Числовые ряды

Ряды. §1. Числовые ряды. 1.1. Понятие ряда. Определение. Числовым рядом называется выражение вида  u n 1 n u1  u2  ...  un  ... (1). Числа u1, u2 ,...un ... называются членами ряда, а un – общим членом ряда. Ряд считается заданным, если известен общий член ряда un. Общий член ряда является функцией от n: un=f(n). Если задано аналитическое выражение этой функции, то придавая n различные натуральные значения, равные 1, 2, 3,…, можно найти любой член ряда (с любым порядковым номером). Замечание. Члены ряда u1, u2 , u3 ,..., un ,... могут быть числами, функциями, матрицами и т.д., а соответствующие ряды называются числовыми, функциональными, матричными и т.д. 1.2. Сходимость и сумма ряда. При изучении рядов решают две основные задачи: исследование на сходимость и нахождение суммы ряда. Определение. Сумма первых n членов ряда u1  u2  u3  ...  un называется частичной суммой и обозначается Sn : Sn  u1  u2  u3  ...  un . Рассмотрим последовательность частичных сумм: S1  u1, S2  u1  u2 , S3  u1  u2  u3 , .......................... , Sn  u1  u2  u3  ...  un , ....................................... . Определение. Суммой ряда (1) называют предел последовательности частичных сумм ряда (1): lim S  S ,если этот предел существует и он конечен. x n Определение. Ряд (1) называется сходящимся, если сходится последовательность его частных сумм. S не Определение. Ряд называется расходящимся, если xlim  n S   . Такой ряд суммы не имеет. существует или xlim  n Определение. Разность между суммой ряда S и его n-й частичной суммой Sn называется остатком ряда и rn  S  Sn  un1  un2  ... rn : обозначается Остаток числового ряда также является числовым рядом. 1.3. Необходимый признак сходимости ряда. Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд (1) u 0. сходится, то предел его общего члена равен нулю: nlim  n S  S , тогда Доказательство: Пусть ряд (1) сходится и xlim  n S  S так как при n →∞ и (n-1) →∞. Рассмотрим и xlim  n 1 lim un  lim( Sn  Sn 1 )  lim Sn  lim Sn 1  S  S  0 . n  n  n  n  Следствие (достаточный признак расходимости): Если lim u  0 или этот предел не существует то ряд (1) n  n расходится. u  0 не следует что ряд Замечание: Из условия nlim  n сходится, т. е. существуют расходящиеся ряды, для которых lim u  0 . n  n 1.4. Свойства сходящихся рядов. 1. а) Если ряд  cu   u n (1)сходится и его сумма равна S, то ряд n 1 n (*) тоже сходится, и его сумма равна сS. (C  0). б) Если ряд   u n (1) расходится то ряд  Cu n (*) тоже n 1 расходится (C  0). 2. Если ряды  un  n 1 и  vn  n 1 сходятся и суммы их соответственно равны S1 и S2 , то ряды   un  vn   n 1 также сходятся и суммы их соответственно равны S1  S2 . Следствие. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов будет расходящимся рядом. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся так и расходящимся рядом. 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно. Следствие: Если ряд(1) сходится, то сходится и любой r  0 , где rn  S  Sn  un1  un 2  ... остаток ряда, т.е. nlim  n 1.5. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Теорема 1 (1-й признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда   un n 1 (1) и   v n (2), если n 1 начиная с некоторого n выполняется неравенство un  vn, то: 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость (1); 2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). Теорема 2 (2- й признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от 0, предел lim u n =A, (01 ряд расходится, при  =1 вопрос о сходимости не решен. Замечание: Этот признак целесообразно использовать, когда общий член содержит факториалы или показательную функцию. Теорема 4. (Радикальный признак Коши) Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел lim n u n =  . n  Тогда при  <1 ряд сходится, при  >1 расходится, при  =1 вопрос о сходимости не решен. Замечание. Данным признаком целесообразно пользоваться в тех случаях, когда общий член ряда имеет n-ю степень. Теорема 5. (Интегральный признак Коши) Если члены знакоположительного ряда  u n 1 n (1) могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке [1; функции f(x), где un=f(n), то если  1 ) f ( x)dx сходится, то сходится и ряд (1);  если 1 f ( x)dx расходится, то расходится и ряд (1). Замечание. Нижний предел несобственного интеграла может меняться, т.е. если все условия, накладываемые на функцию, в теореме выполняются с некоторого x  a , то ряд будет сходиться одновременно с несобственным интегралом  a f ( x)dx , где а – это то число, начиная с которого выполняются все требования, накладываемые на функцию f(x). §2. Знакопеременные ряды. 2.1. Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Определение. Числовой ряд называется знакопеременным, если он содержит как положительные так и отрицательные члены. 1 1 1 1 1 Пример. 1       ... 2 3 4 5 6 Частным случаем знакопеременного знакочередующийся ряд. ряда является Определение. Ряд называется знакочередующимся, если в нем любые два соседних члена имеют противоположные знаки.  Пример.  n 1  1n 1  1  1  1  1  1  1  ... n 2 3 4 5 6 2.2. Признак Лейбница. Теорема (признак Лейбница). Если в знакочередующемся ряде последовательность модулей его членов убывает и предел общего члена равен нулю, то 1) ряд сходится, 2) его сумма имеет знак первого члена 3) модуль суммы ряда не превосходит модуль первого члена ряда. Замечание. Остаток rn   1 un1  un2  ... n удовлетворяющего условиям признака оценивается с помощью неравенства rn  un1 . ряда, Лейбница, 2.3. Абсолютная и условная сходимость. Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если он сам сходится и сходится ряд, составленный из его модулей. Определение. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из его модулей, расходится, то он называется условно сходящимся. Теорема (достаточный признак абсолютной сходимости). Если ряд, составленный из модулей знакопеременного ряда, сходится, то сходится и сам знакопеременный ряд и притом абсолютно. 2.4. Свойства абсолютно сходящихся рядов. Теорема 1 (теорема Дирихле). Если ряд абсолютно сходится, то и ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также сходится и имеет такую же сумму как исходный ряд. Замечание. В произвольном ряде производить перестановку членов нельзя, а именно, в условно сходящихся рядах можно так переставить члены, что вновь полученный ряд будет иметь любую наперед заданную сумму, либо вообще расходится. Теорема 2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S1 и S2 можно почленно складывать (вычитать). В результате получится абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна S1  S2 (или соответственно S1  S2 ). Теорема 3. (теорема Коши). Если оба ряда   un и n 1  vn  n 1 сходятся абсолютно и имеют суммы S1 и S2, соответственно, то ряд, составленный из их произведений будет сходиться и сумма его равна S1  S2 .   n 1 n 1  un   vn , также Замечание. Под произведением двух рядов   un и n 1 понимают ряд вида:   n1 n1  un   vn  u1v1   u1v2  u2v1   u1v3  u2v2  u3v1   ... ...   u1vn  u2vn1  ...unv1   ...  vn  n 1 2.5. Схема исследования рядов на абсолютную и условную сходимость.  un  n 1 составим ряд из модулей  u  n 1 n и применим к нему один из достаточных признаков ряд ряд   n 1 un сходится ряд  u  n 1 n расходится     un сходится  un un  n 1 знакопер. знакочеред. n 1 n 1 абсолютно расходится применим признак Лейбница к ряду не выполняется   un n 1 расходится  un  n 1 выполняется  un сходится  n 1 условно §3. Функциональные ряды. 3.1. Функциональный ряд и область его сходимости. Определение. Ряд, составленный из функций, определенных на некотором множестве Х, называется функциональным рядом:  un ( x) u1( x)  u2 ( x)  u3 ( x)  ...  un ( x)  ... (1)  n1 Придавая аргументу х определенное значение x0 , получим числовой ряд, который может сходиться, а может и расходиться:  un ( x ) u1( x )  u2 ( x )  u3 ( x )  ...  un ( x )  ...  n 1 (2) Определение. Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x0  X , если соответствующий ему числовой ряд (2) сходится, при этом саму точку x0 называют точкой сходимости функционального ряда. Определение. Множество точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости функционального ряда. Определение. Суммой функционального ряда S  x , называется функция S  x   nlim  n  un  x   n 1 где Sn  x   u1  x   u2  x   ...  un  x  – n-я частичная сумма данного ряда, она определена для тех значений х, для которых определены функции un  x   n  1;2;... и для которых предел существует. Если S(x) – частичная сумма ряда, а rn ( x) - остаток ряда, то имеет место равенство: S ( x)  Sn ( x)  rn ( x), где rn ( x)  un1  un2  un3  ... . Если ряд сходится, то В этом случае lim Sn ( x)  S ( x) . n lim r ( x) n n  S ( x)  Sn ( x)  0, т.е. остаток сходящегося функционального ряда стремится к нулю. Для того чтобы найти область сходимости функционального ряда, нужно составить ряд из его модулей и применить к нему признак Даламбера или радикальный признак сходимости Коши. Вычисляемый предел будет зависеть от x, и для сходимости ряда нужно, чтобы он был меньше 1. un1( x) n u lim  1 или nlim n1 ( x)  1 . n u ( x)  n Решая соответствующее из неравенств, нужно найти множество значений x, при которых оно выполняется (т.е. является его решением). Во внутренних точках полученного интервала ряд сходится абсолютно, а граничные точки интервала нужно исследовать дополнительно. 3.2. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Определение. Функциональный ряд (1) называется равномерно сходящимся в некоторой области Х, если для любого сколь угодно малого   0 можно найти такой номер N (не зависящий от х), что для всех n>N будет выполняться неравенство S  x   Sn  x    для Vx  X . Определение. Функциональный ряд (1) называется мажорируемым, если существует такой сходящийся числовой ряд  an  n 1 с положительными членами, что для Vx  X выполняются соотношения u1  x   a1, u2  x   a2 ,... un  x   an,... , т.е. ряд будет мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами. Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (1) в некоторой области Х удовлетворяют неравенствам un  x   an , где an – члены некоторого сходящегося числового положительного ряда  an , то функциональный ряд сходится равномерно.  n 1 Замечание. Признак Вейерштрасса является достаточным, но не необходимым условием для равномерной сходимости, т.е., если признак Вейерштрасса не выполнен, это еще не означает, что равномерной сходимости у ряда нет. 3.3. Свойства равномерно сходящихся рядов. Теорема. Сумма равномерно сходящегося на множестве D функционального ряда (1), состоящего из непрерывных на множестве D функций, есть функция непрерывная на множестве D. Теорема. Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на множестве D, составлен из непрерывных на множестве D функций, то ряд (1) можно почленно интегрировать как как конечную сумму на любом отрезке] [a;b]  D: b  b b b b a n1 a a a a   un ( x)dx   u1( x)dx   u2 ( x)dx   u3 ( x)dx  ...   un ( x)dx  ... Теорема. Если функциональный ряд (1) сходится на множестве D, составлен из непрерывно – дифференцируемых на множестве D функций и ряд, полученный почленным дифференцированием членов данного ряда, сходится равномерно на множестве D, то ряд (1) можно почленно дифференцировать как конечную    сумму:   un ( x)   u1 ( x)  u2 ( x)  u3 ( x)  ...  un ( x)  ... .  n1  §4. Степенные ряды. 4.1. Понятие степенного ряда. Теорема Абеля. Определение. Степенным рядом называется ряд вида:  an ( x  x0 )n a0  a1( x  x0 )  a2 ( x  x0 )2  ...  an ( x  x0 )n  ... (1)  n1 где a0 , a1,..., an ... - коэффициенты степенного ряда, x0 - константа. Если x0  0 , то ряд примет вид:  an xn  a0  a1x  a2 x 2  ...  an x n  ...  n1 (2) Замечание. Ряд (1) представляет собой разложение по степеням ( x  x0 ) , а ряд (2) представляет собой разложение по степеням x . Теорема. (Теорема Абеля). Если степенной ряд (2) сходится при некотором значении x  x0  0 , то он сходится абсолютно при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x  x0 . Следствие. Если степенной ряд (2) расходится при x  x1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x  x1 . 4.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Из теоремы Абеля следует, что если x0 - точка сходимости, то во всех точках интервала  x ; x0  ряд сходится абсолютно, вне этого интервала ряд расходится.   Пусть x0  R , тогда  x0 ; x0    R; R  . Определение. Число R называют радиусом сходимости степенного ряда. Интервал (-R; R) называют интервалом сходимости степенного ряда. Замечание. 1)Если степенной ряд сходится только в т. x=0, то R=0. Если же ряд (2) сходится при любом значении x, то R . 2) На концах интервала сходимости, т.е. при х = R и х = -R сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости ряда (2) нужно: 1) составить ряд из модулей: a0  a1x  a2 x 2  a3 x3  ...  an x n  ... (3) 2)применить к нему признак Даламбера или радиальный признак Коши. un1 an1 x n1 an1  lim  x lim По признаку Даламбера nlim . n  u n a x n a n n n Для сходимости ряда (3) нужно, чтобы вычисляемый предел был <1. Имеем неравенство: an1 an 1 x nlim  1  x   x  lim  R.  a n a an1 n n1 lim n a n Т.о. по Даламберу имеет вид: R  nlim  an . an1 Формула радиуса сходимости по Коши имеет вид: 1 . R na lim n n Внутри интервала (-R; R) по теореме Абеля ряд сходится абсолютно, а точки x=R и x = -R исследуются дополнительно. Замечание. Если степенной ряд имеет вид  an ( x  x0 )n , то  n 1 для нахождения его области сходимости нужно ввести  an y n . Далее нужно  n 1 замену x  x0  y . Получится ряд: найти радиус сходимости для этого ряда по одной из приведенных формул и исследовать граничные точки, а затем перейти к переменной x:  R  y  R   R  x  x0  R   R  x0  x  R  x0 . 4.3. Свойства степенных рядов. Теорема 1. Сумма степенного ряда (2) является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R; R). Теорема 2. Степенные ряды   n 1 n 1  an xn ,  bn xn , имеющие радиусы сходимости соответственно R1 и R2 можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости суммы, разности и произведения рядов не меньше, чем меньшее из чисел R1 и R2 . Теорема 3. Степенной ряд (2) внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать:  S '  x   a0  a1x  a2 x 2  a3 x3   an x n     a1  2a2 x  3a3 x 2   n  an x n1  где S  x  - сумма ряда (2).  , Теорема 4. Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри его интервала сходимости. Если x1 и x2  ( R; R) , то x2  (a0  a1x  ...  an x x 1 n x2 x2 x2 x1 x1 x1  ...)dx   a0dx   a1xdx  ...   an x n dx  ...  x2   S  x  dx , где S  x  - сумма ряда. Значения x1 и x2 могут x1 совпадать с концом интервала сходимости, если на этом конце ряд сходится. Теорема 5. Пусть степенной ряд (2) имеет интервал сходимости (-R; R). Тогда ряды, полученные из данного ряда его почленным дифференцированием и интегрированием, имеют тот же интервал сходимости, что и данный ряд. 4.4. Ряд Тейлора. Разложение функций в степенные ряды. Для любой функции f(x), определенной в окрестности точки x0 и имеющей в ней производные до n+1-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора: 2 3 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x)  f ( x0 )  x  x0   x  x0   x  x0      1! 2! 3! (n) n f ( x0 ) ...  x  x0   Rn ( x),  n! f   c n 1 x  x0  , c   x0 ; x  - остаточный член в где Rn ( x)    n  1! n 1 форме Лагранжа. Если функция f(x) имеет непрерывные производные R ( x)  0 , то любого порядка в окрестности точки x0 и nlim  n она может быть разложена по степеням Тейлора:  x  x0  в ряд 2 3 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) x  x0   x  x0   x  x0      1! 2! 3! (n) ( n )  n n f ( x0 ) f ( x0 ) ...  x  x0   ...   x  x0  .   n! n! n 0 f ( x)  f ( x0 )  Коэффициенты f ( х0 ), f ( х0 ), f ( х0 ),..., f  n ( х0 ),... называются коэффициентами Тейлора. Если в ряде Тейлора x0  0 , то получим разложение функции по степеням x в ряд Маклорена: f ( x)  f (0)    n 0 f (0) f (0) 2 f (0) 3 f ( n ) (0) n x x  x  ...  x  ...  1! 2! 3! n! f ( n ) (0) n x . n! Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ряд Тейлора. Теорема 1. Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x) сходился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к R ( x)  0 . нулю при n   , т.е. чтобы nlim  n Замечание. Необходимые и достаточные условия разложения функций в ряд Маклорена, аналогичны условиям разложения в ряд Тейлора, только все они рассматриваются в окрестности нуля. На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора. Теорема 2. Если модули всех производных функции f(x) ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение (2). Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена. При разложении более сложных функций в степенной ряд (ряд Маклорена) используются разложения простейших элементарных функций. Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно: n 1. найти производные f ( x), f ( x), f ( x),..., f   ( x),... ; 2. вычислить значения производных в точке x0  0 ; 3. записать ряд Маклорена для заданной функции и найти его интервал сходимости; 4. найти интервал (-R;R), в котором остаточный член Маклорена Rn ( x)  0 при n   . Если такой интервал существует, то в нем функция f(х) и сумма ряда Маклорена совпадают. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена. x x 2 x3 xn 1) e x  1     ...   ... , x   ;   ; 1! 2! 3! n! x x3 x5 x 7 (1)n x 2n1  ... , x   ;   ; 2) sin x      ...  1! 3! 5! 7! (2n 1)! 3) cos x  1  x 2 x 4 x6 x 2n    ...  (1)n  ... , x   ;   ; 2! 4! 6!  2n ! n x n1 x x 2 x3 x 4  ... x   1;1 ; 4) ln(1  x)      ...   1 1 2 3 4 n 1 5) m m(m 1) 2 m(m 1)(m  2) 3 m(m 1)...(m  n 1) n (1  x)m  1 x  x  x  ...  x  ... 1! 2! 3! n!  1;1 ,   0,  x   1;1 , 1    0, ;   1;1 ,   1, 6) 1  1  x  x 2  x3  ...  x n  ... , x   1;1 ; 1 x 7) arctgx  x  x3 x5 x 7 x2n1    ...  (1)n  ... , x   1;1 ; 3 5 7 2n  1 1 3  5  ...   2n  1 x 2n1 1 x 3 1 3 x 5   ...    ... 8) arcsin x  x    2 3 24 5 2  4  6  ...   2n  2n  1 x   1;1 . Разложение в степенной ряд функции f(x)=ex. 1. f ( x)  e x ; f ( x)  e x ;..., f  n  x   e x ;.... . 2. f  0   e0  1 , f (0)  e0  1; f (0)  e0  1;..., f  n  0   e0  1,... x x 2 x3 xn 3. e  1     ...   ... . 1! 2! 3! n! an  n  1!  lim n  1   R  nlim  lim , т.е. ряд сходится    a n n n! n 1 x в интервале  ;   . 4. для всех x    R; R  имеем f n  x   e x  eR  M , т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и тем же R ( x)  0 . числом e R  M . Значит по теореме 2 nlim  n Разложение в степенной ряд f(x)=sin x.   2 2 1. f ( x)  cos x  sin( x  ); f ( x)   sin( x)  sin( x  2  ); 4   f ( x)   cos x  sin( x  3  ); f    x   sin x  sin( x  4  );.... 2 2 0, n  0,2,4,6,8... n n  2. f    0   sin  1, n  3,7,11,... 2 1, n  1,5,9  4 5 f (0)  0; f (0)  1; f (0)  0; f (0)  1; f    0   0; f    0   1,.... x x3 x5 x 7 (1)n x 2n1  ... , 3. sin x      ...  1! 3! 5! 7! (2n 1)! R  nlim  an an1 (1)n (2n  1)!  nlim  lim (2n  2)(2n  3)   ,т.е.  (1) n 1 n (2n  3)! ряд сходится в интервале  ;   .   n f    x   sin  x  n    1 , 2  т.е. все производные по абсолютной величине ограничены 1, так как представляют собой функции sin x. Значит по R ( x)  0 . теореме 2 nlim  n 4. для всех x    R; R  имеем Разложение в степенной ряд функции f(x)=cos x. 1. f '  x    sin x; f ''  x    cos x; f '''  x   sin x;.... 2. f  0   cos0  1; f '  0    sin 0  0; f ''  0   1; f '''  0   0,.... Все нечетные производные в точке x  0 равны 0. Четные равны +1 или (-1). 3. cos x  1  R  nlim  an an1 x 2 x 4 x6 x 2n    ...  (1)n  ... , 2! 4! 6!  2n ! (1)n  2n !  lim (2n 1)(2n  2)   т.е.  nlim  (1) n 1 n (2n  2)! ряд сходится в интервале  ;   . 4. Разложение тождественно на всей числовой оси  ;   , так как все производные ограничены 1. Разложение в степенной ряд f(x)=ln(1+x). 1 2 1  x  1 1 1 2 1. f ( x)  ; f ( x)   ; f '''  x    ; 2 4 3 1 x (1  x) 1  x  1  x  1 2  3 1  x  1 2  3 4 f    x   ;.... 6 4 2 1  x  1  x  4 2. f (0)  ln1  0; f (0)  1; f (0)  1; f '''  0   1 2; f    0   1 2  3,... . n x n1 x x 2 x3 x 4  ... , 3. ln(1  x)      ...   1 1 2 3 4 n 1 (1)n an n  1  lim n  2  1 , R  nlim  nlim  a  (1) n 1 n n  1 n 1 n2  (1)n  (1)n1  (1)2n1  При x  1 получим ряд  . n 1 n 0 n 0 n  1 Это знакочередующийся ряд, в котором члены убывают по 1 1 абсолютной величине 1      ... и предел n-го 2 3 1 члена равен нулю nlim  0 , т.е. по признаку Лейбница  n  1 ряд сходится.  (1)n  (1)n1  (1)n При x  1 получим ряд  - это  n 1 n 0 n 0 n  1 гармонический ряд, который всегда расходится. Разложение тождественно в промежутке (-1; 1]. Разложение в степенной ряд f(x)=(1+x)m. 1. f ( x)  m(1  x)m1; f ( x)  m(m 1)(1  x)m2 ;... . 2. f (0)  1; f (0)  m; f (0)  m(m  1);... m  x m(m 1) x 2 m(m 1)(m  2) x3 3.(1  x)m  1     ... 1! 2! 3! m(m 1)...(m  n  1) x n ...   ... n! Это разложение называется биномиальным рядом. Оно тождественно в промежутке (-1; 1), а граничные точки включаются или нет в зависимости от значения m. Если m>0,то область сходимости [-1;1]; Если -1 0, если при каждом x  D значение  x  T   D и выполняется равенство: f  x  T   f  x  . Для построения графика периодической функции периода Т достаточно построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить на всю область определения. Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, которое описывается формулой: y  A  sin t  0  , t  0 , (1) где А – амплитуда колебания,  - частота,  0 - начальная фаза. Функцию такого вида и ее график называют простой гармоникой. Основным периодом функции (1) является 2 . T  Проведем преобразование функции (1): y  A  sin t  0   A sin t cos0  A cos t sin 0   a cos t  b sin t , где а  A sin 0 , b  A cos0 . Т.о. простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями sin t , cos t . Сложное гармоническое колебание, которое возникает в результате наложения конечного или бесконечного числа простых гармоник, также описывается функциями вида sin t , cos t . 5.2. Тригонометрический ряд Фурье. Определение. Тригонометрическим рядом или рядом Фурье называется функциональный ряд вида (2): a0  a1 cos x  b1 sin x  a2 cos 2 x  b2 sin 2 x  a3 cos3x  b3 sin 3x  ...  2  a  0   an cos nx  bn sin nx, 2 n1 где действительные числа a0 , an , bn - коэффициенты ряда. С помощью тригонометрического ряда любую периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники. 5.3. Разложение в ряд Фурье периодических функций с периодом 2 . Теорема Дирихле (достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье). Пусть периодическая функция f ( x) с периодом 2 на отрезке   ;  удовлетворяет условиям: 1) f ( x) кусочно - непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода; 2) f ( x) кусочно - монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна. Тогда соответствующий функции f ( x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом: 1) S ( x)  f ( x) для x    ;   , где f ( x) - непрерывна; f ( x0  0)  f ( x0  0) 2) S ( x)  для x    ;   , где x - точка 2 разрыва 1 рода; 3) S ( )  S ( )  f (  0)  f (  0) 2   ;  . на концах интервала f ( x) удовлетворяет условиям Т.о. если функция теоремы Дирихле, то на отрезке   ;  имеет место разложение f ( x)  a0   an cos nx  bn sin nx 2  n1 коэффициенты вычисляются по формулам:  1 a0   f ( x)dx ;   an  1     f ( x)cos nxdx ; (3), где bn  1 a0  1  f ( x)sin nxdx .   Замечание. Если функция f ( x) с периодом 2 на отрезке  0;2  удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то для нее имеет место разложение (3), где коэффициенты вычисляются по формулам: an  bn   1  1  2 0 f ( x)dx ; 0 f ( x)cos nxdx ; 0 f ( x)sin nxdx . 2 2 5.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций. Если функция f ( x) четная, то ее ряд Фурье имеет вид: a0  f ( x)    an cos nx (4), где 2 n1 a0  2 2    0 f ( x)dx ; f ( x)cos nxdx .  0 Если функция f ( x) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид: an   f ( x)   bn sin nx (5), где n1 bn  2   0 f ( x)sin nxdx . Определение. Ряды (4) и (5) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно. 5.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода. Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом, отличным от 2 . Пусть функция f ( x) , определенная на отрезке  l; l  , имеет период 2l ( l  0 ) и удовлетворяет на этом отрезке 1 условиям теоремы Дирихле. Введем замену x   t и  1  преобразуем функцию f ( x) в функцию   t   f   t  ,   которая определена на отрезке   ;  и имеет период 2 . Эту функцию можно разлагать в ряд Фурье на отрезке  a   ;  :   t   0    an  cos nt  bn  sin nt  , 2 n1  1 где a0     t  dt ,   an  1    1    t  cos ntdt ,  t  sin ntdt .     1 Так как x   t , то t  x , dt  dx .Возвращаясь к l l   a n x n x  bn sin переменной x получим: f  x   0   an cos , 2 n1 l l bn  где bn  a0  l 1 f  x  dx , l l an  1 n x f x cos dx ,   l l l l 1 n x f x sin dx .   l l l l Замечание. Если функция f ( x) в промежутке  l; l  является нечетной, то коэффициенты Фурье вычисляются по формулам: l 2 n x a0  0, an  0 , bn   f  x  sin dx . l0 l Для четной функции: bn  0 , a0  2 2 n x f  x  dx , an   f  x  cos dx .  l0 l0 l l l 5.6. Представление непериодических функций рядом Фурье. Пусть f  x  - непериодическая функция, заданная на всей числовой оси. Непериодическая функция f  x  может быть представлена в виде ряда Фурье на любом конечном промежутке  a; b  , на котором она удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Для этого помещают начало координат в середину отрезка  a; b  и строят функцию f1  x  периода T  2l  b  a , такую, что f1  x   f  x  при l  x  l . Далее разлагают функцию f1  x  в ряд Фурье. Сума этого ряда во всех точках отрезка  a; b  (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функцией f  x  . Вне этого промежутка сумма ряда и функция f  x  являются различными функциями. Часто функция f  x  задается в промежутке 0;l  и нужно разложить ее в ряд Фурье. Если она в этом промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, то можно продолжить ее четным или нечетным образом. Затем продолжить ее на всю числовую ось периодически с периодом 2l . Если в промежутке  l;0 выполняется условие f x  f  x , то получим четное продолжение в соседний промежуток и разложение будет содержать только косинусы и свободный член. График этой функции будет симметричен относительно оси ординат. y -l l x При четном продолжении, ряд будет иметь вид:  a  nx . f  x   0   an cos 2 n1 l Коэффициент ряда определяется по формуле: l 2  nx an   f  x  cos dx . l0 l Если функция продолжается нечетным образом, т.е. в промежутке  l;0 выполняется равенство: f   x    f  x  , то график функции будет симметричен относительно начала координат, а разложение будет содержать только синусы. x -l l y В этом случае ряд будет иметь вид:  n x . f  x    bn sin l n1 Коэффициенты bn вычисляются по формуле: 2  nx , bn   f  x  sin dx l0 l l Замечание. Если функция f  x  , заданная на отрезке 0;l  , на концах этого отрезка равна нулю, то лучше ее разложить в ряд синусов, чем в ряд косинусов.