Цепи однофазного переменного синусоидального тока

Лекция 2 ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА 2.1. Величины, характеризующие синусоидальный электрический ток Широкое применение в электрических цепях электро-, радио- и других установок находят периодические ЭДС, напряжения и токи. Периодические величины изменяются во времени по значению и направлению, причем эти изменения повторяются через некоторые равные промежутки времени Т, называемые периодом. Рис. 2.1. Переменные периодические ЭДС различной формы В настоящее время практически вся вырабатываемая электроэнергия является энергией синусоидального тока. Лишь некоторую долю этой электроэнергии при использовании преобразуют в энергию постоянного тока. Электрические цепи, в которых действуют синусоидальные ЭДС и токи, называются электрическими цепями синусоидального тока. К ним относятся понятия схемы цепи, контура, ветви и узла, которые были даны ранее для цепей постоянного тока. Основными величинами, характеризующими синусоидально изменяющуюся величину, являются: - мгновенное значение; - амплитудное значение; - начальная фаза; - действующее значение; - среднее значение; - комплекс действующего или амплитудного значения и др. Максимальное значение или амплитуду ЭДС, напряжения и тока обозначают соответственно Еm,, Um, Iт . Значение периодически изменяющейся величины в рассматриваемый момент времени называют мгновенным ее значением и обозначают e, u, i — ЭДС, напряжение и ток соответственно. Мгновенное значение величины показывает закон ее изменения и записывается в виде: i  I m sin(t   ) u  U m sin(t  ) e  Em sin(t   ) Максимальное значение — частный случай мгновенного значения. Аргумент синуса (t  ) называется фазой. Угол  равен фазе в начальный момент времени t = 0 и поэтому называется начальной фазой. 11 Угловая частота   2 f Величина, обратная периоду, т. е. число полных изменений периодической 1 величины за 1 с, называется частотой: f  . Частоту выражают в герцах (Гц). T Во всех энергосистемах России и других европейских стран в качестве стандартной промышленной частоты принята f = 50 Гц, в США и Японии f = 60 Гц. Это обеспечивает получение оптимальных частот вращения электродвигателей переменного тока и отсутствие заметного для глаза мигания осветительных ламп накаливания. Некоторые электротехнические устройства работают при другой частоте. На рис. 2.2 изображены графики синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами: Как постоянный, так и синусоидальный токи используются для совершения какой-либо работы, в процессе которой электроэнергия преобразуется в другие виды энергии (тепловую, механическую и т. д.). Для количественной оценки синусоидального тока (ЭДС и напряжения), который в течение времени непрерывно периодически изменяется, используют значение Рис. 2.2. Синусоидальные токи постоянного тока, эквивалентное значению синусоидального тока по совершаемой работе. Такое значение будет действующим для синусоидального тока. Действующим значением синусоидального тока называется такое значение постоянного тока, при прохождении которого в одном и том же резисторе с сопротивлением R за время одного периода Т выделяется столько же теплоты, сколько и при прохождении синусоидального тока. При синусоидальном токе i  I m sin t , где  - угловая скорость вращения генератора количество теплоты, выделяемое в резисторе R, за время Т T Q   i 2 Rdt , Q  I RT Согласно определению Q  Q  , а при постоянном токе 2 T тогда 1 2 I i dt . T 0 Таким образом, действующее значение синусоидального тока является его среднеквадратичным значением. I В итоге получим: I  m  0,707I m . 2 Аналогично, действующие значения ЭДС и напряжений равны соответственно: E U E  m  0,707E m U  m  0,707U m . 2 2 12 Действующие значения синусоидальных величин в 2 раз меньше их амплитудных знамений. Для периодических величин, изменяющихся по другому закону, это соотношение будет другим. Действующие значения синусоидального тока, ЭДС и напряжения обозначают прописной буквой без индексов, как постоянные ток, ЭДС и напряжение. В большинстве электроизмерительных приборов, измеряющих ток и напряжение, используется принцип теплового, или электродинамического, эффекта. Поэтому они всегда показывают действующее значение, зная которое можно вычислить амплитуду. Под средним значением синусоидальной величины понимают ее среднеарифметическое значение. Если определять среднее значение синусоидальных величин за период, то оно будет равно нулю, так как положительная и отрицательная полуволны синусоидальных кривых совпадают по форме. Поэтому среднее значение синусоидального тока, ЭДС и напряжения определяют за полпериода. За среднее значение синусоидального тока можно принять такое значение постоянного тока, при котором за полпериода переносится такой же электрический заряд, что и при синусоидальном токе. Согласно этому можно написать: T 2 Iср где Iср — среднее значение тока. Для синусоидального тока T  idt , 2 0 i  I m sin t T 2 T 2  idt  I  sin t  I m m T .  Отсюда получим: Iср  2I m  0,637I m  Аналогично, для ЭДС и напряжения: 2E 2U m E ср  m  0,637E m U ср   0,637U m   Среднее значение меньше действующего. Отношение действующего значения к среднему называется коэффициентом формы периодической кривой. Для синусоидальной кривой коэффициент формы = 1,11 В общем случае аргумент синусоидальной функции, называемый фазовым углом или просто фазой, равный t   или t   , может отличаться от нуля при t = 0. Значение фазового угла при t = 0 называется начальной фазой. Если синусоидальные величины одновременно проходят через нулевые и максимальные значения, говорят, что они совпадает по фазе. Синусоидальные величины будут также совпадать по фазе, если их начальные фазы равны. Если две синусоидальные величины одновременно проходят через нулевые значения и одновременно принимают максимальные значения противоположных знаков, то такие величины находятся в противофазе или сдвинуты по фазе на угол  . 13 На практике чаще всего имеют место случаи, когда ЭДС, напряжения и токи не совпадают по фазе, т. е. через нулевые значения проходят не одновременно. Если такие ЭДС описываются уравнениями: e1  E1m sin(t  1 ) ; e 2  E 2m sin(t   2 ) , то при ψ2 > ψ1 ЭДС e2 опережает по фазе e1. Разность фазовых углов    2  1 называется разностью или сдвигом фаз. Особое значение имеет угол сдвига по фазе между напряжением и током    u   i , где  u и  i - начальные фазы напряжения и тока. Для цепей синусоидального тока также справедливы законы Кирхгофа, сформулированные ранее для цепей постоянного тока. Но так как синусоидальные величины (ЭДС, напряжение, ток) характеризуются мгновенными, максимальными и действующими значениями, то для каждого из них существуют свои формулировки законов Кирхгофа. Для мгновенных значений законы Кирхгофа справедливы в алгебраической форме. Первый закон состоит в том, что алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю. По второму закону алгебраическая сумма ЭДС в контуре равна алгебраической сумме падений напряжений в этом контуре. Для максимальных и действующих значений законы Кирхгофа справедливы только в векторной или комплексной форме. 2.2. Активное сопротивление, индуктивность и емкость в цепи переменного синусоидального тока 2.2.1. Резистивный элемент При движении электроны сталкиваются с атомами проводящего вещества и кинетическая энергия электронов, запасенная ими при ускорении, превращается в тепловую энергию, затрачиваемую на нагрев проводника и рассеиваемую в окружающую среду. Это необратимый активный процесс преобразования электрической энергии, который количественно определяется сопротивлением R. Поэтому его называют активным сопротивлением. Элементы электрической цепи, обладающие только активным сопротивлением R, называют резисторами. Пусть к зажимам цепи с активным сопротивлением R приложено напряжение u  U m sin t . В цепи будет протекать ток: i U m sin t U m  sin t  I m sin t, R R где Im  U m R Вывод 1: ток и напряжение в резистивном элементе совпадают по фазе (изменяются синфазно) (рис. 2.3). Вывод 2: закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения: U m  RI m , так и для действующих значений тока и напряжения: U  RI . Выразим мгновенную мощность p через мгновенные значения тока и напряжения : p  u  i  U m I m sin t  sin t  14 Um Im (1  cos 2t ) 2 Анализ графика и формулы позволяют сделать выводы: - мгновенная мощность p имеет постоянную составляющую переменную составляющую U m I m cos 2t , изменяющуюся с частотой 2 ; Um Im  UI 2 и 2 Рис. 2.3. Мощность в резистивном элементе - мощность в любой момент времени положительна (р > 0). Это значит, что в резистивном элементе происходит необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии («потребление» энергии); - постоянная составляющая в формуле есть среднее значение мгновенной мощности за промежуток времени равный периоду Т. Следовательно, энергия, преобразуемая в резистивном элементе в течение периода, подсчитывается по формуле: U  I T W m m  U  I T . 2 2.2.2. Индуктивный элемент При протекании в индуктивном элементе тока iL  I m sin t согласно закону электромагнитной индукции напряжение на нем: uL  dФ d ( L  i ) di  L L , dt dt dt где Ф – магнитный поток, сконцентрированный внутри индуктивного элемента (катушки индуктивности); L – индуктивность элемента (коэффициент пропорциональности между магнитным потоком и током в индуктивном элементе), для линейного индуктивного элемента индуктивность L = const. Подставляя получим: uL    L  I m cos t  U m sin(t  900 ) , где U m    L  I m  X L  I m Величина X L    L называется индуктивным сопротивлением, измеряется в Омах. Таким образом, можно сделать выводы: 1. Ток в индуктивном элементе отстает по фазе от напряжения на угол  . 2 2. Индуктивный элемент оказывает синусоидальному (переменному) току сопротивление, модуль которого X L   L , прямо пропорционален частоте. 3. Закон Ома выполняется как для амплитудных значений тока и напряжения: U m  X L  I m , так и для действующих значений: Um  X L  Im  Um I  XL m U  XL  I 2 2 15 Рис. 2.4. Графики тока и напряжения в индуктивном элементе Выразим мгновенную мощность p через i и : u U I p  u  i  U m cos t  I m sin t  m m sin 2t  UI sin 2t 2 Анализ графика и формул позволяют сделать выводы: 1. Мгновенная мощность на индуктивном элементе имеет только переменную составляющую, изменяющуюся с двойной частотой. 2. Мощность периодически меняется по знаку: то положительна, то отрицательна. Это значит, что в течение одних четвертьпериодов, когда 0>p, энергия запасается в индуктивном элементе (в виде энергии магнитного поля), а в течение Рис.2.5. График изменения мощности других четвертьпериодов, когда 0 0, энергия запасается в емкостном элементе (в виде энергии электрического поля), а в течение других четвертьпериодов, когда р<0 , энергия возвращается в Рис. 2.7. График изменения мощности электрическую цепь. со временем 2.3. Активная и реактивная мощности P  UI cos  Q  UI sin  S  UI 2.4. Последовательное и параллельное соединение активного, индуктивного и емкостного элементов. Полное сопротивление последовательной цепи При прохождении гармонического тока i = Imcosωt через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных элементов R, L, С, на зажимах этой цепи создается гармоническое напряжение, равное алгебраической сумме гармонических напряжений на отдельных элементах (второй закон Кирхгофа): и = uR + иL + uC. 17 Рис. 2.8. Последовательно соединенные элементы R, L и С Напряжение uR на сопротивлении R совпадает по фазе с током i, напряжение uL на индуктивности L опережает, а напряжение иC на емкости С отстает от i на /2. Следовательно, напряжение и на зажимах всей цепи равно: U = Umcos(ωt + ) = RImcosωt + LImcos(ωt +  ) + 2  + 1 Imcos(ωt )=RImcosωt+(L 1 )Imcos(ωt+  ) 2 2 C C Данное уравнение представляет тригонометрическую форму записи второго закона Кирхгофа для мгновенных значений напряжений. Входящая в него величина Х =ХL  ХC = ωL  1 называется реактивным сопротивлением цепи, которое в зависимости от C знака может иметь индуктивный (Х > 0) или емкостный (Х < 0) характер. В отличие от реактивного сопротивления Х активное сопротивление R всегда положительно. Падение напряжения в активном и реактивном сопротивлениях изображается катетами прямоугольного треугольника напряжения, гипотенуза которого изображает напряжение на зажимах цепи. Отсюда:  U = ( RI )2  L  1 C  2 U= R2  x2 . или I2 Полученное выражение показывает, что действующие значения (так же, как и амплитуды) напряжения на зажимах цепи и тока, проходящего через данную цепь, связаны соотношением, аналогичным закону Ома: U = zI; Um = zIm,   1 2 C называется полным сопротивлением рассматриваемой цепи. Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен: где величина z= R 2  x 2  R 2  L   = arctg x  arctg R L  1 C R Если задано напряжение u = Umcos(ωt+) на зажимах цепи с последовательно соединенными R, L и С, то ток определяется по формуле: i = U m cos(ωt+). z Угол φ, равный разности начальных фаз напряжения и тока, отсчитывается по оси ωt в направлении от напряжения к току и является углом острым, прямым или равным нулю ||   . 2 Угол  положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при Х > 0; при этом ток отстает по фазе от напряжения, и φ отсчитывается в положительном направлении: на 18 временной диаграмме вправо от напряжения к току (рис. 4, а), а на векторной диаграмме против хода часовой стрелки от тока I к напряжению U . Угол  отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при x < 0, при этом ток опережает по фазе напряжение, и φ отсчитывается в отрицательном направлении: на временной диаграмме влево от напряжения к току, а на векторной диаграмме  по ходу часовой стрелки от тока I к напряжению U. Ток совпадает с напряжением по фазе при X = XL  ХC = 0, т.е. при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом напряжений. Таким образом, активное и реактивное сопротивления цепи связаны с полным сопротивлением формулами: R = zcos; x = zsin Умножив правые и левые части выражений на действующее значение тока I, получим действующие значения напряжений на активном и реактивном сопротивлениях, изображаемые катетами треугольника напряжений и называемые активной и реактивной составляющими напряжения: Ua = RI = zcosI = Ucos, Up = XI = zsinI = Usin. Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С, приложено гармоническое напряжение u = Umcosωt, то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = iR + iL + iC. Ток iR в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и, ток iL в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на /2 . Ток совпадает с напряжением по фазе при b = bR  bC = 0, т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов. Вопросы для самоконтроля 1) 2) 3) 4) 5) 6) Какие токи называются переменным и постоянным? Перечислить величины, характеризующие переменный синусоидальный ток. Что называется действующим значением переменного синусоидального тока? Что называется средним значением переменного синусоидального тока? Чему равно полное сопротивление цепи переменного тока? Что такое активная и реактивная мощность? СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Основная 1. Немцов М.В. Электротехника и электроника. М:, Высшая школа, 2007. - 560 с.; ISBN 078-5-06-005607-5 2. Лачин В.И., С. Электроника. Уч. пособие. 3-е изд. / Лачин В.И., Савёлов Н.С. Ростовна-Дону. Феникс, 2002. – 676с.; - ISBN 5-222-0718-Х 19