Числовые ряды

Числовые ряды Если дана бесконечная последовательность чисел u1 , u 2 , u 3, ... то выражение вида ∞ u1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ... =  u n n =1 называется числовым рядом. Числа u1 , u 2 , u 3, ..., u n ,... называют членами ряда; u n , где n ∈ N , называется общим членом ряда. В результате вычисления значений этой функции при n = 1 , n = 2 , n = 3 , … должны получаться члены ряда u1 , u2 , u3, ... Общий член ряда u n является функцией от п. Если известно аналитическое выражение этой функции, то, давая п последовательно значения 1, 2, 3.., можно найти сколько угодно членов ряда. ∞ n! Пример 1. Пусть  n . Записать соответствующий ряд. n =1 2 ∞ n! 1! 2! 3! 4! n! 1 2 6 24 n! Решение.  n = + 2 + 3 + 4 + ... + n + ... = + + + + ... + n + ... = 2 4 8 16 2 2 2 2 2 2 n =1 2 1 1 3 3 n! = + + + + ... + n + ... . 2 2 4 2 2 1 1 1 Пример 2. Дан ряд + + + ... + . Найти u n +1 и u 2 n −1 . 9 25 49 1 1 1 1 Решение. Ряд можно записать в виде 2 + 2 + 2 + ... + , т.е. un = . (2n + 1) 2 3 5 7 ∞ 1 1 1 1 1 Тогда ряд имеет вид 2 + 2 + 2 + ... + . + K =  2 3 5 7 (2n + 1) 2 ( 2 n + 1 ) n =1 1 1 1 = = ; 2 2 (2(n + 1) + 1) (2n + 2 + 1) (2n + 3) 2 1 1 1 u2 n −1 = = = . 2 2 (2(2n − 1) + 1) (4n − 2 + 1) (4n − 1) 2 un +1 = Сходимость ряда Конечные суммы S 1 = u1 , S 2 = u1 + u 2 , S 3 = u1 + u 2 + u 3 ,…, S n −1 = u1 + u2 + ... + u n −1 S n = S n −1 = u1 + u 2 + ... + u n −1 + un называются частичными суммами ряда. Если существует конечный предел последовательности частичных сумм S = lim S n (здесь и дальше под n → ∞ будем понимать n → +∞ ), то ряд называется n →∞ сходящимся, а число S - суммой ряда. Если не существует конечного предела последовательности частичных сумм S = lim S n или он равен бесконечности, то ряд называется расходящимся. n →∞ 1 ∞ Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 1  n(n + 1) . n =1 ∞ Решение. 1 1 1 1 1  n(n + 1) = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + K + n(n + 1) + L . Вычислить сумму ряда не n =1 представляется возможным. Для вычисления суммы упростим дробь, стоящую под знаком суммы. Любую правильную дробь можно представить в виде суммы простых дробей (смотри алгоритм неопределенный интеграл, 6 способ: интегрирование рациональных дробей, стр.11): 1 А В = + . n(n + 1) n n + 1 Написанное равенство есть тождество, поэтому приводим правую часть к общему знаменателю. А В А(n + 1) + Bn 1 = + = n(n + 1) n n + 1 n(n + 1) Так как дроби равны и у них одинаковые знаменатели, можно приравнять друг к другу числители. Получается равенство двух многочленов. 1 = А(n + 1) + Bn . Пользуемся методом частных значений, для этого в поочередно приравниванию к нулю каждой из множителей в знаменателе: n=0 1 = A ⋅1  , A =1 n +1 = 0 1 = B ⋅ (−1)  . n = −1 B = −1 1 1 1 = − Таким образом, имеем: . n(n + 1) n n + 1 ∞ ∞ 1 1 1  ∞ 1 ∞ 1  = − .  = −   n + 1  n =1 n n =1 n + 1 n =1 n( n + 1) n =1 n Вычислим частичную сумму ряда 1 1   1 1   1 1  S n = S n −1 = u1 + u2 + u3 + ... + u n − 2 + u n −1 + un =  −  +  −  +  −  + K + 1 2   2 3   3 4  1   1 1 1 1  1  1 + − − + − . +  = 1− n +1  n − 2 n −1  n −1 n   n n + 1  n →∞  Вычислим предел частичных сумм S = lim 1 − 1   = 1. n +1 Итак, данный ряд сходится и его сумма равна единице. ∞ 2n + 5n Пример 4. Исследовать на сходимость ряд  . n n =1 10 ∞ 2 n + 5n ∞ 2n ∞ 5n ∞ ∞ ∞ 1 ∞ 1 2n 5n = n + n = n n + n n = n + n . Решение.  n n =1 10 n =110 n =110 n =1 2 ⋅ 5 n =1 2 ⋅ 5 n =1 5 n =1 2 ∞ 1 1 1 1 + +K Рассмотрим каждую сумму отдельно  n = + 5 25 125 n =1 5 2 Получили бесконечно убывающую прогрессию, вспомним как находится ее сумма b S= 1 , 1− q 1 где b1 = - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, 5 1 1 1 b b 1 1 q = 2 = 3 = 125 = . Тогда S1 = 5 = 5 = . 1 1 4 4 b1 b2 5 1− 25 5 5 ∞ 1 1 1 1 Рассмотрим каждую сумму отдельно  n = + + + K 2 4 8 n =1 2 Получили бесконечно убывающую прогрессию, вспомним как находится ее сумма b S= 1 , 1− q 1 где b1 = - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, 2 1 1 1 1 b b q = 2 = 3 = 8 = . Тогда S 2 = 2 = 2 = 1 . 1 1 b1 b2 1 2 1− 4 2 2 1 5 Тогда сумма всего ряда равна S = S1 + S 2 = + 1 = . 4 4 Итак, данный ряд сходится. т.е. т.е. Свойства сходящихся рядов ∞ 1. Если ряд  un ∞ сходится и имеет сумму S , то ряд n =1  λ ⋅ un , называемый n =1 произведением данного ряда на число λ , также сходится и имеет сумму λ ⋅ S . ∞ 2. Если ряды  un и n =1 ∞  (u n n =1 + v n ) , называемый ∞  vn n =1 сходятся и имеют соответственно суммы S и σ , то ряд суммой ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 n =1 данных рядов, также сходится и имеет сумму S + σ , т.е.  (u n + v n ) =  u n +  v n . 3. Сходимость или расходимость ряда не изменяется после отбрасывания (добавления) любого конечного числа членов ряда (к ряду). ∞ В этом и следующем параграфе будут рассматриваться ряды которых неотрицательны: знакоположительными. un ≥ 0 , ∀n ∈ N . 3  uk , все члены k =1 Такие ряды называются ∞ Теорема 1 (необходимый признак сходимости). Если ряд общий член u n стремится к нулю при n → ∞ , т.е. un lim n→∞ = 0.  un сходится, то его n =1 Замечание: ∞ 1. Если ряд  un n =1 2. Если и расходится). 3. Если un lim n →∞ сходится, то un lim n→∞ = 0. = 0 , то ряд не обязательно сходится( он может как сходится, так un ≠ 0 , то ряд расходится. lim n →∞ Пример 5. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о ∞ сходимости ряда  n ? n =1 5n +1 Решение. Вычислим предел общего члена ряда n ∞  =  lim 5 n + 1 n →∞ ∞  Для вычисления можно использовать два способа: ∞  а) Для вычисления определенности   , необходимо в числителе и знаменателе ∞  а a вынести n в наивысшей степени за скобку и воспользоваться правилом: = ∞; = 0. ∞ n ∞  =   = lim lim  ∞  n →∞ n → ∞ 5n + 1 n 1  n 5 +  n  = lim 1 = 1 ≠ 0  ряд расходится. 5 1 n (n)' 1 n ∞  = ≠ 0  ряд расходится. =   = lim б) правило Лопиталя: lim  ∞  n → ∞ (5n + 1)' 5 n → ∞ 5n + 1 n→∞ 5+ Пример 6. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о 3 ∞ сходимости ряда  n −2 3n + 1 ? n =1 n +4 n3 − 3n + 1  ∞  =  Решение. Вычислим предел общего члена ряда lim n2 + 4 n →∞ ∞  Для вычисления можно использовать два способа: ∞  а) Для вычисления определенности   , необходимо в числителе и знаменателе ∞  а a вынести n в наивысшей степени за скобку и воспользоваться правилом: = ∞; = 0. ∞ 3 1  n 3 1 − 2 + 3  3 n − 3n + 1  ∞  n n   n lim n 2 + 4 =  ∞  = lim 2  4  = lim 1 = ∞ ≠ 0  ряд расходится. n →∞ n →∞ n →∞ n 1 + 2   n  4 б) правило Лопиталя: n 3 − 3n + 1  ∞  (n3 − 3n + 1)' 3n 2 − 3  ∞  (3n 2 − 3)' =   = lim = lim =   = lim = lim 2 2n n2 + 4 n →∞  ∞  n → ∞ (n + 4)' n →∞  ∞  n → ∞ (2n)' 6n = lim 3n = ∞ ≠ 0  ряд расходится. n →∞ 2 n→∞ Пример 7. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о = lim ∞ n сходимости ряда  3 2 ? n =1 n 3n  ∞  Решение. Вычислим предел общего члена ряда lim 2 =   ∞  n→∞ n б) Этот предел можно вычислить, только используя правило Лопиталя: 3n  ∞  (3n )' 3n ln 3  ∞  (3n ln 3)' ln 3 ⋅ (3n )' =   = lim 2 = lim =   = lim = lim = lim 2 ∞ ∞ 2 n ( 2 n )' ( 2 n )' n ( n )' n →∞   n →∞ n →∞   n →∞ n→∞ ln 3 ⋅ 3n ln 3 = ∞ ≠ 0  ряд расходится. lim 2 n→∞ Пример 8. Можно ли с помощью необходимого признака решить вопрос о ∞ сходимости ряда  ln n ? n =1 3n ln n  ∞  lim 3n =  ∞  n →∞ б) Этот предел можно вычислить, только используя правило Лопиталя: 1 ln n  ∞  (ln n)' 1 1 =   = lim = lim n = lim = = 0  ряд не обязательно сходится lim n → ∞ 3n  ∞  n → ∞ (3n)' n → ∞ 3 n → ∞ 3n ∞ (он может как сходится, так и расходится), поэтому решить вопрос о сходимости нельзя. Решение. Вычислим предел общего члена ряда 5