Чистый сдвиг, напряжения и деформации

Лекция №5 Чистый сдвиг Определение. Напряжения и деформации. Закон парности касательных напряжений. Закон Гука при сдвиге. Напряжения на наклонных площадках. Потенциальная энергия при сдвиге. Связь между модулями упругости первого и второго рода. Условия прочности. На примере растяжения и сжатия были выявлены некоторые наиболее важные свойства напряженного состояния. При растяжении и сжатии в зависимости от ориентации секущих площадок на гранях выделенного прямоугольного элемента возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Последние, независимо от величины нормальных напряжений, подчиняются закону парности касательных напряжений. Рис. 5.1 Предположим, что имеется такое напряженное состояние, когда на гранях выделенного (поперечными и продольными сечениями) элемента возникают только касательные напряжения τ (рис. 5.1). Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом. В качестве примера, иллюстрирующего состояние однородного чистого сдвига, можно рассмотреть тонкостенную цилиндрическую трубку, нагруженную моментами, приложенными в торцевых плоскостях (рис. 5.2). Здесь и далее внешний момент будем обозначать через Т. Величина напряжения τ определяется из условия равенства момента равномерно распределенных по поперечному сечению внутренних сил и момента Т: τ= T 2πR 2δ . (5.1) Посмотрим теперь, как при чистом сдвиге изменяются напряжения в зависимости от ориентации секущих площадок. Для этого из пластины, находящейся в состоянии чистого трехгранную призму АВС (рис. 5.3). сдвига, выделим элементарную Рис. 5.2 Рис. 5.3 На гранях АC и ВС по условию возникают только касательные напряжения τ. На грани АB, в зависимости от угла α возможно возникновение как нормального, так и касательного напряжения. Обозначим их соответственно через σα и τα. Проектируем все силы, действующие на призму, по осям n и t. Условия равновесия дадут в этом случае выражения: σ α AB = τAC sin α + τBC cos α ; τ α AB = τAC cos α − τBC sin α . Отрезки АC и ВС связаны с АB очевидными соотношениями АC=АBcosα и ВС=АBsinα, поэтому: σ α = τ sin 2α ; τ α = τ cos 2α . При α=0° и α=90° напряжения σα и τα принимают значения, соответствующие исходным площадкам, т.е. σα=0, а τα=τ. При α=±45°, τα=0, а σα=± τ. Следовательно, если из пластины выделить прямоугольный элемент, грани которого повернуты относительно исходных плоскостей на угол 45°, то на секущих площадках будут обнаружены только нормальные напряжения, причем на одной паре граней напряжения будут растягивающими, а на другой сжимающими (рис. 5.4). Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Рис. 5.4 Рассмотрим деформации при сдвиге. Касательное напряжение τ связано с угловой деформацией выражением τ = Gγ , (5.2) которое носит название закона Гука при сдвиге. В этом выражении через G E – модуль упругости второго рода (модуль обозначена величина 2(1 + µ ) сдвига). Как и модуль упругости первого рода, модуль упругости второго рода измеряется в [Па]. Характер возникающих смещений показан на рис. 5.5. Длина дуги АВ имеет одну и ту же величину как для торцевой плоскости, так и для боковой поверхности цилиндра. Из этого следует равенство ϕ= lγ R . Rϕ = lγ , откуда: (5.3) Рис. 5.5 При чистом сдвиге, как и при растяжении (да и вообще при всяком напряженном состоянии), в деформированном теле накапливается упругая потенциальная энергия. Эту энергия легко посчитать, рассматривая изменения формы прямоугольного элемента с размерами dx, dy и толщиной δ (рис. 5.6). Рис. 5.6 Примем нижнюю грань элемента за условно неподвижную. Тогда при смещении верхней грани сила τdxδ совершит работу на перемещении γdy. Так как сила меняется пропорционально смещению, то ее работа равна половине произведения τdxδγdy. Следовательно, потенциальная энергия деформации, накопленная в элементе равна: 1 dU = τγdxdyδ . 2 Если отнести энергию к единице объема, то получим: 1 τγdxdyδ 1 dU 2 U0 = = = τγ . dV dxdyδ 2 (5.4) Учитывая закон Гука при сдвиге величину U0 можно записать поразному: 1 τ2 1 2 U 0 = τγ = = Gγ . 2 2G 2 (5.5) Величина U0 называется удельной потенциальной энергией при сдвиге и измеряется [Дж/м3]. Условие прочности для чистого сдвига будет похоже на условие прочности при растяжении (сжатии): 𝜏𝜏𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 ≤ [𝜏𝜏], где τmax – максимальное расчетное напряжение в конструкции, [τ] – допускаемое напряжение