Бесконечная дифференцируемость решений уравнения теплопроводности

Лекция 12. Бесконечная дифференцируемость решений уравнения теплопроводности. Принцип максимума в ограниченной и неограниченной области. Единственность решения первой краевой задачи и задачи Коши 1. Бесконечная дифференцируемость решений однородного уравнения теплопроводности. Пусть – решение однородного уравнения теплопроводности в цилиндре . Тогда по теореме о представлении функции с помощью потенциалов для произвольной точки Поскольку фундаментальное решение – бесконечно дифференцируемая функция всюду, кроме точки , но , то полученные интегралы можно дифференцировать по и любое число раз. Отметим, что для решения неоднородного уравнения соответствующее утверждение неверно, поскольку особая точка принадлежит цилиндру , интеграл по которому будет входить в формулу представления функции с помощью потенциалов, если правая часть уравнения . В этом случае гладкость решения определяется гладкостью правой части. 2. Принцип максимума для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Единственность решения первой краевой задачи. Как и в предыдущих лекциях, будет обозначать цилиндр высоты , – его боковую поверхность, – сечение цилиндра плоскостью . Теорема (принцип максимума в ограниченной области). Пусть и в . Тогда Доказательство. Непрерывная в функция ограничена, следовательно . Обозначим где выбирается произвольно. Тогда в . Покажем, что Предположим, что и . Тогда, если , то в силу необходимых условий максимума и . В случае же следует заменить первое равенство на неравенство: (почему?). В любом случае в точке , и, следовательно, в точке (напомним, что и в ). С другой стороны, в и, следовательно, в точке – пришли к противоречию. Таким образом, достигается на , и неравенство (*) доказано. Отсюда Перейдём в последнем неравенстве к пределу при и получим , после чего остается только прибавить к обеим частям константу . Следствие 1. Пусть и в . Тогда Доказательство. Положим . Тогда Следствие 2 (о единственности решения первой краевой задачи). Решение класса задачи единственно. Доказательство. Пусть – решения краевой задачи. Тогда их разность удовлетворяет однородной задаче Поскольку , то в силу доказанной теоремы и следствия 1 Но в силу начального и краевого условий и, следовательно, . 3. Принцип максимума для уравнения теплопроводности в неограниченной области. Единственность решения задачи Коши. Рассмотрим область в (n + 1)-мерном пространстве , представляющую собой слой между плоскостями и (см. рисунок). Теорема (принцип максимума в неограниченной области). Пусть – ограниченная функция класса , и пусть в (а значит и в ). Тогда Доказательство. Функция ограниченная, следовательно, . Рассмотрим функцию Нетрудно проверить, что . Пусть, далее, где произвольно. Тогда в и . Обозначим . Выберем число настолько большим, что . Для функции в цилиндре применим принцип максимума в ограниченной области. В цилиндре, как и во всем слое , , на его основании . На боковой поверхности цилиндра также . Отсюда согласно принципу максимума , или При увеличении неравенство сохраняется, а значит неравенство выполняется при всех . Делаем предельный переход при и получаем . Следующие два следствия доказываются совершенно аналогично следствиям из принципа максимума в ограниченной области. Следствие 1. Пусть – ограниченная функция класса , в . Тогда Следствие 2. Решение задачи Коши единственно в классе ограниченных функций из пространства . Замечание. Требование ограниченности решения задачи Коши для его единственности существенно. Советским математиком А.Н. Тихоновым было построено неограниченное решение класса однородной задачи Коши (с нулевой правой частью у уравнения и нулевым начальным условием). При этом функция, тождественно равная нулю, очевидно, также удовлетворяет однородной задаче. Таким образом, если отказаться от требования ограниченности решения, не будет и его единственности.