Атом водорода с учётом спина электрона. Энергетические уровни. Правило отбора с учётом спина электрона. Тонкая структура
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате pdf
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция №12
§ 18. Атом водорода с учётом спина электрона. Энергетические уровни. Правило
отбора с учётом спина электрона. Тонкая структура
Исследуем движение электрона в кулоновском поле ядра на основе уравнения
Дирака с учѐтом релятивистких поправок порядка ( ⁄ ) . Для определения стационарных
состояний электрона в кулоновском поле ядра с потенциальной энергией ( )
(размерами ядра мы пренебрегаем) надо решить уравнение
̂
(
)
( )
̂
где ̂
. Ранее было получено, что уравнение (
слаборелятивистком пределе (с точностью до порядка ( ⁄ ) и выше) имеет вид
(̂
)
(
)
в
)
где
̂
̂
(
Здесь
релятивисткие
нерелятивисткого движения, имеющие вид
)
поправки
(
к
оператору
)
( )
(
(
( ̂̂ )
)
Гамильтона
)
) ( ̂̂ )
(
Волновую функцию с учѐтом спина возьмѐм в виде
( )
Здесь
()
моменту, а при
()
(
)
шаровой спинор, причѐм при
(
)
спин параллелен орбитальному
антипараллелен.
Хотя решение (
) формально относится к нулевому приближению, однако
может быть использовано для определения энергетических уровней с учѐтом членов
порядка ( ⁄ ) , которые содержат спин – орбитальное взаимодействие, пропорциональное
( ̂ ̂ ).
Шаровые спиноры, также как и шаровые функции, удовлетворяют уравнению
()
(
)
()
(
)
Подставляя (
) в уравнение (
) с учѐтом всего сказанного, получим, после
сокращения на шаровые спиноры, уравнение для радиальной волновой функции
стационарных состояний атома водорода
,
*
(
(
)
)
+
-
( )
)
]
[
]
( )
Здесь
[(
)
(
(
)
Поскольку операторы
имеют порядок величины ( ⁄ ) , то решение уравнения
(
) будем искать на основе теории возмущений (методом последовательных
приближений).
В нулевом приближении имеем уравнение
,
*
(
(
)
)
+
( )
-
(
)
которое в точности совпадает с уравнением нерелятивисткой теории атома водорода без
спина. В этом случае
(
)
Найдѐм теперь поправку к энергии уровня (18.9) в первом приближении
(
∫
〈 |
〈 |
где
)
| 〉
| 〉
〈 |
| 〉
〈 |
| 〉
| ( )|
(
(
)
)
постоянная Ридберга,
〈 |
| 〉
∫
(
)
.
/
(
)
Здесь учитывалось следующие равенства
〈 〉
〈 〉
(
(
)
)
И наконец
〈 |
| 〉
∫
(
( ̂̂ )
(
)
)(
(
)
)
где
(
)
(
)
(
)
{
(
(
Окончательно для поправок
)
)
получим
(
)
)(
(
.
1
)
/
(
)
Соответствующее выражение для тонкой структуры спектра водородоподобного
атома примет вид
.
/1
(
)
Отсюда видно, что учѐт релятивистких эффектов приводят к снятию вырождения
кратно вырожденного уровня. Теперь энергетические уровни зависят не только от
главного квантового числа , но и от квантового числа , определяющего полный момент
количества движения (
⁄
⁄
⁄
).
Однако полученные выражения для энергетических уровней не зависят от .
Поэтому, хотя и снимается выражение, но не полностью, т. к. каждому значению
соответствует два значения . Таким образом, остается лишь двухкратное выраждение
уровней. В то же время, каждый уровень, соответствующий определѐнному значению
расщепляется на два уровня из – за наличия дополнительной степени свободы,
обусловленной спином. В результате общее число энергетический состояний,
соответствующих одному главному квантовому числу , равна
.
Таким образом, в атоме водорода возможны состояния
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
Состояния, обладающие одинаковой энергией, подчѐркнуты.
Система уровней, соответствующая разным значениям
при одинаковом
значении
, называется тонкой структурой. Расстояния между отдельными
компонентами тонкой структуры пропорциональны квадрату постоянной тонкой
структуры.
Для уровня
состояниями
⁄ и 2
⁄
атома водорода (
равна (
)
(
) энергетическая разность между
). Абсолютная
величина тонкой структуры с ростом главного квантового числа быстро уменьшается.
Поэтому расщепление спектральных линий, соответствующих переходам между
состояниями с разными значения , обусловлено в основном расщеплением уровней
нижайшего состояния.
(
)
(
)
Дополнительная поправка к магнитному моменту электрона, находится в хорошем
согласии с экспериментальными результатами.
Следует отметить, что ядро атома водорода и многих других атомных ядер
обладает магнитным моментом ̂
, где
спиновые матрицы протона.
Следовательно, оно создает магнитное поле
(
)
Это магнитное поле ядра должно действовать на магнитный момент электрона
̂
(
спиновые матрицы электрона), в результате чего между ядром и
электроном возникает дополнительное взаимодействие
(̂ )
(
)
((
)(
)
(
)
)
(
)
В первом приближении можно считать, что нет выделенных направлений и
поэтому
(
)(
)
(
( )
)
(
)
В этом случае будем иметь
) ( )
(
(
)
В первом приближении взаимодействие магнитных моментов также как и
контактное взаимодействие, окажет влияние лишь на
состояние. Действительно
дополнительная энергия, обусловленная взаимодействием магнитных моментов электрона
и ядер атома, равна
∫
(
) ( )
[ (
где
для
| ( )| [ (
)
]
радиус первой боровской орбиты. Очевидно,
состояний и приводит к сдвигу
(
)
]
)
отлична от нуля только
уровней атома водорода (сверхтонкая
структура). Она примерна в
взаимодействием.
меньше расщепления, вызываемого спинорбитальным
Здесь следует различать два случая
1) Спины протона и электрона антипараллельны (s=0), тогда
(
)
2) Спины протона и электрона параллельны (s=1), тогда
(
)
Разность между этими уровнями характеризует расщепление s – терма благодаря
взаимодействию электрона с магнитным моментом ядра.
В качестве нулевого приближения мы использовали волновую функцию
()
(
)
Эта волновая функция полностью определяет правила отбора для всех квантовых
чисел. Рассматривая квантовые переходы под действием дипольного излучения, приходим
к следующим правилам отбора в теории водородоподобного атомы с учѐтом спиновых
эффектов
(
любое целое число.
)
