Числовые характеристики выборки

Лекция 7 Числовые характеристики выборки 1.6.1. Выборочное среднее. Выборочная дисперсия. Выборочное среднее квадратическое отклонение В теории вероятностей определили числовые характеристики для случайных величин, с помощью которых можно сравнивать однотипные случайные величины. Аналогично можно определить ряд числовых характеристик и для выборки. Поскольку эти характеристики вычисляются по статистическим данным (по данным, полученным в результате наблюдений), их называют статистическими характеристиками. Пусть дано статистическое распределение выборки объема : где - число вариантов. Определение. Выборочным средним называется среднее арифметическое всех значений выборки: . Выборочное среднее можно записать и так: , где - частость. В случае интервального статистического ряда в качестве берут середины интервалов, а - соответствующие им частоты. Определение. Выборочной дисперсией называется среднее арифметическое квадратов отклонений значений выборки от выборочного среднего : или . Выборочное среднее квадратическое выборки определяется формулой: . Особенность состоит в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и данные выборки. Если объем выборки мал (), то пользуются исправленной выборочной дисперсией: . Величина называется исправленным средним квадратическим отклонением. 1.6.2. Выборочные начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс. Приведем краткий обзор характеристик, которые наряду с уже рассмотренными применяются для анализа статистических рядов и являются аналогами соответствующих числовых характеристик случайной величины. Среднее выборочное и выборочная дисперсия являются частным случаем более общего понятия – момента статистического ряда. Определение. Начальным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней всех значений выборки: или . Из определения следует, что начальный выборочный момент первого порядка: . Определение. Центральным выборочным моментом порядка называется среднее арифметическое - х степеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего : или . Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка : . Определение. Выборочным коэффициентом асимметрии называется число , определяемое формулой: . Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая. Если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева; если - справа. В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором - правосторонней. Определение. Выборочным коэффициентом эксцесса или коэффициентом крутости называется число , определяемое формулой : . Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Коэффициент эксцесса для случайной величины, распределенной по нормальному закону, равен нулю. Поэтому за стандартное значение выборочного коэффициента эксцесса принимают . Если , то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой; если , то полигон более крутой по сравнению с нормальной кривой. 1.7. Вычисление числовых характеристик выборки Таблица 6 - середины интервалов; - частоты; - объем выборки; с помощью суммы находим ; с помощью суммы находим и ; с помощью суммы находим ; с помощью суммы находим . 1.7.1. Упрощенный способ вычисления статистических характеристик вариационных рядов При больших значениях вариантов и соответствующих им частот вычисление выборочного среднего, дисперсии и выборочных моментов по приведенным ниже формулам приводит к громоздким вычислениям. В этом случае используют условные варианты , определяемые по формулам: , где числа и выбираются произвольно. Чтобы упростить вычисления в качестве выбирают вариант, который имеет наибольшую частоту или находится в середине ряда. Число называется «ложным нулем». В качестве выбирают число равное длине интервала ( в случае интервального ряда) или наибольший общий делитель разностей . Для вычисления числовых характеристик выборки составляем табл. 7. Таблица 7. Контроль: С помощью сумм, полученных в нижней строке таблицы, находим условные моменты: , , , . Числовые характеристики выборки вычисляем по формулам: ; ; ; ; , где и находим по формулам: , .