Цифровая обработка сигналов

Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных специально для анализа и проектирования дискретных и цифровых систем. 4.5. Линейные дискретные фильтры Пусть имеется линейный фильтр с импульсной характеристикой h t . При поступлении на вход фильтра сигнала x  t  , t  0, отклик на его выходе определяется интегралом свертки t y  t    x  t   h   d . Дискретному фильтру соответствует уравнение дискретной свёртки: y  k t   t k  x  k  m  t  h  mt  . m0 Если фильтр имеет конечную импульсную характеристику (КИХ фильтр), то N 1 y  k t   t  x  k  m  t  h  m t . (0.0.1) m0 Возможен и другой подход. Выходной отклик фильтра y  k  определяется как функция присутствующего в данный момент на входе отсчета x  k  и некоторого количества предшествующих входных и выходных отсчетов: y k   N 1 M m0 m 1  am x  k  m    bm y  k  m  . (0.0.2) Такой фильтр называется рекурсивным. Если y  k  зависит только от входных отсчетов (настоящего и предшествующих), то фильтр называется нерекурсивным. Если выборочные значения сигналов x  k  , y  k  и коэффициенты фильтра am и bm квантованы по величине, т. е. представлены цифровым кодом с ограниченным количеством разрядов, то фильтр называется цифровым. Эффективным методом решения разностных уравнений (0.0.2) является zпреобразование. Передаточная функция дискретного фильтра Возвратимся к разностному уравнению дискретного фильтра (0.0.2). В терминах zпреобразования, с учетом его свойств, это уравнение будет иметь вид N 1 M m0 m 1 Y  z   X  z   am z  m  Y  z   bm z  m . 1 Здесь z – оператор задержки на один такт дискретизации. Комплексный коэффициент передачи, т. е. передаточная функция фильтра: N 1 H  z  Y  z  X  z a m0 M m z m 1   bm z . (0.0.3) m m 1 Эта наиболее общая форма H  z  является дробно-рациональной функцией z 1 и часто используется при анализе и синтезе дискретных и цифровых фильтров. Для физически 1 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ реализуемых фильтров число нулей H  z  не должно превышать числа полюсов, т. е. степень полинома в числителе не должна превышать степени полинома в знаменателе. Фильтр называется устойчивым, если при любых конечных начальных условиях и любом ограниченном входном сигнале выход-ной сигнал также остается ограниченным. Необходимым и достаточным условием устойчивости фильтра является требование, чтобы модули полюсов его передаточной характеристики H  z  были меньше 1. Например, при H  z  z 1  z  0,5 z  0, 4  фильтр будет устойчивым, т. к. он имеет два полюса, z   0,5 и z  0, 4, по модулю меньшие единицы. Очевидно, что нерекурсивный фильтр всегда устойчив. Неустойчивый фильтр неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, т. к. в конце концов, выходной сигнал перестанет зависеть от входного. Однако он работоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени. Примером такого фильтра является цифровой накопитель, которому соответствует разностное уравнение y  k   x  k   y  k  1 . В терминах z-преобразования оно имеет вид Y  z   X  z   z 1Y  z  . Передаточная функция цифрового интегратора Y  z 1 H  z   X  z  1  z 1 имеет полюс в точке z  1, фильтр неустойчивый. Однако цифровой накопитель работоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени, например, когда 0  k  N  1, после чего следует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые начальные условия. Импульсная и частотная характеристики дискретного фильтра Дискретные и цифровые фильтры характеризуются также своей импульсной характеристикой h  k  , за которую по определению принимается реакция фильтра (при нулевом начальном состоянии) на входное воздействие в виде единичного импульса: при k  0,  1, 1 k     0, при других k. Для линейного инвариантного во времени дискретного фильтра (ЛИВДФ) импульсная характеристика h  k  связана с передаточной функцией z-преобразованием: H  z    h  k  z k . (0.0.4) k Это непосредственно следует из линейности фильтра и из того, чтоz-преобразование единичного импульса равно 1 на всей плоскости z. 2 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ При нулевом начальном состоянии отклик фильтра с каузальной импульсной характеристикой h  k  на произвольный входной сигнал x  k  находится с помощью линейной дискретной свёртки: y k   k  x  m h  k  m  . (0.0.5) m0 В этом случае Y ( z)  X ( z) H ( z). Если же y  0   0, то в (0.0.5) нужно добавить второе слагаемое как реакцию при нулевом входном воздействии. Различают фильтры с конечной импульсной характеристикой, так называемые КИХфильтры, и фильтры с бесконечной импульсной характеристикой, так называемые БИХфильтры. Пусть входной сигнал и импульсная характеристика являются финитными функциями и содержат N и M отсчетов соответственно. Тогда отклик фильтра будет представлять собой более протяженную функцию, состоящую из N  M  1 отсчетов. Это приводит к тому, что при обработке сигналов необходимо резервировать дополнительно M  1 ячеек памяти для хранения выходного сигнала. Отметим еще одно обстоятельство. В теории z-преобразования сдвиг сигнала во времени понимается как параллельный перенос его отсчетов без нарушения порядка их следования, т. е. соседними всегда являются отсчеты, стоящие рядом. ЛИВДФ имеют характеристики, инвариантные относительно такого сдвига. Условие устойчивости (необходимое и достаточное) заключается в том, что импульсная характеристика h  k  является абсолютно суммируемой, т. е.   hk   . (0.0.6) k 0 Если x  k  ограничено по величине, т. е. x  k   X max   , то такое входное воздействие порождает ограниченный выходной сигнал. Действительно: y k     x  m h  k  m   m0   x m h k  m  m0   X max  h  k  m   . k 0 По известной передаточной характеристике фильтра H  z  можно определить его частотную характеристику: H    H  z  exp  j t   , для чего достаточно в выражение для H  z  подставить значение z  exp  j t  . Амплитудно-частотная характеристика: A()  H  z  exp  j t  . Фазочастотная характеристика: 3 (0.0.7) Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ  ( )  arg H  z  exp  j t  . (0.0.8) Результат прохождения синусоидального воздействия sin k t , k  0, 1, 2, через дискретный (цифровой) фильтр сводится к изменению амплитуды в A() раз и к фазовому сдвигу  (). Для определения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик дискретного фильтра на плоскости z наносятся положения нулей и полюсов передаточной функции. На рис. 4.5.1 для примера показаны два полюса и один нуль. При    r амплитудно-частотная характеристика равна H ( )  L0 / Lp1  Lp 2 , фазочастотная характеристика arg H    0   p1   p 2  . Рис. 4.5.1. Влияние нулей и полюсов передаточной функции на АЧХ и ФЧХ дискретного фильтра Чтобы убедиться в этом, обратимся к общему выражению (4.5.3) для передаточной функции. Разлагая полиномы в числителе и знаменателе H  z  на множители, получаем N 1 H  z   H0   z  z0 n  n 0 M   z  z pn  , n 1 где z0n – нули, а z pn – полюса H  z  . Если в это выражение подставить z  exp  jt  и обозначить e j  t  z 0 n  L 0 n e j0 n , e j t  z pn  Lpn e j  pn , то H    L   e j   , где N 1 M n 0 n 1 N 1 M n 0 n 1 L    H 0  L 0 n :  L pn , Ф     Ф0 n   Ф pn . 4 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ Как видно из рис. 4.5.1, частотная характеристика H   повторяется с периодом д  2 / t. Геометрическая интерпретация на рис. 4.5.1 дает представление о влиянии нулей и полюсов передаточной функции на характеристики фильтра 4.6. Примеры линейных дискретных фильтров БИХ-фильтр Система, показанная на рис. 4.6.1, включает сумматор, элемент задержки z 1 и цепь обратной связи с коэффициентом . Это пример рекурсивного фильтра. Рис. 4.6.1 Разностные уравнения фильтра для двух выходов имеют вид y1  k   x  k    y1  k  1 , y2  k  1  x  k    y2  k  . Пусть на вход подан единичный импульс x  k   1  k  , тогда y1  0   1, y1 1  , y1  2   2 , y2  0   0, y2 1  1, y2  2    и т. д. Единичный импульс циркулирует в системе с временем задержки t, изменяясь при каждом обороте в  раз. На выходах устанавливаются собственные колебания (импульсные характеристики) бесконечной длительности. Поэтому этот рекурсивный фильтр называется фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХфильтр). Соответствующие передаточные характеристики преобразования к разностным уравнениям: получаются применением z- Y1  z   X  z   z 1Y1  z  , zY2  z   X  z   Y2  z  . ОтсюдаEquation Chapter 4 Section 6 H1  z   H2  z   Y1  z  X  z Y2  z  X z  1 z  , 1  z 1 z    1 z 1  . z   1  z 1 (4.6.1) Для обоих выходов передаточная функция имеет полюс в точке z   . Функции H1 ( z ) и H 2  z  сходятся при z   . Этот полюс внутри круга, если   1, т. е. в цепи обратной связи имеется затухание и система устойчива. 5 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ Замечание. Изменение знака в цепи обратной связи не приводит к неустойчивости системы, а лишь сдвигает полюс в точку z    . При   1 импульсная характеристика имеет вид затухающего знакопеременного колебания, полюс расположен внутри единичного круга и система устойчива. Дискретный накопитель При   1 фильтр по выходу 1 представляет собой дискретный накопитель, которому соответствуют разностное уравнение y1  k   x  k   y1  k  1 (4.6.2) и передаточная функция H1  z   Y1  z  1 z   . 1 X  z  1 z z 1 Этот фильтр неустойчивый, так как имеет полюс на единичной окружности. Он неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, т. к. в конце концов, выходной сигнал перестанет зависеть от входного. Однако он работоспособен и используется в тех случаях, когда входной сигнал действует в течение ограниченного интервала времени, например, когда 0  k  N 1, после чего следует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые начальные условия. При   1 фильтр по выходу 2 представляет собой накопитель (рис. 4.6.2б), работающий по алгоритму Эйлера «вперёд», которому соответствует разностное уравнение y2  k  1  x  k   y2  k  , y (0)  0. Рис. 4.6.2. Аналоговый интегратор (а) и дискретный накопитель (б) Дискретный накопитель эквивалентен аналоговому интегратору (рис. 4.6.2а), если принять t  1 и y(0)  0. Простой дискретный дифференциатор Поскольку единственная информация об x(t ) – его значения в дискретные моменты времени, то производная должна оцениваться по этим значениям: 1 xˆ(k t )  [ x(k t )  x((k  1)t )]. t Полагая приходим к разностному t  1, уравнению простого дифференциатора: y  k   x  k   x  k  1 , (4.6.3) которому соответствует блок-схема на (рис. 4.6.3). Передаточная функция дифференциатора: H  z   1  z 1. (4.6.4) Фильтр нерекурсивный, не имеет полюсов, всегда устойчив. Рис. 4.6.3. Простой дифференциатор 6 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ Если x  k   1  k  , то y  k   h  k  . Поэтому импульсная характеристика простого дифференциатора имеет вид: h(k )  1(k )  1(k 1), (4.6.5) Это пример КИХ-фильтра. Его АЧХ H    1- e - j  t  2 sin  t 2 изображена на рис. 4.6.4. Рис. 4.6.4. АЧХ простого дифференциатора Фазочастотная характеристика          . Идеальный дискретный дифференциатор При дифференцировании сигнала x(t ) его спектральная функция X ( ) умножается на j . Таким образом, частотная характеристика идеального дискретного дифференциатора имеет вид  j (  n д ),   n д  д / 2, H ( )     n д  д / 2  0 (4.6.6) для всех целочисленных значений n. Графики АЧХ и ФЧХ идеального дискретного дифференциатора показаны на рис. 4.6.5. Рис. 4.6.5. АЧХ и ФЧХ идеального дискретного дифференциатора Обратное преобразование Фурье от участка спектра для частот   д / 2 дает континуальную импульсную характеристику h(t )  t  t 1  дt cos д  sin д  . 2  t  2 2 2  Вводя дискретное время t  k t и умножая на t, получаем импульсную характеристику идеального дискретного дифференциатора: 7 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ  (1) k , k  0,  h(k )   k t  0, k  0,  (4.6.7) которая не является каузальной, следовательно, физически нереализуема. График импульсной характеристики идеального дискретного дифференциатора изображён на рис. 4.6.6, где по-прежнему принято t  1. Рис. 4.6.6. Импульсная характеристика идеального дискретного дифференциатора Кроме того, импульсная характеристика не является безразмерной, так как при дифференцировании континуальной функции x(t ) меняется её размерность. Поскольку идеальный дифференциатор физически нереализуем, выполнить дифференцирование дискретного сигнала можно лишь приближённо. Простой дифференциатор, рассмотренный выше, является тому примером. Трансверсальный фильтр Пусть в передаточной характеристике общего вида (4.5.3) знаменатель есть постоянная величина. Тогда N 1 H  z    hm z  m . (4.6.8) m0 Соответствующее разностное уравнение имеет вид N 1 y  k    hm x  k  m  , (4.6.9) m0 т. е. фильтр имеет отклик, зависящий только от входных отсчетов (текущего и предыдущих) и является нерекурсивным. В соответствии с (4.6.8) hm – отсчеты импульсной характеристики. Такой фильтр называется трансверсальным. Цифровая реализация линейного трансверсального фильтра показана на рис. 4.6.7. Входной сигнал x(t ) предварительно дискретизуется по времени и квантуется по уровню. вырабатывается аналого-цифровым x(k t ) преобразователем (АЦП) (обычно в двоичном коде) и поступает на N-каскадную линию задержки (регистр сдвига), где числа сдвигаются на один каскад каждые t секунд под воздействием тактового импульса. С отводов регистра отсчёты x(k  m), поступающие с Последовательность отсчётов 8 Цифровая обработка сигналов; лекция 27 марта 2017 г. МФТИ отводов регистра, умножаются на весовые коэффициенты фильтра hm и в соответствии с (4.6.9) формируются выходные отсчёты y(k ) . Рис. 4.6.7. Цифровой трансверсальный фильтр Следует отметить, что фильтр может обрабатывать бесконечный поток входных данных, при этом отклик y(k ) в момент t  k t будет определяться содержимым его регистра в этот момент, т. е. отсчётами входного сигнала x(k  N  1), x(k  N  2), , x(k ) . Замечание. При цифровой реализации погрешность квантования входных отсчётов x(k t ) и коэффициентов фильтра hm , а также ошибки округления при умножении приводят к специфическим погрешностям при формировании отклика фильтра y(k ). Задачи к лекции 27 марта 1. Найти z-преобразование для x( )  e 0,2 cos  при интервале дискретизации  . Изобразить полюсы и нули в z-плоскости при    / 4,  / 2. Показать, как будут располагаться нули и полюсы при    и    . 2. Пусть X ( z )  1/ (1  az 1 )(1  bz 1 ). а) Найти обратное преобразование функции X ( z) методом разложения на простые дроби. б) Определить последовательность x(k ), если a  0,5  j 0,5 и b  a  . 3. Пусть z-преобразование дискретного сигнала x(k ) имеет вид X ( z )  ( z 2  2 z  1) / z. Найти отсчётные значения этого сигнала. 9