Числовой ряд. Сходимость числового ряда

11. Ряды 11.1. Числовой ряд. Сходимость числового ряда Пусть задана числовая последовательность {an }∞n =1 . Построим новую последовательность чисел {S n }∞ n =1 по следующему правилу: S1 = a1 ; S 2 = a1 + a2 ; S3 = a1 + a2 + a3 ; …; S n = a1 + a2 + a3 + ... + an . Пара последовательностей: заданная {an }∞n =1 называется числовым рядом и обозначается: и построенная {Sn }∞n =1 , ∞ ∑ an . n =1 При этом члены последовательности {an }∞ n =1 : a1, a2 , ..., an называются членами ряда. {Sn }∞n =1 Последовательность называется последовательностью частичных сумм ряда, а ее члены: S1, S 2 , ..., S n – частичными суммами. Числовой ряд ∞ ∑ an называется сходящимся, если сходится n =1 последовательность его частичных сумм, то есть существует конечный предел lim S n = S . В противном случае ряд называется расходящимся. n →∞ Конечное число S называется суммой сходящегося ряда. Пример. Исследовать на сходимость ряд ∞ 1 ∑ (2n − 1)(2n + 1) и в случае его n =1 сходимости вычислить сумму ряда. Решение. Если представить члены ряда в виде суммы двух слагаемых an = 1 1 1 1 1 1 − − , an −1 = , …, a3 = − , 10 14 2(2n − 1) 2(2n + 1) 2(2n − 3) 2(2n − 1) a2 = 1 1 1 1 − , a1 = − , 2 6 6 10 то п -я частичная сумма ряда запишется в виде: S n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n −1 + a n = 1 1 . − 2 2(2n + 1) ⎛1 ⎞ 1 1 1 ⎟⎟ = . Ряд сходится и его сумма равна . Тогда lim S n = lim ⎜⎜ − 2 n →∞ n→∞⎝ 2 2(2n + 1) ⎠ 2 11.2. Необходимый признак сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов Необходимый признак сходимости Если числовой ряд ∞ ∑ an n =1 сходится, то lim an = 0 . n →∞ ЗАМЕЧАНИЕ lim an = 0 не n →∞ следует сходимость ряда. Примером этого является обобщенный гармонический ∞ 1 1 ряд: ∑ . lim = 0 при всех p>0, однако сходится этот ряд только при p p n →∞ p n n =1n >1. Данный признак не является достаточным, то есть из условия Следствие. Если lim an ≠ 0 , то ряд n →∞ Пример. Числовой ∞ ∑ an расходится. n =1 ∞ 2n + 3 ∑ 5n − 1 ряд расходится, поскольку n =1 2n + 3 2n 2 = lim = ≠ 0. n → ∞ 5 n − 1 n → ∞ 5n 5 lim an = lim n →∞ ∞ Пусть задан числовой ряд ∑ an . Ряд n =1 ∞ ∑ an n = k +1 , который получен из заданного отбрасыванием k первых членов, называется k-м остатком ряда. Свойства сходящихся рядов 1) Числовой ряд и любой их его остатков сходятся или расходятся одновременно. 2) Если числовой ряд ∞ ∑ an сходится и его сумма равна S, то ряд n =1 ∞ ∑ c ⋅ an , где n =1 c ≠ 0 , тоже сходится и его сумма равна c ⋅ S . 3) Если числовые ряды ∞ ∑ an ∞ ∑ bn и n =1 n =1 ∞ – сходятся и их суммы равны S1 и ∑ (an + bn ) S 2 соответственно, то ряд также сходится и его сумма n =1 равна S1 + S 2 . 4) Если числовой ряд ∞ ∑ an ∞ ∑ bn сходится, а ряд n =1 расходится, то ряд n =1 ∞ ∑ (an + bn ) расходится. n =1 ЗАМЕЧАНИЕ ∞ Если числовые ряды ∞ ∑ an ∑ bn и n =1 ∞ ∑ (an + bn ) расходятся, то ряд n =1 составленный из единиц и ряд n =1 n =1 ∑ bn = ∑ (− 1) , все члены которого равны (− 1) , являются расходящимися. Но ряд S =0. ∞ ∞ n =1 сумма ∞ ∑ an = ∑ 1 , расходиться, а может оказаться сходящимся. Например, ряд ∞ может n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 n =1 ∑ (an + bn ) = ∑ (1 − 1) = ∑ 0 сходится и его 11.3. Достаточные признаки сходимости положительных рядов Числовой ряд ∞ ∑ an , n =1 члены которого an ≥ 0 при всех п называется положительным. Признак сравнения Если для членов положительных рядов ∞ ∑ an и n =1 ∞ ∑ bn справедливо n =1 неравенство an ≥ bn при всех n , больших некоторого номера N о , то: ƒ из сходимости ряда ∞ ∑ an n =1 следует сходимость ряда ∞ ∑ bn ; n =1 ∞ ∑ bn из расходимости ряда ƒ ∞ ∑ an . следует расходимость ряда n =1 n =1 При использовании признака сравнения в качестве эталонных рядов, с которыми проводится сравнение исследуемых рядов рассматривают геометрический ряд ∞ ∑ qn n =1 ⎡cõîäèòñÿ ïðè 0 < q < 1 – ⎢ ⎣ ðàñõîäèòñÿ ïðè q ≥ 1 и обобщенный гармонический ряд: ∞ 1 ∑пp n =1 ⎡ cõîäèòñÿ ïðè p > 1 – ⎢ . ⎣ðàñõîäèòñÿ ïðè p ≤ 1 Пример 1. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ sin 2 n n =1 Решение. Так как ряд ∞ ∑ 1 n =1 n 3 sin 2 n n 3 n3 . 1 ≤ 3 при всех п и обобщенный гармонический n сходится, то ряд с меньшими членами ∞ ∑ sin 2 n n =1 n3 является сходящимся. Пример 2. Исследовать на сходимость ряд ∞ 1 + ln n . n n =1 ∑ Решение. Так как ln n ≥ 0 при n ≥ 1 , то Обобщенный гармонический ряд большими членами 1 + ln n 1 ≥ n n при n ≥ 1 . ∞ 1 расходится. Следовательно, ряд с n =1 n ∑ ∞ 1 + ln n также расходится. n n =1 ∑ Предельный признак сравнения Если для положительных рядов ∞ ∑ an n =1 то: и ∞ ∑ bn n =1 an =q, n → ∞ bn существует lim при q = 0 из сходимости ряда ƒ ∞ ∑ bn следует сходимость ряда n =1 n =1 ∞ при q = ∞ из сходимости ряда ƒ ∑ an следует сходимость ряда n =1 при q ≠ 0 и q ≠ ∞ ряды ƒ ∞ ∑ an ∞ ∑ bn ; n =1 и n =1 ∞ ∑ an ; ∞ ∑ bn сходятся или расходятся n =1 одновременно. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд 2n + n ∞ ∑ 2n + n n =1 5 n + 3n . n 2n ⎛ 2⎞ ~ = ⎜ ⎟ , то заданный ряд и ряд Решение. Поскольку a n = n n ⎝5⎠ 5 + 3n n→∞ 5 ∞ ∞ ⎛ 2⎞ ∑ bn = ∑ ⎜ 5 ⎟ n =1 n =1⎝ ⎠ ряд ∞ ⎛ 2⎞ n =1 ⎝ ⎠ ∑ ⎜5⎟ n an = 1 . Геометрический n →∞ bn ведут себя одинаково, так как lim n сходится. Следовательно, ряд ∞ ∑ 2n + n n =1 5 n + 3n также сходится. Следствие. Если для n-го члена числового положительного ряда ∞ ∑ an n =1 c можно выделить при n → ∞ главную часть, т.е. an ~ n →∞ n p сходится, а при p ≤ 1 ряд расходится. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ n =1 , то при p > 1 ряд n+3 3 5 n + 3n + n . Решение. Для n-го члена заданного ряда можно выделить главную часть: 2 1 n+3 n = 2 . Порядок p = < 1 , поэтому ряд расходится. ~ an = 5 3 5 3 n + 3n + n n →∞ n 3 n 3 ∞ Пример 5. Исследовать на сходимость ряд ∑ n =1 1 − cos 5 1 n 3 + 2 n4 Решение. Выделим главную часть n-го члена ряда: . 1 n 1 1 an = ~ 2n4 = 9 . 5 4 n →∞ 3+ 2 n 2n 5 4n 5 1 − cos Порядок p = 9 > 1 , ряд сходится. 5 Пример 6. Исследовать на сходимость ряд ∞ 1 + 3n ∑ n =1 n 2 + 2 ln n . 1 + 3n 3n 3 Решение. an = 2 ~ 2 = . Порядок p = 1 , ряд расходится. n n + 2 ln n n →∞ n Интегральный признак Коши Пусть функция f (x ) непрерывная, положительная и монотонно убывающая при x ≥ 1 и пусть f (n ) = an при всех n ∈ N . Тогда ряд ∞ ∑ an и n =1 +∞ несобственный интеграл ∫ f (x ) dx , (c ≥ 1) сходятся или расходятся c одновременно. Пример 7. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ 1 n =1n ln p (αn ) , где α – положительное число и αn ≠ 1 , p >0. Функция Решение. интегрального +∞ ∫ 1 1 x ln (αx ) p ∫ Коши. 1 x ln p (αx ) Рассмотрим удовлетворяет 1 ln α t p условиям несобственный dx и сделаем в нем замену: ln(αx ) = t , +∞ интеграл признака f (x ) = интеграл 1 dx = dt . Получим x dt , который сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 . Следовательно, по интегральному признаку Коши, ряд сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1 . ∞ ∑ n =1 n ln 1 p (αn ) Ряд ∞ ∑ 1 n =1 n ln p (αn ) , где α – положительное число и αn ≠ 1 , p >0 также можно использовать как эталонный в признаках сравнения. Пример 8. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ n =1 Решение. Так как an = конечный предел ∞ 1 ∑ a lim n n → ∞ bn 1 n =1 (2n + 3)ln 2 (3n + 1) 1 ~ (2n + 3)ln (3n + 1) n→∞ 2n ln 2 (3n ) 2 = . , то существует 1 , где bn – n–й член сходящегося ряда 2 (см. пример 7). Значит ряд 2n ln (3n ) предельному признаку сравнения. 2 1 ∞ ∑ n =1 1 (2n + 3)ln 2 (3n + 1) сходится по Радикальный признак Коши Пусть для положительного числового ряда ∞ ∑ an существует предел n =1 lim n an = q . Тогда при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 (в частности при n →∞ q = ∞ ) ряд расходится. При q = 1 ряд может сходиться и может расходиться. Пример 9. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ 1 n =1 π n arctg n n . Решение. Рассмотрим 1 ⎛1 ⎞ 1π 1 lim n an = lim n n arctg n n = lim ⎜ arctg n ⎟ = = < 1. n →∞ π n →∞⎝ π ⎠ π2 2 n →∞ Ряд сходится по радикальному признаку Коши. ∞ n ⎛ 2n + 1 ⎞ Пример 10. Исследовать на сходимость ряд ∑ ⎜ ⎟ . n =1⎝ 5n + 2 ⎠ Решение. Рассмотрим n 2n + 1 2n 2 ⎛ 2n + 1 ⎞ lim n an = lim n ⎜ = lim = < 1. ⎟ = lim n → ∞ ⎝ 5n + 2 ⎠ n → ∞ 5n + 2 n → ∞ 5n 5 n →∞ Ряд сходится по радикальному признаку Коши. Признак Даламбера ∞ Если члены положительного числового ряда ∑ an таковы, что n =1 an +1 = q , то при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 (в n → ∞ an частности при q = ∞ ) ряд расходится. При q = 1 ряд может сходиться и может расходиться. существует предел lim Пример 11. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ 5n n ! (n + 1)n . n =1 Решение. Так как an = 5n +1 (n + 1)! , a = , то n + 1 (n + 2)n +1 (n + 1)n 5n n ! (n + 1)(n + 1)n = an +1 5n +1 (n + 1)!(n + 1)n = lim = 5 lim n → ∞ an n →∞ 5n n !(n + 2 )n +1 n →∞ (n + 2 )n (n + 2 ) lim n ⎛ 1 ⎞ n ln ⎜1− ⎟ 1 ⎞ ⎛ n+2 ⎠ 5 = , = 5 lim ⎜1 − ⎟ = 5 lim e ⎝ n+2⎠ e n → ∞⎝ n →∞ ⎛ ⎛ ⎛ n 1 ⎞⎞ 1 ⎞⎞ ⎛ так как lim ⎜⎜ n ln⎜1 − = −1 . ⎟ ⎟⎟ = lim ⎟ ⎟⎟ = lim ⎜⎜ n ⎜ − n →∞⎝ ⎝ n + 2 ⎠ ⎠ n →∞⎝ ⎝ n + 2 ⎠ ⎠ n →∞ − n an +1 5 = > 1 , то по признаку Даламбера ряд расходится. e n → ∞ an Поскольку lim ЗАМЕЧАНИЕ Учитывая свойства сходящихся рядов, все теоремы для положительных рядов справедливы и для рядов, все члены которых an ≤ 0 , а также для рядов, для которых неравенство an ≥ 0 выполняется, начиная с некоторого номера N. 11.4. Знакопеременный ряд Если среди членов ряда бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды. В знакочередующемся ряде любые два соседних члена имеют разные знаки. При исследовании сходимости знакопеременного ряда ∞ ∑ an обязательно n =1 исследуют сходимость ряда, составленного из абсолютных величин его ∞ ∑ an членов, т.е. ряда , который является положительным. В зависимости от n =1 ∞ того, как ведет себя ряд ∑ an , различают два типа сходимости n =1 знакопеременного ряда ∞ ∑ an : абсолютную и условную. n =1 ∞ ∑ an Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если n =1 сходится ряд ∞ ∑ an . n =1 ∞ ∑ an Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он n =1 сходится, а ряд ∞ ∑ an расходится. n =1 Признак абсолютной сходимости Если сходится ряд ∞ ∑ an , то знакопеременный ряд n =1 ∞ ∑ an сходится n =1 абсолютно. ∞ ∑ Пример cos n n =1n 2 + 3n + 2 1. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд и указать тип сходимости. Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда: cos n . Этот ряд сходится по признаку сравнения, поскольку ∑ 2 n =1n + 3n + 2 ∞ ∞ 1 1 < , ( п = 1 , 2 , 3 , K ), а обобщенный гармонический ряд ∑ 2 n 2 + 3n + 2 n 2 n =1 n сходится. По признаку абсолютной сходимости знакопеременный ряд ∞ cos n сходится абсолютно. ∑ 2 n =1n + 3n + 2 cos n Пример 2. Исследовать на сходимость π tg ∞ n ∑ (− 1) n +n3 и указать тип сходимости. n =1 знакочередующийся ряд π n сходится по следствию из предельного признака Решение. Ряд ∑ n + 3 n =1 ∞ tg π n ~ π , p = 2 > 1 . По признаку абсолютной сравнения, поскольку n + 3 n →∞ n 2 π tg ∞ сходимости знакочередующийся ряд ∑ (− 1)n n сходится абсолютно. n+3 n =1 tg Признак Лейбница ∞ ∑ (− 1)n an , Если для членов знакочередующегося ряда n =1 где a n ≥ 0 , выполнены два условия: ƒ ƒ lim an = 0 , n →∞ an +1 < an начиная с некоторого номера n > N о , то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству S < a1 . ЗАМЕЧАНИЕ Признак Лейбница не дает ответа на вопрос о типе сходимости знакочередующегося ряда. Но поскольку его используют только, если абсолютной сходимости нет, то признак Лейбница иногда называют признаком условной сходимости. Пример 3. Исследовать на сходимость ряд (− 1)n . 3 n =1 n ln (n + 2 ) ∞ ∑ Если ряд сходится, то укажите тип сходимости. Решение. Ряд ∞ ∑ n =1 сравнения, так как n3 1 ln (n + 2 ) расходится по предельному признаку ∞ 1 1 1 ~ , а ряд расходится. ∑ 1 1 n 3 ln (n + 2 ) n →∞ n ln 3 n n =1 n ln 3 n Следовательно, абсолютно ряд сходиться не будет. Поскольку ряд знакочередующийся, используем признак Лейбница: ƒ ƒ lim an = lim n →∞ n 3 n →∞ 1 1 = =0, ln(n + 2) ∞ 1 , ln(n + 2) п = 1, 2, 3, K . an = n3 an +1 = 1 , (n + 1) ln(n + 3) 3 значит an +1 < an , По признаку Лейбница ряд сходится и сходимость условная. Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ∞ ∑ (− 1)n n =1 ln (n + 1) . Если ряд n сходится, то укажите тип сходимости. Решение. Ряд ln (n + 1) расходится по признаку сравнения, так как n n =1 ∞ ∑ ∞ 1 ∞ ln 2 ln (n + 1) ln 2 > , п = 1, 2, 3, K , а ряд ∑ и, следовательно, ряд ∑ n n n =1 n n =1 n расходятся. По признаку Лейбница: ln (n + 1) ⎡ ∞ ⎤ 1 = ⎢ ⎥ = lim n = lim = 0 ; n n →∞ ⎣ ∞ ⎦ n →∞ 1 n →∞ n 1 ƒ ƒ lim an = lim n →∞ ln (n + 2 ) ln (n + 1) , an +1 = . Докажем, что an +1 < an . Рассмотрим n n +1 ln (x + 1) функцию f (x ) = . Поскольку ее производная x an = 1 ⋅ x − ln (x + 1) x(1 − ln (x + 1)) − ln (x + 1) = <0 при x ≥ 1 , то f ′(x ) = x + 1 2 x x 2 (x + 1) функция f (x ) убывает при x ≥ 1 . Члены ряда an и an +1 являются значениями этой функции при x1 = n и x2 = n + 1 . Так как x2 > x1 , то an > an +1 . По признаку Лейбница ряд сходится и сходимость условная. Признак Лейбница можно использовать и при приближенном вычислении суммы ряда. Пример 5. Вычислите сумму ряда ∞ ∑ n =1 ∞ (− 1)n с точностью n 3 n ε = 10 −3 . (− 1)n 1 1 1 1 1 =− + − + − + R5 , где R5 – сумма 3 18 81 324 1215 n =1 3 n 1 < ε , а так остатка ряда после пятого члена. Модуль пятого члена a 5 = 1215 как члены ряда убывают по модулю, то и все последующие члены меньше ε . Тогда по признаку Лейбница сумма остатка ряда R5 < a5 < ε . Следовательно, Решение. сумма ряда ∞ ∑ n (− 1)n 1 1 1 1 31 ≈− + − + =− . 3 18 81 324 108 n =1 3 n ∑ n 11.5. Функциональный ряд и его область сходимости Пусть задана последовательность функций {un (x )}∞ n =1 и все ее члены определены на одном и том же промежутке [а; b] . Заданная функциональная последовательность и новая последовательность функций {Sn (x )}∞n =1 , построенная по правилу: S1 (x ) = u1 (x ) , S 2 ( x ) = u1 ( x ) + u2 (x ) , ………………………….. S n (x ) = u1 (x ) + u2 (x ) + ... + un (x ) называются функциональным рядом и обозначаются: ∞ ∑ un ( x ) (1). n =1 Для любого значения x = x0 , где x0 ∈ [а; b] , функциональный ряд ∞ является числовым рядом ∑ u n ( x0 ) . Если этот ряд сходится, то говорят, что n =1 функциональный ряд (1) сходится в точке x0 . Множество значений x , при которых функциональный ряд (1) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости функционального ряда обычно удается найти с помощью известных признаков сходимости. ∞ Пример 1. Найти область сходимости функционального ряда 1 ∑ хп . n=0 Решение. Все члены ряда определены при x ≠ 0 . Если положить x равным какому-нибудь числу, то полученный числовой ряд в общем случае ∞ 1 ∑ является знакопеременным. Рассмотрим ряд , который является хп n =0 положительным, и исследуем его сходимость с помощью признака Даламбера: lim n →∞ При u n+1 (x ) u n (x ) = lim n →∞ xn x n +1 1 . x = 1 < 1 , т.е. в области x > 1 , ряд сходится абсолютно, при x < 1 x и x ≠ 0 ряд расходится. При x =1 и x = −1 числовые ∞ ∑1 = 1 + 1 + 1 + K ряды и n =1 ∞ ∑ (− 1) = −1 + 1 − 1 + 1 − K расходятся; так как для них не выполняется n =1 необходимый признак сходимости. ∞ Следовательно, областью сходимости (абсолютной) ряда является n=0 множество значений х ∈ (− ∞; − 1) ∪ (1; + ∞ ) . ∞ Пример 2. Найти область сходимости ряда 1 ∑ хп 1 ∑п n =1 х . Решение. Область определения всех членов ряда есть множество Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический (− ∞; + ∞ ) . ряд, который сходится при х > 1 . Следовательно, луч (1; + ∞ ) является областью сходимости данного ряда. Как и в случае числовых рядов сумма S ( x ) функционального ряда определяется через предел последовательности сумм: {Sn (x )}∞n =1 его частичных S ( x ) = lim S n ( x ) , где S n ( x ) = u1 ( x ) + u 2 ( x ) + K + u n ( x ) . n→∞ Таким образом, сумма S (x ) функционального ряда является функцией от x , причём областью определения этой функции является область сходимости ряда. ∞ Пример 3. Найти область сходимости ряда ∑ x n = 1 + x + x 2 + K. n =0 Решение. Все члены ряда определены на всей числовой оси. Это геометрический ряд со знаменателем q = x . Если x < 1 , то ряд сходится. Следовательно, интервал (− 1; 1) есть область сходимости данного ряда и 1 . Областью ее определения является область 1− х сходимости ряда, т.е. интервал (− 1; 1) . его сумма равна S ( x ) = 11.6. Степенные ряды Степенным рядом называется функциональный ряд, определенный на { } ∞ последовательности степенных функций вида an ( x − x0 )n n =1 , где x0 ∈ R , а {an }∞n =1 – последовательность вещественных чисел. Степенной ряд обозначают: ∞ ∑ an (x − x0 )n . n =1 степенной ряд имеет вид: В частности, при x0 = 0 ∞ ∑ an x n . n =1 Теорема Абеля. Если степенной ряд ∞ ∑ an (x − x0 )n сходится в точке n =1 x = x1 ≠ 0 , то он сходится абсолютно при всех x , таких, что x − x0 < x1 . Если же этот степенной ряд расходится в точке x = x1 , то он расходится при всех x , таких, что x − x0 < x1 . Следствие. Для степенного ряда ∞ ∑ an (x − x0 )n существует такое n =1 положительное число R , которое называется радиусом сходимости и для которого справедливо: x − x0 < R , ряд сходится ƒ при x , удовлетворяющих неравенству абсолютно; ƒ при x , удовлетворяющих неравенству x − x0 > R ряд расходится. Радиус сходимости R степенного ряда определяется по формуле: a R = lim n . n → ∞ an +1 Область сходимости (x0 − R; x0 + R ) , ряда ∞ ∑ an x n n =1 степенного ряда ∞ ∑ an (x − x0 )n имеет вид: n =1 где R – радиус сходимости. В частности, для степенного область сходимости: (− R; R ) . Если R = 0 , то степенной ряд сходится только в точке x0 . Если R = ∞ , то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. ЗАМЕЧАНИЕ 1 В точках x = x0 ± R ряд может сходиться, а может расходиться. Эти точки следует исследовать отдельно. Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда ∞ n3 x n ∑ (n + 1)! . n =1 Решение. Радиус сходимости n3 (n + 1)! an n3 (n + 2 )! . lim = lim = n →∞ an +1 n → ∞ (n + 1)3 n → ∞ (n + 1)!(n + 1)3 (n + 2)! R = lim Проводя сокращение под знаком предела и выделяя главные части бесконечно больших, получим R = lim n →∞ n3 (n + 2 ) n3 = lim (n + 2) = ∞ . n→∞ Следовательно, ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. При определении области сходимости степенного ряда можно не искать радиус сходимости, а определять интервал сходимости, используя признак Даламбера. ∞ ∑ Пример 2. Найти область сходимости степенного ряда n !(x + 1)n 3n n =1 . Решение. По признаку Даламбера (n + 1)!(x + 1)n+1 lim n →∞ 3 n+1 n !(x + 1)n x +1 = 3 ⎡∞, x ≠ −1 . lim (n + 1) = ⎢ n →∞ ⎣ 0, x = −1 3n Значит, ряд сходится абсолютно только в точке x = −1 . Пример ∑ (− 1)n (x − 2) n =1 Найти 3. область сходимости степенного ряда n ∞ 5 n 2n + 1 . Решение (x − 2)n+1 lim n →∞ 5 n+1 2n + 3 ( x − 2 )n (x − 2)n+1 5 n n→∞ ( x − 2 )n 5 n +1 2n + 1 = lim 2n + 3 = x−2 5 2n lim n→∞ = 2n x−2 5 . 5 n 2n + 1 ( x − 2 )n ∞ По признаку Даламбера ряд ∑ n =1 5 n 2n + 1 сходится, если x−2 < 1 , или 5 x − 2 < 5 , или − 5 < x − 2 < 5 , или − 3 < x < 7 . Значит, заданный ряд в интервале − 3 < x < 7 сходится абсолютно. Исследуем концы интервала сходимости. При x = −3 получим степенной ряд упрощений можно записать в виде: ∞ ∑ n =1 Поскольку an = (− 5)n ∞ ∑ (− 1)n n =1 2n (− 1) 2n + 1 5 n 2n + 1 или ∞ ∑ n =1 , который после 1 2n + 1 . 1 1 1 ~ , p = < 1 , то ряд расходится. 1 2 2n + 1 n → ∞ 2 n 2 n =1 ∞ (− 1)n ∑ 2n + 1 n =1 = ∞ ∑ n =1 1 n =1 2n + 1 расходится. 2n + 1 5n 2 n + 1 (− 1)n ∑ упрощений можно записать в виде: ∞ (5)n ∞ ∑ (− 1)n При x = 7 получим степенной ряд , который после . Положительный ряд Поскольку ряд ∞ ∑ n =1 (− 1)n 2n + 1 знакочередующийся, то можно использовать признак Лейбница. По признаку Лейбница, так как ƒ ƒ 1 1 = = 0, n →∞ 2n + 1 ∞ lim an = lim n →∞ an = 1 , an +1 = 2n + 1 1 ⇒ an < an +1 , п = 1, 2, 3, K , 2n + 3 то ряд сходится и сходимость условная. Следовательно, область сходимость степенного ряда (− 3; 7] (рис. 1). −3 2 7 x Рис. 1. Пример 4. Найти область сходимости степенного ряда ∞ ∑ n =1 (x + 1)n n n . n! Решение (x + 1)n +1(n + 1)n +1 (n + 1)! lim n →∞ (x + 1)n n n (x + 1)n +1(n + 1)n +1 n! = x + 1 lim (n + 1)n +1 = n →∞ n n ( x + 1)n (n + 1)! n → ∞ n n (n + 1) = lim n! = (n + 1)n (n + 1) = x + 1 lim n → ∞ n n (n + 1) n ⎛ 1⎞ x + 1 lim ⎜1 + ⎟ = x + 1 ⋅ e . n⎠ n → ∞⎝ Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно при x + 1 ⋅ e < 1 1 1 или при − − 1 < x < − 1 . e e При x= 1 −1 e числовой ряд ∞ nn ∑ n =1 e 1 nn nn . ~ = an = n 1 n e n ! n →∞ n ⎛ n ⎞ 2 2π n e ⎜ ⎟ 2πn ⎝e⎠ Стирлинга n n! Здесь ⎛n⎞ n! ~ ⎜ ⎟ n → ∞⎝ e ⎠ n расходится, так использована как формула 2πn . ∞ 1 nn может При x = − − 1 знакочередующийся числовой ряд ∑ (− 1)n n e e n! n =1 сходиться только условно, так как ряд ∞ ∑ nn расходится. Поскольку ряд n! знакочередующийся, то можно использовать признак Лейбница ƒ ƒ n =1 e n nn nn 1 lim an = lim n = lim = lim =0; n n →∞ 2πn n →∞ n →∞ e n ! n →∞ n ⎛ n ⎞ e ⎜ ⎟ 2πn ⎝e⎠ (n + 1)n +1 . nn an = n , an +1 = n +1 e (n + 1)! e n! Рассмотрим (n + 1)n +1 n an +1 e n +1 (n + 1)! 1 (n + 1)n (n + 1) 1 ⎛ 1 ⎞ = = = ⋅ ⎜1 + ⎟ . an e n n (n + 1) e ⎝ n⎠ nn Известно, en n! ⎛ 1⎞ что последовательность ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠ n n n ⎛ 1⎞ монотонно возрастает и lim ⎜1 + ⎟ = e . n⎠ n →∞⎝ n a 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ Следовательно, ⎜1 + ⎟ < e при всех n . Тогда n +1 = ⋅ ⎜1 + ⎟ < ⋅ e = 1 и an e ⎝ n⎠ e ⎝ n⎠ an +1 < an при всех n . Значит, по признаку Лейбница ряд сходится и сходимость условная. Областью сходимости является промежуток − 1 − 1e ; − 1 + 1e (рис.2). [ Сходится условно Расходится − 1− 1e ) Расходится Сходится абсолютно −1 Расходится x − 1+ 1e Рис. 2. ∞ ⎛ n ⎞ Пример 5. Найти область сходимости степенного ряда ∑ ⎜ ⎟ n =1⎝ n + 1 ⎠ n2 xn . Решение. Найдем интервал сходимости степенного ряда, используя радикальный признак Коши. ⎛ n ⎞ lim n ⎜ ⎟ n →∞ ⎝ n + 1 ⎠ n2 n ⎛ n ⎞ x n = x lim ⎜ ⎟ = x⋅ n →∞⎝ n + 1 ⎠ 1 1 = x⋅ . e ⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ n⎠ n → ∞⎝ n 1 По радиальному признаку Коши ряд сходится абсолютно при x ⋅ < 1 e или при − e < x < e . Исследуем сходимость на концах промежутка. При ∞ x = ±e ∞ числовые ряды ∞ ∞ ⎛ n ⎞ ∑ an = ∑ ⎜ n + 1 ⎟ ⎠ n =1 n =1⎝ n2 en n2 n ⎞ ∑ (− 1) an = ∑ (− 1) ⎜ n + 1 ⎟ e n расходятся, так как для них не выполняется ⎝ ⎠ n =1 n =1 необходимый признак сходимости: n n⎛ и n2 n ⎛ n ⎞ n n lim an = lim ⎜ ⎟ e = lim e e n →∞ n → ∞⎝ n + 1 ⎠ n →∞ 2 ⎛ n ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝ n +1 ⎠ = lim n →∞ ⎛ 1⎞ n − n 2 ln ⎜ 1+ ⎟ ⎝ n⎠ e =e, поскольку предел показателя ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎞⎞ ⎛ 1 ⎞⎞ lim ⎜⎜ n − n 2 ln⎜1 + ⎟ ⎟⎟ = lim ⎜⎜ n ⋅ ⎜⎜1 − n ln⎜1 + ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ = n → ∞⎝ ⎝ n ⎠⎠⎠ ⎝ n ⎠ ⎠ n → ∞⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛1 1 ⎛ 1 ⎞⎞⎞⎞ 1 ⎛ 1 ⎞⎞⎞ lim ⎜ n ⋅ ⎜1 − n⎜⎜ − 2 + ϑ⎜ 2 ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ = lim ⎜⎜ n ⋅ ⎜⎜1 − 1 + + ϑ⎜ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ = 1 . n n →∞⎜ ⎜⎝ ⎝ n ⎠⎠⎠ ⎝ n ⎠ ⎠ ⎟⎠ ⎟⎠ n →∞⎝ ⎝ ⎝n n ⎝ Следовательно, интервалом сходимости является промежуток (− e; e ) (рис. 3). −e x e Рис. 3. 11.7. Ряд Тейлора и Ряд Маклорена Рядом Тейлора для функции ∞ ∑ cn (x − x0 )n , где коэффициенты n =0 f (x ) называется степенной ряд cn определяются по формулам: f (n ) ( x0 ) f ′(x0 ) f ′′(x0 ) , c2 = ,…, cn = . 1! 2! n! c0 = f (x0 ) , c1 = При x0 = 0 степенной ряд ∞ ∑ cn x n , где коэффициенты n =0 cn определяются по формулам: c0 = f (0 ) , c1 = f ′(0) f ′′(0) f (n ) (0) , c2 = ,…, cn = . 1! 2! n! называется рядом Маклорена. Запись f (x ) = f (x0 ) + (n ) ′′ f ′(x0 ) (x − x0 ) + f (x0 ) (x − x0 )2 + ... + f (x0 ) (x − x0 )n + ... 1! 2! n! называется разложением функции f (x ) в ряд Тейлора. Запись f (x ) = f (0) + f ′(0) f ′′(0) 2 f (n ) (0) n x+ x + ... + x + ... 1! 2! n! называется разложением функции f (x ) в ряд Маклорена. ЗАМЕЧАНИЕ Как всякий степенной ряд, ряд Тейлора сходится равномерно на любом промежутке, лежащим внутри интервала сходимости. Разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена ∞ xn x x2 xn = 1+ + + ... + + ... . Интервал сходимости (− ∞; + ∞ ) . 1! 2 ! n! n =0 n! ‰ ex = ‰ cos x = ∑ ∞ x 2n ∑ (− 1)n (2n )! = 1 − n =0 сходимости (− ∞; + ∞ ) . ‰ sin x = ∞ ∑ (− 1)n n =0 x2 x4 x 2n + + ... + (− 1)n + ... . (2n )! 2! 4! x 2 n +1 x x3 x 2n +1 = − + ... + (− 1)n + ... . (2n + 1)! 1! 3! (2n + 1)! Интервал Интервал сходимости (− ∞; + ∞ ) . ‰ ln(1 + x ) = ∞ ∑ (− 1)n +1 n =1 сходимости (− 1; 1] . ‰ ln(1 − x ) = − [− 1; 1) . Интервал ∞ xn x 2 x3 xn = −x − − − ... − − ... . 2 3 n n n =1 ∑ ∞ ‰ xn x 2 x3 xn = x− + + ... + (− 1)n +1 + ... . 2 3 n n arctg x = ∑ (− 1) n n=0 Интервал сходимости 2 n +1 x3 x5 x 2 n +1 n x = x − + + ... + (− 1) + ... . . Интервал 2n + 1 3 5 2n + 1 сходимости [− 1; 1] . (1 + x )α = 1 + ∑ α(α − 1)...(α − n + 1)x n = 1 + αx + α(α − 1) x 2 + ... + ∞ ‰ n =1 + n! 2! α(α − 1)...(α − n + 1) n x + ... .. (биномиальный ряд). Интервал сходимости n! (− 1; 1) , α ∈ R, α ∉ N . При α = n ∈ N функция f (x ) = (1 + x )n раскладывается по биному Ньютона в многочлен и разложение является верным на всей числовой оси. ‰ α = −1 – частный ∞ (1 + x )−1 = 1 = ∑ (− 1)n x n . 1 + x n =0 При случай биномиального ряда Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда и его сумму ∞ ∑ n =0 (x − 3)n . n +1 ∞ yn . n =0 n + 1 Область сходимости данного ряда определяется по признаку Даламбера Решение. Сделаем замену x − 3 = y и запишем ряд в виде ∑ y n +1 y (n + 1) n lim n +n2 = lim = y lim = y . Ряд сходится абсолютно при y < 1 . n →∞ y n →∞ n + 2 n →∞ n n +1 ∞ (− 1)n 1 расходится, а при y = −1 ряд ∑ сходится n =0 n + 1 n =0 n + 1 условно. Следовательно, область сходимости [− 1; 1) . На любом промежутке (α; β) ⊂ [− 1; 1) ряд сходится равномерно. При y = 1 ряд Чтобы ∞ ∑ найти сумму ряда, сделаем следующие преобразования y y 1 y ln(1 − y ) ln (4 − x ) , при x ≠ 3 . При x = 3 , =∑ = ∑ =− =− y n =1 n y x−3 n = 0 n + 1 n =1 n сумма ряда равна нулю. ∞ ∑ n ∞ n −1 ∞ n Пример 2. Разложить функцию f (x ) = 3 27 − x в ряд Маклорена. Используя полученное разложение, вычислить приближенно 3 28 , взяв три члена разложения. Оценить полученную погрешность. 1 x ⎞3 ⎛ Решение. Представим функцию в виде f (x ) = 3⎜1 − ⎟ и используем ⎝ 27 ⎠ биномиальный ряд: ( )( ) ( ) 1 ⎛ ∞ 1 ⋅ − 2 ⋅ − 5 ⋅ ⋅ ⋅ 1 − n + 1 (− x )n ⎞ x ⎞3 ⎛ ⎜ ⎟. 3 3 3 3⎜1 − ⎟ = 3 1 + ∑ 3 n ⎟ ⎜ n ! ⎝ 27 ⎠ 27 ⎝ n =1 ⎠ Проделав все упрощения, получим ∞ ∞ 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 4 ) ⎛ 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 4 ) x n ⎞⎟ ⎛⎜ n ⎞⎟ x = 3⎜1 + ∑ (− 1)2n −1 3 1 = − ∑ n 3n ⎟ 4n ⎜ ⎟ ⎜ n n 3 ! 3 3 ! = = n 1 n 1 ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ = 3− 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ ⋅ ⋅ (3n − 4) n 1 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 5 x = 3 − 3 x − 7 x 2 − 11 x 3 − ... . 4 n −1 3 n! 3 1! 3 2! 3 3! n =1 ∞ ∑ Положив в полученном разложении x = −1 и взяв три члена в этом разложении, получим 3 28 = 3 + 1 1⋅ 2 1 1 − 7 + R3 = 3 + − + R3 ≈ 3,037 . 3 3 1! 3 2! 27 2187 Абсолютная погрешность Δ ≤ R3 < 0,00046 . Пример 3. Вычислить приближенно 4 e с точностью ε = 0,001 . Решение. Требуется вычислить приближенно с заданной точностью ε 1 значение функции f (x ) = e x в точке x = . Представим функцию e x рядом 4 Маклорена. ex = 1+ x x 2 x3 x 4 x5 x6 + + + + + + ... 1! 2! 3! 4! 5! 6! и положим x= Получим 1 e4 = 1+ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + ... = 1 + + + + R4 , 4 ⋅ 1! 4 2 2 ! 433! 4 4 4 ! 455! 466 ! 4 32 384 где ⎞ 1 1 1 1 ⎛ 1 1 + 2 + ...⎟⎟ < R4 = 4 + 5 + 6 + ... = 4 ⎜⎜1 + 4 4 ! 4 5! 4 6 ! 4 4! ⎝ 4 ⋅ 5 4 5 ⋅ 6 ⎠ 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 1 1 20 5 = = <ε. < 4 ⎜1 + + 2 2 + ...⎟ = 256 ⋅ 24 19 256 ⋅ 6 ⋅19 4 4! ⎝ 4 ⋅ 5 4 5 ⎠ 256 ⋅ 24 1 − 1 20 1 1 1 Тогда с точностью ε : 4 e ≈ 1 + + + ≈ 1,284 . 4 32 384 0,8 Пример 4. Вычислить приближенно Решение. sin x = x − sin x dx с точностью ε = 0,0001 . x ∫ x3 x5 x2 x4 sin x + − ... ; = 1− + − ... ; 3! 5! 3! 5! x 0,8 0,8 ⎛ ⎞ 0,8 ⎛ ⎞ x2 x4 x3 x5 sin x sin x ⎜ ⎟ ⎜ 1 ... ... dx dx dx x = − + − = = − + − ∫ x ∫ x ∫ ⎜ 3! 4! ⎟ ⎜ 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! ⎟⎟ = 0 ⎝ ⎠ 8 ⎝ ⎠ 0,8 1 . 4 = 0,8 − 0,83 0,85 0,512 0,32768 + − ... = 0,8 − + + R3 , 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5! 18 600 где R3 < a4 = Тогда с точностью ε : 0,8 0,87 <ε. 7 ⋅ 7! sin x dx ≈ 0,8 − 0,0287 + 0,00055 ≈ 0,7718 . x ∫