Частотные характеристики. Частотные свойства элементов и систем управления

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Частотные характеристики элементов и систем представляют собой зависимость параметров установившихся реакций на гармонические колебания всех частот и единичных амплитуд. При подаче на вход линейной системы гармонического воздействия вида (1) на выходе системы возникает также гармоническое колебание той же частоты , но отличающееся от входного сигнала амплитудой и фазой (2) Передаточная функция определяется зависимостью: (3) Для абсолютно интегрируемой функции , положив , можно записать , (4) где ; – преобразования Фурье выхода и входа, соответственно. Выражение для частотной передаточной функции (4) запишется так: (5) Обозначим – модули соответствующих функций. Тогда . (6) Следовательно . (7) Для частотной передаточной функции, заданной в полиномиальной форме (8) получим ; (9) . (10) Дадим основные определения функциям и характеристикам, устанавливающим частотные свойства элементов и систем управления. Важнейшей характеристикой динамического звена или системы является его частотная передаточная функция , которая представляет собой комплексную функцию от действительной переменной частоты . Модуль частотной передаточной функции равен отношению амплитуды выходной величины к амплитуде входной, а аргумент – сдвигу фаз выходной величины по отношению к входной (7): (11) Частотная передаточная функция может быть представлена в следующем виде (6), (8): , (12) где – модуль частотной передаточной функции, – аргумент или фаза, и – вещественная и мнимая составляющие частотной передаточной функции. Для модели двигателя постоянного тока (13) частотная передаточная функция примет вид: . (14) Модуль частотной передаточной функции находится как отношение модулей числителя и знаменателя (7): или . (15) Аргумент или фаза частотной передаточной функции находится как разность аргументов числителя и знаменателя (7): ; . (16) Для нахождения вещественной и мнимой частей частотной передаточной функции необходимо освободиться от мнимости в знаменателе путём умножения числителя и знаменателя на комплексную величину, сопряжённую знаменателю, и затем провести разделение на вещественную и мнимую части (8): ; ; . (17) Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) или комплексная частотная характеристика (КЧХ) системы строится на комплексной плоскости. Она представляет собой геометрическое место концов векторов (годограф), соответствующих частотной передаточной функции при изменении частоты от нуля до бесконечности (иногда от до ). При построении АФЧХ по оси абсцисс откладывается вещественная часть , а по оси ординат – мнимая часть . Для каждой частоты ( от 0 до  ) на комплексную плоскость наносится точка. Полученные точки соединяют плавной кривой. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую какой-то выбранной частоте, равна модулю частотной передаточной функции. Угол между вектором и положительным направлением вещественной оси, отсчитываемый против часовой стрелки, равен аргументу или фазе частотной передаточной функции. Поэтому построение АФЧХ можно проводить по модулю и фазе . Действительная , и мнимая части частотной передаточной функции называются соответственно вещественной и мнимой функцией, а их графики – вещественной и мнимой частотными характеристиками. Модуль = называется амплитудной частотной функцией, её график – амплитудной частотной характеристикой (АЧХ). Аргумент называют фазовой частотной характеристикой. Функция называется логарифмической амплитудной частотной функцией. График зависимости логарифмической амплитудной частотной функции от логарифма частоты называют логарифмической амплитудной частотной характеристикой. При построении ЛАЧХ по оси абсцисс откладывают частоту в логарифмическом масштабе. На отметке, соответствующей значению пишут само значение . По оси ординат откладывают . Единицей измерения является децибел, а единицей измерения логарифма частоты в ЛЧХ – декада. Декадой называют интервал, на котором частота изменяется в 10 раз. Декада является равномерной единицей на оси абсцисс ЛАЧХ. Частота , на которой пересекается с осью абсцисс, называется частотой среза. Поскольку , начало координат выбирают в зависимости от интересуемого частотного диапазона. Ось абсцисс соответствует значению , т.е. прохождению входного сигнала через систему без изменения его амплитуды. Верхняя полуплоскость ЛАЧХ соответствует значению (усиление сигнала), нижняя полуплоскость – значениям (ослабление сигнала). Логарифмической фазовой частотной характеристикой ( ЛФЧХ ) называют график зависимости фазовой частотной функции от логарифма частоты . Логарифмические характеристики для системы с передаточной функцией (13) описываются выражениями (18) или (19)