Циркуляция, завихренность и ротор скорости

ВОЕННО-КОСМИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ ИМЕНИ А.Ф. МОЖАЙСКОГО Кафедра технологий и средств геофизического обеспечения войск УТВЕРЖДАЮ Начальник 52 кафедры полковник И.Готюр «____» ___________ 201__ г. Лекция № 6 «Циркуляция, завихренность и ротор скорости» Разработчик: доцент 52 кафедры, д.ф-м.н. В.М. Краснов Материалы лекции обсуждены и одобрены на заседании кафедры “ 27 “ июля Санкт-Петербург 2020 2017 года, протокол №16 2 Тема лекции: Циркуляция, завихренность и ротор скорости Учебные вопросы: 1. Циркуляция скорости. 2. Завихренность скорости. 3. Ротор скорости. Вопрос 1. Циркуляция скорости Понятие криволинейного интеграла и циркуляции вектора. Пусть в поле  вектора a задана кривая AB (рис. 1). Рис. 1 Разобьем ее на малые элементы, которые представим в виде векторов, ориентированных вдоль кривой в направлении от точки A к точке B .  Образуем, далее, скалярные произведения каждого элемента l кривой на  соответствующий ему вектор a , взятый в начальной точке элемента и составим  сумму всех таких произведений. Предел этой суммы, когда все l стремятся к  нулю, носит название криволинейного интеграла вектора a по кривой AB . Выражение криволинейного интеграла записывают в виде:   a  dl  ( AB)  a dl   a dx  a dy  a dz , l ( AB) x y z ( AB)  где al - проекция вектора a на касательную к кривой. Будем называть контуром замкнутую кривую, на которой задано определенное направление обхода – ориентация контура. Если два контура геометрически тождественны, но ориентации их противоположны, мы будем  говорить о двух различных контурах. Циркуляцией вектора a по контуру L называется криволинейный интеграл этого вектора, взятый по образующей контур кривой в направлении ориентации этого контура. Выражение циркуляции записывается в одной из следующих форм:    adl   al dl   a x dx  a y dy  a z dz . (L) (L) (L) Циркуляция скорости. Представим себе поле скорости жидкости в некоторый момент времени. Циркуляция скорости по заданному контуру L представляет собой скалярную величину      v dl   vl dl   v x dx  v y dy  v z dz . (L) (L) (L) 3 Циркуляция скорости может рассматриваться как кинематическая характеристика, знак и величина которой показывают общую тенденцию частиц жидкости перемещаться по контуру в направлении его ориентации. Чтобы нагляднее понять смысл циркуляции скорости, можно представить себе, что с контуром совпадает лента, на которой имеется большое число лопастей (рис. 2). Рис. 2 Если циркуляция скорости положительна, то лопасти будут двигаться в направлении ориентации контура, причем скорость перемещения будет тем большей, чем больше  ; если же она отрицательна, то лопасти будут двигаться в направлении, противоположном ориентации контура. Следует подчеркнуть, что циркуляция данного поля скорости по данному контуру будет одной и той же, каким бы способом не производилось ее вычисление, поскольку она полностью определяется полем скорости и геометрическими особенностями контура: его формой размером и ориентацией. В частности циркуляция скорости является величиной, инвариантной по отношению к любому преобразованию системы координат, не меняющему поле скорости. Пример. Линии тока представляют собой прямые, параллельные оси Ox , причем величина скорости меняется по закону v  ky (рис. 6.1.3). Найдем циркуляцию скорости по контуру ABCDA , где AB  CD  m , AD  BC  n .    vl dl   vl dl   vl dl   vl dl   vl dl   ky2 dl   (ky1 )dl . ( ABCDA) ( AB ) ( BC ) ( CD ) ( DA) ( AB ) ( BC ) Таким образом,   v dl  ky l ( ABCDA) 2 AB  ky1CD  km( y 2  y1 )  kmn . В приведенном примере рассматривалась циркуляция скорости в случае плоско-параллельного движения, причем брались контуры, лежащие в плоскости движения. Отметим важное для дальнейшего свойство циркуляции при плоском движении: в случае плоско-параллельного движения циркуляция скорости по любому контуру равна циркуляции скорости по проекции этого контура на плоскость движения. 4 Циркуляция скорости абсолютного и относительного движения. Представим себе, что жидкая среда, под которой можно понимать либо воду океанов, либо атмосферу, является неподвижной относительно поверхности Земли, т.е. вращается вокруг земной оси как твердое тело с угловой скоростью   вращения Земли  . Скорость такого движения обозначим v  . Допустим теперь, что жидкая среда движется относительно земной  поверхности, причем скорость v этого движения есть, очевидно, та скорость, которую в случае воздуха измеряют приборы на метеорологической станции и которая наносится на синоптические карты.  Скорость vа абсолютного движения, т.е. движения относительно системы координат, связанной с Земной осью, но не вращающейся около этой оси, будет   складываться из скорости v относительного движения и скорости v  переноса системы координат:    vа  v  v  .    Зафиксируем поля скоростей vа , v , v  в некоторый момент времени и определим для этого момента времени циркуляцию по заданному контуру L скоростей каждого из указанных движений. Введя обозначения  val dl  a , (L)  v dl   ,  vdl   , имеем: l (L) l (L) a      . Вопрос 2.. Завихренность скорости Понятие завихренности скорости. Представим себе, что в поле вектора  задана некоторая точка A и ось n (т.е. ориентированная прямая), проходящая через данную точку (рис. 3).  a Рис.3 В плоскости, проходящей через точку A перпендикулярно к оси, возьмем охватывающий точку малый контур L , ориентация которого связана с направлением оси правилом правого винта. Определим циркуляцию  5 скорости по контуру L и отнесем ее к площади  , ограниченной контуром. Предел этого отношения, когда контур L стягивается к точке A и, значит,   стремится к нулю, назовем завихренностью вектора a в точке A относительно  оси n и будем обозначать  n . Таким образом,  al dl  (L)  n  lim  lim .  0    0  Если этот предел существует, то он должен быть одним и тем же, какую бы форму не имел контур. Таким образом, завихренность вектора приближенно равна циркуляции его по охватывающему точку контуру, плоскость которого перпендикулярна оси и который ограничивает собой площадь равную единице    n    a l dl  .    ( L)  1 Понятие завихренности применимо к полю скорости. В соответствии с вышесказанным завихренность скорости в данной точке относительно данной  оси n определяется выражением  v dl l  n  lim   0      vl dl  .     (L)  1 (L) Для того чтобы смысл Понятия завихренности сделать более наглядным, можно предложить следующую воображаемую модель. Представим себе, что в рассматриваемую точку потока помещено колесо с лопастями, ось которого  совпадает с направлением оси n (рис. 4). Рис.4 Разумеется, размеры колеса должны быть столь малы, чтобы колесо не искажало поля скорости. Если  n  0 , то циркуляция скорости по окружности колеса  v dl   l n   0 , (L) где  - площадь колеса, и колесо будет вращаться против часовой стрелки,  если смотреть с конца оси n . Если же  n  0 , то колесо будет вращаться в противоположном направлении. 6 Выражение завихренности скорости в декартовых координатах.  Найдем вначале завихренность скорости относительно оси n , совпадающей по направлению с одной из осей координат, например, с осью Oz (рис. 5). Рис.5 Окружим точку A плоским прямоугольным контуром BCDEB , плоскость  которого перпендикулярна к оси n (т.е. параллельна плоскости xOy ), центр совпадает с точкой A , а стороны параллельны осям Ox и Oy . Положим BC  DE  a , CD  EB  b . Для определения  n вычислим циркуляцию  по этому контуру, считая его ориентированным по уже известному правилу, т.е. в направлении BCDEB .    vl dl   vl dl   vl dl   vl dl   vl dl  vlBC a  vlCD b  vlDE a  vlEB b . ( BCDEB) ( BC ) ( CD ) ( DE ) ( EB ) Здесь величины vlBC , vlCD , vlDE , vlEB представляют собой средние интегральные значения vl на соответствующем отрезке контура. Учитывая направление обхода контура, легко видеть, что vlBC  v xBC , vlCD  v yCD , vlDE  v xDE , vlEB  v xEB . Таким образом,   (v xBC  v xDE )a  (v yCD  v yEB )b . Считая, что средние значения vl равны значениям vl на серединах соответствующих отрезков (по мере уменьшения контура выполняться со все большей точность), мы можем записать: v xBC  v x  это v a v a v x b v b , v xDE  v x  x , v yCD  v y  y , v yEB  v y  y , y 2 y 2 x 2 x 2 где v x и v y - составляющие скорости в точке A . Подставляя эти выражения в (6.3), получаем:  v y v x  ab ,     y   x будет 7  v y v x   .  x y При переходе к пределу, когда   0 это равенство перестанет быть приближенным и мы получим:  v y v x   .   0  x y  z  lim Аналогично находятся выражения v x v z  . z x v y v x  z  . y z y  Весьма важно понять, что завихренность скорости в данной точке около данной оси целиком определяется полем скорости в окрестности данной точки и не зависит от того, какая система координат использована для ее вычисления. Физический смысл завихренности скорости. Завихренность скорости в данной точке около данной оси равна удвоенной угловой скорости вращения около этой оси бесконечно малой частицы жидкости, расположенной в данной точке. Например, пусть =− ,а = , тогда  z  v y x  v x  a  (a )  2a . y Вопрос 3. Ротор скорости  Понятие ротора скорости. Ротором вектора a в данной точке поля называется вектор, 1) направленный по оси, относительно которой завихренность поля является максимальной, 2) по модулю равный этой завихренности. Основное свойство ротора скорости. Проекция ротора скорости на любую ось равна завихренности скорости относительно этой оси. Из рассмотренного положения тотчас же следует, что проекции ротора на оси координат равны завихренности относительно этих осей, т.е. v y v  rot x v   x  z  . y z v v  rot y v   y  x  z . z x v y v x  rot z v   z   . x y Физический смысл ротора скорости. Ротор скорости в данной точке равен удвоенной угловой скорости вращения частицы жидкости, расположенной в этой точке.  Векторные линия поля векторов rot v носят название вихревых линий. 8 Связь между циркуляцией скорости и полем ротора скорости. Циркуляция скорости по данному контуру равна потоку ротора вектора по поверхности, ограниченной этим контуром при условии, что ориентация нормалей к поверхности связана с ориентацией контура правилом правого винта (теорема Стокса).     rot n ad . (S )  Заметим, что это положение справедливо только в случае, когда вектор a определен и непрерывен во всех точках поверхности S .