Числовые множества

ЛЕКЦИЯ Тема: Числовые множества Количество часов: 1 Цель: Формирование знаний о числовых множествах и операциях над ними План: 1. Свойства операций над множествами 2. Числовые множества Текст лекции 1. Свойства операций над множествами Для любых подмножеств , и универсального подмножества справедливы следующие тождества: 1. ; 1´. (ассоциативные законы); 2. ; 2´. (коммутативные законы); 3. ; 3´. (дистрибутивные законы); 4. ; 4´. ; 5. ; 5´. . Данные свойства являются фундаментальными. Дополнительные свойства операций над множествами. Для любых подмножеств и универсального подмножества справедливы следующие тождества: 1. Если для всех имеет место , то . 2. Если для всех имеет место , то . 3. Если и , то 2. Числовые множества Известные нам числа 1, 2, 3... называются натуральными. Их используют для счета или обозначения количества однородных по некоторому признаку предметов, например: один юрист, два юриста, три юриста и т.д. Кроме того, с помощью натуральных чисел обозначают порядок предметов. Например, если всех студентов в группе выстроить по росту, то каждому из них можно присвоить номер: первый студент, второй студент и т.д. Поэтому различают количественные числа – один, два, три, четыре..., и порядковые числа — первый, второй, третий... Чтобы записывать натуральные числа, большие десяти, мы пользуемся так называемой десятичной позиционной системой. Слово «позиционная» означает, что значение цифры зависит от ее места: Пример 2.1. В пятеричной системе используются 5 цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Вот как запишется в этой системе счисления число : Пример 2.2. В двоичной системе существует две цифры: 0, 1. Таким образом, можно в принципе использовать различные позиционные системы счисления: двоичную, троичную, четверичную и т. п. Существуют и непозиционные системы счисления, например, римская. В этой системе цифры I, V, X, L, C, D, M всегда обозначают 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно, вне зависимости от позиции цифры в записи числа. Не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. Если за цифрой с меньшим значением следует цифра с большим значением, то ее вклад является отрицательным. Основной недостаток такой системы счисления – неудобно их складывать. Другие непозиционной системы счисления – аттическая система счисления (применялась в древней Греции до III века до н.э.), греческая система счисления, также известная как ионийская или новогреческая (система счисления, в которой, в качестве символов для счёта, употребляют греческие буквы, а также дополнительные символы, такие как ς (стигма), Ϙ (копа) и Ϡ (сампи)). Все натуральные числа, за исключением единицы, подразделяются на простые и составные. Определение 2.1. Натуральное число называется составным, если оно представляет собой произведение двух натуральных чисел, не равных единице. Пример 2.3. , . Определение 2.2. Если натуральное число нельзя представить в виде такого произведения, то оно называется простым. Пример 2.4. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и т.д. Простые числа играют в математике особую роль. В их жизни много загадочного, и математики, стремясь разгадать эти тайны, открыли (и продолжают открывать до сих пор!) интереснейшие свойства простых чисел, придумали оригинальные математические методы исследования, которые применяются не только в теории чисел, но и в других разделах математики. Широко используется, к примеру, криптография, позволяющая, обмениваться зашифрованными сообщениями с помощью общедоступной сети Интернет, основываясь на свойствах простых чисел. При умножении или сложении двух натуральных чисел получится обязательно натуральное число. Однако при вычитании натуральных чисел может получиться отрицательное число. Пример 2.5. 2 – 4 = -2 Определение 2.3. Натуральные числа, целые отрицательные числа и число нуль называются в совокупности целыми числами. Множество всех натуральных чисел обозначается символом , множество всех целых чисел – символом . Однако в случае операции деления возникает потребность расширения целых чисел. Например, пять милиционеров нельзя разделить на три равные части – такого количества милиционеров 5/3 не существует. Аналогичный смысл имеет обозначение , где и – любые натуральные или даже целые числа (b  0). Числа вида называются обыкновенными дробями или рациональными числами. Множество всех рациональных чисел обозначается символом . Множество рациональных чисел замкнуто относительно операция сложения, умножения, вычитания и деления. Дроби, у которых знаменатель представляет собой степень десятки, т.е. 10, 102 = 100, 103 = 1000 и т.д., называются десятичными дробями. Записываются они особым образом: Попытка записать любую обыкновенную дробь в виде десятичной дроби приводит иногда к бесконечной десятичной дроби. Например: Как видно, получающаяся бесконечная последовательность цифр содержит так называемый период – один и тот же повторяющийся набор цифр. Поэтому полученные десятичные дроби называют бесконечными периодическими десятичными дробями. Можно доказать, что любая обыкновенная дробь записывается в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Обратное также верно: любая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет собой десятичную запись некоторой обыкновенной дроби. Как найти последнюю, поясним на примере. Пример 2.6. Превратим в обыкновенные дроби числа = 0,777... и = 0,999... Умножив на 10, получаем: 1) 10 = 7,777... = 7 + , откуда 9 = 7 и = . 2) 10 = 9,999...10 = 9 + , откуда 9 = 9 и = 1. Заметим, что 1 можно записать в виде бесконечной десятичной дроби с периодом 0: 1,000...; аналогично, 0,24 = 0,24000..., 3,5 = 3,5000... и т.п. Определение 2.4. Числа, которые можно представить в виде бесконечной периодической десятичной дроби, называются рациональными. Число не является рациональным, т. е. представляющая его бесконечная десятичная дробь не будет периодической. Определение 2.5. Числа называются иррациональным, если их можно представить в виде бесконечной непериодической десятичной дроби . Определение 2.6. Множество всех рациональных и иррациональных чисел называется вещественными или действительными числами. Контрольные вопросы: 1. Что называют числовым множеством? 2. Приведите пример числового множества. 3. Числа какого вида называются обыкновенными дробями? Список литературы, содержащий информацию по данной теме: 1. Башмаков М.И. Математика: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 7-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2020. – 256 с. 2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни – М.: Просвещение, 2014. – 431 с.: ил.