Центр тяжести плоского твердого тела

1 Лекция 6. Центр тяжести плоского твердого тела 6.1 Центр параллельных сил Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния. Он решил ряд задач на нахождение центров тяжести различных геометрических фигур: треугольника, параллелограмма, конуса, сегмента параболы. Архимед определил центр тяжести тела так: «...центром тяжести некоторого тела является некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее мысленно подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положение». Рассмотрим систему параллельных Oz оси сил: F1, F2 ,…, FN . Силы приложены в точках с координатами xn , yn , zn (рис. 63.1). Заданная система параллельных сил имеет Рис. 6.1 R , параллельную заданным силам и равную по заданных сил R = равнодействующую модулю алгебраической N сумме å Fn ; приложена равнодействующая в точке С ( xc , yc zc ) n =1 – центр параллельных сил. На основании теоремы Вариньона n N i =1 n =1 M o ( R ) = å M o ( Fi ) , где R = å Fn . 2 Вычислим координаты центра параллельных сил. xc , yc , zc . Для этого вычислим моменты от равнодействующей R относительно осей Ox,Oy и моменты от всех F n сил относительно тех же осей и приравняем их между собой, получим: ì M ox ( R ) = R × yc , ï Þ R × yc = F1 y1 + F2 y2 + L + FN y N = å Fi yi . í ïî M ox ( Fi ) = F1 y1 + F2 y2 + L + FN y N ; ì M oy ( R ) = R × xc , ï Þ R × xc = F1x1 + F2 x2 + L + FN xN = å Fi xi . í ï M oy ( Fi ) = F1x1 + F2 x2 + L + FN xN ; î Развернем систему параллельных сил F1, F2 ,…, FN на 90° , получим систему сил, параллельных оси Oy (рис. 6.2). Вычислим момент от равнодействующей R относительно оси Ox и моменты от всех F n сил относительно той же оси и приравняем их между собой, получим: Рис. 6.2 ì M ox ( R ) = R × zc , ï Þ R × zc = F1z1 + F2 z2 + L + FN z N = å Fi zi . í ï M ox ( Fi ) = F1 z1 + F2 z2 + L + FN z N ; î Координаты центра параллельных сил вычисляются по формулам: N xc = N å Fi xi n =1 R ; yc = å Fi yi n =1 R (6.1) N N ; zc = å Fi zi n =1 R , где R = å Fn , N – число сил, образующих систему параллельных сил. n =1 3 6.2. Центр тяжести твердого тела Рассмотрим абсолютно твердое тело. На каждую частицу тела действует сила притяжения к земле Pn , направленная по вертикали вниз, – вес этой частицы (рис. 6.3). Эти силы на поверхности Земли образуют систему параллельных сил P1 , P2 ,K , Pn ,... . Рис. 6.3 Центр тяжести тела и центр системы параллельных сил, которую приближенно образуют силы тяжести элементарных частиц тела, совпадают. Запишем координаты центра тяжести тела, используя (6.1): ì Pn × xn å x ; = ï c P ån ï ï ï å Pn × yn ; C ( xc , yc ,xc ) Þ í yc = å Pn ï ï ï z = å Pn × zn . ïî c å Pn Здесь P = N å Pn – вес тела, xn , yn ,zn – координаты точки C . n =1 (6.2) 4 Для однородного тела силу тяжести можно вычислить через плотность тела r . Если рассматриваемое тело однородно, то, обозначая удельную плотность вещества g , получим Pn = g × Vn , P = rV , dP = r dV , r = const. (а) (Vn – элементарный объем тела, V – объем тела). Подставляя (а) в равенство (5.2) и после сокращения на r , получим N xc = åVn × xn n =1 V N ; yc = åVn × yn n =1 V N ; zc = åVn × zn n=1 . V (б) Если в (б) перейти к пределу N ® ¥ , увеличивая число элементарных частей N до бесконечности, то после замены бесконечной суммы интегралом получим координаты центра тяжести твердого тела xc = 1 1 1 xdV , yc = ò ydV , zc = ò zdV ò V V V V 3.3. V (6.3) V Плоское сечение Рассмотрим однородное тело, ограниченное двумя параллельными плоскостями и контурной поверхностью (рис. 6.4). Если размеры тела по осям Ox и Oy много больше размера тела по оси Рис. 6.4 Oz , такое тело будем называть плоским. Так как тело однородно, его центр тяжести делит толщину тела h на равные части. Совместим с плоскостью симметрии координатную плоскость Oxy . 5 Разложим тело на N малых частей площадью An . Вес n -й части тела Pn , рис. 6.5. Тогда N P = å Pn – вес всего тела; n= 1 Рис. 6.5 N A= å An – площадь всего тела. n =1 Координаты центра тяжести плоского тела определяются аналогично координатам центра параллельных сил (1). Если Pn – вес малого сечения N тела, тогда R º å Pn = P , где P – сила тяжести (вес) тела. n =1 Имеем: xC = å Pn × xn å Pn × yn . , yC = P P (а) Для однородного тела силу тяжести можно вычислить через плотность тела r : N N n=1 n=1 Pn = r × An , P = å r × An = r å An = r × A (б) Подставляя выражение (б) в равенство (а) и после сокращения на r , получим N xс = å Pn × xn n= 1 P N = r å An × xn n= 1 rA N = å An × xn n= 1 A = x1 A1 + x2 A2 + ... + xN AN ; A1 + A1 + ... + AN (6.4) N yс = å Pn × yn n= 1 P N = r å An × yn n = 11 rA N = å An × yn n= 1 A = y1 A1 + y2 A2 + ... + y N AN . A1 + A1 + ... + AN 6 Если в (6.4) перейти к пределу N ® ¥ , увеличивая число элементарных частей N до бесконечности, то после замены бесконечной суммы интегралом получим координаты центра тяжести твердого тела xc = (6.5) 1 1 = xdA y ydA , c Aò Aò A A Центр тяжести полукруга. Центр тяжести полукруга радиуса R находится на оси симметрии, которую примем за ось Oy (рис. 6.6). Координату центра тяжести полукруга вычислим по формуле yс = 1 ydA . Aò A В рассматриваемом случае 1 A = p R 2 , dA = dxdy . 2 Подставляя эти значения в формулу Рис. 6.6 для вычисления центра тяжести полукруга yC , получим: yс = +R 2 pR 2 2 2 R -x ò dx ò -R é 3 1 ê 2 R x R x -R 3 p R2 ê ë 2 +R 2 2 R -x 2 y dy = dx × ò 2 p R 2 -R = +R 1 pR 2 ò (R 2 -R ù 3 æ 3 öù é ú = 1 ê R 3 - - R3 - R + ç - R ÷ ú = 4R . ú p R 2 êë 3 èç 3 ø÷ úû 3p -R û R Таким образом, OC = yс = ( ) 4R . 3p В полярной системе координат вычисления проще. Имеем: y = r sin j , dA = dxdy = rdrdj ; ) - x 2 dx = 7 yс = 1 2 ydxdy = ò òò r sinj × rdrdj = A p R2 A = 2 pR R 2p r dr ò sinj dj = 2 ò 2 2 p R2 × R3 4R ×2 = . 3 3p Центр тяжести плоского тела – геометрическая точка, в которой приложена равнодействующая сил тяжести отдельных частиц тела Pn . Положение центра тяжести однородного тела зависит только от его геометрической формы и размеров, и не зависит от свойств материала, из которого тело выполнено. Координаты центров тяжести простейших плоских фигур приведены в таблице 6.1 Таблица 6.1 Поперечное сечение Центр тяжести xc = 0, yc = 0. Поперечное сечение Центр тяжести 1 xc = l, 3 1 yc = h. 3 4R , 3p 4R yc = . 3p xc = xc = 0, yc = 0. 2 Rsin a xc = × = 3 a Rsina = 38,2 a° . yc = 4R , xc = 0. 3p 8 63.4. Способы вычисления центра тяжести I. Метод симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси симметрии, или в центре симметрии. Центр тяжести линии длиной L – посередине. Центр тяжести окружности (или круга) радиуса R – в его центре, т.е. в точке пересечения диаметров. Центр тяжести параллелограмма, ромба или параллелепипеда – в точке пересечения диагоналей. Центр тяжести правильного многоугольника – в центре вписанного или описанный круга. II. Метод разбиения на части. Если возможно провести разбиение тела на части, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести тела определяются с помощью формул (6.4). Пример 6.1. Вычислить положение центра тяжести заданного таврового сечения (рис. 6.7). Все Рис. 6.7 размеры на рисунке указаны в см. Решение. относительно Сечение оси у. симметрично Следовательно, центр тяжести С лежит на этой оси, тогда координата xC = 0 , и остается найти координату yC . Разделим тавровое сечение на два прямоугольника, один из которых расположен горизонтально, другой – вертикально (рис. 6.8). Определим координаты центров тяжести и площади для первого и второго прямоугольников: Рис. 6.8 9 é êC1 ( 0;1) , Прямоугольник 1 Þ ê 2 ê A1 = 6 × 2 = 12 см ; ë ( ) é êC2 ( 0;5 ) , Прямоугольник 2 Þ ê 2 ê A2 = 8 × 3 = 24 см . ë ( ) Имеем: yС = y1 A1 + y 2 A2 A = 1 × 12 + 6 × 24 24 + 144 42 = = » 4,7 см. 12 + 24 36 6 Откладываем вычисленную координату от оси x на схеме (рис. 6.8), проводим центральные оси Cxc yc . Примечание. При правильном вычислении, центр тяжести всего сечения (точка С) должен лежать на прямой С1С2 соединяющей центры тяжести простых сечений (прямоугольников), и делить прямую С1С2 на отрезки обратно пропорциональные площадям соответствующих сечений – прямоугольников (золотое правило). Проверим: A2 C1C = A1 C2C Þ 24 3,33 = = 2. 12 1,67 Пример 6.2. Для заданного сечения вычислить центр тяжести (рис. 3.9). Дано: R = 6 cм . Решение. Разобьем заданное сечение на Рис. 6.9 простые: квадрат – фигура 1, полукруг – фигура 2 (рис. 6.10). Ось Ox совместим с осью симметрии, ось Oy совместим со стороной квадрата. Тогда центр тяжести будет лежать на оси Ox , т.е. yC = 0 . 10 Рис. 6.10 Вычислим площадь и координату центра тяжести каждой фигуры: é êC1 ( 6;0 ) , 1. Квадрат Þ ê 2 2 2 ê A1 = 2 R × 2 R = 4 × R = 4 × 6 = 144 см . ë 2. Полукруг Þ ( ) é 4R 4×6 êC2 ( x2 ;0 ) , x2 = 2 R + 3p = 2 × 6 + 3 × 3,14 = 12 + 2, 55 = 14, 55 см; Þê 2 2 ê 3 14 × 6 p R , 2 ê A2 = = = 56,52 см . ë 2 2 Имеем: xC = x1 A1 + x 2 A2 A1 + A2 = 6 × 144 + 14 ,55 × 56 ,52 864 + 822 ,37 1686,37 = = » 8 ,4 см. 144 + 56 ,52 200 ,52 200 ,52 Откладываем вычисленную координату от оси Oy на схеме (рис. 6.10), проводим центральные оси Cxc yc . Проверим: A2 C1C = A1 C2C Þ 56,52 2,4 = = 0,39. 144 6,15 11 Следует иметь в виду, что в некоторых случаях центр тяжести находится вне тела. Например, конструкция, состоящая из двух одинаковых брусков, соединенных шарниром, в имеют центр тяжести, который лежит на оси симметрии, причем на рис. 6.11,а – в геометрическом центре, а в согнутом –центр тяжести оказывается вне этих брусков, рис. 6.11, б. Рис. 6.11 l Вычислим yC . Имеем: A1 = A2 = l × h; y1 = y2 = sin a . 2 Тогда: yC = 2 × A1 y1 1 = y1 = l sin a . . 2 × A1 2 Пример 6.3. Вычислить координаты центра тяжести однородной пластины (рис. 6.12, а). Все размеры на рисунке показаны в сантиметрах. а б Рис. 6. 12 12 Решение. Вводим прямоугольные оси координат Oxy , разбиваем пластину на два прямоугольника (1) и (2), линии разреза показаны на рисунке рис. 6.12,б. Вычислим координаты точек центров тяжести С1 ( x1; y1 ) и С2 ( x2 ; y2 ) и площади A1 и A 2 прямоугольников: é x = 1cм, ê 1 ê Прямоугольник 1 Þ ê y1 = 4 см, ê êë А1 = 2 × 8 = 16 cм 2 . é x = 1 + 3 = 4 см, ê 2 ê Прямоугольник 2 Þ ê y 2 = 8 + 1 = 9 см, ê êë А2 = 8 × 2 = 16 см 2 . Площадь всей пластины: 2 А = å Аn = А1 + А2 = 16 +16 = 32 см 2 . n =1 Тогда: x1 A1 + x 2 A2 1 × 16 + 4 × 16 80 = = 2,5 см . A 32 32 y A + y 2 A2 4 × 16 + 9 ×16 64 + 144 = = = 6,5 см. yС = 1 1 A 32 32 xС = = Положение центра тяжести совпадает с точкой С ( 2,5; 6,5 ) см, рис. 6.12, б. Точка С лежит на прямой, соединяющей центры С1 и C2 . III. Экспериментальный метод. При подвешивании тела за любую точку его центр тяжести лежит на линии подвеса. Например, если тело из примера 6.2 подвесить за точку А, то линия подвеса пройдет через точку С, рис. 6.13. Следовательно, можно последовательно прикреплять тело 13 к нити за разные точки. При равновесии центр тяжести тела должен лежать на линии, совпадающей с линией нити, иначе сила тяжести привела бы тело в движение. При помощи линейки прочертить Рис. 6.13 и карандаша вертикальные можно прямые, совпадающие с направлением нитей, которые были закреплены в разных точках. В зависимости от сложности формы тела понадобится провести две-три линии. Все они должны пересечься в одной точке. Эта точка и будет центром тяжести данного тела. IV. Метод дополнения (метод отрицательных площадей). Если тело можно дополнить до известной фигуры, то при разбивке на простые элементы дополненным фигурам присваиваются отрицательные значения площади. Пример 3.4. Вычислить положение центра тяжести круглой пластины радиусом R с вырезом радиуса r (рис. 6.14). Расстояние С 1 С 2 = a . Решение. Совместим ось Ox с осью симметрии пластины, ось Oy – проведем через, центр тяжести круга большого радиуса Рис. 6.14 R . Тогда yC = 0 . Для нахождения координаты x C дополняем площадь пластины A1 до полного круга (тело 1), затем вычитаем из полученной площади площадь вырезанного круга A 2 (тело 2). Имеем: éC1 ( a;0 ) , éC1 ( 0;0 ) , Круг 1 Þ ê Круг 2 Þ ê ê ê 2 2 = A p R . êë A2 = -p r . êë 1 14 Положение центра тяжести вычислим по формулам: xC = x 1 A1 + x 2 A 2 A = 0 × p R 2 + a × ( -p r 2 ) p (R2 - r 2 ) =- a × r2 p (R2 - r 2 ) . Вычисленный центр тяжести расположен левее точки С1 . Ответ: x C = - a×r2 p ( R2 - r2 ) ; yC = 0. Определение. Центральными осями C xc yc называются оси, начало координат которых совпадает с положением центра тяжести сечения. Пример 3.5. Для заданного сечения вычислить положение центральных осей (рис. 6.15). Дано: R = 6 cм . Решение. Разобьем заданное сечение на простые: дополним квадрат – фигура 1, Рис. 6.15 полукруг– фигура 2 и четверть круга с отрицательной площадью – фигура 3 (рис. 6.16). За вспомогательную систему координат выберем стороны квадрата: Ox y . Рис. 6.16 15 Вычислим площадь и координаты центров тяжести каждой фигуры: Перая фигура é x = R = 6 cм; ê 1 Квадрат Þ ê y1 = R = 6 cм; ê 2 2 2 êë A1 = 4 R = 4 × 6 = 4 × 36 = 144 см Вторая фигура é 4R 4×6 = 2×6 + = 12 + 2,55 = 14,55 cм; ê x2 = 2 R + × 3 p 3 3 , 14 ê Полукруг Þ ê y2 = R = 6 cм; ê 2 2 pR 3,14 × 6 ê 2 = 56,52 см . êë A2 = 2 = 2 Третья фигура é 4R 4×6 = = 2,55 cм; ê x3 = × 3 3 3,14 p ê ê 4R 4×6 = = 2,55 cм; Четверть круга Þ ê y3 = × 3 p 3 3,14 ê 2 2 ê pR 3,14 × 6 2 ê A3 = == -28, 26 см . ë 4 4 Имеем: xс = = A1 + A2 + A3 = 6 ×144 + 14,55 × 56,52 + 2,55 × ( -28,26 ) = 144 + 56,52 - 28,26 864 + 822,37 - 72,03 » 9,4 см; 172,26 yс = = x1 A1 + x 2 A2 + x3 A3 y1 A1 + y 2 A2 + y3 A3 A1 + A2 + A3 = 6 × 144 + 6 × 56,52 + 2,55 × ( -28,26 ) = 144 + 56 ,52 - 28,26 864 + 339,12 - 72,03 » 6,6 см. 172,26 16 Отложим координаты центра тяжести сечения и проведем центральные оси, рис. 6.17 Рис. 6.17 Проверим полученный результат натуральным экспериментом. Для этого подвесим рассмотренное сечение на нерастяжымую нить, рис. 3.18. Если сечение будет занимать параллельное в пространстве положение, горизонтальной плоскости (например, плоскости стола), координаты центра Рис. 6.18 тяжести сечения вычислены правильно. Ответ: xс = 4,9 см; yс = 6,6 см.