Безотказность резервированных АС.

Лекция 5 Безотказность резервированных АС Учебные вопросы: 1. Термины и определения резервирования 2. Основные виды структурного резервирования 3. Анализ безотказности дублированных АС Вопрос 1. Термины и определения резервирования Определения соответствуют стандарту ГОСТ 27.002-2015 , раздел 7. 7.1. Резервирование Redundancy Способ обеспечения надежности объекта за счет использования дополнительных средств и (или) возможностей, избыточных по отношению к минимально необходимых для выполнения требуемых функций 7.2. Резерв Reserve Совокупность дополнительных средств и (или) возможностей, используемых для резервирования 7.3. Основной (рабочий) элемент Major element Элемент объекта, необходимый для выполнения требуемых функций без использования резерва 7.5. Резервный элемент Redundant element Элемент, предназначенный для выполнения функций основного элемента в случае отказа последнего Наиболее часто резервирование используют в тех случаях, когда другие методы (снижение интенсивности отказов элементов, улучшение ремонтопригодности) оказываются недостаточными или ими нельзя воспользоваться в полной мере из-за ограничений, возникающих при проектировании и эксплуатации систем. Введение избыточности еще не создает резерва и не обязательно приводит к повышению надежности. Чтобы введение избыточности приводило к улучшению показателей надежности, требуется выполнение ряда дополнительных условий и технических мероприятий: 1. проведения контроля работоспособности и технического состояния аппаратуры и оборудования – обеспечение наблюдаемости; 2. установки переключателей резерва, удовлетворяющих определенным требованиям по времени срабатывания и надежности - перекоммутация; 3. включения в состав систем алгоритмов и средств реконфигурации (перестройки структуры), позволяющих организовать работоспособные ресурсы для выполнения задания. Основой резервирования является введение избыточности: дополнительных элементов, времени, информации, запасов продукции, запасов производительности, алгоритмической гибкости и пр. В связи с этим по источнику и физической природе можно различать следующие виды избыточности: структурную, временную, функциональную, информационную, нагрузочную, алгоритмическую, программную, режимную. Наиболее распространенным видом резервирования является структурное резервирование. Структурное резервирование осуществляется введением в структуру технических средств дополнительных (резервных) элементов, способных выполнять функции основных элементов при их отказе. Удаление этих элементов из системы при работоспособном состоянии основных не нарушает способности системы выполнять требуемые функции в заданных режимах и условиях применения. Функциональное резервирование имеет место в многофункциональных системах, в которых отдельные элементы или группы элементов обладают способностью принимать на себя функции других отказавших элементов на время восстановления их работоспособности без существенного снижения технико-экономических показателей системы. При функциональном резервировании в отличие от структурного резервирования нет резервных элементов, т.е. таких элементов, которые могут быть изъяты постоянно без нарушения требований к техническим характеристикам системы. Функциональное резервирование обеспечивается: - установлением дополнительных связей между элементами; - гибкостью и оперативностью перенастройки многофункциональных элементов на выполнение заданной функции; - изменением режима функционирования. Временное резервирование состоит в образовании для отдельных элементов, групп элементов или системы в целом некоторого дополнительного времени, которое может быть использовано для восстановления технических характеристик без нарушения требований к выходным параметрам системы. Временное резервирование обеспечивается: - созданием запаса производительности путем увеличения быстродействия (пропускной способности) элементов; - созданием запаса производительности путем параллельного включения в работу устройств одинакового назначения; - созданием запасов продукции в промежуточных или выходных накопителях; - снижением скорости развития неблагоприятных последствий отказов и скорости ухудшения выходных параметров системы. Информационное резервирование состоит в образовании нескольких семантических адекватных источников информации или копий массивов информации, введении дополнительной информации, предназначенной для восстановления основной в случай ее искажения. Информационное резервирование обеспечивается путем: - помехоустойчивого кодирования информации; - дублирования данных на различных устройствах; - коррелированности данных измерений физических полей; - использования данных, удовлетворяющих инвариантным соотношениям; - использования избыточности алгоритмического или естественного языка. Программное резервирование – применение независимых функционально равноценных программ. Иерархия средств резервирования создается в соответствии с иерархией технических средств. В связи с этим можно различать несколько уровней иерархии резервирования по структурному признаку: - элементный уровень (I); - уровень модулей и узлов (II); - уровень устройств (III); - уровень подсистем (IV); - системный уровень (V). По функциональному принципу можно выделить следующие уровни иерархии резервирования: - уровень микрооперации (I); - уровень частей операции (II); - уровень операций (III); - уровень подзадач (IV); - уровень задач (V); - уровень функций (VI); - уровень многофункциональных заданий (VII). Вопрос 2. Основные виды структурного резервирования Структурное (аппаратное) резервирование (рис. 1) заключается в использовании дополнительной аппаратуры, которая при отказе основной аппаратуры принимает на себя ее функции. При этом возможно резервирование на уровне всей системы в целом (общее резервирование) или на уровне отдельных ее элементов (раздельное). Рисунок 1 – Виды структурного резервирования По степени нагрузки различают нагруженный резерв; облегченный резерв; ненагруженный. Нагруженный резерв (ГОСТ 27.002-89) - Резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в режиме основного элемента. Облегченный резерв (ГОСТ 27.002-89) - Резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в менее нагруженном режиме, чем основной элемент. Ненагруженный резерв (ГОСТ 27.002-89) - Резерв, который содержит один или несколько резервных элементов, находящихся в ненагруженном режиме до начала выполнения ими функций основного элемента. По способу подключения резерва различают следующие виды резервирования: Постоянное резервирование (ГОСТ 27.002-89) - Резервирование, при котором используется нагруженный резерв и при отказе любого элемента выполнение объектом требуемых функций обеспечивается оставшимися элементами без переключений. Скользящее резервирование (резервирование замещением) (ГОСТ 27.002-89) - Резервирование, при котором группа основных элементов резервируется одним или несколькими элементами, каждый из которых может заменить любой элементов из этой группы. Введем обозначения: k – число основных (рабочих) элементов; n - число резервных элементов. Кратность резервирования (ГОСТ 27.002-89) - отношение числа резервных элементов n к числу основных k, выраженное несокращаемой дробью. Кратность резервирования принято обозначать m=. Резервирование одного рабочего элемента m резервными называют резервированием с целой кратностью m. Наиболее часто в технике используется такой вид резервирования как дублирование. Резервирование с кратность m=. или просто m=1 называется дублированием (ГОСТ 27.002-89). Если, например, m=4/2, то это иногда называют резервированием с дробной кратностью, при котором число резервных элементов равно четырём, число основных — двум, а общее количество устройств — шести. Сократить дробь нельзя, так как если m=4/2=2, то это резервирование с целой кратностью, при котором число резервных устройств — два, основное — одно, а общее количество устройств — три! а) 1/1 б) 3/1 в) 4/2 2/1 Рисунок 2- Структурные схемы с различной кратностью резервирования На рис.2 приведены примеры структурных схем с различной кратностью. Основные (рабочие) элементы изображены прямоугольниками без штриховки, а резервные - с наклонной штриховкой. На рис. а) показана структурная схема дублированной системы, а на рис. в) и г) показано изменение структурной схемы 4/2 после сокращения дроби до 1. То есть это разные схемы резервирования!!! Кроме m-кратного резервирования (m – целое число) используют также резервирование с дробной кратностью, которое называют логическим соединением элементов типа "k из N". Иногда такие системы называют мажоритарными или системами с голосованием. Структура типа "k из N" означает, что система работоспособна, если работоспособны не менее k элементов из общего числа N. При этом число резервных элементов n=N-k. Тогда кратность резервирования согласно определения ГОСТ 27.002.-89 . Схемы резервирования, показанные на рис.2 в терминах структур "k из N" могут быть записаны следующим образом: - структура «1 из 2», - структура «1 из 4», -структура «2 из 6», -структура «1 из 3». Часто в технических устройствах применяется структурная схема "2 из 3" с кратностью резервирования . Общее резервирование - резервирование, при котором резервируется объект в целом. Раздельное резервирование - резервирование, при котором резервируются отдельные элементы объекта или их группы Вопрос 3. Анализ безотказности дублированных АС Расчет показателей надежности дублированной АС, состоящей из одного рабочего (основного) элемента и одного нагруженного резервного элемента при абсолютно надежном переключателе, осуществляется по формулам оценки надежности параллельных систем. Рассмотрим два частных случая дублирования АС: 1 – дублирование в ненагруженном режиме; 2 – дублирование с учетом надежности переключающего устройства. Дублирование в ненагруженном режиме. На рис.3 приведена структурная схема дублированной АС и графики вероятностных характеристик элементов. Рисунок 3 – Дублирование в ненагруженном режиме Пусть вероятности безотказной работы от момента включения до первого отказа элементов АС равны соответственно: , (1) где f1(x), f2(x) – плотности вероятности моментов отказа основного и резервного элементов. Так время отказа основного элемента, после которого в системе начинает работать резервный элемент есть величина случайная, то совместная плотность вероятности момента отказа АС есть свертка вида . (2) Вероятность безотказной работы дублированной системы с ненагруженным резервированием находится из выражения . (3) Если элементы имеют экспоненциальное распределение наработки до отказа с параметром , то есть p1(t)= p2(t)=exp(-t), тогда . (4) Формула (4) имеет следующую вероятностную интерпретацию. Безотказность АС на интервале (0, t) обеспечивается объединением двух событий: либо основной элемент работал безотказно на данном интервале времени, либо основной элемент отказал внутри этого интервала, но включился резервный элемент и проработал безотказно до конца этого интервала. Средняя наработка до отказа системы как интеграл от вероятности безотказной работы на положительной полуоси равна: . (5) В выводе формулы (5) использован табличный интеграл . На рисунках 2.7 представлены структурные схемы системы c общем резервированием. Рисунок 2 – Структурная схема системы с общим резервированием На рис.3 резервируемый объект представляет собой последовательное соединение m элементов. Объект резервируется n-1 схемами, также представляющие собой последовательное соединение таких же m элементов. Предположим, что все элементы основного объекта и резервных являются равнонадежными. В правой части рис.3 представлено эквивалентное преобразование последовательно-параллельного соединения элементов в параллельное из m эквивалентных элементов., вероятность безотказной работы каждого вычисляется по формуле: Rj=, (1) где pji – вероятность безотказной работы i-го элемента, находящегося в j-объекте. Вероятность отказа параллельной системы Qs есть произведение вероятностей отказов всех ее n элементов. Следовательно: Qs= (2) Окончательно, вероятность безотказной работы системы с общим резервированием, состоящей из последовательного соединения m элементов, с учетом n-1 резервных объектов, рассчитывается по формуле: ’ (3) Для случая равнонадежных элементов (pji= p) ’ (4) На рис. 4 представлены структурные схемы системы c раздельным (поэлементным) резервированием. Рисунок 4 – Структурная схема системы с раздельным резервированием На рис.4 каждый из m элементов объекта резервируется n-1 однотипными элементами. Схема является последовательно-параллельной. Для простоты расчетов сформируем эквивалентную схемы, состоящую из последовательного соединения m блоков, каждый из которых представляет собой параллельное соединение n однотипных элементов. Для такой схемы вероятность отказа каждого i-го блока, состоящего из n элементов, есть произведение вероятностей отказов этих элементов, то есть: Qi=, (5) Вероятность безотказной работы последовательной системы, состоящей из m блоков равна: . (6) Для случая равнонадежных элементов (pji= p) . (7) Вероятность безотказной работы системы при общем резервировании (рис. 2.7, а) возрастает с увеличением кратности m и при больших значениях приближается по значению к вероятности безотказной работы нерезервировнной системы (рис.2.8а), где интенсивность отказов основной системы или любой из резервных систем, равная . Рисунок 2.8.а Рисунок – Структурная схема и расчетные формулы для раздельного резервирования (Повтор) Скользящее резервирование (ГОСТ 27.002-89) - Резервирование замещением, при котором группа основных элементов резервируется одним или несколькими резервными элементами, каждый из которых может заменить любой из отказавших элементов данной группы. Один из примеров скользящего резервирования – системы K из N. Структурная схема представлена на рис. Рисунок – Структурная схема системы из k рабочих и n резервных элементов Отказ системы происходит тогда, когда откажет n+1 элемент. В общем виде вероятность безотказной работы системы K из N (где N= K+ n- общее число элементов в системе) вычисляется по формуле P(t) = Bi(t), где Bi(t) – вероятность того, что к моменту времени из N элементов работоспособными окажутся ровно i. ПРИМЕР 1: система «2 из 3». Вероятность безотказной работы имеет вид суммы (индекс переменной t опускаем): P(t) = B3(t) + B2(t)=p1p2p3 + q1p2p3 + p1q2p3 +p1p2q3. При равнонадежных элементах получаем P = p3 + 3qp2 . ПРИМЕР 2 : система «2 из 4». Вероятность безотказной работы имеет вид: P(t) = B4(t) + B3(t) + B2(t) = p1p2p3p4 + +q1p2p3p4 + p1q2p3p4 +p1p2q3p4+p1p2p3q4+ +p1p2q3q4+p1q2p3q4+q1p2p3q4+p1q2q3p4+q1q2p3p4+ q1p2p3q4. При равнонадежных элементах получаем P = p4 + 6p2q2+4p3q. В общем виде при равнонадежных элементах формула для вероятности безотказной работы системы K из N имеет вид: P(t) = , где CNi = , Cn1=n, Cnn=Cn0=1. Среднее время безотказной работы системы K из N при равнонадежных элементах вычисляется по формуле To (k из N) = toi , где toi – средняя наработка до отказа элемента. Пример 3: Рассмотрим систему «2 из 3». В этом случае N=3, k=2 и P(t) = p(t)iq(t)3-i = C32p(t)2q(t) + C33p(t)3q(t)0 = { C32 = ; C33 = } = 3 p(t)2q(t) + p(t)3. Вопрос 3. Сравнение показателей надежности при структурном резервировании Пример 4: Сравнить средние наработки до отказа систем «2 из 3» и «3 из 5». Для краткости примем toi =1. Тогда, To (2 из 3) = = ½ + 1/3=5/6, To (3 из 5) = = 1/3+1/4+1/5=47/60. Ответ: To (2 из 3) =5/6 > To (3 из 5) =47/60. Пример 5: Сравнить надежность систем с общим и раздельным резервированием. а) Общее резервирование б)Раздельное резервирование Рисунок - Резервирование системы из двух элементов При равнонадежных элементах получаем: для общего резервирования P(t) = 1- [1-p(t)2]2 ; для раздельного резервирования P(t) = {1- [1-p(t)]2}2 . При вероятности безотказной элемента p(t)=0.9 имеем для общего резервирования P(t) = 0.9639 , для раздельного резервирования P(t) = 0.9801. В таблице и на рис. представлены данные сравнительной оценки вероятности безотказной работы системы за время t=8760(час) для n=210 элементов при общем и раздельном резервировании. Среднее время безотказной работы всех элементов равно toi =1 (г). Из данных табл. и рис. можно сделать вывод, что при увеличении числа элементов системы раздельное резервирование по сравнению с общим имеет преимущество. Выигрышем резервирования по надежности будем называть отношение значения показателя надежности нерезервированной системы к значению показателя надежности системы с резервом. Выигрыш надежности при резервировании по вероятности отказа: Выигрышем надежности по вероятности отказа есть отношение вероятности отказа нерезервированной системы к вероятности отказа системы с резервом. Для случая постоянного и нагруженного резервирования выигрыш рассчитывается по формуле: Gq = (1-exp(-t))-m где m – кратность резервирования. Зависимость Gq(t, m) приведена в табл. t m 1 2 3 4 0.1 10.51 110.4 1 60.4 12 194 0.3 3.86 14.89 57.4 222 0.5 2.54 6.46 16.42 42 0.7 1.99 3.95 7.84 16 0.9 1.69 2.84 4.79 8.1 1.1 1.50 2.25 3.37 5.0 1.3 1.37 1.89 2.60 3.6 Анализ выигрыша: чем ниже t тем выше выигрыш. Выигрыш надежности при резервировании по среднему времени безотказной работы: Для случая постоянного и нагруженного резервирования выигрыш рассчитывается по формуле: GТ1 =  m GТ1 1 1.50 2 1.83 3 2.08 4 2.28 5 2.45 6 2.59 7 2.72 8 2.83 9 2.93 10 3.02 То есть для увеличения средней наработки до отказа в 2 раза требуется 3 резервных элемента, а для увеличения средней наработки до отказа в 3 раза требуется 10 резервных элементов. Вероятность безотказной работы системы (рис. 2.8, а) возрастает с увеличением кратности m и при больших значениях приближается по значению к вероятности безотказной работы нерезервировнной системы, где интенсивность отказов основной системы или любой из резервных систем, равная . Ниже приводятся формулы (в качестве справочного приложения) для оценки показателей различных схем резервирования, которые опубликованы в «Справочнике по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики». (Источник: Козлов, Ушаков 1975. Справочник по расчету надежности, табл.3.2.2 (с.97)). Обозначения: k – интенсивность отказа k-го элемента в рабочем состоянии;  k k – интенсивность отказа k-го элемента в нерабочем состоянии;  k - коэффициент нагрузки. Для нагруженного резервирования коэффициент нагрузки  k =1, для облегченного резервирования 0<  k < 1. Иногда для ненагруженного резерва принимают допущение  k =0. Система Показатель Нагруженный режим Облегченныйй режим Ненагруженный режим K рабочих элементов и 1 резервный Т P(to) (k+1) exp (-kto) - k exp [-(k+1)to] [k+- k· exp (-kto)] exp (-kto) (1+ kto) exp (-kto) K рабочих элементов и n резервный N=k+n Т P(to) (N-k+1)CNk-1 * *exp (-jto) exp (-kto) Средняя наработка до отказа параллельной системы T = , ВБР системы K из N имеет вид: P(t) = , где CNi = , Cn1=n, Cnn=Cn0=1. To (k из N) = toi , где toi – средняя наработка до отказа элемента.