Билинейные и квадратичные функции

31 2. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ а) β1 (x, y) = 2x1 y2 − 3x1 y3 + x2 y3 − 2x2 y1 − x3 y2 + 3x3 y1 , β2 (x, y) = x1 y2 − x2 y1 + 2x2 y2 + 3x1 y3 − 3x3 y1 ; б) β1 (x, y) = x1 y1 + ix1 y2 , β2 (x, y) = 2x1 y1 + (1 + i)x1 y2 + (1 − i)x2 y1 − ix2 y2 . О т в е т : а) нет, так как одна – кососимметрическая, другая нет; б) нет, так как одна вырожденная, другая нет. 2.3. Квадратичные функции 1. Канонический вид симметрической билинейной функции. Говорят, что билинейная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональна, т.е. β(x, y) = n X bkk xk yk . (2.3) k=1 Очевидно, что билинейная форма, имеющая относительно некоторого базиса канонический вид, является симметрической. Можно доказать и обратное: всякая симметрическая билинейная форма приводится к каноническому виду. Для обоснования этого утверждения можно использовать метод Лагранжа или метод ортогонального преобразования, речь о которых пойдет ниже применительно к квадратичным формам. В настоящем пункте мы остановимся на методе, носящем имя Якоби и основанном на теореме 2.1. Угловым минором порядка k матрицы A называется определитель ∆k , составленный из элеметов матрицы A, стоящих на пересесении ее k первых строк и k первых столбцов. Теорема 2.1. Пусть β – симметрическая билинейная функция, а ∆1 , . . . , ∆n – угловые миноры ее матрицы, записанной относительно некоторого базиса. Тогда если первые n − 1 этих миноров отличны от нуля, то существует базис, относительно которого форма имеет канонический вид β(x, y) = λ1 x1 y1 + . . . + λn xn yn , где коэффициенты λ1 , . . . , λn определяются соотношениями λk = ∆k /∆k−1 , k = 1, n, ∆0 = 1. # Выше отмечалось, что ранг матрицы билинейной формы является инвариантом. Для симметрической билинейной функции это означает, что любой ее канонический вид (2.3) содержит одно и то же число ненулевых коэффициентов bkk . Для симметрической билинейной функции, заданной на вещественном линейном пространстве, можно доказать более сильное утверждение: любой ее канонический вид содержит одно и то же число положительных и одно и то же число отрицательных коэффициентов. Эти числа называются соответственно положительным и отрицательным индексами билинейной функции. 2.27. С использованием метода Якоби найти канонический вид симметрических билинейных функций: а) 2x1 y1 − x1 y2 + x1 y3 − x2 y1 + x3 y1 + 3x3 y3 ; б) 2x1 y2 + 3x1 y3 + 2x2 y1 − x2 y3 + 3x3 y1 − x3 y2 + x3 y3 . 32 2. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ О т в е т : а) 2x01 y10 − 12 x02 y20 + 3x03 y30 ; б)x01 y10 − x02 y20 + 16x03 y30 . 2.28. Методом Якоби выяснить эквивалентность билинейных функций, заданнных матрицами     1 2 3 1 3 0  2 0 −1  , 3 1 1 3 −1 3 0 1 5 а) в случае вещественного линейного пространства; б) в случае линейного пространства, заданного над полем рациональных чисел. О т в е т : а) да; б) нет. 2. Понятие квадратичной функции. Знакоопределенные квадратичные функции. Пусть V – линейное пространство над полем F , β – заданная на нем симметрическая билинейная функция. Определение 2.7. Квадратичной функцией, порожденной функцией β, называется отображение q : V → F , полученное из β отождествением аргументов, т.е. q(x) = β(x, x). # Если в пространстве V зафиксировать базис e = (e1 , . . . , en ), то значение q(x), x ∈ V , можно представить в виде т q(x) = [x]e [β]e [x]e , который называется матричной формой записи квадратичной функции; матрица [β]e называется матрицей функции q относительно базиса e. Если раскрыть входящие в правую часть последнего равенства матричные операции, то значение q(x) можно представить в виде q(x) = n X bjk xj xk = j,k=1 n X j=1 bjj x2j + 2 X bjk xj xk , j 0 (соответственно q(x) < 0). Функция, которая не является ни положительно, ни отрицательно определенной, называется функцией общего вида. Симметрическая билинейная функция называется положительно определенной (отрицательно определенной, общего вида), если ассоциированная с ней квадратичная функция положительно определена (соотвтетственно отрицательно определена, является функцией общего вида). Для исследования знака квадратичной функции может быть использовано следующее утверждение, которое называется критерием Сильвестра. Теорема 2.2. Пусть q – квадратичная форма, заданная на вещественном линейном пространстве V , а e – базис этого пространства. Тогда функция q положительно определена тогда и только тогда, когда все угловые миноры ее матрицы относительно базиса e положительны. # В качестве следствия теоремы 2.2 можно доказать, что квадратичная форма q отрицательно определена тогда и только тогда, когда знаки угловых миноров матрицы [q]e чередуются, начиная с отрицательного. 2.29. Найти симметрическую билинейную функцию, ассоциированную с квадратичной функцией: а) x21 + 2x1 x2 + 2x22 − 6x1 x3 + 4x2 x3 − x23 ; б) x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 . О т в е т : а) x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 − 3x1 y3 − 3x3 y1 + 2x2 y3 + 2x3 y2 − x3 y3 ; б) 12 (x1 y2 + x2 y3 + x1 y3 + x2 y1 + x3 y2 + x3 y1 ). 2.30. Какие из симметрических билинейных функций задачи 2.17 являются положительно определенными? О т в е т : а), ж), и), м), с). 2.31. Установить, какие из приведенных ниже квадратичных функций являются положительно или отрицательно определенными: а) x21 + 26x22 + 10x1 x2 ; б) x21 − 15x22 + 4x1 x2 − 2x1 x3 + 6x2 x3 ; в) 12x1 x2 − 12x1 x3 + 6x2 x3 − 11x21 − 6x22 − 6x23 ; г) 9x21 + 6x22 + 6x23 + 12x1 x2 − 10x1 x3 − 2x2 x3 ; д) 2x24 + x1 x2 + x1 x3 − 2x2 x3 + 2x2 x4 ; е) x21 + 4x22 + 4x23 + 8x24 + 8x2 x4 . О т в е т : положительно определенные а), г), е); отрицательно определенная: в); остальные общего вида. 34 2. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 3. Канонический вид квадратичной функции. Пусть q – квадратичная функция, заданная на линейном пространстве V полем F . Говорят, что квадратичная форма q(x) имеет канонический вид, если канонический вид имеет ассоциированная с ней билинейная форма. Другими словами, каноническим видом квадратичной формы называется выражение λ1 x21 + . . . + λn x2n . (2.5) Для любой квадратичной функции существует базис, относительно которого отвечающая ей форма будет канонической. Последнее следует из справедливости аналогичного результата для симметричных билинейных форм и однозначности соответствия между квадратичными и симметрическими билинейными формами. Нетрудно показать, что в случае F = R (F = C) путем нормировки коэффициентов канонического вида (2.5) можно добиться выполнения условия λj ∈ {0, 1, −1} (соответственно λj ∈ {0, 1}) — в этом случае выражение называется нормальным каноническим видом вещественной (соответственно комплексной) квадратичной функции. Из сформулированных выше утверждений о симметрических билинейных функциях следует, что для данной квадратичной формы любой ее канонический вид содержит одно и то же число ненулевых коэффициентов. В случае вещественной квадратичной формы все ее канонические виды содержат одно и то же число положительных и отрицательных коэффициентов (закон инерции квадратичных форм). Кроме того, в вещественном случае коэффициенты канонического вида позволяют судить о знаке функции. Так, квадратичная функция положительно (отрицательно) определена тогда и только тогда, когда все коэффициенты в ее канонической записи положительны (отрицательны). Одним из возможных методов приведения квадратичной функции в канонический вид является метод Лагранжа, в основе которого лежит процедура выделения полных квадратов. Пусть n X X q0 (x) = ajj x2j + 2 ajk xj xk j=1 16j 0 при x 6= 0. Очевидно, это имеет место тогда и только тогда, когда в представлении (2.7) m = n, l = 0, где n = dim V . 2.35. Для каждого из приведенных ниже отображений установить, является ли оно полуторалинейной функцией. В случае положительного ответа установить, является ли она эрмитовой. т а) f (x, y) = x y, где x, y ∈ Cn рассматриваются как столбцы; б) f (x, y) = tr(xy), где x, y ∈ Mn (C); в) f (x, y) = det(xy), где x, y ∈ Mn (C); т г) f (x, y) = tr(xy ), где x, y ∈ Mn (C); т д) f (x, y) = tr(xy ), где x, y ∈ Mn (C); е) f (x, y) = [xy]jk , где x, y ∈ Mn (C), а [x]jk – элемент, стоящий в j-й строке и k-м столбце матрицы x;  т ж) f (x, y) = xy jk , где x, y ∈ Mn (C), а [x]jk – элемент, стоящий в j-й строке и k-м столбце матрицы x; d(xy) з) f (x, y) = , где x, y ∈ Cn [t], а черта означает применение соdt t=t0 пряжения ко всем коэффициентам многочлена; Z1 и) f (x, y) = x(t)y(t) dt, где x, y ∈ Cn [t] – многочлены с комплексными коэффициентами, зависящие от вещественной переменной t; Z1 к) f (x, y) = x0 (t)y(t) dt, где x, y ∈ Cn [t] – многочлены с комплексными коэффициентами, зависящие от вещественной переменной t. О т в е т : a) да, эрмитова; б) да, эрмитова; в) нет; г) да, эрмитова; д) нет; е) да, не является эрмитовой; ж) да, эрмитова лишь при j = k; з) да, эрмитова; и) да, эрмитова; к) да, не является эрмитовой. 2.36. Какие из эрмитовых полуторалинейных функций задачи 2.35 порождают положительно определенную эрмитову квадратичную функцию? О т в е т : а); б) лишь при n = 1; г); и). 2.37. Пусть f (x, y) – эрмитова функция, q(x) = f (x, x). Доказать равенство 4f (x, y) = q(x + y) − q(x − y) + iq(x + iy) − iq(x − iy). 2. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФУНКЦИИ 38 2.38. Доказать, что если f – положительно определенная эрмитова форма на комплексном пространстве, то f (x, y)f (x, y) 6 f (x, x) · f (y, y). У к а з а н и е : рассмотреть f (x + ty, x + ty), где t = sf (x, y), как неотрицательный квадратный трехчлен относительно s ∈ R. 2. Эрмитовы пространства. 2222 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3.1. Основные понятия 1. Определение линейного оператора. Пусть V , W – линейные пространства, заданные над полем F . Определение 3.1. Отображение A : V → W называется линейным, если A(x + y) = A(x) + A(y), A(λx) = λA(x), x, y ∈ V, λ ∈ F. # В случае, когда пространство V конечномерно, линейное отображение A : V → W полностью определяется своими значениями на векторах базиса пространства V . В случае, когда W также конечномерно, эти значения удобно записывать в матрицу   [A]e, f = [Ae1 ]f [Ae2 ]f . . . [Aen ]f , которая называется матрицей линейного отображения A относительно базиса e = (e1 , e2 , . . . , en ) пространства V и базиса f = (f1 , f2 , . . . , fm ) пространства W . При этом значение отображения A на произвольном векторе x ∈ V может быть найдено по формуле [Ax]f = [A]e,f [x]e . В случае, когда пространства V и W совпадают, линейное отображение A : V → V называют линейным оператором и говорят, что A действует в пространстве V . При составлении матрицы линейного оператора базисы e и f принято выбирать одинаковыми, при этом матрица   [A]e = [A]e,e = [Ae1 ]e [Ae2 ]e . . . [Aen ]e называется матрицей оператора A относительно базиса e. В этом случае для всякого вектора x ∈ V [Ax]e = [A]e [x]e . Определение 3.2. жество Ядром линейного отображения A : V → W называется мноKer A = {x ∈ V : A(x) = 0} . Образом линейного отображения A : V → W называется множество 
Im A = y ∈ W : (∃x ∈ V ) y = A(x) . Ядро и образ линейного отображения являются подпространствами линейных пространств V и W соответственно. При этом число dim Im A называется рангом этого отображения и обозначается rank A. Можно доказать следующие утверждения о свойствах ядра и образа линейного отображения: 1◦ . rank A = rank [A]e в случае конечномерного пространства V ; 39 40 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 2◦ . dim Ker(A) + rank A = dim V в случае конечномерного пространства V ; 3◦ . A инъективно тогда и только тогда, когда Ker A = {0}. 3.1. Установить, что в пространстве V3 геометрических векторов отображение Ax = (x2 +x3 )i+(2x1 +x3 )j+(3x1 −x2 +x3 )k, где x = x1 i+x2 j+x3 k, является линейным, и найти его матрицу в базисе (i, j, k).  1 1  2 0 1 . Ответ: 3 −1 1 3.2. Доказать, что преобразование Ax = (x, a)a, где a ∈ V – фиксированный вектор, евклидова пространства V является линейным. Найти матрицу этого преобразования относительно ортонормированного базиса e = (e1 , e2 , e3 ), если  a = e1 +  2e2 + 3e3 . 1 2 3  2 4 6 . О т в е т : [A]e = 3 6 9 3.3. Показать, что дифференцирование является линейным преобразованием пространства Rn [t]. Найти матрицу этого преобразования в базисе
2 n 1, t, t , ..., t .     Ответ:     . 1 . 2 . 3 . ... ... ... . ... ... . n     .    3.4. В пространстве R3 [t] задано отображение Ah f (t) = f (t + h), где h ∈ R – некоторое фиксированное число. Доказать, что Ah – линейный
оператор, и найти его матрицу в базисе 1, t, t2 , t3 .  1 0 Ответ:  0  h h2 h3 1 2h 3h2  . 0 1 3h  0 0 1 3.5. Для каждого из приведенных ниже отображений линейного пространства V в себя установить, является ли оно линейным оператором. В случае положительного ответа записать матрицу оператора в стандартном базисе пространства V , а также найти ядро и образ. а) A : x 7→ с, где с ∈ V – фиксированный вектор; б) A : x 7→ x + a, где a ∈ V – фиксированный вектор; в) A : x 7→ αx, где α ∈ F – фиксированный скаляр; г) A : x 7→ (x, a)b, где V – евклидово пространство, a, b ∈ V – фиксированные векторы; 41 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ д) A : x 7→ (x, a)x, где V – евклидово пространство, a ∈ V – фиксированный вектор; е) A : f (t) 7→ f (at + b), где V = Rn [t], a, b ∈ R – фиксированные числа; ж) A : f (t) 7→ f (t + 1) − f (t), где V = Rn [t]; з) A : f (t) 7→ f (k) (t), где V = Rn [t], k > 0. Ответ: а) линеен только при с = 0, тогда [A] = O (нулевая матрица), Ker A = V , Im A = {0}; б) линеен только при a = 0, тогда [A] = E (единичная матрица), Ker A = {0}, Im A = V ; в) линеен, [A] = αE, при этом, если α 6= 0, то Ker A = {0}, Im A = V ; если α = 0 – оператор из пункта а) для c = 0; г) линеен, относительно произвольт ного отротонормированного базиса e матрица имеет вид [A]e = [b]e [a]e ; если a, b 6= 0, то Ker A = hai⊥ , Im A = hbi; если a = 0 или b = 0, то A – оператор из пункта а) для c = 0; д) линеен a = 0, тогдаA – оператор из пункта а) для c = 0; е) линейный,  только при 2 1 b b ... bn 1  0 a 2ab . . . Cn abn−1    2 2 2 n−2  [A] =   0 0 a . . . Cn a b ; Ker A = {0}, Im A = Rn [t] при a 6= 0; если a = 0, . . . . . . . . . . . . ...  0 0 0 ... an то Ker A = (t − b)Rn [t] – пространство многочленов  степени не выше n,для которых b 0 1 1 ... 1  0 0 2 . . . Cn1     0 0 0 . . . Cn2   является корнем, Im A = h1i; ж) линеен, [A] =  . . . . . . . . . . . . . . . ; Ker A = h1i;    0 0 0 . . . Cnn−1  0 0 0 ... Im A = Rn−1 [t]; з) линеен; если k 6 n, то [A] = (aij )i,j=1;n+1 , где aij = (j − 1)! при i = j − k, j = k + 1; n + 1, и aij = 0 при остальных i, j; Ker A = Rk−1 [t], Im A = Rn−k [t]; если k > n + 1, то A – оператор из пункта а) для c = 0. 3.6. Для каждого из приведенных ниже отображений пространства R3 в себя установить, является ли оно линейным оператором. В случае положительного ответа записать матрицу оператора в каноническом базисе, а также найти ядро и образ. а) A : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 + 2, x2 + 5, x3 ); б) A : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 + 3x3 , x32 , x1 + x3 ); в) A : (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x1 − 2x2 + 3x3 , x2 , x1 + x2 + x3)?  1 −2 3 1 0 ; Ker A = {0}, О т в е т : а), б) не являются линейными; в)линеен, [A] =  0 1 1 1 3 Im A = R . 3.7. В базисе (e1 , e2 , e3 ) записать матрицу ”косого” проектирования на подпространство H2 = he1 , e2 i вдоль подпространства H1 = he1 + e2 i. 42 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ   1 0 −1 0 . Ответ:  0 1 0 0 3.8. Показать,что умножение квадратных матриц второго порядка на  a b данную матрицу а) слева, б) справа является линейным оператоc d ром в пространстве M2 (F ), F – поле, и найти матрицы этих операторов в базисе, состоящем из матриц:         1 0 0 0 0 1 0 0 , , , . 0 0 1 0 0 0 0 1  a c О т в е т : а)  0 b d a c   a 0   0 0 a , б)    b b 0 d 0 b c d  c . 0 d 3.9. Записать в стандартном базисе пространства V 3 матрицу оператора поворотана угол π/3  вокруг вектора i + j + k. Ответ: 2 −1 2 1 2 2 −1. 3 −1 2 2 2. Операции над линейными операторами. Пусть A и B – линейные операторы, действующие в линейном пространстве V над полем F . Определение 3.3. Произведением оператора A на число λ ∈ F называется оператор λA, действующий в пространстве V и определенный условием (λA)(x) = λA(x). Суммой операторов A и B называется оператор A + B, действующий в пространстве V и определенный условием (A + B)(x) = A(x) + B(x). Произведением операторов A и B называется оператор AB, действующий в пространстве V и определенный условием (AB)(x) = A(B(x)). Произведение линейного оператора на число, а также сумма и произведение двух линейных операторов также являются линейными операторами, при этом в случае конечномерного пространства V их матрицы относительно произвольного базиса e удовлетворяют соотношениям [λA]e = λ [A]e , [A + B]e = [A]e + [B]e , [AB]e = [A]e [B]e . Определение 3.4. Оператором, обратным к линейному оператору A, называется оператор A−1 , такой, что AA−1 = A−1 A = E, 43 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где E – тождественное отображение. # Как известно, отображение обратимо тогда и только тогда, когда оно биективно, при этом обратное отображение также будет биекцией. В случае линейного оператора A, действующего в конечномерном пространстве V , это условие равносильно любому из следующих утверждений: 1◦ . det [A]e 6= 0; 2◦ . Im A = V ; 3◦ . Ker A = {0}. 3.10. В линейном пространстве R3 действуют операторы A(x1 , x2 , x3 ) = (3x1 + 4x3 , 5x2 − 2x3 , x1 + x2 ), B(x1 , x2 , x3 ) = (x2 − 3x3 , 3x1 + 2x3 , x1 − x2 ). Записать матрицу линейного оператора AB − BA и его явный вид в каноническом базисе пространства R3 .   7 −3 −7  2 0 −2 , (7x1 − 3x2 − 7x3 , 2x1 − 2x3 , 6x2 − 7x3 ). Ответ: 6 −7 3.11. В пространстве функций, дифференцируемых на всей оси, заданы оператор дифференцирования D = dtd и оператор A = eλt умножения на функцию eλt . Доказать, что DA − AD = λA. 3. Изменение матрицы оператора при замене базиса. Пусть A : V → V – линейный оператор, а e и f – базисы линейного пространства V . Можно показать, что матрицы     [A]e = [Ae1 ]e [Ae2 ]e . . . [Aen ]e , [A]f = [Af 1 ]f [Af 2 ]f . . . [Af n ]f оператора A относительно базисов e и f связаны соотношением −1 [A]f = Te→f [A]e Te→f , где Te→f – матрица перехода от базиса e к базису f . Замечание 3.1. Можно показать, матрицы [A]e,g и [A]e0 ,g0 линейного отображения A : V → W связны соотношением −1 [A]e0 ,g0 = Tg→g 0 [A]e,g Te→e0 , где e, e0 и g, g 0 – базисы линейных пространств V и W соответственно, а Te→e0 и Tg→g0 – соответствующие матрицы перехода. # 3.12. Записать в базисе e1 = i, e2 = i + j матрицу поворота на угол ϕ в пространстве V2 .  геометрических векторов  Ответ: cos ϕ − sin ϕ −2 sin ϕ . sin ϕ cos ϕ + sin ϕ 3.13. Записать матрицу оператора A из задачи 3.2 относительно базиса т т т b = (b1 , b2 , b3 ), если [b1 ]e = (1, 0, 1) , [b2 ]e = (2, 0, −1) , [b3 ]e = (1, 1, 0) . 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 44   20/3 −5/3 5 О т в е т : [A]b = −16/3 4/3 −4. 8 −2 6 3.14. В линейном пространстве два базиса e0 = (e1 + e2 + e3 , e1 + e2 , e1 ) и e00 = (e1 − e2 , e3 , e1 + e2 ) выражены через некоторый базис e= (e1 , e2 , e3 ).  1 2 −1  Линейный оператор A задан своей матрицей A = −1 3 1  в e0 . Найти 1 2 1 00 00 матрицу A этого оператора в базисе e .  линейного 0 − 21 1 О т в е т : A00 = −4 −1 2. 6 −5 − 11 2 В двумерном линейном пространстве оператор A в   V линейный 3 5 . Оператор B в базисе базисе e0 = (e1 + 2e2 , 2e1 + 3e2 ) имеет матрицу 4 3   4 6 e00 = (3e1 + e2 , 4e1 + 2e2 ) имеет матрицу . Найти матрицу оператора 6 9 00 A + B в базисе  e .  3.15. Ответ: 44 44 . −29, 5 −25 3.16. Для линейного оператора, действующего в линейном пространстве размерности 4, найти матрицу в базисе а) e0 = (e1 , e3 , e2 , e4 ); б) e00 = (e1 , 10e2 , e3 , e4 ); в) e000 = (e1 + e3 , e2 , e3 , e4 ), если в базисе e = (e1 , e2 , e3 , e4 ) его матрица   1 2 0 1 3 0 −1 2  A= 2 5 3 1 . 1 2 1 3 3.17. Как изменится матрица линейного оператора, заданного в базисе (e1 , . . . , en ), если а) поменять местами векторы ej и ek ? б) вектор ej умножить на число λ 6= 0? в) к вектору ej прибавить вектор ek ? О т в е т : a) поменяются местами столбцы с номерами j и k, а также строки с номерами j и k; б) столбец с номером j увеличится в λ раз, строка с номером j уменьшится в λ раз; в) к k-му столбцу добавится j-я строка, из j-й строки будет вычтена k-я строка. 45 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ  1 0 2 2 3 5 О т в е т : а)  3 −1 0 1 1 2      1 1 20 1 −1 −3 −4 0    2 2 1 ; б) 0.3 0 −0.1 0.2; в)  3 .  2 50 2 2 3 1 5 5 1 3 1 20 1 3 1 2 2 3 3.2. Собственные векторы линейного оператора 1. Понятие собственного числа и собственного вектора. Пусть V – линейное пространство над полем F , A : V → V – линейный оператор. Определение 3.5. Ненулевой вектор x ∈ V называется собственным для оператора A, если для некоторого числа λ ∈ F выполняется Ax = λx. При этом λ называют собственным числом оператора A и говорят, что собственный вектор x отвечает собственному числу λ. # Имеют место следующие свойства собственных чисел и собственных векторов: 1◦ . множество Vλ = {x ∈ V : Ax = λx} является подпространством линейного пространства V ; 2◦ . если λ1 , . . . , λm – попарно различные собственные числа оператора A, то подпространства Vλ1 , . . . , Vλm линейно независимы, в частности, если e1 , . . . , em – собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным числам, то система e1 , . . . , em линейно независима; ◦ 3 . число λ ∈ F является собственным для оператора A тогда и только тогда, когда λ является корнем многочлена ϕA (t) = det ([A] − tE) , где [A] обозначает матрицу линейного оператора A; 4 . собственные векторы x, отвечающие собственному числу λ, являются ненулевыми решениями однородной линейной системы ◦ ([A] − λE) [x] = 0, где [x] – столбец координат вектора x в базисе, относительно которого записана матрица [A]. Подпространство Vλ из свойства 1◦ называется собственным подпространством оператора A, отвечающим собственному значению λ. Многочлен ϕA (t), о котором идет речь в свойстве 3◦ , называется характеристическим для линейного оператора A. Можно показать, что характеристический многочлен не зависит от выбора базиса, относительно которого записывается матрица [A]. 3.18. Найти собственные числа и собственные векторы оператора дифференцирования в пространстве многочленов Rn [x]. О т в е т : единственный с точностью до пропорциональности собственный вектор 1 отвечает собственному числу 0. 3.19. Найти собственные числа и собственные векторы линейных операторов, заданных своими матрицами: 46 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ  0 1 0 а)  −4 4 0 −2 1 2  4 −5 2 б)  5 −7 3 6 −9 4  7 −12  в) 10 −19 12 −24  ;  ;  6 10 . 13 т т т О т в е т : а) λ = 2, α1 (1, 2, 0) + α2 (0, 0, 1) , где α12 + α22 6= 0; б) λ1 = 1, α1 (1, 1, 1) , т т где α1 6= 0; λ2 = 0, α2 (1, 2, 3) , где α2 6= 0; в) λ1 = 1, α1 (2, 1, 0) + α2 (1, 0, −1)T , где т α12 + α22 6= 0; λ2 = −1, α(3, 5, 6) , где α 6= 0. 2. Диагонализируемый оператор. Пусть V – линейное пространство над полем F , A : V → V – линейный оператор. Оператор A называется диагонализируемым, если относительно некоторого базиса e = (e1 , . . . , en ) пространства V его матрица [A]e является диагональной:   λ1 ... . (3.1) [A]e =  λn Можно показать, что матрица [A]e имеет вид (3.1) тогда и только тогда, когда e – базис, состоящий из собственных векторов оператора A; при этом j-й вектор базиса e отвечает собственному числу λj . Кроме того, можно доказать, что для существования базиса из собственных векторов оператора A необходимо и достаточно выполнения двух условий: 1) характеристический многочлен линейного оператора A раскладывается над F в произведение линейных сомножителей и 2) кратность каждого корня λj характеристического многочлена совпадает с dim Vλj . 3.20. Выяснить, какие из заданных матриц линейных операторов можно диагонализировать переходом к новому базису. Найти этот базис и соответствующую диагональную форму матрицы линейного оператора:   0.5 0 0.5  а) 0 1 0 ; 0.5 0 0.5   2 −1 2 б)  5 −3 3 ; −1 0 −2   0 0 0 1 0 0 1 0  в)  0 1 0 0. 1 0 0 0 47 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ        1 1        0 , e2 = 0 , e3 = 1 ; A = 0 О т в е т : а) e1 = −1 1         1 −1 0 1 −1 0        вать нельзя; в) e1 =  0, e2 = 1, e3 =  1 , e4 =  0 ; 1 1   0 0 1 0; б) диагонализиро0 1   1 0 0 0 1 0 0  A= 0 0 −1 0 . 0 0 0 −1 4 3.21. Выяснить, можно ли матрицу A = −4 1 диагональному виду путем перехода к новому базису Найти этот базис и соответствующий вид матрицы.  7 −5 5 0  привести к 9 −4 над полем R или C.     1 3 − 3i О т в е т : над R нельзя; над C базис e = (e1 , e2 , e3 ), где e1 = 1, e2 =  4 , 2 5 − 3i     3 + 3i 1    4 0 . e3 = ; матрица имеет вид 0 2 + 3i 5 + 3i 2 − 3i 3.22. Вычислить Am , если  1 1 а) A = ; 0 2   2 −1 . б) A = 3 −2    m    1 2 −1 1 0 2 −1 О т в е т : а) ; б) при четном m и при нечетном m. 2m 0 1 3 −2 У к а з а н и е : Использовать формулу Am = T −1 Dm T . 3. Инвариантные подпространства. Пусть V – линейное пространство, A : V → V – линейный оператор. Подпространство U ⊆ V называется инвариантным относительно оператора A (или, короче, A-инвариантным), если AU ⊆ U , то есть ∀u ∈ U Au ∈ U. Очевидно, всякое собственное подпространство оператора A является A-инвариантным. Можно показать, что если e = (e1 , . . . , en ) – базис пространства V , причем e0 = (e1 , . . . , em ), m 6 n, – базис A-инвариантного подпространства U , то матрица оператора A относительно базиса e имеет вид   A1 B [A]e = , (3.2) 0 A2   где A1 = A U e0 – матрица ограничения оператора A на подпространство U . Обратно, если относительно некоторого базиса (e1 , . . . , en ) матрица оператора A имеет вид (3.2), причем A1 – квадратная матрица порядка m, то U = he1 , . . . , em i – инвариантное подпространство для A. 48 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Более сильный результат состоит в том, если V = U ⊕ W , причем U и W инвариантны относительно A, а системы e0 и e00 образуют базисы подпространств U и W соответственно, то матрица [A]e имеет вид   A1 0 [A]e = , 0 A2     где e = (e0 e00 ) и A1 = A U e0 , A2 = A W e00 . Если линейный оператор A действует в комплексном пространстве V , то в силу основной теоремы алгебры его характеристический многочлен имеет корень, а, следовательно, A имеет одномерное инвариантное подпространство. Если оператор A действует в вещественном линейном пространстве, то в случае, когда его характеристический многочлен имеет вещественный корень, A обладает одномерным инвариантным подпространством. В случае, когда характеристический многочлен оператора A, действующего в вещественном пространстве V , имеет комплексный корень α + iβ, β 6= 0, можно рассмотреть линейное пространство V (C), которое называется комплексификацией пространства V и определяется следующим образом: элементы пространства V (C) – векторы вида x + iy, x, y ∈ V ; операции над векторами из V (C) задаются соотношениями (x + iy) + (u + iv) = (x + u) + i(y + v), (µ + iν)(x + iy) = (µx − νy) + i(µy + νx), где µ, ν ∈ R, x, y, u, v ∈ V . Определенное таким образом пространство V (C) содержит V в качестве вещественного подпространства. Линейный оператор A : V → V единственным образом продолжается до линейного оператора AC : V (C) → V (C), AC (x + iy) = Ax + iAy, для которого число α + iβ будет собственным значением. Можно показать, что собственный вектор p + iq отвечает собственному значению α + iβ, β 6= 0, оператора AC тогда и только тогда, когда Ap = αp − βq, Aq = βp + αq, причем векторы p, q ∈ V линейно независимы. Таким образом, последние равенства означают, что в случае, когда характеристический многочлен оператора A обладает комплексным корнем, который не является вещественным, A имеет двумерное инвариантное подпространство. 3.23. Пусть линейный оператор A, действующий в n-мерном линейном пространстве, имеет в некотором базисе e диагональную матрицу с различными элементами на диагонали. Найти все подпространства, инвариантные относительно A. О т в е т : {0} и линейные оболочки подсистем базиса e. 3.24. Найти все инвариантные подпространства линейного оператора, имеющего в базисе e = (e1 , . . . , en ) матрицу   λ 1 0 ... 0 0  0 λ 1 ... 0 0    . . . . . . . . . . . . . . . . . .     0 0 0 ... λ 1  0 0 0 ... 0 λ 49 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (элементы главной диагонали равны λ, элементы главной наддиагонали равны 1, остальные – нули). О т в е т : {0}, Vi = he1 , ..., ei i, i = 1; n. 3.25. В трехмерном пространстве действует линейный оператор, заданный в некотором базисе матрицей   4 −2 2 A =  2 0 2 . −1 1 1 Найти все инвариантные подпространства этого оператора. О т в е т : {0}, V , he1 i, he2 i, he3 i, U = he1 , e2 i, he3 , ai, где e1 = (1, 1, 0), e2 = (1, 0, −1), e3 = (2, 2, −1), a ∈ U . 3.26. Найти двумерное инвариантное подпространство линейного оператора, действующего в вещественном линейном пространстве и заданного матрицейA относительно некоторого базиса.  −4 −2 4 а) A = −6 −3 7; 0 −5 3   1 4 −5 б) A =  8 −24 19 . 10 32 26 Ответ: т т т т а) h(3, 4, 5) , (−1, −3, 5) i; б) h(4, 1, 0) , (4, −3, 0) i. 3.3. Жорданова нормальная форма 1. Жорданова форма матрицы. При исследовании линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве V над полем F , желательно выбрать базис так, чтобы его матрица имела наиболее простой вид. В разделе 3.2, п. 2 рассматривался случай диагонализируемого оператора; в настоящем пункте будут рассмотрены операторы, которые, возможно, не являются диагонализируемыми, однако их матрицы могут быть приведены к достаточно простому виду, минимально отличающемуся от диагонального. Достаточным условием существования такого вида является требование алгебраической замкнутости поля F , которое означает, что любой многочлен ненулевой степени над F имеет принадлежащий F корень. Жордановой клеткой порядка k называется квадратная матрица вида   λ 1 0 ... 0 0  0 λ 1 ... 0 0    . . . . . . . Jk (λ) =     0 0 0 ... λ 1  0 0 0 ... 0 λ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 50 Жордановой клеткой порядка 1 называется матрица J1 (λ) = (λ). Жордановой матрицей называют блочно-диагональную матрицу вида   Jk1 (λ1 ) ...  0 Jk2 (λ2 ) ... 0   ,  . . . .  ... Jks (λs ) где Jkj (λj ), j = 1; s, – жордановы клетки. Базис e линейного пространства V , относительно которого матрица [A]e линейного оператора A является жордановой, называется жордановым базисом. При этом матрица [A]e называется жордановой нормальной формой матрицы линейного оператора A. Теорема 3.1. Пусть V – конечномерное линейное пространство над алгебраически замкнутым полем F , A : V → V – действующий в V линейный оператор. Тогда в V существует жорданов базис для A, причем жорданова нормальная форма матрицы оператора A единственна с точностью до перестановки жордановых клеток на диагонали. # Замечание 3.2. В условии теоремы 3.1 можно ослабить требование алгебраической замкнутости поля F , потребовав, чтобы характеристического многочлена оператора A раскладывался над F в произведение линейных сомножителей. # В настоящем пункте опишем алгоритм построения жордановой нормальной формы матрицы линейного оператора, заданного матрицей A, в предположении, что выполнены условия теоремы 3.1 (с учетом замечания 3.2). Построению соответствующего базиса будет посвящен следующий раздел. Построние жордановой нормальной формы оператора, заданного матрицей A. 1) Составить характеристическое уравнение det(A−tE) = 0 и найти его корни с учетом кратности. 2) Для каждого корня λ кратности l найти количество Nk (λ) жордановых клеток размера k 6 l со значением λ на диагонали по формуле Nk (λ) = rank(A − λE)k−1 − 2 rank(A − λE)k + rank(A − λE)k+1 , учитывая, что сумма порядков клеток с λ на диагонали не должна превышать l. Замечание 3.3. Вычисления можно сократить, составив список всех возможных жордановых форм для найденных собственных значений соответствующих кратностей, а затем удалив из этого списка те формы J, для которых rank(J − λE)k 6= rank(A − λE)k . После этой процедуры в списке останется лишь искомая жорданова форма матрицы A. # 3.27.  Найти  жорданову форму матрицы: 2 9 а) ; −1 −4   1 −3 4 б) 4 −7 8; 6 −7 7   3 2 −3 в) 4 10 −12; 3 6 −7 51 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ  г) д) е) ж) з)  4 −5 7  1 −4 9; −4 0 5   1 −3 0 3 −2 −6 0 13    0 −3 1 3 ; −1 −4 0 8   4 −5 −1 1 2 −2 −1 1    0 0 4 2 ; 0 0 −5 −2   0 1 −1 1 −1 2 −1 1   −1 1 1 0; −1 1 0 1  1 −1 0 0 . . . 0 1 −1 0 . . .  0 0 1 −1 . . .  . . . . .  0 0 0 0 . . . 0 0 0 0 ...  0 0 0 0  0 0 . . .   1 −1 0 1      3 0 2 1 0 1 −1 1      О т в е т : а) ; б) 0 −1 1 ; в) 0 2 0 ; г) 0 2 + 3i 0 −1 0 0 −1 0 0 2  1 1 0        1 0 0 0 1+i 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0  0  0 1 0 0  1 + i ; з) 0 0 1    ; ж)  . . . 0 0 1 1; е)  0    1−i 1 0 0 1 1  0 0 0 0 0 0 1 1−i 0 0 0 1 0 0 0    0 ; д) 2 − 3i  0 ... 0 0 0 . . . 0 0  1 . . . 0 0 . . . . .  0 . . . 1 1 0 ... 0 1 2. Жорданов базис. Опишем алгоритм построения жорданова базиса для оператора, заданного матрицей A. Пусть λ1 , . . . , λs – все корни характеристического уравнения det(A−tE) = 0, J – жорданова нормальная форма матрицы A, полученная с использованием алгоритма, описанного в предыдущем пункте. Поскольку отвечающий матрице J жорданов базис e является объединением базисов для входящих в J жордановых клеток, достаточно описать алгоритм лишь для построения жорданова базиса для клеток, содержащих на диагонали один из корней λj . Пусть m1 < ... < ml – все различные размерности клеток с λj на диагонали. 1) На первом этапе для ml следует найти фундаментальную систему решений (ФСР) 52 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ однородной СЛАУ (A − λj E)ml −1 x = 0  и выбрать любой набор e1ml , e2ml , e3ml , . . . векторов, который дополняет найденную ФСР до ФСР однородной СЛАУ (A − λj E)ml x = 0. Каждый из векторов составленного набора является заключительным жордановой цепочки длины ml ; объединение этих цепочек образует жордановы базисы для клеток размерности ml с λj на диагонали. При этом векторы цепочки, заканчивающейся вектором eqml , удовлетворяют соотношениям eqk = (A − λj E)eqk+1 , k = 1; ml − 1. 2) На втором этапе для ml−1 следует найти ФСР однородной СЛАУ (A − λj E)ml−1 −1 x = 0 o n 3 2 1 векторов, который дополняет найденную , . . . , f , f и составить любой набор fm ml−1 m l−1 o nl−1 3 2 1 ФСР, объединенную с векторами eml−1 , eml−1 , eml−1 , . . . предыдущего этапа, до ФСР однородной СЛАУ (A − λj E)ml−1 x = 0. o n 3 2 1 , . . . является заключительным вектором , f , f Каждый из векторов набора fm ml−1 ml−1 l−1 жордановой цепочки длины ml−1 ; объединение этих цепочек образует жордановы базисы для клеток порядка ml−1 с λj на диагонали. При этом векторы цепочки, заканчивающейся q , можно найти по формуле вектором fm l−1 q fkq = (A − λj E)fk+1 , k = 1; ml−1 − 1. 3) На следующем этапе для ml−2 следует найти ФСР однородной СЛАУ (A − λj E)ml−2 −1 x = 0 o n 1 2 3 , g , g , . . . векторов, который дополняет эту ФСР, и составить любой набор gm ml−2 ml−2 n l−2 o n o 1 2 3 1 2 3 объединенную с векторами eml−2 , eml−2 , eml−2 , . . . и fml−2 , fml−2 , fml−2 , . . . предыдущих этапов, до ФСР однородной СЛАУ (A − λj E)ml−1 x = 0. n o 1 2 3 Каждый из векторов набора gm , g , g , . . . является заключительным вектором ml−2 ml−2 l−2 жордановой цепочки длины ml−2 ; объединение этих цепочек образует жордановы базисы для клеток порядка ml−2 с λj на диагонали. При этом векторы цепочки, заканчивающейся q вектором gm , можно найти по формуле l−2 q gkq = (A − λj E)gk+1 , k = 1; ml−2 − 1. 4) Следующие этапы выполняются аналогично п.п. 1)–3), при этом на последнем этапе рассматривается значение m1 . 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 53 Описание алгоритма завершено. 3.28. Пусть матрица оператора A относительно базиса (e1 , . . . , en ) совпадает с матрицей из задачи 3.27, пп. а, б, в, д, ж, з. Найти жорданову форму матрицы оператора A и соответствующий базис.    3 −1 1 т т
О т в е т : а) , (9, −3) , (0, 1) ; б) 0 0 −1    1 0 2 1 0 0 1
т т т в) 0 2 0; (1, 4, 2) , (1, 0, 0) , (3, 0, 1) ; д)  0 0 0 0 2 0 0 т т т
−1 1 ; (1, 2, 2) , (2, 4, 2) , (0, 2, 1) ; 0 −1  0 0 1 0 ; (3, 1, 0, 1)т , (3, 1, 3, 1)т , (3, −1, 3, 0) 1 1 0 1   1 1 . . .   0 1 1 0 . . . 0 0 1 1 0 0   0 1 0 0 0 0 1 1 . . . 0 0
т т т т    ж)  0 0 1 1; (0, 0, 1, 1) , (0, 1, 0, −1) , (1, 1, 0, 0) , (0, 0, 0, 1) ; з)  . . . . . . . ;   0 0 0 0 . . . 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ... 0 1 т т т т
(1, 0, 0, 0, . . . , 0, 0) , (0, −1, 0, 0, . . . , 0, 0) , (0, 0, −1, 0, . . . , 0, 0) , . . . , (0, 0, 0, 0, . . . , 0, −1) .  3.29. С использованием жордановой формы матрицы вычислить:  50 1 1 а) ; −1 3  64 7 −4 б) . 14 −8 Ответ: 50 а) 2     −24 25 −7 4 ; б) . −25 26 −14 8 3.30. Доказать, что всякая комплексная матрица подобна своей транспонированной матрице. 3.31. Доказать, что всякая периодическая комплексная матрица A (т.е. матрица, обладающая свойством Ak = E при некотором натуральном k) подобна диагональной матрице, и найти вид этой диагональной матрицы. Ответ: если n – период матрицы A, т.е. наименьшее из натуральных чисел k, k для которых A = E, то диагональная матрица имеет на главной диагонали некоторые √ из n значений корня n 1. З а м е ч а н и е . Результат не верен для матриц над полями конечной характеристики, например, в случае поля характеристики p для матрицы A =   1 1 0 ... 0  0 1 1 ... 0  p   ... ... ... ... ..., порядок которой не превосходит p, справедливо равенство A = E. 0 0 0 ... 1 3. Многочлены от матриц. Аннулирующие и минимальные многочлены. Пусть A : V → V – линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве V над полем F , а f (t) = a0 + a1 t + + am tm ∈ F [t] – многочлен от переменной t с 54 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ коэффициентами из поля F . Значением многочлена f (t) от оператора A называется оператор f (A) = a0 E + a1 A + ... + am Am , где E : V → V – тождественный оператор. Значением многочлена f (t) от матрицы A ∈ Mn (F ) называется матрица f (A) = a0 E + a1 A + ... + am Am , где E – единичная матрица. Многочлен f (t) ∈ F [t] называется аннулирующим для линейного оператора A, если f (A) = 0. Аннулирующий многочлен для матрицы определяется аналогично. Теорема 3.2. (Гамильтона-Кэли) Пусть A : V → V – линейный оператор, ϕA (t) = det([A] − tE) – его характеристический многочлен. Тогда ϕA является аннулирующим для A и для матрицы [A] (записанной относительно произвольного базиса), то есть ϕA (A) = 0, ϕA ([A]) = 0. # Аннулирующий многочлен для линейного оператора A наименьшей степени со старшим коэффициентом 1 называется минимальным многочленом для A и обозначается µA (t). Аналогично определяется минимальный многочлен µA (t) для матрицы A. Поскольку в соответствии с теоремой 3.2 оператор A аннулируется своим характеристическим многочленом, то степень его минимального многочлена не превосходит n = dim V . При этом возможен разброс степени от 1 до n. Справедливы следующие простейшие свойства минимального многочлена: 1◦ . µA (t) = µ[A] (t), где [A] – матрица линейного оператора A (относительно произвольного базиса); ◦ 2 . минимальный многочлен µA делит любой многочлен, аннулирующий A; 3◦ . для данного оператора A его минимальный многочлен единственен; 4◦ . наборы корней минимального многочлена µA (t) и характеристического многочлена ϕA (t) совпадают. 3.32. Показать, что если x – собственный вектор оператора A, соответствующий собственному числу λ, то он является собственным вектором оператора f (A), соответствующим собственному числу f (λ), где f – многочлен над полем F . 3.33. Найти минимальный многочлен а) единичной матрицы; б) нулевой матрицы; в) диагональной матрицы с различными элементами на главной диагонали; г) жордановой клетки порядка n с числом α на главной диагонали. Ответ: 3.34.  3  а) 1 а) t − 1; б) t; в) (t − λ1 )...(t − λn ); г) (t − α)n . Найти минимальные многочлены следующих матриц:  −1 −1 2 0 ; 1 1 55 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ   4 −2 2 б) −5 7 −5. −6 6 −4 Ответ: а) t2 − 4t + 4; б) t2 − 5t + 6. 3.35. Доказать, что минимальный многочлен матрицы порядка > 2 и ранга 1 имеет степень 2. 3.36. Что можно сказать о жордановой форме матрицы линейного оператора A в комплексном пространстве, если A3 = A2 . Ответ: cостоит из клеток первого порядка с 1 на главной диагонали и клеток первого или второго порядка с 0 на диагонали. 3.37. Доказать, что для подобия двух матриц необходимо, но не достаточно, чтобы они имели одинаковые характеристический и минимальный многочлены. 3.38. Пусть A – жорданова клетка порядка n с элементами α на главной диагонали. а) Найти матрицу f (A), где f (x) – многочлен. б) Найти жорданову форму матрицы A2 .  00 (n) f (α) f 1!(α) f 2!(α) . . . f n!(α)  f 0 (α) f (n−1) (α)   0  f (α) . . . 1! (n−1)!   2 (n−2)  О т в е т : а)   0 f (α) . . . f (n−2)!(α) ; б) При α 6= 0 жорданова клетка с α    .  . . . . ... f (α) на диагонали; при α = 0 две жордановы клетки с нулем на диагонали, имеющие порядок n при четном n и порядки n−1 и n+1 при нечетном n. 2 2 2 3.39. Доказать, что если матрицы A и B подобны, причем B = T −1 AT и для функции f (λ) матрица f (A) существует, то и матрица f (B) существует и подобна f (A), причем f (B) = T −1 f (A)T . 3.40. Доказать, что если матрица A  A1 0  0 A2 A=  . . 0 0 блочно-диагональна  ... 0 ... 0   . . ... As и функция f (λ) определена на множестве A, то  f (A1 )  0 f (A2 ) f (A) =   . . собственных значений матрицы  ... ... 0 . . . ... f (As ) 56 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3.41. Доказать, что если функция f (t) задается степенным рядом с радиусом сходимости ρ, а Jk (λ) – жорданова клетка порядка k с собственным значением λ на диагонали, |λ| < ρ, то определено значение f (Jk (λ)), причем   00 (k) f (λ) f 1!(λ) f 2!(λ) ... f k!(λ)  (k−1) (λ)   0 f (λ) f (λ) ... f  1! (k−1)!   (k−2)  (λ)  . 0 f (λ) ... f (k−2)!  0     . . . . .  0 ... f (λ) 3.42.  Вычислить  матрицы: 0 −ϕ а) exp ; ϕ 0   π−1 1 б) sin ; −1 π + 1   3 −1 в) exp . 1 1   Ответ: а) cos ϕ −sin ϕ ; б) sin ϕ cos ϕ    2 1 −1 2e −e2 . ; в) e2 1 −1 3.43. Найти определитель матрицы eA , где A – квадратная матрица порядка n. Ответ: etr A . 57 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3.4. Линейные операторы в евклидовых пространствах 1. Ортогональные матрицы. Матрица A ∈ Mn (R) называется ортогональной, т если A A = E, где E – единичная матрица. Имеют место следующие свойства ортогональных матриц: 1◦ . если A – ортогональная матрица, то |det A| = 1; т 2◦ . матрица A ∈ Mn (R) является ортогональной, если A−1 = A ; т 3◦ . если A – ортогональная матрица, то A также является ортогональной; 4◦ . если A, B ∈ Mn (R) – ортогональные, то матрица AB также ортогональна; 5◦ . матрица A ∈ Mn (R) является ортогональной, тогда и только тогда, когда ее столбцы (строки) образуют ортонормированную систему в Rn ; 6◦ . если e – ортонормированный базис евклидова пространства V , а A – матрица перехода от базиса e к базису f , то базис f ортонормирован тогда и только тогда, когда A ортогональна. 3.44. Доказать свойства 1◦ − 6◦ ортогональных матриц. −1 3.45. С  использованием  свойств ортогональных матриц найти A , если cos ϕ − sin ϕ а) A = ; sin ϕ cos ϕ   1/3 2/3 2/3 б) A = 2/3 2/3 1/3 . 2/3 1/3 −2/3 Ответ: т а), б): A−1 = A . 3.46. Описать все ортогональные матрицы 2-гопорядка.   Ответ: A= cos ϕ − sin ϕ sin ϕ cos ϕ или A = cos ϕ sin ϕ sin ϕ − cos ϕ для некоторого ϕ ∈ [0, 2π). 3.47. Определитель ортогональной матрицы A порядка 3 равен 1. Докажите, что (tr A)2 − tr A2 = 2 tr A. 2. Ортогональный оператор. Пусть V – евклидово пространство, dim V = n. Оператор A : V → V называется ортогональным, если он сохраняет скалярное произведение, то есть (Ax, Ay) = (x, y), x, y ∈ V. Могут быть доказаны следующие свойства ортогональных операторов. 1 . Ортогональный оператор сохраняет длину вектора и угол между векторами, то есть   \ |Ax| = |x| , Ax, Ay = (x, dy) ; ◦ 2◦ . если оператор сохраняет длину вектора, то он ортогонален; 3◦ . если e – ортонормированный базис пространства V , то оператор A : V → V ортогонален тогда и только тогда, когда [A]e – ортогональная матрица; ◦ 4 . оператор A ортогонален тогда и только тогда, когда он переводит ортонормированный базис в ортонормированный; 58 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 5◦ . если λ – собственное значение ортогонального оператора, то |λ| = 1; 6◦ . если A : V → V – ортогональный оператор, то в пространстве V существует ортонормированный базис e, относительно которого матрица оператора A имеет вид   Π(α1 )   .. .       Π(αm )     −1   . , .. [A]e =  (3.3)     −1     1    ...    1   cos α − sin α где Π(α) = . sin α cos α Свойство 6◦ носит название теоремы о каноническом виде матрицы ортогонального оператора. Для его построения можно поступить следующим образом. Сначала следует найти характеристический многочлен ϕA = (t − 1)k (t + 1)l m Y (t2 + pj t + qj )sj (3.4) j=1 оператора A где для различных j многочлены t2 + pj t + qj различны и каждый из них имеет пару корней cj , c̄j ∈ C\R. Для простоты будем рассматривать лишь случай, когда sj 6 1, j ∈ 1, n. Для каждого из собственных значений λ ∈ {1, −1} следует найти ортонормированный базис eλ собственного подпространства Vλ путем ортогонализации и нормировки ФСР однородной СЛАУ ([A] − λE)x = 0. Далее для каждого j = 1, m следует найти комплексные корни cj , c̄j многочлена t2 + pj t + qj из разложения (3.4). В силу ортогональности оператора A модуль каждого из этих корней равен 1 и, следовательно, cj можно представить в виде cj = cos αj + i sin αj . Далее следует решить однородную СЛАУ ([A] − cj E)x = 0 над полем C. Полученная ФСР будет состоять из одного вектора вида aj +bj i, где векторы aj , bj имеют вещественные координаты, причем aj , bj ортогональны и имеют одинаковую (j) (j) b a длину. Векторы f1 = |bjj | и f2 = |ajj | образуют ортонормированный базис f j , отвечающий клетке Π(αj ). Объединяя базисы f j с базисами e−1 и e1 , получим ортонормированный базис пространства V , относительно которого матрица оператора A имеет вид (3.3). 3.48. Показать, что действующий в пространстве V 3 свободных геометрических векторов оператор поворота на угол ϕ относительно фиксированного вектора a является ортогональным. 59 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3.49. Проверить, являются ли ортогональными следующие операторы, действующие в пространстве V 3 свободных геометрических векторов. а) Ax = λx, где λ – фиксированное число; б) Ax = (x, e)e, где e – фиксированный вектор, |e| = 1. Ответ: а) да при |λ| = 1; б) нет. 3.50. Ортогональный оператор A задан матрицей относительно некоторого ортонормированного базиса. Найти канонический вид матрицы оператораA и отвечающий √ этому виду ортонормированный базис. 1 1 −√ 2 1 а) 2 √1 1 2 ; √ 2 − 2   2 −1 2 1 2 2 −1; б) 3 −1 2 2   1 1 1 1  1 1 −1 −1  в) 12  −1 1 −1 1 . −1 1 1 −1   1 0 0√ 1 √1 (1, 1, 0), e2 = (0.0, 1), e3 = √1 (1, −1, 0); б) 0 − 23 , √2 2 2 1 0 23 2   1 0 0 0  −1 0 , e = √1 (1, 1, 0, 0), e1 = √13 (1, 1, 1), e2 = √16 (2, −1, −1), e3 = √12 (0, 1, −1); в)  0 0 2 0 1 1 0 0 −1 0 1 1 e2 = √2 (0, 0, 1, −1), e3 = √2 (1, −1, 0, ????? {здесь было пропущено число} , 0), e4 = √12 (0, 0, 1, 1).   1 0 0 О т в е т : а) 0 0 1, e1 = 0 −1 0 3. Сопряженный оператор. Пусть V – евклидово пространство, dim V = n, A : V → V – линейный оператор. Линейный оператор A∗ : V → V называется сопряженным к A, если для любых двух векторов x, y ∈ V выполнено равенство (Ax, y) = (x, A∗ y). Можно показать, что для любого линейного оператора A сопряженный оператор A∗ существует и единственен, при этом если относительно ортонормированного базиса оператор A имеет матрицу [A], то относительно того же базиса оператор A∗ имеет матрицу т [A∗ ] = [A] . Линейный оператор A : V → V называется самосопряженным (или симметрическим), если A = A∗ , то есть (Ax, y) = (x, Ay), x, y ∈ V. Справедливы следующие свойства самосопряженных операторов. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 60 1◦ . Если e – ортонормированный базис, то линейный оператор A самосопряжен тогда и т только тогда, когда [A]e = [A]e ; 2◦ . все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора A вещественны; 3◦ . если A – самосопряженный оператор, а λ – корень его характеристического многочлена, имеющий кратность r, то dim Vλ = r; ◦ 4 . если x, y ∈ V – собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различным собственным значениям, то x⊥y; ◦ 5 . если A : V → V – самосопряженный оператор, то в пространстве V существует ортонормированный базис, относительно которого матрица оператора A является диагональной. Свойство 5◦ носит название теоремы о каноническом виде матрицы самосопряженного оператора. Для его построения необходимо найти все корни λ1 , . . . , λm (в этой последовательности числа λj предполагаются попарно различными) характеристического уравнения ϕA (λ) = 0 оператора A. Далее для каждого из найденных корней λj необходимо построоить ортонормированный базис ej в собственном пространстве Vλj путем ортогонализации (например, с использованием алгоритма Грама-Шмидта) и нормировки ФСР однородной СЛАУ ([A] − λj E)x = 0. Объединение базисов ej , j = 1, m, даст искомый ортонормированный базис пространства V , относительно которого матрица оператора A будет диагональной. При этом k-м элементом ее диагонали будет являться собственное значение, которому отвечает k-й вектор построенного базиса. Заметим, что произвольная симметрическая матрица A ∈ Mn (R) может рассматриваться как матрица некоторого самосопряженного оператора A относительно некоторого ортонормированного базиса e евклидова пространства размерности n. Для оператора A существует ортонормированный базис f , такой, что матрица [A]f диагональна. Поскольку матрицы A = [A]e и D = [A]f являются матрицами одного оператора относительно разных базисов, то D = T −1 AT , где T = Te→f – матрица перехода от базиса e к базису f . В силу ортогональности матрицы T (как матрицы перехода от одного ортонормированного базиса т к другому) поледнее равенство может быть записано в виде D = T AT . Таким образом, для всякой вещественной симметрической матрицы A существуют диагональная матрица т D и ортогональная матрица T такие, что A = T DT . Алгоритм построения указанного разложения опирается на приведенное выше доказательство его существования. 3.51. Матрица линейного оператора A : V → V в базисе e = (e1 , e2 ) имеет вид   1 2 . 1 −1 Найти матрицу оператора, если e1 = (1, 0), e2 = (1, 1).  сопряженного  Ответ: 3 6 . −1 −3 3.52. Пусть A : V 2 → V 2 – оператор проектирования на ось Ox вдоль биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Написать матрицу оператора A∗ относительно стандартного базиса.   Ответ: 1 0 . −1 0 61 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3.53. Будут ли операторы из задачи 3.49 симметричными? Ответ: а) да; б) да. 3.54. Доказать, что оператор проектирования пространства V1 ⊕ V2 на подпространство V1 параллельно V2 является самосопряженным тогда и только тогда, когда V1 и V2 ортогональны. 3.55. Самосопряженный оператор A задан матрицей относительно некоторого ортонормированного базиса. Найти канонический матрицы оператора этому виду ортонормированный базис.  A и отвечающий  1 2 0 а) 2 1 0; 0 0 1   1 1 2 б) 1 1 2. 2 2 4   1 0 0     Ответ: а) 0 −1 0, e1 = (0, 0, 1), e2 = √12 , − √12 , 0 , e3 = √12 , √12 , 0 ; 0 0 3   0 0 0       0 0 0, e1 = √1 , − √1 , 0 , e2 = √1 , √1 , − √1 , e3 = √1 , √1 , √2 . 2 2 3 3 3 6 6 6 0 0 6 б) 3.56. Для матрицы A найти диагональную матрицу D и ортогональную т матрицу  U такие, что  A = U DU . 2 2 −2 а) A =  2 5 −4; −2 −4 5   −1 4 −8 б) A =  4 −7 −4. −8 −4 −1  2  √ 1 0 0 5  О т в е т : a) D = 0 1 0 , U = − √15 0 0 10   1 2 2 1  2 −2 1 . 3 2 1 −2  2 √ 3 5 4 √ 3 5 5 √ 3 5 1 3 2 3    −9 0 0  ; б) D =  0 −9 0, U = 2 0 9 −3 4. Полярное разложение. Пусть C : V → V – симметрический линейный оператор, действующий в евклидовом пространстве V . Оператор C называется положительно определенным, если для любого ненулевого вектора x ∈ V справедливо (x, Cx) > 0. Можно показать, что симметрический линейный оператор положительно определен тогда и только тогда, когда все его собственные значения положительны. 62 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Теорема 3.3. (о полярном разложении) Пусть V – евклидово пространство, A : V → V – невырожденный линейный оператор. Тогда A может быть единственным образом представлен в виде A = CU или A = UC1 , (3.5) где C (соответственно C1 ) – положительно определенный симметрический оператор, а U – ортогональный оператор. # Каждое из представлений 3.5 называется полярным разложением оператора A. Для построения первого из них можно воспользоваться следующим алгоритмом, в котором предполагается, что оператор A задан матрицей A относительно некоторого ортонормированного базиса e. т 1) Найти все собственные значения λ1 , ..., λn матрицы AA и ортонормированный базис f , состоящий из ее собственных векторов; 2) найти матрицу C положительно определенного симметрического оператора C относительно базиса e по формуле  √ λ1 √0 ...  0 λ2 ... 0   T −1 , C=T  . . . √.  λn 0 ... где T – матрица перехода от базиса e к базису f ; 3) найти матрицу U ортогонального оператора U относительно базиса e по формуле U = C −1 A. Описание алгоритма построения полярного разложения завершено. 3.57. Найти полярное  разложение оператора, заданного в ортонормиро 0 1 ванном базисе матрицей . 0 0  О т в е т : ??????????    0 1 0 0 · . 1 0 0 1 3.58. Оператор, заданный в некотором ортонормированном базисе матрицей, представить в виде произведения положительного симметрического и ортогонального операторов.   2 −1 а) ; 2 1   1 −4 б) . 1 4 Ответ: а) √1 2   3 1 · 1 3 √1 2   1 −1 ; б) 1 1 √1 2   5 −3 · −3 5 √1 2   1 −1 . 1 1 5. Эрмитовы и унитарные операторы. Пусть V – конечномерное эрмитово пространство, A – действующий в V линейный оператор. Оператор A∗ называется сопряженным к A, если (Ax, y) = (x, A∗ y), x, y ∈ V. 63 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Можно показать, что для данного линейного оператора A существует единственный оператор A∗ , причем относительно произвольного ортонормированного базиса пространства т V справедливо равенство [A∗ ]e = [A]∗ (где, напомним, A∗ = A ). Оператор A называется эрмитовым, если (Ax, y) = (x, Ay), x, y ∈ V или, что равносильно, A∗ = A. Можно доказать следующие свойства эрмитова оператора: 1◦ . оператор A является эрмитовым тогда и только тогда, когда относительно произвольного ортонормированного базиса e его матрица является эрмитовой, то есть т [A]e = [A]e ; ◦ 2 . все собственные значения эрмитова оператора вещественны; 3◦ . для эрмитова оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов (из чего следует, что эрмитов оператор диагонализируем). Линейный оператор A : V → V называется унитарным, если (Ax, Ay) = (x, y), x, y ∈ V. Можно показать, что 1◦ . оператор A унитарен тогда и только тогда, когда A∗ = A−1 ; 2◦ . оператор A унитарен тогда и только тогда, когда для произвольного ортонормирот ванного базиса e справедливо равенство [A]−1 e = [A]e ; 3◦ . все собственные значения унитарного оператора по модулю равны единице; 4◦ . для унитарного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов (из чего следует, что унитарный оператор диагонализируем). Построение ортонормированного базиса, относительно которого матрица эрмитова или унитарного оператора имеет диагональный вид, выполняется аналогично случаю симметрического оператора (см. п. 3). 3.59. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе эрмитова оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе  матрицей:  3 2 + 2i а) ; 2 − 2i 1   3 −i ; б) i 3   3 2−i в) . 2 + i 7        2 0 5 0 1 1 1 1 √ √ √ √ (1 + i, 1), 6 (1 + i, −2) ; б) , (1, −i), 2 (1, i) ; О т в е т : а) , 3 2 0 4 0 −1     2 0 в) , √16 (2 − i, −1), √16 (1, 2 + i) . 0 8 3.60. Найти собственный ортонормированный базис и матрицу в этом базисе унитарного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей: 64 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ   cos α − sin α а) , где α 6= kπ; sin α cos α   4 + 3i 4i −6 − 2i б) 91  −4i 4 − 3i −2 − 6i. 6 + 2i −2 − 6i 1 О т в е т : а)   1 0 0 б) 0 i 0 , 0 0 −i   eiα √1 (1, i), √1 (1, −i) ; , 2 2 0 e−iα 1 (2, −2i, i), 13 (2, i, −2i), 31 (−i, 2, 2) 3
. 3.61. Докажите, что унитарная матрица порядка 2 с определителем, равным 1, подобна вещественной ортогональной матрице.  Указание: Такая матрица подобна диагональной матрице   cos α − sin α в свою очередь, подобна матрице . sin α cos α eiα −iα , которая, 0 e 3.62. Пусть A – эрмитов оператор. Докажите, что оператор A − iE обратим. 3.5. Приведение квадратичных форм к главным осям 1. Метод ортогонального преобразования построения канонического вида квадратичной формы. Пусть V – n-мерное вещественное линейное пространство, q : V → R – заданная на нем квадратичная форма. В основе метода ортогонального преобразования приведения квадратичной формы к каноническому виду лежат следующие соображения. Поскольку относительно произвольного базиса e пространства V матрица [q]e является симметрической, она допускает разложение (см. с. 60) т (3.6) [q]e = U DU , где D – диагональная, а U – ортогональная матрицы. Из этого представления следует, что т D = U [q]e U и, следовательно, D является матрицей квадратичной формы q относительно базиса f такого, что матрица перехода из базиса e в базис f совпадает с U . Для практического нахождения канонического вида квадратичной формы с использованием ортогонального преобразования необходимо построить разложение (3.6) методами, описанными в п. 3 раздела 3.4. Пусть т q(x) = [x]e [q]e [x]e . Найдя собственные значения λ1 , . . . , λn матрицы [q]e , можно записать канонический вид квадратичной формы q: 2 2 т q(x) = λ1 x01 + . . . + λn x0n = [x]f D [x]f , 65 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ т где D = diag(λ1 , . . . , λn ), а [x]f = (x01 , . . . , x0n ) . Соответствующий базис f = (f1 , . . . , fn ) является ортонормированным базисом, составленным из собственных векторов матрицы [q]e , отвечающих собственным числам λ1 , . . . , λn и взятым в том же порядке. Матрицей перехода из базиса e в базис f служит матрица   U = [f1 ]e . . . [fn ]e , а соответствующая замена переменных имеет вид [x]e = U [x]f . 3.63. Для каждой из приведенных ниже квадратичных форм найти ортогональное преобразование, приводящее ее в канонический вид, и записать этот вид. а) 3x2 + 10xy + 3y 2 ; б) 9x21 + 6x1 x2 + x22 + 10x23 ; в) x21 + x22 + 5x23 − 6x1 x2 − 2x1 x3 + 2x2 x3 ; г) 17x21 + 14x22 + 14x23 − 4x1 x2 − 4x1 x3 − 8x2 x3 ; д) 11x21 + 5x22 + 2x23 + 16x1 x2 + 4x1 x3 − 20x2 x3 ; е) x21 + x22 + x23 + 4x1 x2 + 4x1 x3 + 4x2 x3 . О т в е т : а) 8x̃2 −2ỹ 2 ; x = √12 x̃+ √12 ỹ, y = √12 x̃− √12 ỹ; б) 10x̃21 +10x̃22 ; x1 = √310 x̃2 + √110 x̃3 , x2 = √110 x̃2 − √310 x̃3 , x3 = x̃1 ; в) 3x̃21 +6x̃22 −2x̃23 ; x1 = √13 x̃1 + √16 x̃2 + √12 x̃3 , x2 = − √13 x̃1 − √16 x̃2 + √1 x̃3 , x3 = − √1 x̃1 + √2 x̃2 ; г) 9x̃2 + 18x̃2 + 18x̃2 ; x1 = 1 x̃1 − 2 x̃2 + 2 x̃3 , x2 = 2 x̃1 − 1 x̃2 − 2 x̃3 , 1 2 3 3 3 3 3 3 3 2 3 6 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 x3 = 3 x̃1 + 3 x̃2 + 3 x̃3 ; д) 9x̃1 + 18x̃2 − 9x̃3 ; x1 = 3 x̃1 + 3 x̃2 − 3 x̃3 , x2 = − 3 x̃1 + 3 x̃2 + 32 x̃3 , x3 = 23 x̃1 − 13 x̃2 + 23 x̃3 ; е) 5x̃21 − x̃22 − x̃23 ; x1 = √13 x̃1 + √16 x̃2 + √12 x̃3 , x2 = √13 x̃1 + √16 x̃2 − √12 x̃3 , x3 = √13 x̃1 − √26 x̃2 . 2. Одновременное приведение двух квадратичных форм к главным осям. Можно доказать, что если в n-мерном линейном пространстве V над полем R заданы две квадратичные формы q(x) и h(x), причем h(x) положительно определена, то в V существует базис, в котором обе формы записываются в виде суммы квадратов. Для доказательства этого факта по положительно определенной квадратичной функции h(x) вводится в V скалярное произведение, совпадающее с ассоциированной с h симметрической билинейной функцией. По отношению к этому скалярному произведению ортонормированными будут те и только те базисы, в которых h(x) имеет нормальный вид. При этом в пространстве V существует ортонормированный базис (относительно введенного скалярного произведения), в котором q имеет канонический вид. Таким образом, чтобы привести квадратичные формы q и h к искомому виду, можно сначала привести к нормальному виду форму h и найти матрицу Q0 формы q в полученном базисе. Этим будет осуществлен переход к базису, ортонормированному по отношению к вспомогательному скалярному произведению. Далее с использованием изложенных в предыдущем пункте методов по матрице Q0 находим ортонормированный базис, в котором q имеет канонический вид. В этом базисе матрица формы h будет по-прежнему единичной, а матрица формы q будет диагональной. 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 66 Замечание 3.4. Указанный результат справедлив также и для отрицательно опеределенной квадратичной формы h. В этом случае в качестве вспомогательного скалярного произведения достаточно выбрать ассоциированную с h билинейную функцию, умноженную на −1. При этом алгоритм одновременного приведения форм q и h к каноническому виду не изменится. # 3.64. Убедиться, что одна из приведенных ниже форм является знакоопределенной, и построить базис, относительно которого обе формы имеют канонический вид. Указать матрицу перехода к этому базису и записать в нем формы q и h. а) q(x) = x21 − 2x1 x2 + x22 , h(x) = 17x21 + 8x1 x2 + x22 ; б) q(x) = 6x22 − 6x23 − 6x1 x2 − 12x1 x3 + 6x2 x3 , h(x) = −x21 − 2x22 − 2x23 + 2x1 x2 − 2x2 x3 ;  1 О т в е т : a) √126 1    √ 1/ 2 1 1 −1 б) 0 1 −1 ·  0√ 0 0 1 −1/ 2 −5 , q(x) = 26x̃22 , h(x) = x̃21 + x̃22 ; 21 √ √  −1/ 6 1/ √ √3 2 2 2 2 2 2  6/3 1/ √ √3 , q(x) = 3x̃1 + 3x̃2 − 6x̃3 , h(x) = −x̃1 − x̃2 − x̃3 . −1/ 6 1/ 3