ M, òîãäà α1 x1A + ... + αk xkA = α. Ïî ñâîéñòâàì êîîðäèíàò, −→ [AC](e) = [C](e) − [A](e) = (x1C − x1A , ..., xkC − xkA ), è òàê êàê ñèñòåìà êîîðäèíàò äåêàðòîâà, òî −→ (AC, p⃗p) = α1 (x1C − x1A ) + ... + αk (xkC − xkA )= α1 x1C + ... + αk xkC − α. |⃗ p| = (α1 )2 + ... + (αk )2 . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âåëè÷èíû â ôîðìóëó èç 1)a), ïîëó÷àåì òðåáóåìîå. 2)b). Ïðÿìî ñëåäóåò èç 1)b) è 2)a). 2)c). Ïóñòü β1 x1 + ... + βk xk = β óðàâíåíèå N . Ïî òåîðåìå î âçàèìíîì ðàñïîëîæåíèè ãèïåðïëîñêîñòåé, ñòðîêè (α1 , ..., αk ) è (β1 , ..., βk ) ïðîïîðöèîíàëüíû, òî åñòü èìååòñÿ t 6= 0, òàêîå, ÷òî (β1 , ..., βk ) = (tα1 , ..., tαk ). Ïîýòîìó óðàâíåíèå ãèïåðïëîñêîñòè N çàïèñûâàåòñÿ â âèäå tα1 x1 + ... + tαk xk = β , îòêóäà, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè íà t, ïîëó÷àåì α1 x1 + ... + αk xk = α′ , ãäå α′ = βt . Åñëè B ∈ N , òî α1 x1B + ... + αk xkB = α′ è ïî ôîðìóëå 2)b) ïîëó÷àåì 42 d(N , M) = |α1 x1B + ... + αk xkB − α)| |α′ − α| p p = (α1 )2 + ... + (αk )2 (α1 )2 + ... + (αk )2 . Òåîðåìà 2.5.11ïð.(î ðàññòîÿíèè äî ïëîñêîñòè â ïðîñòðàíñòâå). Ïóñòü E - 3-ìåðíîå åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, P ïëîñêîñòü â E. 1). Ïóñòü p⃗ íåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé P , A ∈ P . a). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C ∈ E äî ïëîñêîñòè P . −→ |(AC, p⃗)| d(C, P) = |⃗ p|2 b). Ïóñòü N ïðÿìàÿ èëè ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå E , N k P , B ∈ N . Òîãäà . −−→ |(AB, p⃗)| d(N , P) = |⃗ p|2 2). Ïóñòü (e) = (O, {⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà E , α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + γ = 0 óðàâíåíèå ïëîñêîñòè P . a). Åñëè [C](e) = (x1C , x2C , x3C ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè C , òî d(C, P) = . |α1 x1C + α2 x2C + α3 x3C + γ| p (α1 )2 + (α2 )2 + (α3 )2 b). Ïóñòü N ïðÿìàÿ èëè ïëîñêîñòü â ïðîñòðàíñòâå E , N k P , B ∈ N . Òîãäà d(N , P) = . |α1 x1B + α2 x2B + α3 x3B + γ| p (α1 )2 + (α2 )2 + (α3 )2 c). Ïóñòü N ïëîñêîñòü â E , N k P . Òîãäà óðàâíåíèå N ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå 43 α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + γ ′ = 0 è òîãäà d(N , P) = p . |γ − γ ′ | (α1 )2 + (α2 )2 + (α3 )2 Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ãèïåðïëîñêîñòü â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå - ýòî îáû÷íàÿ ïëîñêîñòü, òî ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè ïðåäûäóùåé òåîðåìû î ãèïåðïëîñêîñòÿõ ïðè L = E , M = P k = 3, åñëè ïîëîæèòü â îáîçíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèé ïëîñêîñòåé α = −γ , α′ = −γ ′ . Òåîðåìà 2.5.11ïë.(î ðàññòîÿíèè äî ïðÿìîé â ïëîñêîñòè). Ïóñòü P ïëîñêîñòü, l ⊂ P ïðÿìàÿ. 1). Ïóñòü p⃗ íåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé l, A ∈ l. a). Ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C ∈ P äî ïðÿìîé l d(C, l) = . −→ |(AC, p⃗)| |⃗ p|2 b). Ïóñòü m ïðÿìàÿ â ïëîñêîñòè P , m k l, B ∈ m. Òîãäà d(m, l) = . −−→ |(AB, p⃗)| |⃗ p|2 2). Ïóñòü (e) = (O, {⃗e1 , ⃗e2 }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà P , α1 x1 + α2 x2 + γ = 0 óðàâíåíèå ïðÿìîé l. a). Åñëè [C](e) = (x1C , x2C ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè C , òî d(C, l) = . |α1 x1C + α2 x2C + γ| p (α1 )2 + (α2 )2 b). Ïóñòü m ïðÿìàÿ â ïëîñêîñòè P , m k l, B ∈ m. Òîãäà d(m, l) = |α1 x1B + α2 x2B + γ| p (α1 )2 + (α2 )2 44 . c). Ïóñòü m ïðÿìàÿ â ïëîñêîñòè P , m k l. Òîãäà óðàâíåíèå m ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå α1 x1 + α2 x2 + γ ′ = 0 è òîãäà d(m, l) = p . |γ − γ ′ | (α1 )2 + (α2 )2 Äîêàçàòåëüñòâî. Òàê êàê ãèïåðïëîñêîñòü â ïëîñêîñòè - ýòî ïðÿìàÿ, òî ðåçóëüòàòû ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè ñëó÷àÿìè òåîðåìû î ãèïåðïëîñêîñòÿõ ïðè L = P , M = l, N = m k = 2, åñëè ïîëîæèòü â îáîçíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèé ïðÿìûõ α = −γ , α′ = −γ ′ . Òåîðåìà 2.5.7ïð. (î ðàññòîÿíèè ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, l, m íå ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå. Òîãäà: 1. Ñóùåñòâóåò îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð l è m. 2). Åñëè A ∈ l è B ∈ m, ⃗b, ⃗c íàïðàâëÿþùèå âåêòîðû ïðÿìûõ l è m ñîîòâåòñòâåííî, òî ðàññòîÿíèå îò l äî m ìîæåò áûòü íàéäåíî òàê: d(l, m)=d(A, P), ãäå P - ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó B â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ ⃗b, ⃗c. Òàêèì îáðàçîì: a). Åñëè E òð¼õìåðíîå ïðîñòðàíñòâî è p⃗ íåíóëåâîé âåêòîð, îðòîãîíàëüíûé ïðÿìûì l è m. Òîãäà (1) −−→ |(AB, p⃗)| d(l, m) = |⃗ p|2 . b). (e) = (O, {⃗e1 , ⃗e2 , ⃗e3 }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà E , α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + γ = 0 óðàâíåíèå ïëîñêîñòè P . Òîãäà (2) d(l, m) = |α1 x1A + α2 x2A + α3 x3A + γ| p (α1 )2 + (α2 )2 + (α3 )2 45 ãäå [A](e) =(x1A , x2A , x3A ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A.  ÷àñòíîñòè, åñëè [B](e) = (x1B , x2B , x3B ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè B , [⃗b](e) = (β 1 , β 2 , β 3 ), [⃗c](e) = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè âåêòîðîâ ⃗b è ⃗c, òî (3) d(l, m) = v u x1A − x1B x2A − x2B x3A − x3B β1 β2 β3 ± γ1 γ2 γ3 u β2 t γ2 β3 γ3 2 + . β1 β3 γ1 γ3 2 + β1 β2 γ1 γ2 2 Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Çàôèêñèðóåì òî÷êè A ∈ l è B ∈ m è ïóñòü P ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó B â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ ⃗a, ⃗b, òî åñòü çàäàâàåìàÿ âåêòîðíûì ïàðàìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì −−→ X ∈ P ⇔ BX = α⃗a + β⃗b. −→ Ïóñòü C = pP (A) ïðîåêöèÿ òî÷êè A íà ïëîñêîñòü P , ⃗c = AC , −−→ l′ = T⃗c (l). Òàê êàê C ∈ P , òî BC = λ⃗a +µ⃗b. Çäåñü B ∈ m, C ∈ l′ , ⃗b k m, ⃗a k l, è çíà÷èò ⃗a k l′ . Ïî òåîðåìå î ïåðåñå÷åíèè ïîäïðîñòðàíñòâ (2.3.5ï.), l′ è m èìåþò îáùóþ òî÷êó E . Ïîñêîëüêó E ∈ l′ = T⃗c (l), −−→ −→ òî èìååòñÿ D ∈ l: E = T⃗c (D), òàê ÷òî DE = ⃗c = AC . −→ Âåêòîð AC îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè P , à çíà÷èò îðòîãîíàëåí −−→ ïðÿìûì l è m, ïîýòîìó è DE îðòîãîíàëåí l è m. Ïðè ýòîì D ∈ l, −−→ E ∈ m, çíà÷èò DE  îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð l è m. −−→ −→ −−→ −→ 2). Òàê êàê DE = AC , òî d(l, m)=|DE|=|AC| è ïîñêîëüêó C = −→ pP (A), òî |AC|=d(A, P), îòêóäà d(l, m)=d(A, P). Ïîýòîìó ëþáàÿ ôîðìóëà äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàññòîÿíèÿ d(A, P) äà¼ò íàì ðàññòîÿíèå d(l, m). a) Òàê êàê âåêòîð p⃗ îðòîãîíàëåí ïðÿìûì l è m, òî åñòü âåêòîðàì ⃗b è ⃗c, òî îí îðòîãîíàëåí ïëîñêîñòè P . Ïî òåîðåìå 2.5.11ïð. ïîëó÷àåì −−→ |(AB, p⃗)| d(l, m) = |⃗ p|2 . 46 b). Ïî òåîðåìå 2.5.11ïð., ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A ñ êîîðäèíàòàìè [A](e) =(x1A , x2A , x3A ) äî ïëîñêîñòè P , çàäàâàåìîé óðàâíåíèåì α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + γ = 0, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå d(A, P) = |α1 x1A + α2 x2A + α3 x3A + γ| p (α1 )2 + (α2 )2 + (α3 )2 ãäå [A](e) =(x1A , x2A , x3A ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A. Òàê êàê d(A, P) = d(l, m), òî ïîëó÷àåòñÿ òðåáóåìîå ðàâåíñòâî. Èñïîëüçóåì åãî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ôîðìóëû (3). Ïî òåîðåìå 2.3.11'ïë., óðàâíåíèå ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó B â íàïðàâëåíèè âåêòîðîâ ⃗b, ⃗c èìååò âèä α1 x1 + α2 x2 + α3 x3 + γ = 0, ãäå 1 2 3 α1 x + α2 x + α3 x + γ = . x1 − x1B x2 − x2B x3 − x3B β1 β2 β3 γ1 γ2 γ3 Ðàñêëàäûâàÿ îïðåäåëèòåëü ïî 1-é ñòðîêå, ïîëó÷àåì α1 = β1 β3 β2 β3 ; α = − ; α3 = 2 γ1 γ3 γ2 γ3 β1 β2 γ1 γ2 Ïîëàãàÿ x1 = x1A , x2 = x2A , x3 = x3A , ïîëó÷àåì α1 x1A + α2 x2A + α3 x3A + γ = x1A − x1B x2A − x2B x3A − x3B β1 β2 β3 1 2 γ γ γ3 . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âåëè÷èíû â ôîðìóëó (2), ïîëó÷àåì ôîðìóëó (3) 47 (3) d(l, m) = v u x1A − x1B x2A − x2B x3A − x3B β1 β2 β3 ± γ1 γ2 γ3 u β2 t β3 γ3 γ2 2 + β1 β3 γ1 γ3 2 + β1 β2 γ1 γ2 2 . 6. Ìàòðèöû ïåðåõîäà è ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò. Ïóñòü ⃗b = α1⃗a1 + ... + αk⃗ak . Ïî àíàëîãèè ñ îáîçíà÷åíèÿìè êîîðäèíàòíîé ñòðîêè âåêòîðà, áóäåì ÷åðåç [⃗b](1) îáîçíà÷àòü ñòðîêó (α1 , ...αk ) ∈ Rk , åñëè (1) îáîçíà÷àåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåêòîðîâ {⃗a1 , ..., ⃗ak }. Ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò ñèñòåìû (1){⃗a1 , ..., ⃗ak } ê ñèñòåìå (2){⃗b1 , ..., ⃗bl } íàçûâàåòñÿ ìàòðèöà, ñòðîêè êîòîðîé  ýòî [⃗b1 ](1) ,...,[⃗bl ](1) . Òîò ôàêò, ÷òî A ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò (1) ê (2) áóäåì îáîçíà÷àòü íàáîðîì ñèìâîëîâ A (1) 7→ (2). Òàêèì îáðàçîì, åñëè Îïðåäåëåíèå 2.6.1.     A= A α11 α21 ... αl1 α12 α22 ... αl2 ... ... ... ... α1k α2k ... αlk      P òî (1) 7→ (2) ⇔ ⃗bi = kj=1 αij⃗aj , i = 1, ..., l. Åñëè E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L, M  åâêëèäîâû ïîäïðîñòðàíñòâà E , (a)=(A, {⃗a1 , ..., ⃗ak }), (b)=(B, {⃗b1 , ..., ⃗bl })  àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò â L è M ñîîòâåòñòâåííî, òî A íàçûâàåòñÿ ìàòA ðèöåé ïåðåõîäà îò (a) ê (b), òî åñòü (a) 7→ (b), åñëè A ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò {⃗a1 , ..., ⃗ak } ê {⃗b1 , ..., ⃗bl }. Ëåììà 2.6.2. ñèñòåìû âåêòîðîâ. Ïóñòü (1){⃗a1 , ..., ⃗ak },(2){⃗b1 , ..., ⃗bl }, (3){⃗c1 , ..., ⃗cm } 48 A B BA 1).a). Åñëè (1) 7→ (2), (2) 7→ (3), òî (1) 7→ (3), òî åñòü ïðîèçâåäåíèå ìàòðèöû ïåðåõîäà îò (2) ê (3) íà ìàòðèöó ïåðåõîäà îò (1) ê (2) ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò (1) ê (3). E b). Åñëè E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, òî (1) 7→ (2) ⇔ (1)=(2), òî åñòü ⇔ k = l è ⃗a1 = ⃗b1 , ..., ⃗ak = ⃗bk . A−1 c). Åñëè (1) 7→ (2) è A−1 îáðàòíàÿ ê A ìàòðèöà, òî (2) 7→ (1). A 2). Ïóñòü (1) 7→ (2) è (1) ëèíåéíî íåçàâèñèìàÿ ñèñòåìà . Òîãäà: a). Ìàòðèöà A îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî è ðàíã å¼ ðàâåí ðàíãó ñèñòåìû âåêòîðîâ (2). b). Åñëè k = l, òî ñèñòåìà (2) ëèíåéíî íåçàâèñèìà ⇔ ìàòðèöà A A−1 A îáðàòèìà.  ýòîì ñëó÷àå (2) 7→ (1). Äîêàçàòåëüñòâî. 1).a). Ïóñòü     A= α11 α21 ... αl1 α12 α22 ... αl2 ... ... ... ... α1k α2k ... αlk       , B =    β11 β12 β21 β22 ... ... 2 1 βm βm . . . β1l . . . β2l ... ... l . . . βm      P P Òîãäà ⃗bi = kj=1 αij⃗aj , i = 1, ..., l, ⃗cp = li=1 βpi⃗bi , p = 1, ..., m. Ïîäñòàâëÿÿ âî âòîðîå èç ýòèõ ðàâåíñòâ âìåñòî ⃗bi ïðàâóþ ÷àñòü ïåðâîãî ðàâåíñòâà è ïåðåãðóïïèðîâûâàÿ ñëàãàåìûå ïîëó÷àåì ⃗cp = Pl Pk i j j a , p = 1, ..., m, ãäå γ j = Pl i j a = Pk j j p i=1 βp αi . j=1 γp⃗ j=1 ( i=1 βp αi )⃗ C Ïî îïðåäåëåíèþ ìàòðèöû ïåðåõîäà, (1) 7→ (3), ãäå     C= γ11 γ12 γ21 γ22 ... ... 2 1 γm γm . . . γ1k . . . γ2k ... ... k . . . γm    ,  à ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö, C = B · A. b). Î÷åâèäíî. A−1 c). Ïóñòü (3) òàêàÿ ñèñòåìà âåêòîðîâ, ÷òî (2) 7→ (3). Òîãäà ïî A−1 ·A E a), (1) 7→ (3), òî åñòü (1) 7→ (3), îòêóäà, ïî b), (3)=(1). 49 2)a). Ñòðîêè ìàòðèöû A - ýòî êîîðäèíàòíûå ñòðîêè [⃗b1 ](1) ,...,[⃗bl ](1) . Òàê êàê ñèñòåìà (1) ëèíåéíî íåçàâèñèìà, òî êîîðäèíàòíûå ñòðîêè îïðåäåëåíû îäíîçíà÷íî. Ðàíã ñèñòåìû ñòðîê, òî åñòü ðàíã ìàòðèöû A, ñîâïàäàåò, ïî ñâîéñòâàì àôôèííûõ êîîðäèíàò, ñ ðàíãîì ñèñòåìû âåêòîðîâ {⃗b1 ](1) , ..., ⃗bl }. b). Èç ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A íåâûðîæäåííà ⇔ å¼ ðàíã ðàâåí ÷èñëó ñòðîê, òî åñòü ⇔ å¼ ñòðîêè ëèíåéíî íåçàâèñèìû.  ýòîì ñëó÷àå îíà îáðàòèìà è ïî 1), A−1 (2) 7→ (1), òî åñòü A−1 ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò (2) ê (1). Ïóñòü     A= α11 α21 ... αl1 α12 α22 ... αl2 ... ... ... ... α1k α2k ... αlk      ìàòðèöà. ×åðåç AT áóäåì îáîçíà÷àòü òðàíñïîíèðîâåííóþ ìàòðèöó, òî åñòü     AT =  β11 β21 ... βk1 β12 β22 ... βk2 ... ... ... ... β1l β2l ... βkl      ãäå βji = αij . Îïðåäåëåíèå 2.6.4.. Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè = AT · A = E , ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Òàêèì îáðàçîì, A ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ⇔ AT = A−1 Îòìåòèì, ÷òî ðàâåíñòâî A · B = E äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû A ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì òîãî, ÷òî B = A−1 . Ïîýòîìó äëÿ îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðèöû A äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ îäíîãî èç ðàâåíñòâ A · AT = E èëè AT · A = E , âòîðîå òîãäà âûïîëíÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè. A · AT 50 Ïóñòü a, b ∈ Rn , òî åñòü a = (α1 , ..., αn ), b = Cêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå (a, b) è ìîäóëü |a| îïðåäåëÿ- Íàïîìèíàíèå. (β 1 , ..., β n ). þòñÿ òàê. P i 1 1 n n (a, b) = ni=1 αi β q = α β + ... + α β , p P n i 2 |a| = (a, a) = i=1 (α ) ). Ñòðîêè a è b íàçûâàþòñÿ îðòîãîíàëüíûìè, åñëè (a, b) = 0. Ñèñòåìà e1 , ..., ek íàçûâàåòñÿ îðòîãîíàëüíîé, åñëè ∀i, j, (ei , ej ) = 0 ïðè i 6= j , è îðòîíîðìèðîâàííîé, åñëè ∀i, j, (ei , ej ) = 0 ïðè i 6= j è ∀i, (ei , ei ) = 1, òî åñòü åñëè îíà îðòîãîíàëüíà è ìîäóëè âñåõ å¼ âåêòîðîâ ðàâíû 1. Òåîðåìà 2.6.5.. 1). Ïóñòü A êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ k ñòðîêàìè. Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû. (a). Ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíà; (b). Ñòðîêè ìàòðèöû A îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó â Rn . (b'). Ñòîëáöû ìàòðèöû A îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó. 2). Ïóñòü A, B îðòîãîíàëüíûå ìàòðèöû. Òîãäà a). A · B îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà; b). A−1 îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà; c). Åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà E îðòîãîíàëüíà. d). Îïðåäåëèòåëü detA = ±1. 3). Ìíîæåñòâî O(n) âñåõ îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèö ñ n îáðàçóåò ãðóïïó îòíîñèòåëüíî óìíîæåíèÿ ìàòðèö, íàçûâàåìóþ îðãîãîíàëüíîé ãðóïïîé. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïóñòü A ïðîèçâîëüíàÿ ìàòðèöà,     A= α11 α21 ... αk1 α12 α22 ... αk2 ... ... ... ... α1k α2k ... αkk        , AT =    51 β11 β21 ... βk1 β12 β22 ... βk2 ... ... ... ... β1k β2k ... βkk          C = A · AT =  P γ11 γ21 ... γk1 γ12 γ22 ... γk2 ... ... ... ... γ1k γ2k ... γkk      P Òîãäà γji = lp=1 αpi βjp , è òàê êàê βjp = αpj , òî γji = lp=1 αpi αpj , òàê ÷òî åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç ei i-þ ñòðîêó ìàòðèöû A, òî åñòü ei = (α1i , ..., αki ), òî ej = (α1j , ..., αkj ), è (ei , ej ) = α1i α1j + ... + αki αkj = γji . Êàê áûëî îòìå÷åíî âûøå, ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíà ⇔ A·AT = E , òî åñòü ⇔ γji = 0 ïðè i 6= j è γii = 1. Ñëåäîâàòåëüíî A îðòîãîíàëüíà ⇔ γji = 0 ïðè i 6= j è γii = 1 ⇔ (ei , ej ) = 0 ïðè i 6= j è (ei , ei ) = 1 ⇔ {e1 , ...ek } îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèÿ (a) è (b) ýêâèâàëåíòíû. Ýêâèâàëåíòíîñòü óñëîâèé (a) è (b') äîêàçûâàåòñÿ àíàëîãè÷íî. 2). a). (A·B)·(A·B)T = A·(B ·B T )·AT = A·E ·AT = A·AT = E . b). A−1 · (A−1 )T = A−1 · (A−1 )T = A−1 · (AT )T = A−1 · A = E , òàê ÷òî A−1 îðòîãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. c). Î÷åâèäíî. d). Èìååì E = A · AT è çíà÷èò 1 = detE = det(A · AT ) = detA · det(AT ) = (detA)2 , òàê êàê det(AT ) = detA, è çíà÷èò detA = ±1. 3). Ïðÿìî ñëåäóåò èç 2). Ïðèìåðû. Ðàññìîòðèì ìàòðèöû cos φ sin φ − sin φ cos φ cos φ sin φ sin φ − cos φ 1 2 3 −1 52 ! ! ! Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ⊂ E ïîäïðîñòðàíñòâî. (1)(O, {⃗a1 , ..., ⃗ak }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò, A (2)(O′ , {⃗b1 , ..., ⃗bk }) àôôèííàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà L, (1) 7→ (2) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Óòâåðæäàåòñÿ, ÷òî (2) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ⇔ ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíà. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Òåîðåìà 2.6.6.     A= α11 α21 ... αk1 α12 α22 ... αk2 ... ... ... ... α1k α2k ... αkk      Òîãäà i-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû A ðàâíà ei = (αi1 , ..., αik ) = [bi ](1) - êîîðäèíàòíîé ñòðîêå âåêòîðà bi . Òàê êàê (1) äåêàðòîâà ñèñòåìà, òî äëÿ ëþáûõ âåêòîðîâ ⃗a, ⃗b ïîäïðîñòðàíñòâà L, (⃗a, ⃗b) = ([⃗a](1) , [⃗b](1) ). Ïîýòîìó, (2) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò ⇔ {⃗b1 , ..., ⃗bk } îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ⇔ {[⃗b1 ](1) , ..., [⃗bk ](1) } îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà ⇔ {e1 , ..., ek } îðòîíîðìèðîâàííàÿ ñèñòåìà, ÷òî ïî òåîðåìå 2.6.5 ðàâíîñèëüíî îðòîãîíàëüíîñòè ìàòðèöû A. 53 Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ⊂ E ïîäïðîñòðàíñòâî, (1)(O, {⃗a1 , ..., ⃗ak }), A (2)(O′ , {⃗b1 , ..., ⃗bk }) àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà L, (1) 7→ (2) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Îáîçíà÷èì Òåîðåìà 2.6.7.(Î ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò).     A= α11 α21 ... αk1 òî åñòü ⃗bj = α12 α22 ... αk2 Pk ... ... ... ... α1k α2k ... αkk ia ,i i i=1 αj ⃗        , A−1 =    β11 β21 ... βk1 β12 β22 ... βk2 ... ... ... ... β1k β2k ... βkk      = 1, ..., k . 1). a). Ïóñòü ⃗x âåêòîð L. Òîãäà [⃗x](2) = [⃗x](1) A−1 , [⃗x](1) = [⃗x](2) A. P P Òàêèì îáðàçîì, åñëè ⃗x = kp=1 xp⃗ap = kq=1 y q⃗bq , òî [⃗x](1) = (x1 , ..., xk ), [⃗x](2) = (y 1 , ..., y k ), P P xi = kj=1 y j αji , i = 1, ..., k ; y j = ki=1 xi βij , j = 1, ..., k . −−→ b). Ïóñòü C ∈ L ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, [C](1) = [OC](1) = (x1C , ..., xkC ), −−→ 1 , ..., y k ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè òî÷êè C â ñè[C](2) = [O′ C](2) = (yC C ñòåìàõ êîîðäèíàò (1) è (2) ñîîòâåòñòâåííî, −−→ [O′ ](1) = [OO′ ](1) = (α1 , ..., αk ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè O′ â ñèñòåìå êîîðäèíàò (1). Òîãäà [C](1) = [O′ ](1) + [C](2) · A, [C](2) = ([C](1) − [O′ ](1) ) · A−1 , òî åñòü P j i αj , i = 1, ..., k , xiC = αi + kj=1 yC P j k i i yC = i=1 (xC − α )βij , j = 1, ..., k . 2). Åñëè (1) è (2) äåêàðòîâû ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî a). [⃗x](2) = [⃗x](1) · AT , òàê ÷òî P y j = ki=1 αji · xi , j = 1, ..., k . P j b). yC = ki=1 αji · (xiC − αi ), j = 1, ..., k . P Äîêàçàòåëüñòâî. 1)a). Òàê êàê ⃗bj = ki=1 αji ⃗ai , i = 1, ..., k , òî Pk Pk i a )= Pk (Pk j i a . j Pk i a = Pk j⃗ i i i i=1 j=1 y ·αj )⃗ i=1 x ⃗ j=1 y bj = j=1 y ( i=1 αj ⃗ P j k i j ïîýòîìó x = j=1 y αi , i = 1, ..., k , ÷òî è îçíà÷àåò ðàâåíñòâî 54 (x1 , ..., xk ) = (y 1 , ..., y k ) · A, òî åñòü [⃗x](1) = [⃗x](2) A. Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñïðàâà íà A−1 , ïîëó÷àåì (x1 , ..., xk )A−1 = (y 1 , ..., y k ). Ïðîèçâîäÿ ìàòðè÷íîå óìíîæåíèå, ïîëó÷àåì P y j = ki=1 xi βij , j = 1, ..., k . −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ b). Òàê êàê OC = OO′ + O′ C , òî [OC](1) = [OO′ ](1) + [O′ C](1) , −−→ −−→ è òàê êàê ïî a), [O′ C](1) = [O′ C](2) A, òî −−→ −−→ −−→ [OC](1) = [OO′ ](1) + [O′ C](2) A, òî åñòü [C](1) = [O′ ](1) + [C](2) · A, è çíà÷èò 1 , ..., y k ) · A, òàê ÷òî ïðîèçâåäÿ (x1C , ..., xkC ) = (α1 , ..., αk ) + (yC C óìíîæåíèå ñòðîêè íà ìàòðèöó è ñëîæåíèå ïîëó÷èâøèõñÿ ñòðîê, P j i ïîëó÷àåì xiC = αi + kj=1 yC αj , i = 1, ..., k . Èç ðàâåíñòâà [C](1) = [O′ ](1) +[C](2) ·A ïîëó÷àåì [C](1) −[O′ ](1) = [C](2) · A è óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ñïðàâà íà A−1 , ïîëó÷àåì [C](2) = ([C](1) − [O′ ](1) ) · A−1 , òî åñòü 1 , ..., y k ) = (x1 − α1 , ..., xk − αk ) · A−1 , îòêóäà (yC C C PC j yC = ki=1 (xiC − αi )βij , j = 1, ..., k . 2). Òàê êàê ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíà, òî AT = A−1 , òî åñòü βji = αij ,ñëåäîâàòåëüíî: P P ïî 1)a), y j = ki=1 xi βij = ki=1 αji · xi , j = 1, ..., k ; P P j ïî 1)b), yC = ki=1 (xiC − αi )βij = ki=1 αji · (xiC − αi ), j = 1, ..., k . 55 Òåîðåìà 2.6.7ïð.(Î ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò â 3-ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå). Ïóñòü E - åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, (1)(O, {⃗a1 , ⃗a2 , ⃗a3 }), A (2)(O′ , {⃗b1 , ⃗b2 , ⃗b3 }) àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà E , (1) 7→ (2) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Îáîçíà÷èì     α11 α12 α13 β11 β12 β13  1    A =  α2 α22 α23  , A−1 =  β21 β22 β23  α31 α32 α33 β31 β32 β33 òàê ÷òî ⃗bj = αj1⃗a1 + αj2⃗a2 + αj3⃗a3 , j = 1, 2, 3, òî åñòü: ⃗b1 = α1⃗a1 + α2⃗a2 + α3⃗a3 ; ⃗a1 = β 1⃗b1 + β 2⃗b2 + β 3⃗b3 ; 1 1 1 1 1 1 ⃗b2 = α1⃗a1 + α2⃗a2 + α3⃗a3 ; ⃗a2 = β 1⃗b1 + β 2⃗b2 + β 3⃗b3 ; 2 2 2 2 2 2 ⃗b3 = α1⃗a1 + α2⃗a2 + α3⃗a3 ; ⃗a3 = β 1⃗b1 + β 2⃗b2 + β 3⃗b3 ; 3 3 3 3 3 3 1). a). Ïóñòü ⃗x âåêòîð E . Òîãäà ⃗x = x1⃗a1 + x2⃗a2 + x3⃗a3 =y 1⃗b1 + y 2⃗b2 + y 3⃗b3 , [⃗x](1) = (x1 , x2 , x3 ), [⃗x](2) = (y 1 , y 2 , y 3 ), òî y j = β1j x1 + β2j x2 + β3j x3 , j = 1, 2, 3. xi = α1i y 1 + α2i y 2 + α3i y 3 , i = 1, 2, 3; −−→ b). Ïóñòü C ∈ L ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, [C](1) = [OC](1) = (x1C , x2C , x3C ), −−→ 1 , y 2 , y 3 ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè òî÷êè C â ñè[C](2) = [O′ C](2) = (yC C C ñòåìàõ êîîðäèíàò (1) è (2) ñîîòâåòñòâåííî, −−→ [O′ ](1) = [OO′ ](1) = (α1 , α2 , α3 ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè O′ â ñèñòåìå êîîðäèíàò (1). Òîãäà 1 + αi y 2 + αi y 3 , i = 1, 2, 3, xiC = αi + α1i yC 2 C 3 C j yC = β1j (x1C − α1 ) + β2j (x2C − α2 ) + β3j (x3C − α3 ), j = 1, 2, 3, èëè j yC = β1j x1C + β2j x2C + β3j x3C − (β1j α1 + β2j α2 + β3j α3 ), j = 1, 2, 3. 2). Åñëè (1) è (2) äåêàðòîâû ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî a). y j = αj1 x1 + αj2 x2 + αj3 x3 , j = 1, 2, 3. j = αj1 (x1C − α1 ) + αj2 (x2C − α2 ) + αj3 (x3C − α3 ), j = 1, 2, 3, b). yC èëè j yC = αj1 x1C + αj2 x2C + αj3 x3C − (αj1 α1 + αj2 α2 + αj3 α3 ), j = 1, 2, 3. 56 Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùèõ ôîðìóë òåîðåìû 2.6.7 î ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò. Òåîðåìà 2.6.7ïð.(Î ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè). Ïóñòü P ïëîñêîñòü, (1)(O, {⃗a1 , ⃗a2 }), (2)(O′ , {⃗b1 , ⃗b2 }) àôôèíA íûå ñèñòåìû êîîðäèíàò íà P , (1) 7→ (2) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Îáîçíà÷èì A= α11 α12 α21 α22 ! ,A −1 = β11 β12 β21 β22 ! òàê ÷òî ⃗bj = αj1⃗a1 + αj2⃗a2 , j = 1, 2, òî åñòü: ⃗b1 = α1⃗a1 + α2⃗a2 ; ⃗a1 = β 1⃗b1 + β 2⃗b2 ; 1 1 1 1 ⃗b2 = α1⃗a1 + α2⃗a2 ; ⃗a2 = β 1⃗b1 + β 2⃗b2 ; 2 2 2 2 1). a). Ïóñòü ⃗x âåêòîð P . Òîãäà ⃗x = x1⃗a1 + x2⃗a2 =y 1⃗b1 + y 2⃗b2 , [⃗x](1) = (x1 , x2 ), [⃗x](2) = (y 1 , y 2 ), òî y j = β1j x1 + β2j x2 , j = 1, 2, 3. xi = α1i y 1 + α2i y 2 , i = 1, 2, 3; −−→ b). Ïóñòü C ∈ P ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, [C](1) = [OC](1) = (x1C , x2C ), −−→ 1 , y 2 ) êîîðäèíàòíûå ñòðîêè òî÷êè C â ñèñòå[C](2) = [O′ C](2) = (yC C ìàõ êîîðäèíàò (1) è (2) ñîîòâåòñòâåííî, −−→ [O′ ](1) = [OO′ ](1) = (α1 , α2 ) êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè O′ â ñèñòåìå êîîðäèíàò (1). Òîãäà 1 + αi y 2 , i = 1, 2, xiC = αi + α1i yC 2 C j j 1 yC = β1 (xC − α1 ) + β2j (x2C − α2 ), j = 1, 2, èëè j yC = β1j x1C + β2j x2C − (β1j α1 + β2j α2 ), j = 1, 2. 2). Åñëè (1) è (2) äåêàðòîâû ñèñòåìû êîîðäèíàò, òî a). y j = αj1 x1 + αj2 x2 , j = 1, 2. j b). yC = αj1 (x1C − α1 ) + αj2 (x2C − α2 ), j = 1, 2, èëè j yC = αj1 x1C + αj2 x2C − (αj1 α1 + αj2 α2 ), j = 1, 2. 57 Äîêàçàòåëüñòâî. Ýòî ÷àñòíûé ñëó÷àé îáùèõ ôîðìóë òåîðåìû 2.6.7 î ïðåîáðàçîâàíèè êîîðäèíàò. 7. Îðèåíòèðîâàííûå óãëû è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Îïðåäåëåíèå 2.6.8.(Îäíîèì¼ííûõ áàçèñîâ è îðèåíòàöèè). Ïóñòü A (a)={⃗a1 , ..., ⃗ak }, (b)={⃗b1 , ..., ⃗bk } ñèñòåìû âåêòîðîâ, (a) 7→ (b) ìàòðèöà ïåðåõîäà. Ñèñòåìà (a) íàçûâàåòñÿ îäíîèì¼ííîé (b), åñëè detA > 0, è ðàçíîèì¼ííîé ñ (b), åñëè detA < 0. Àôôèííûå ñèñòåìû êîîðäèíàò (1)(O, {⃗a1 , ..., ⃗ak }), (2)(O′ , {⃗b1 , ..., ⃗bk }) íà ïîäïðîñòðàíñòâå L ïðîñòðàíñòâà E íàçûâàþòñÿ îäíîèì¼ííûìè, åñëè îäíîèì¼ííû èõ áàçèñû. Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E . Îðèåíòàöèåé L íàçûâàåòñÿ íåïóñòîé êëàññ O áàçèñîâ ïðîñòðàíñòâà âåêòîðîâ ïîäïðîñòðàíñòâà L, óäîâëåòâîðÿþùèé ñëåäóþùèì óñëîâèÿì: (1) Ëþáûå 2 áàçèñà, ïðèíàäëåæàùèå O, îäíîèì¼ííû. (2) Åñëè (a) ∈ O, òî ëþáîé áàçèñ, îäíîèì¼ííûé (a), ïðèíàäëåæèò O. Òåîðåìà 2.6.9.(Îá îðèåíòàöèÿõ). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E . 1). Îòíîøåíèå îäíîèì¼ííîñòè ÿâëÿåòñÿ îòíîøåíèåì ýêâèâàëåíòíîñòè íà ìíîæåñòâå âñåõ áàçèñîâ L. 2). Åñëè L ñîñòîèò áîëåå, ÷åì èç 1 òî÷êè, òî èìååòñÿ 2 îðèåíòàöèè, è êàæäûé áàçèñ ïðèíàäëåæèò ðîâíî îäíîé èç íèõ, òî åñòü îíè íå ïåðåñåêàþòñÿ. À èìåííî, åñëè (a) è (b) ðàçíîèì¼ííûå áàçèñû, òî âñå áàçèñû, îäíîèì¼ííûå (a), îáðàçóþò îäíó èç ýòèõ îðèåíòàöèé, à âñå áàçèñû, îäíîèì¼ííûå (b), âòîðóþ. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïóñòü (a)={⃗a1 , ..., ⃗ak }, (b)={⃗b1 , ..., ⃗bk }, A B C (c)={⃗c1 , ..., ⃗ck } áàçèñû. (a) 7→ (b), (b) 7→ (c), (a) 7→ (c) ìàòðèöû ïåðåõîäà. Åñëè (a) îäíîèì¼ííî (b) è (b) îäíîèì¼ííî (c), òî detA > 0, detB > 0. Ïî òåîðåìå 2.6.2, C = B · A, òàê ÷òî detC = detA · detB > 0, è çíà÷èò (a) îäíîèì¼ííî (c). Òàê êàê ïî òåîðåìå 2.6.2, 58 A−1 (b) 7→ (a), è detA−1 = 1 detA > 0, òî (b) îäíîèì¼ííî (a). Íàêîíåö, E (a) 7→ (a), ãäå E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, òàê ÷òî detE = 1 > 0, îòêóäà (a) îäíîèì¼ííî (a). 2). Îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 ìíîæåñòâî âñåõ áàçèñîâ, îäíîèì¼ííûõ (a), à ÷åðåç O2 ìíîæåñòâî âñåõ áàçèñîâ, îäíîèì¼ííûõ (b). Ïóñòü A (a) 7→ (b). Ïî óñëîâèþ, detA < 0. Ïî 1), O1 è O2 ÿâëÿþòñÿ îðèåíòàöèÿìè. Ïóñòü (c) ïðîèçâîëüíûé áàçèñ. Åñëè (c) îäíîèì¼íåí (a), òî D (c) ∈ O1 . Åñëè (c) ðàçíîèì¼íåí (a), è (c) 7→ (a), òî detD < 0. Åñëè H (c) 7→ (b), òî ïî òåîðåìå 2.6.2, H = A · D è detH = detA · detD > 0. Òàêèì îáðàçîì, êàæäûé áàçèñ ïðèíàäëåæèò ëèáî O1 ëèáî O2 è äðóãèõ îðèåíòàöèé íåò. Îïðåäåëåíèå 2.6.10.(Îðèåíòèðîâàííîãî ïðîñòðàíñòâà). Ïóñòü E åâêëèäîâî ïðîñòðàíñòâî, L ïîäïðîñòðàíñòâî E . Ïàðà (L, O), ãäå O îðèåíòàöèÿ L, íàçûâàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûì ïðîñòðàíñòâîì. Åñëè (L, O) îðèåíòèðîâàííîå ïðîñòðàíñòâî, òî áàçèñû, ïðèíàäëåæàùèå O íàçûâàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè, à íå ïðèíàäëåæàùèå îòðèöàòåëüíûìè. Òàêèì îáðàçîì, åñëè (a) ∈ O, òî áàçèñ (b) ïîëîæèòåëåí ⇔ îí îäíîèì¼íåí (a), òî åñòü ⇔ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïåðåõîäà îò (a) ê (b) ïîëîæèòåëåí. Àíàëîãè÷íî, (b) îòðèöàòåëåí ⇔ ⇔ îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû ïåðåõîäà îò (a) ê (b) îòðèöàòåëåí. Ÿ2.7. Îðèåíòèðîâàííûå óãëû è ïîëÿðíûå êîîðäèíàòû. Îïðåäåëåíèå 2.7.1. Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü, ⃗a, ⃗b íåíóëåâûå âåêòîðû ïëîñêîñòè P . Îðèåíòèðîâàííûé óãîë ̸ o (⃗a, ⃗b) ìåæäó âåêòîðàìè ⃗a è ⃗b îïðåäåëÿåòñÿ òàê. ̸ o (⃗ a, ⃗b)≠ (⃗a, ⃗b), åñëè âåêòîðû ⃗a è ⃗b êîëëèíåàðíû. Åñëè æå âåêòîðû ⃗a è ⃗b íå êîëëèíåàðíû, òî {⃗a, ⃗b} áàçèñ PO , è òîãäà ̸ o (⃗ a, ⃗b)≠ (⃗a, ⃗b), åñëè áàçèñ {⃗a, ⃗b} ïîëîæèòåëüíûé, è ̸ o (⃗ a, ⃗b)=-̸ (⃗a, ⃗b), åñëè áàçèñ {⃗a, ⃗b} îòðèöàòåëüíûé. Êðîìå òîãî, îðèåíòèðîâàííûé óãîë îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî 2kπ , òî åñòü åñëè φ = ̸ o (⃗a, ⃗b), òî φ + 2kπ , òàêæå ñ÷èòàåòñÿ îðèåíòèðîâàííûèì óãëîì ìåæäó ⃗a è ⃗b è îáîçíà÷àåòñÿ ̸ o (⃗a, ⃗b). Ëåììà 2.7.2. Ïóñòü P, (1)(O, {⃗ a1 , ⃗a2 }) îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü, ψ = ̸ (⃗a, ⃗b), φ = ̸ o (⃗a, ⃗b). Òîãäà 59 1). a). cos ψ = cos φ, sin ψ = | sin φ|. b). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî φ ∈ [−π, π]. Òîãäà φ ∈ [−π, 0] ⇔ φ = −ψ ; φ ∈ [0, π] ⇔ φ = ψ . 2). Ïóñòü {⃗b1 , ⃗b2 } ∈ O, ⃗a = α1⃗b1 + α2⃗b2 , ⃗b = β1⃗b1 + β2⃗b2 A= α1 α2 β1 β2 ! Ñëåäóþùèå óñëîâèÿ ýêâèâàëåíòíû: (1) ψ = ̸ o (⃗a, ⃗b); (2) sin φ ≥ 0; (3) detA ≥ 0. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). a). Ïî îïðåäåëåíèþ óãëà ìåæäó âåêòîðàìè, ψ ∈ [0, π], è òàê êàê φ = ±ψ + 2kπ , òî ðàâåíñòâî cos ψ = cos φ ñëåäóåò èç ÷¼òíîñòè ôóíêöèè cos. Îòñþäà sin ψ = | sin ψ| = | sin φ|. b). Ïðÿìî èç îïðåäåëåíèÿ è òîãî ôàêòà, ÷òî äëÿ φ ∈ [−π, π], φ = ±ψ è ψ ∈ [0, π]. 2). (1)⇒(2). Î÷åâèäíî, sin φ = sin ψ ≥ 0. (2)⇒(3). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî detA < 0. Òîãäà âåêòîðû ⃗a, ⃗b íå êîëëèíåàðíû, è çíà÷èò 0 < ψ < π , è ïî îïðåäåëåíèþ îðèåíòèðîâàííîãî óãëà, φ0 = −ψ ≠ o (⃗a, ⃗b). Òîãäà φ = φ0 + 2kπ è çíà÷èò sin φ = − sin ψ < 0 - ïðîòèâîðå÷èå. (3)⇒(1) Åñëè detA = 0, òî ñòðîêè ìàòðèöû A ïðîïîðöèîíàëüíû, òî åñòü âåêòîðû ⃗a è ⃗b êîëëèíåàðíû, òàê ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ îðèåíòèðîâàííîãî óãëà, ̸ o (⃗a, ⃗b)≠ (⃗a, ⃗b). Åñëè detA > 0, òî ñèñòåìà {⃗a, ⃗b} îäíîèì¼ííà ñèñòåìå {⃗a1 , ⃗a2 }. Ïî îïðåäåëåíèþ îðèåíòèðîâàííîãî óãëà, ̸ o (⃗a, ⃗b)≠ (⃗a, ⃗b). Òåîðåìà 2.7.3. (î âûðàæåíèè êîîðäèíàò âåêòîðà ÷åðåç Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííîÿ ïëîñêîñòü, (1)(O, {⃗e1 , ⃗e2 }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà P , òàêàÿ, ÷òî {⃗e1 , ⃗e2 } ∈ O. Ïóñòü ⃗a âåêòîð è φ = ̸ o (⃗e1 , ⃗a). Òîãäà 1). ⃗a = |⃗a| cos φ · ⃗e1 + |⃗a| sin φ · ⃗e2 . îðèåíòèðîâàííûé óãîë). 60 2). Åñëè ⃗a = |⃗a| cos φ′ · ⃗e1 + |⃗a| sin φ′ · ⃗e2 , òî φ − φ′ = 2kπ , òàê ÷òî φ′ = ̸ o (⃗e1 , ⃗a). Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïóñòü ⃗a = α⃗e1 + β⃗e2 . Òîãäà α = (⃗a, e⃗1 ) = |⃗a| cos ψ , ãäå ψ = ̸ (⃗e1 , ⃗a). Òàê êàê φ = ±ψ , òî cos ψ = cos φ, òàê ÷òî ⃗a = |⃗a| cos φ · ⃗e1 + |⃗a|β ′ · ⃗e2 ãäå |⃗a|β ′ = β . Òàê êàê |⃗a|2 = |⃗a|2 cos2 φ + |⃗a|2 (β ′ )2 , òî (β ′ )2 = sin2 φ, òî åñòü |β ′ | = | sin φ|. Ïóñòü A ìàòðèöà ïåðåõîäà îò {⃗e1 , ⃗e2 } ê {⃗e1 , ⃗a}. Òàê êàê ⃗e1 = 1 · ⃗e1 + 0 · ⃗e2 , ⃗a = |⃗a| cos φ · ⃗e1 + |⃗a|β ′ · ⃗e2 , òî A= 1 |⃗a| cos φ |⃗a|β ′ ! Ïîýòîìó detA = |⃗a|β ′ è çíà÷èò detA ≥ 0 ⇔ β ′ ≥ 0. Ïî ëåììå 2.7.2, detA ≥ 0 ⇔ sin φ ≥ 0. Òàêèì îáðàçîì, sin φ è β ′ ÷èñëà îäíîãî çíàêà, òî åñòü sin φ = β ′ è çíà÷èò ⃗a = |⃗a| cos φ · ⃗e1 + |⃗a| sin φ · ⃗e2 . 2). Èìååì cos φ′ = cos φ, sin φ′ = sin φ. Ïîýòîìó cos φ · cos φ′ + sin φ · sin φ′ = 1, òî åñòü ïî ôîðìóëå êîñèíóñà ðàçíîñòè, cos(φ − φ′ ) = 1. Ïî ñâîéñòâàì êîñèíóñà, φ − φ′ = 2kπ . Òåîðåìà 2.7.4. (î çàäàíèè íàïðàâëåíèÿ îðèåíòèðîâàí- Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííîÿ ïëîñêîñòü, ⃗a, ⃗b, ⃗c íåíóëåâûå âåêòîðû. 1). Åñëè α > 0, β > 0, òî ̸ o (α⃗a, β⃗b)≠ o (⃗a, ⃗b). 2). Åñëè ̸ o (⃗a, ⃗b)≠ o (⃗a, ⃗c) = φ, òî ⃗c = γ⃗b, ãäå γ > 0. Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ïðÿìî ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëåíèÿ îðèåíòèðîâàííîãî óãëà è ñâîéñòâ îäíîèì¼ííîñòè. 2). Îáîçíà÷èì ⃗e1 = |⃗⃗aa| è âûáåðåì òàêîé åäèíè÷íûé âåêòîð ⃗e2 , ÷òî {⃗e1 , ⃗e2 } ïîëîæèòåëüíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ îðèåíòèðîâàííîé ïëîñêîñòè (P, O). Ïî 1), ̸ o (⃗e1 , ⃗b)≠ o (⃗e1 , ⃗c) = φ. Ïî òåîðåìà 2.7.3 î âûðàæåíèè êîîðäèíàò âåêòîðà ÷åðåç îðèåíòèðîâàííûé óãîë, ⃗b = |⃗b| cos φ · ⃗e1 + |⃗b| sin φ · ⃗e2 = |⃗b|(cos φ · ⃗e1 + sin φ · ⃗e2 ). ⃗c = |⃗c| cos φ · ⃗e1 + |⃗c| sin φ · ⃗e2 = |⃗c|(cos φ · ⃗e1 + sin φ · ⃗e2 ). Ïîëàãàÿ γ = |⃗⃗c| ïîëó÷àåì ⃗c = γ⃗b è γ > 0. íûì óãëîì). |b| 61 Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå äëÿ ìàòðèöû A(φ) = cos φ sin φ − sin φ cos φ ! Òåîðåìà 2.7.5. (î âûðàæåíèè ìàòðèöû ïåðåõîäà ÷å- Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü, (1)={⃗e1 , ⃗e2 }, (2)={e⃗′ 1 , e⃗′ 2 } îðòîíîðìèðîâàííûå ïîëîæèòåëüíûå áàçèñû (P, O). Åñëè φ = ̸ o (⃗e1 , e⃗′ 1 ), òî ìàòðèöà A(φ) ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé ïåðåõîäà îò (1) ê (2), òî åñòü e⃗′ 1 = cos φ · ⃗e1 + sin φ · ⃗e2 e⃗′ 2 = − sin φ · ⃗e1 + cos φ · ⃗e2 Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå î âûðàæåíèè êîîðäèíàò âåêòîðà ÷åðåç îðèåíòèðîâàííûé óãîë (2.7.3), e⃗′ 1 = cos φ · ⃗e1 + sin φ · ⃗e2 , è ðàñêëàäûâàÿ âåêòîð e⃗′ 2 ïîëó÷àåì e⃗′ 2 = α · ⃗e1 + β · ⃗e2 . Ïîýòîìó ðåç îðèåíòèðîâàííûé óãîë). A= cos φ sin φ α β ! Òàê êàê ìàòðèöà A îðòîãîíàëüíà, òî (1) α2 + β 2 = 1, (2) α cos φ + β sin φ = 0, è detA = ±1. Ïîñêîëüêó áàçèñû (e) è (e′ ) îäíîèì¼ííû, òî îïðåäåëèòåëü A ïîëîæèòåëåí, òî åñòü ðàâåí 1. Òàêèì îáðàçîì, (3) β cos φ − α sin φ = 1. Óìíîæàÿ âûðàæåíèå (2) íà α è äîáàâëÿÿ âûðàæåíèå (3), óìíîæåííîå íà β , ïîëó÷àåì α(α cos φ+β sin φ)+β(β cos φ−α sin φ) = β , òî åñòü (α2 + β 2 ) cos φ = β , îòêóäà, ïî (1), β = cos φ. Àíàëîãè÷íî, óìíîæàÿ âûðàæåíèå (2) íà β è âû÷èòàÿ âûðàæåíèå (3), óìíîæåííîå íà α, ïîëó÷àåì (α2 + β 2 ) sin φ = −α, îòêóäà, ïî (1), α = − sin φ. Òàêèì îáðàçîì, A= cos φ sin φ − sin φ cos φ 62 ! = A(φ) Òåîðåìà 2.7.6. (îá îðòîãîíàëüíûõ ìàòðèöàõ 2 ïîðÿäêà). Ââåä¼ì îáîçíà÷åíèå äëÿ ìàòðèöû A(φ) = cos φ sin φ − sin φ cos φ ! 1). Ìàòðèöà A(φ) îðòîãîíàëüíà è detA(φ) = 1. 2. A(φ) = A(ψ) ⇔ φ − ψ = 2kπ . 3). a). A(φ)A(ψ) = A(φ + ψ); b). A(0) = E - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. ñ). A(−φ) = A(φ)−1 = A(φ)T . Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Ñëåäóåò èç òåîðåìà 2.6.5, à òàêæå ëåãêî ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî. 2). Äîêàçàíî â òåîðåìå 2.7.3.2). 3).a). Ïóñòü A = A(φ)A(ψ) = cos φ sin φ − sin φ cos φ Îáîçíà÷èì A= α β γ δ ! cos ψ sin ψ − sin ψ cos ψ ! ! Òîãäà α = cos φ cos ψ − sin φ sin ψ = cos(φ + ψ); β = cos φ sin ψ + sin φ cos ψ = sin(φ + ψ); γ = − sin φ cos ψ − cos φ sin ψ = −(sin φ cos ψ + cos φ sin ψ) = − sin(φ + ψ); δ = − sin φ sin ψ + cos φ cos ψ = cos(φ + ψ). Òàêèì îáðàçîì, A(φ)A(ψ) = A = cos(φ + ψ) sin(φ + ψ) − sin(φ + ψ) cos(φ + ψ) 3)b). Î÷åâèäíî. 63 ! = A(φ + ψ) 3)ñ). A(φ)A(−φ) = A(0) = E , îòêóäà A(−φ) = A(φ)−1 è òàê êàê ìàòðèöà îðòîãîíàëüíà, òî A(φ)−1 = A(φ)T . Òåîðåìà 2.7.7. (î ñëîæåíèè îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ). Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííîÿ ïëîñêîñòü, ⃗a, ⃗b, ⃗c íåíóëåâûå âåêòîðû. Òîãäà ̸ o (⃗ a, ⃗b) + ̸ o (⃗b, ⃗c)≠ o (⃗a, ⃗c). Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Îáîçíà÷èì ̸ o (⃗a, ⃗b) = φ, ̸ o (⃗b, ⃗c) = ψ , ̸ o (⃗a, ⃗c) = ⃗ ω . Åñëè ⃗e1 = |⃗⃗aa| , e⃗′ 1 = ⃗b , e⃗′′ 1 = |⃗⃗cc| , òî φ = ̸ o (⃗e1 , e⃗′ 1 ), ψ = |b| ⃗′ 1 , e⃗′′ 1 ), ̸ o (e ω = ̸ o (⃗e1 , e⃗′′ 1 ). Äîïîëíèì êàæäûé èç âåêòîðîâ ⃗e1 , e⃗′ 1 , e⃗′′ 1 äî ïîëîæèòåëüíîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà: (e) = {⃗e1 , ⃗e2 }, (e′ ) = {e⃗′ 1 , e⃗′ 2 }, (e′′ ) = {e⃗′′ 1 , e⃗′′ 2 }. A(φ) Ïî òåîðåìå 2.7.5, (e) 7→ (e′ ), òî åñòü ìàòðèöà ïåðåõîäà îò (e) A(ψ) A(ω) ê (e′ ) ðàâíà A(φ), à òàêæå (e′ ) 7→ (e′′ ), (e) 7→ (e′′ ). A(ψ)·A(φ) Ïî ëåììå 2.6.2, (e) 7→ (e′′ ). Òàê êàê ïî ëåììå 2.7.6 A(ψ) · A(φ) = A(ψ + φ), òî A(ψ + φ) = A(ω), è ïî òîé æå ëåììå, φ + ψ − ω = 2kπ . Òàê êàê îðèåíòèðîâàííûé óãîë îïðåäåë¼í ñ òî÷íîñòüþ äî 2kπ , òî ýòî è çíà÷èò, ÷òî ̸ o (⃗a, ⃗c) = φ + ψ . Îïðåäåëåíèå 2.7.8 (ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò). Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü. Ïîëÿðíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè P íàçûâàåòñÿ òðîéêà (0, l, ⃗e), ãäå O ∈ P , l ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O, ⃗e åäèíè÷íûé âåêòîð, îòëîæåííûé îò òî÷êè O è ëåæàùèé íà ïðÿìîé l. Òî÷êà O íàçûâàåòñÿ ïîëþñîì, ïàðà (l, ⃗e) îñüþ. Ïóñòü A ∈ P . Åñëè A 6= O, òî íàáîðîì ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè A íàçûâàåòñÿ ïàðà ÷èñåë (rA , φA ), ãäå −→ rA = |OA|, φA = ̸ o (⃗e, OA). Íàáîðîì ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè O íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ïàðà ÷èñåë (rA , φA ), ãäå rA = 0. Òåîðåìà 2.7.9. (î çàäàíèè òî÷åê ïîëÿðíûìè êîîðäèíà- Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü, (0, l, ⃗e) ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè P , òî åñòü O ∈ P , l ïðÿìàÿ, òàìè). 64 ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O, ⃗e åäèíè÷íûé âåêòîð, îòëîæåííûé îò òî÷êè O è ëåæàùèé íà ïðÿìîé l. Òîãäà 1). ∀φ ∈ R, ∀α > 0, ∃!A ∈ P : rA = α, φA = φ. 2). Åñëè A, B ∈ P , A 6= O, B 6= 0, (rA , φA ), (rB , φB ) íàáîðû èõ ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò. Òîãäà: A = B ⇔ (rA = rB è φA − φB = 2kπ). Äîêàçàòåëüñòâî. 1). Îáîçíà÷èì ⃗e1 = ⃗e è äîïîëíèì ⃗e1 äî ïîëîæèòåëüíîãî îðòîíîðìèðîâàííîãî áàçèñà {⃗e1 , ⃗e2 }. Îòëîæèì îò òî÷êè O âåêòîð, ðàâíûé −→ OA = α cos φ · ⃗e1 + α sin φ · ⃗e2 . −→ Òîãäà rA = |OA| = α, òàê ÷òî −→ OA = rA cos φ · ⃗e1 + rA sin φ · ⃗e2 . Ïî òåîðåìå 2.7.3. î âûðàæåíèè êîîðäèíàò âåêòîðà ÷åðåç îðè−→ −→ åíòèðîâàííûé óãîë, φ = ̸ o (⃗e1 , OA)≠ o (⃗e, OA) = φA . −→ 2).  îáîçíà÷åíèÿõ 1), OA = rA cos φA · ⃗e1 + rA sin φA · ⃗e2 −−→ OB = rB cos φB · ⃗e1 + rB sin φB · ⃗e2 . Ïîýòîìó èç ñîîòíîøåíèé rA = rB è φA − φB = 2kπ ñðàçó −→ −−→ ñëåäóåò OA = OB è çíà÷èò A = B . −→ −−→ −→ −−→ Íàîáîðîò, åñëè OA = OB , òî rA = |OA| = |OB| = rB . Ïî òåîðåìå 2.7.3. î âûðàæåíèè êîîðäèíàò âåêòîðà ÷åðåç îðèåíòèðîâàííûé óãîë, ïîëó÷àåì φA − φB = 2kπ . 65 Òåîðåìà 2.7.10. (î ñâÿçè äåêàðòîâûõ è ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò). Ïóñòü (P, O) îðèåíòèðîâàííàÿ ïëîñêîñòü, (0, l, ⃗ e) ïîëÿðíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò, (e) = (O′ , {⃗e1 , ⃗e2 }) äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè P , A ∈ P , (rA , φA ) íàáîð ïîëÿðíûõ êîîðäèíàò òî÷êè A, (xA , yA ) = [A]e êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè A, (xO , yO ) = [O]e êîîðäèíàòíàÿ ñòðîêà òî÷êè O â ñèñòåìå êîîðäèíàò (e), φ0 = ̸ o (⃗e, ⃗e1 ). Òîãäà xA = xO + rA · cos(φA − φ0 ) yA = yO + rA · sin(φA − φ0 ). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî òåîðåìå 2.7.3. î âûðàæåíèè êîîðäèíàò âåêòîðà ÷åðåç îðèåíòèðîâàííûé óãîë, −→ OA = rA cos ω · ⃗e1 + rA sin ω · ⃗e2 , ãäå −→ ω = ̸ o (⃗e1 , OA). Ïî ïðàâèëó òðåóãîëüíèêà ñëîæåíèÿ âåêòîðîâ, −−′→ −−′→ −→ O A = O O + OA.  ñèëó ââåä¼ííûõ îáîçíà÷åíèé, xA⃗e1 + yA⃗e2 = xO⃗e1 + yO⃗e2 + rA cos ω · ⃗e1 + rA sin ω · ⃗e2 = =(xO + rA cos ω)⃗e1 + (yO + rA sin ω)⃗e2 . Ïîëó÷èëè xA = xO + rA · cos ω yA = yO + rA · sin ω . Ïî òåîðåìà 2.7.7 î ñëîæåíèè îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ, −→ −→ ω = ̸ o (⃗e1 , OA)≠ o (⃗e1 , ⃗e) + ̸ o (⃗e, OA)= −→ ≠ o (⃗e, OA) − ̸ o (⃗e, ⃗e1 )=φA − φ0 . 66