Числовые ряды; функциональные ряды

Лекция 6. Ряды. Вопросы: 1. Числовые ряды. Функциональные ряды. 2. Степенные ряды. Ряды Тейлора. 3. Ряды Лорана. 4. Решение задач. 1. Числовые ряды. Функциональные ряды. Пусть задана последовательность комплексных чисел= п=1,2,3,… Опр.1. Числовым рядом называется выражение вида (1) Числа называются членами ряда, – общим членом ряда. Сумма первых п членов ряда называется п-й частичной суммой ряда. Опр.2. Ряд (1) называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности и этот предел называется суммой ряда. Если не существует или бесконечен, то ряд (1) называется расходящимся. Теорема 1. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы сходились оба ряда и c действительными членами. Для равенства необходимо и достаточно, чтобы Теорема 2. (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд сходится, то Замечание. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из того, что еще не следует, что ряд сходится. Свойства сходящихся рядов 1) Сумма двух сходящихся рядов является сходящимся рядом. 2) Если все члены сходящегося ряда умножить на число , то получим сходящийся ряд и его сумма равна 3) Если отбросить или добавить к сходящемуся ряду конечное число слагаемых, то получится сходящийся ряд. Опр.3. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов (2) Теорема 3. Если сходится ряд , то сх-ся . Замечание. Из абсолютной сходимости ряда следует его обычная сходимость. Из сходимости ряда не следует его абсолютная сходимость. Опр.4. Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов расходится. Замечание. К ряду (2) применимы признаки сходимости рядов из курса математического анализа: признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши. т.к. ряд с действительными членами. Признаки сравнения. Пусть числа и , начиная с некоторого номера N, удовлетворяют неравенствам , n=N, N+1, N+2,…. Тогда: 1) если ряд сходится, то ряд сходится; 2) Если ряд расходится, то ряд расходится. Признак Даламбера. Пусть существует Тогда если то ряд сходится абсолютно; а если , то ряд расходится. При признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Радикальный признак Коши. Пусть существует Тогда если то ряд сходится абсолютно; а если , то ряд расходится. При признак не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Примеры: Исследовать сходимость рядов: а) б) Решение. а) – расходится. б) ряд сходится. Функциональные ряды Рассмотрим последовательность функций, определенных в некоторой области D (одной и той же для каждой из функций комплексной плоскости. Опр.5 Функциональным рядом называется выражение вида : (3) При фиксированном z получаем числовой ряд. Если в точке z ряд сходится (расходится), то точка z называется точкой сходимости (соответственно точкой расходимости) ряда. Опр.6. Множество всех точек z, в которых ряд (3) сходится, называется множеством сходимости функционального ряда (3). Для каждой точки z из множества сходимости определена сумма S(z) ряда (3), и эта сумма является функцией, определенной на множестве сходимости этого ряда. Пусть ряд (3) сходится во всех точках области D. Опр.7. Ряд (3) называется равномерно сходящимся в области D к функции S(z), если для любого найдется такой номер , зависящий от , что для всех и всех точек z выполняется неравенство, где – частичная сумма ряда (3). Замечание. Если функциональный ряд сходится в области D, то вовсе не обязательно , что он сходится в D равномерно. Если ряд (3) сходится равномерно в D, то он сходится в каждой точке области D. Пример. Функциональный ряд сходится при сумма ряда и S(z) = . Равномерной сходимости ряда в круге нет, поскольку и В любом круге рассматриваемый ряд будет сходится равномерно, так как . Теорема 4. (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса) Если при члены ряда (3) удовлетворяют неравенствам во всех точках и числовой ряд сходится, то функциональный ряд сходится в D абсолютно и равномерно. Свойства равномерно сходящихся рядов 1) Если члены ряда (3) непрерывны в области D и ряд (3) сходится в D равномерно, то сумма рядя S(z) непрерывна в области D; 2) Если члены ряда (3) непрерывны в области D и ряд (3) сходится в D равномерно к функции S(z), то его можно почленно интегрировать вдоль любой кривой Г, целиком лежащей в области D: ; 3) Если ряд (3) сходится в области D равномерно к функции S(z), а функция g(z) ограниченна в D, то ряд равномерно сходится в области D к функции g(z)∙S(z); 4) (теорема Вейерштрасса о сумме равномерно сходящегося ряда из аналитических функций) Пусть ряд равномерно сходится в области D к функции S(z) и все функции аналитические в области D, тогда сумма ряда S(z) является аналитической в области D и для любого натурального k ряд будет сходиться к (z). (равномерно сходящийся ряд из аналитических функций можно почленно дифференцировать любое число раз в каждой точке. 2. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Опр.1 Степенным рядом называется ряд вида , (4) где z0, c0, c1, c2,…, , … комплексные числа, z0 – центр степенного ряда, а числа c0, c1, c2,…, ,… – коэффициенты степенного ряда, z – комплексная переменная. Теорема1. (Теорема Абеля) Если степенной ряд (4) сходится в точке z1, z1 z0, то он сходится абсолютно при любом z, удовлетворяющем неравенству ; а если ряд (4) расходится в точке z2 , то он расходится при любом : . Всякая точка сходимости степенного ряда (4) находится к центру z0 ближе, чем точка расходимости. Опр.2 Радиусом сходимости степенного ряда (4) называется число R такое, что при ряд (4) сходится, а при ряд (4) расходится. Множеством сходимости степенного ряда (4) всегда является внутренность круга с центром в точке с возможным добавлением некоторых или всех точек на его границе. Этот круг может заполнить всю плоскость или вырождаться в точку . Радиус сходимости степенного ряда (4) вычисляется по формуле . Если то степенной ряд сходится на всей комплексной плоскости, а если , то степенной ряд сходится в своем центре - точке z0 . Можно не запоминать эти формулы, а применять признак Даламбера или радикальный признак Коши к ряду из модулей непосредственно. Основные свойства степенных рядов 1) Ряд (4) сходится абсолютно и равномерно в любом круге , лежащем внутри круга сходимости. 2) Сумма S(z) ряда (4) внутри круга сходимости является аналитической функцией. 3) Степенной ряд (4) можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри круга сходимости любое число раз, при этом радиус сходимости и круг сходимости не меняется. Однако сходимость (или расходимость) в граничных точках круга при этих операциях может не сохраняться. Теорема 2. (теорема единственности разложения функции в степенной ряд) Пусть в некотором круге U= функция разлагается в степенной ряд тогда является аналитической в U функцией, а коэффициенты c0, c1, c2, …разложения однозначно определяются по формулам: ; ;… ; n=0,1,2,… (5) Формулы (5) называются формулами Тейлора, а степенной ряд (6) называется рядом Тейлора функции . Теорема 3. (о существовании разложения аналитической функции в степенной ряд) Пусть функция аналитическая в области D, , тогда в любом круге U=, принадлежащем области D, функцию можно представить в виде суммы сходящегося степенного ряда Тейлора (6). Замечание. Радиус сходимости ряда Тейлора (6) равен расстоянию от центра z0 до ближайшей к нему особой точки функции (особыми называются точки, в которых не является аналитической). Согласно теоремам 2 и 3 функция является аналитической в области D тогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки D её можно представить в виде суммы степенного ряда, т.е. функцию можно разложить в ряд по степеням . Пример 1. Найти разложение в степенной ряд с центром в точке z0 = 0. Решение. Воспользуемся разложением . При , степенной ряд сходится прирадиус сходимости этого ряда . При действительных значениях х функция определена на всей числовой оси, и разложение этой функции в степенной ряд дает интервал сходимости (-1;1), вне этого интервала ряд расходится. Точки расходимости этого ряда x для функции ничем не примечательны. Выход в комплексную плоскость для функции дает особые точки z, и радиус сходимости R=1. Пример 2 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки и найти круг сходимости ряда. Решение. Значение функции в точке , и функция является аналитической в точке разложим ее по степеням : . Полученный ряд сходится при , т.е. при , радиус сходимости этого ряда равен 2 – расстоянию от центра ряда до ближайшей к ней особой точки Итак, , радиус сходимости R=2. Теорема 4. Пусть функция аналитическая в некоторой окрестности U точки z0 , и не равна нулю тождественно в окрестности U, тогда существует окрестность точки z0 , в которой не имеет других нулей, кроме z0. При этом аналитическая функция, отличная от тождественного нуля, может иметь только изолированные нули. Теорема 5. (теорема единственности аналитической функции) Если две аналитические функции в области D и совпадают на некоторой бесконечной последовательности попарно различных точек z1, z2 ,…, zk,…..,сходящихся к точке a D , то = всюду в области D . (Если на дуге или маленьком кружке, то = в области D). Замечание. В отличие от аналитических функций, две бесконечно дифференцируемые функции действительного переменного могут совпадать на части области определения, не совпадая тождественно. Пример. Функции и бесконечно дифференцируемы и совпадают при , но при . Теорема 6. (принцип максимума модуля) Пусть функция аналитическая в ограниченной области D и непрерывна в замкнутой области и не является постоянной. Тогда максимум модуля функции в замкнутой области достигается только на границе области D. 3. Ряды Лорана. Рассмотрим разложения в ряды более широкого класса функций, аналитических не во всем круге , а лишь в кольце .Важным будет случай разложения функций в проколотой окрестности точки z0 : . Эти разложения позволяют изучать функции в окрестности особых точек z0 , где функции теряют аналитичность. Степенных рядов для характеристики таких функций будет недостаточно. Разложение будем искать в виде Под сходимостью ряда (7) понимается сходимость обоих рядов в правой части формулы (7). Теорема 7. (теорема Лорана о существовании разложения функции, аналитической в кольце, в ряд). Пусть функция аналитическая в кольце . Тогда в этом кольце её можно представить в виде суммы сходящегося ряда (7), коэффициенты которого определяются по формулам (8) n=0, , , ,… Опр.1. Ряд (7) по целым степеням (как положительным, так и отрицательным), коэффициенты которого определяются по формулам (8), называется рядом Лорана функции Опр.2. Ряд в формуле (7) называется правильной частью ряда Лорана, а ряд = - главной частью ряда Лорана. Теорема 8. (теорема единственности разложения функции в ряд Лорана) Пусть в кольце функция разлагается в ряд , тогда является аналитической в V функцией, а коэффициенты Cn , n разложения определяются однозначно по формулам . Свойства рядов Лорана 1) Множеством сходимости ряда является кольцо с возможным добавлением некоторых или всех точек на его границе. При этом возможны случаи и 2) Сумма S(z) ряда является аналитической функцией внутри кольца V. 3) Ряд можно почленно интегрировать и почленно дифференцировать внутри кольца V любое число раз. Полученные ряды имеют то же кольцо сходимости V, что и исходный ряд ; сходимость в граничных точках может не сохраняться. 4) Если является кольцом сходимости ряда Лорана функции и , то и на внутренней и на внешней границах кольца V лежат особые точки функции . 4. Решение задач. Задача 1. Исследовать сходимость степенных рядов: 1) 2) 3) 4). Решение. 1) применим признак Даламбера к ряду из модулей : . Ответ: ряд сходится только в точке 2) применим признак Даламбера к ряду из модулей при любом конечном z . Ответ: ряд сходится в любой точке комплексной плоскости. 3) , применим признак Даламбера к ряду из модулей . При ряд сходится абсолютно, при ряд расходится. При ряд сходится. Ответ: множество сходимости ряда - замкнутый круг с центром в точке радиуса :. 4)ряд сходится при , но в каждой точке окружности ряд будет расходящимся, так как , , и общий член ряда не стремится к нулю, ряд расходится. Ответ: множество сходимости ряда - открытый круг с центром в точке радиуса :. Задача 2. Определить радиус сходимости степенного ряда: , Решение. , . Ответ: . Ответ:. . Применим признак Даламбера к ряду из модулей , откуда следует, что D(z) = 0 при D(z) = при , D(z) = 2 при Ответ: =1, поскольку Ответ: При область сходимости а при область сходимости . Область сходимости исходного ряда радиус сходимости R . Ответ: R . . Ответ: R первый ряд сходится при а второй ряд сходится при Радиус сходимости ряда равен 1. Ответ: Ответ: Задача 3. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки функцию и найти радиус сходимости ряда: Решение. . (при решении примера использовано представление при Ответ: , Следовательно, . Первый ряд сходится при Ответ: Задача 4. Найти все разложения функций в ряд Лорана: ; Решение. 1) Разложим на сумму простейших дробей: В круге , а при Ответ: в кольце 0 , а в кольце 1 2) Разложим на сумму простейших дробей: . В кольце , а в кольце 4 . Ответ: в кольце 0 , а в кольце 4 .3) Разложим на сумму простейших дробей: . Функция аналитическая в точке , и потому разлагается в ряд Тейлора в окрестности этой точки. При a при При a при Учитывая эти разложения, получим при в кольце 1 = , в кольце 2 . Ответ: при в кольце 1 , в кольце 2 . Задача 5. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности точки и указать кольцо сходимости, главную и правильную часть разложения: ; Решение. . Ответ: = , кольцо сходимости , правильная часть состоит из одного слагаемого , а главная часть содержит бесконечное число слагаемых . ; Ответ: , кольцо сходимости , правильная часть состоит из одного слагаемого , а главная часть содержит бесконечное число слагаемых . . Ответ: , кольцо сходимости , правильная часть отсутствует , а главная часть содержит бесконечное число слагаемых Ответ: = кольцо сходимости , главная часть содержит одно слагаемое , а правильная часть содержит бесконечное число слагаемых . Ответ: = кольцо сходимости , главная часть содержит одно слагаемое , а правильная часть содержит бесконечное число слагаемых при Ответ: = кольцо сходимости , главная часть содержит одно слагаемое , а правильная часть содержит бесконечное число слагаемых