l
u
$
j
"
E
'
E
d m
"
( '
(
(
j
b
"%
C
"
E
j
d
E
#
"
h'
k
E
&
( an1 )
0<
ln p,
θ(x) < (4 ln 2)x.
p<2n
Y
2n
>
p
n
n θ(2n) − θ(n).
θ(2m ) 6 2 ln 2(1 + 2 + . . . + 2m−1 ) < (2 ln 2)2m ,
θ(x) 6 θ(2m ) < (2 ln 2)2m = (4 ln 2)2m−1 < (4 ln 2)x.
θ(x) > cx
x>2
tp (n) = max{k > 0 : pk 6 n},
op (n) = max{k > 0 : pk | n}.
1
1
/
- ,+
1
-
,
'
$
"
E'
i
Ej
(
E
k
k
E
a
C
#%
¤
d
%
by
(
Ej
h
8
E
k
E
'h
#
j
E'
b
%
$
'
$
0 6 b2xc −
hy
$ £
θ(x)
x
>c
.
ln x
ln x
π(x) >
{
{
{
?
{
}
{
z
d
"
'
%
C
C
#%
'
"
$
E'
E
'
%
z
pn >
E
'
%
1
1
n ln pn > n ln n = c3 n ln n.
c2
c2
(
"
E
}
c5 ln n < pn+1 − pn < c6 ln n.
>
{
{
}
{
?
{
{
{
>
n
}
~
{
√
2θ(x) √
x
x
+ x < 8 ln 2
+ x < c2
ln x
ln x
ln x
c2 > 1
$
"
E
`
"
E
π(x) 6
*
TX
(
U
C
#%
d
%
"
C
#
$
b
E%
"'
h%
q
pn
0 < c 5 < c6
,
_
√
p> x
√
√
√
√
x(π(x) − π( x)) > ln x(π(x) − x).
(
s
1
2
n ln pn < n ln n = c4 n ln n.
c1
c1
pn > n
E
k
k
E
a
ln p > ln
h'
"
¢
p
C
$
c
bD
%
E
#
"
$
"
h
"
C
#%
Ri
pn <
(
k
k
E
c
E
B
( d
m
n
1
ln pn < ln pn + ln c1 − ln ln pn ,
2
c1 > 0.
E
"
'
$
"
b
%
j
"
k
(
(
x−1
> c1 x,
2
l
θ(x) > θ(2n) > cn > c
2n < x 6 2n + 1
¢
"
E
"
$
E
k
"
E
c>0
√
2n ln 2n > cn,
*
&h
θ(2n) > n ln 2 −
!
&
E
k
k
E
c
B
pn
pn
< n < c2
.
ln pn
ln pn
ln pn + ln c1 − ln ln pn < ln n,
'
$
"
E'
p> 2n
p<2n
X
ln 2n
ln p 6
1 ln p 6 θ(2n).
ln p
√
E
"
√
p> 2n
"
'd
"
hy
$ £
Σ2 =
'h
c1
p6 2n
p<2n
X
x = pn
(
'
"
b$
%
"
j
X ln 2n
√
ln p 6 2n ln 2n,
ln p
√
Σ1 6
m
c3 n ln n < pn < c4 n ln n.
blogp 2nc ln p = Σ1 + Σ2,
l
p<2n
p<2n
u
X
tp (2n) ln p =
"
X
n ln 2 <
"
b
E%
'"
h%
{
}
>
_
>
{
~
{
{
{
{
}
( %
$
#
&
"
$
z&
d
E
~
*
TX
(
U
n
pn n
0 < c 3 < c4
%#
n
'
E
k
"
y
Y op 2n
Y
2n
n+1n+2
2n
n
...
=
=
2 <
p
6
ptp (2n) .
n
1
2
n
p<2n
p<2n
$
z
C
#%
d
"
D
'd
`
E
Ej
hj
'k
"
$
h%
$
'
"
$
#
B
(
"
"
E'
E
E
h%
$
− 2bxc 6 1
6 tp (2n).
2n
n
−2 j
j
p
p
B
j=1
j=1
ln p 6 π(x) ln x
p6x
>
X
X
θ(x) =
$
j=1
tp (2n)
=
¢
tpX
(2n)
tp (n)
X n
(2n)!
2n
2n
=
−2
=
= op
n
(n!)2
pj
pj
s
- ,+
1
/
1
1
c
$
op
'
C
"
u
p < 2n
E
*
%
$
g
}
(
$
E'
y
E
C
"
Zn
¢
u
z
%y
%
k l
b
%
"'
h%
$
m
b
&
$
%
$
#
dc
$
"
'
h
(
(
$
E'
E
%
k
%h
$
#
dc
`
(
k
"
c
u
d
bD
E
E
h'
C
#%
E'
y
E
$
¢
+
>
{
~
*
~
(
>
{
{
$
$
"
'
h
'
E
$
$
"
&h
%
$
{}
}
k
"
%
k
}
$
#
&
E
E
#
E
$ m
C
E
$
"C
'
"
$
C
"
#
"
{
{
z
%
$
,
g
&
%
(
'
"
%
$
2
(
k
E'
"
$
$
k
%
$
#
"
#
k
"
'
&
"
E
'
E
k
"
k%
E
'
n
z
j
"
b"
$
$
$
"'
"
"
E
%
E
'd
E
E
'
E
%
z
E
a
;
'
E
"
$
$
*
E
j
$
$
y
E
d
$
$
d
b
E%
k
"
'
d
" m
f
$
'
%
C
d
E
%
"
c
h%
$
y
$
'#
"
%
z
a
E
k
E'
&
"
%
m
$
¤
k
$
,
%
;&
k
E
'
E
b$
$
"'
"
"
k
"
k%
"
E
'd
%
E
E
%
E
'd
'
& & & &
E
"
j
' $
E
"'
"
"
E
%
E
'd
E
'
E
$
d
'd
'
E
"
$
y
b
$
E
#
k
"
k%
"
'
$
E
Cy
Cy
S
T
V
)
U
]
h%
m
w
X
'd
B
dc
%$
'
%
C
&
E
C
(
5
¥5
q
$
*
%
k
h
k
"
j
$
Cy
b
%
k
'
$
'
%
C
%h
$
$
s
k
h
E
E
$
#
&
E
E
hj
d
"
"
( %
g
'
"
%&
by
; ;
'
E
"
$
$
$
$
"
#
k
'
$
k
"
'E
'
m
m
%
k
h
k
E m
C
h
E
E
"
D
$
%
'
"
E
%
j
$
#
E
C
#%
`
m
'd
,
z
j
$
$
E
C
C
"
+
{
& >
E
$
d
E
"
(
)
"
Cy
h%
b$
"
a
%
h
E
a
C
$
y
$
"
E
$
"
k
"
%
k'
k
%
h
C
h m
$
$
#
#
(
%
E
'
"
E
E
k
E
`
'D
$
"
hj
'
%
$
#
dc
"
'
"
$
a
E
b
"
"
"
%
k
'
h
"
d
E
E l
E%
{1, 2, . . . , n − 1}
(a, n) = 1
5
4
,
{
$
$
"
'
h
dc
b
E%
E
(
b
%$
( &
,
"
"
D
'd
`
u
u
d
E
E
"
'
C
b
%
$
$
C
%
$
#
&
E
h
%
k
d m
!
h
"
%
'
"
E
'
{
}
>
{
{
'
E
"
$
$
(
*
m
" m
n
h%
_
g
{
{
z
l
B
a
(a, n)
n
(a, n) = (2, 341)
431=11·31
`
v
$
S
(
B
n
'
"
z
E
;
{
{
}
Cy
(
%
$
$
$
k
"
c
E
%
E
'd
E ,
E
'
E
%
"
#
"C
h%
d
"`
"j
$
$
#
k
'D
$
"
i
&
%
(
z
E
"
'
E
E
E
h
a
'
C
"
'
d
'd
%
$
m
£
f
$
'
#
$
g
C
#%
E
E
h'
bD
"
f
E
E
%
k'
$
"
%
$
%
h
"
d
E
"
%
(
$
$
#
'
m
&
%
(
$
$
$
j
$
%
$
#
k
c
'D
"
d
E
"
%
$
#
'
'
d
'd
%
$
#
¤
¤
i
m
(
%
$
#
&
E
E
hj
&
"
E
c
k
h
c
'$
E%
$
#
dc
$
"
z
,
&
%
an−1 ≡ 1 (mod n).
(
%
(
'h
V
"
{1, 2, . . . , n − 1}
(
&
E
E
#
E
`
#
E
h
a
'
&
%
n
{
~
(2, n)
{
{
$ m
$
a
2
3
5
7
}
~
k
aa−1 ≡ −1 (mod n).
"
"
d
E
%#
"
%
−1
~
k
?
a
=(2 ) ≡1 (mod n)
a
"
C
"
$ B
&
10 34
a>1
a
(2, 2n−1)
&
C
u
C
#%
'
E
`
1
b
%
a | (n − 1)!
"
%
(
"
b$
a
{
(
d
h
a
%
"
j
n=2
(
"
12
k'
k
$
n = ab
(n − 1)!
(n − 1)! 6≡ −1 (mod n)
n
√
b Nc
N
$
y
j
$
c
'
k
E
"
$
h
"
Cy
h%
"
E
E'
E
"
`
h u
$
$
S
n
%
"
#
$
"
h
a
'
C
"
"
k%
z
%
'd
"
$
"
+
'
%
C
k
"
k
E
o
Y
T
VX
S
XV
{
}
a ∈ {2, 3, . . . , n − 1}
n
2340 =
a = 2, 3, 5, 7
n
341 = 11 · 31
91 = 7 · 13
217 = 7 · 31
25 = 5 · 5
!
S
p
V
X
UV
S
*
VT
V
S
TX
8
]
z
$
j
C
"`
bD
%
C
'h
'
a
E
'
E
d
"
"
'
%
k
h
&
(
)
"
k
E
b
$
J
L
"
h
N
IG
N
L
L
N
N
m
c'
%$
"b
"j
'
h
E m
C
h
`
d m
!
"
'
E
z
&h
E
"
`
d
E
E l
4
1
1/
-.,,+
`
r
(
(
"
'
u
g (p−1)p
m−2
a
%
"
C
h
E
b
`
(
$
E
j
h'
kb
"
"
E
k
h
g0
s
h
s
%
≡ 1 (mod pm−1 )
g (p−1)p
m−3
(
(
%y
u
m
6≡ 1 (mod pm−1 ).
E
g
u
"
E
`
"
y
k
h
E
&
%
k
E
$
'h
'
'
"
h
"
E
%
C
b
%
$ u
%y
C
h
"
E
"`
"
E
"
E
%
%
$
%y
C
h
z
j
'
"
"
%
E
%
E
h
"
#
a
u
m
k
a
}
y
%y
C
h
(
k
h
z
$
%
k
$
"
h
E
'
C
"
%
k
"
%
k'
k
b
%
`
j
( j
k
h
%"
h
k
h
m
&
k
$
"
%
k'
E
b
%
j
b
%
'
Z pm
%a
h
(
h
k
>
~
{
'd
$
$
"
'
"
E'
k
"
k%
E
z
"
m
y
&
"
(
'
k
h
c
E
j
h'
r
;
{
k
d
k
"
$
(
$
k
h
'
"`
'
$
d# m
d
"
E
E
E
C
"
#
j
"
'
'
"
E
"
z
%
C
c'
h
$
%
k
h
$
"
E
"
# B
$
E'
k
E
h'
j
h
{
}
{
~
{
{
{
{
{
{
{
}
{
{
?
{
{
{
{
~
(
W
(
$
$
%
$
#
dc
$
"
'
h
'
$
"`
'
h'
%
"
E
%
&
%y
k l
u
m
c
bD
E
%
$
#
dc
#
(
$
"
&
'
$
$
"C
'
"
$
C
$
#
"
z
$
'
E
%
$
#
dc
$
"
'
h
$
$
?
{
{
{
}
>
{
{}
}
(
j
l
Ri
'
"
b$
%
"
{
}
}
~
}
~
?
{
( % ¢
b
E%
"
E
"
%
$
#
dc
$
"
'
h
k
'
a
h
E
" B
%y
C
h
k
h
&
%
h
$
j
|Z∗pm | = ϕ(Zpm ) = pm−1 (p − 1).
pk
k
h
$
{
}
{
{
}
{}
X
& *
"
' $
{
{
{
{
{
{
{
{
{
(
,
e¥
,
{
{
{
{
{
}
{
{
{
{
z
$
C$
S
{
{
{
&
%
{
k
E
E
a
C
'
"
$
#
'
b
$
"j
h
k
"
&
%
h
p
k
h
"
g
m>2
m=2
ordm−1 (g) =
(
&
"
%y
(
k
h
k
"
ordk (a) | ordk+1 (a)
E
%
C
%
$
C
h
j
h'
~
{
{
;
{
}
{
}
y
Z pm
"
E
'
"
%
Z pm
p−1
g0
g = (p + 1)g0
p(p − 1)
p2
g0
p−1
p2
g
p + 1,
p
p 2
(p + 1)p = 1 + pp +
p + . . . ≡ 1 (mod p2 ),
2
p
#
a
z
'
h
$
{
{}
ordk ( )
"
%
h
k
h
$
{
&
a
"
E
E
h
d
$
>
}
}
~
{
16k
{
{}
}
{
%
m>1
h&
= pm−2 (p − 1)
{
dc
"
"
"
%
k'
h
%
$
?
{
{
}
{
u
m
$
$
$
E'
y
E
%
$
#
dc
"
'
h
T
SZ
*
TX
*
V
k
S
U
S
S
¢
(
Cy
&
E
E
$ m
#
E
k
$
U
$
"
h%
k
$
"C
"
"
E
h
a
'
C
"
Cy
$
$
j
h%
kb
'"
b
%
'$
E
a
j
2
E
k'
E
j
}
$
y
%
%
k
k
$
"
#
(
E
'
z
'
"
a
k
"
h
%
E
E
"C
h%
'h
{
&
a2p −1
a2 −1
z
;
ord2 (g) = p(p − 1)
z
$
&h
'
£
#
C
$
n
$
'
E
dj
E
E
$
#
(
"
#
a
'
$
"
; ;
%
"
$
(
d
$
"
'
"
b$
%
{
'
}
{
n−1
n
"
E
"
D
'd
d
'
`
`
E
"
$
'#
"
%
b ∈ Z∗n
"
$
"
`
"
j
' $
c
k
E
%&
{
}
(a2 − 1, p) = 1
h&
$
n
*
r
(
E'
$
"
'
h
$
E
E'
&
{
Fn ={a ∈ Zn : an−1 ≡ 1 (mod n)}
Z∗n
"
&
E
E
$
$
"
$
y
k
$
E
l
%
a
%
E
"
E
$
"
%
k'
$
"
%
k'
(n − 1)/2
"'
'
$
c
'
"
$
$`
$
j
~
a
a Zn
%
$
$
k
"
i
%&
~
a
"
"
&
%
k
"
"
C
j
&
%
$
$
#
%
$
¢
"
'
E
"
$
"
=
]
]
z
s
(
'
E
$
$
"
a
m
2n − 1
h
#
k
&h
k
E
h
E
1
∗
2 |Zn |
"
$
$
"
%
E
E
d m
ab
−1
$
1/2
"
$
$
+
C
#%
"
{
ab
#
'
"
"
k%
E
a
k'
C
E
a
%
"
k
"
n
21853
%
k
E
$
"
%
$
$`
d m
£
d
E
a
k
bD
E
j
'd
$
$
( %
%
$
#
'
`
"`
'
$
r
(
$
%
#
E
C
$
#j
'
"
"
c
"
k
E
"
$
%
k l
"
j
$
E
'
E
k
C
"
(
b
E%
'"
l
$
"`
− 1 = 22tn − 1 = (2n − 1)(2(2t−1)n + . . . + 1) ≡ 0 (mod n).
$
b
k
"
"
dc
"
'
d
"
"
"
d
E
Ca
E
"
$
$`
$
'
$
"`
'
d
E
C
h
bE
E
#
k
"
%
k'
k
C
"
b
"
"
%#
C
k l
%
"
"
$
"
&
E
E
h
(
"
E
¢
u
m
t
$
'
E
,
$
|Fn | 6
"
%
k'
k
"
#
}
1 091 987 405
(
E
"
E
m
'
}~
p
' $
'
$
$
"
> %&
{
{
a
E
c
C
$
s
c
n
(a, n) = 1
j
n
$
"b
C
"
E
$
n
n
$
%
%
$
*
$
n
n
"
$
by
*
#
"
n
E
$
"
#
#
a>2
%
$
E
"
k
}
n
−2
"'
*
#
E
2
"
"
h
&h
22
2n − 2 = 2(2n−1 − 1) = 2tn
ordk (a) = min{t > 1 : at ≡ 1 (mod pk )}.
-
4
1
1/
-.,,+
1
4/
1
2
'
%
C
$
E
%
E
a
$
(
b
'h
%y
C
h
z
$
h
a
'
C
"
C
'
$
"`
'
m
&
%
&h
(
$
"
s
$ u
b
b"
"C
(
h
E
a
%
'
'$
$
"`
'
C$
%
'$
(
%
'
"
$
g
z
$
#
E
'
E
E
E
h
"
$
"
¤
&
%
a
≡
(mod n).
n
`
E
%
"
m
d B
b
$
`
"
u
p1
(
n = p1p2 . . . pk pi 6= pj
`
&
%
b$
%
"
l
n
%
r
E
m
E
%
E
j
; ?
{
{
{
{
m
{
}
>
{
{
& &
{
{
}
{
% %
?
;
{
{
}
{
~
{
{
{
{
{
{
}
}
~
}
~
+
>
{
~
~
{
{
{
{
z
S
V
"
'd#
b
%
'
"
E
%
(
'
n
n
"
%
E
'
%
$
'd
a
n−1
2
'd#
$
$
#
k
"
%
k'
C
E
%
E
{
{
a ∈ Z∗n
d
E
b
"
k
C
n−1
#
¤
a
"
h'
E
%a
E
'h
?
{~
{
{
{
&
&
'
E
"
z
S
T
T
S
X
*
UV
V
TX
$
$
$
'
"
$
C
C
"
Cy
Cy
h%
k
E
E
a
C
'
"
#
'
"
a
:
l
(
h
Ej
(
$
"
"C
h%
#
(
$ £
hy
"
( d
%#
E
j
by
$
%
%
$
#
%
$
#
d
$
"
"
"
D
'd
E
E
h'
'
$
"
%
C
E
`
r
$
j
z
"
(
a
E
'
k
"
%
k'
"
$
h
E
%
%
$
#
'
"
`
`
u
r
m
k
b
E%
"
'
h
"
d
"
$
"
'
#
hj
#`
E
a
%
$
%
m
(
d
E
"
C&
$`
j
j
"
j
$
k
"
%
'k
%k
$
#
#
hj
C
b
%
$ u
$
#
"
m
( %
s
j
$
$
"
%
"
a
E
d
"
E
%
$
#
k
E
z
(
(
a
%
k
E
h
a
c
E
`
"C
"
"`
Ej
E
h
E
%$
&
%
$
%
$
#
%
$
#
E
r
m
&
"
'
z
$
E
hj
%
k
"
%
k'
k
(
u
#
#
`
¥
,¥
r
'
$
Cy
$
%
$
$
y
h%
b
%
"
k
"
%
k'
k
%
%
$
¥
¥
¥
#
&
25 000 000 000
16
561 1105 1729 2465 2821 6601 8911 10585 15841 29341 41041
46657 52633 62745 63973 75361
(
c
k
h
c
'$
E
%
%
$
`
r
l
2163
h
E
n
k`
$
y
'd
%
$ u
{
}
>
&
n
%
'
k
b
h
"C
{
{
~
¤
,
%
C
h
"
$
"
"
$
$
y
h
E
#
"
"
h
k
"
%
'k
k
%
%
k
$
"
s
`
r
'
%
C
"
"
(
y
$
#
'
w
'
$
g
&
%
b
E%
'"
h%
_
(
"
#
(
#`
"
"
s
(
c
¢
(
"
%
$
$
j
"C
h%
'k
%
C
&h
h
a
$
$
"
E
%
k
"
h
E
b
"
h
m
u
`
i=1, . . . , k
ai
ord1 (ai ) = pi − 1
ain−1 ≡ 1 (mod n)
(pi − 1) | (n − 1)
k=2 n=pq p3
t
n=p m t>2 (m, 2)=1
ord2 (a) = p(p − 1)
n
a
an−1 ≡ 1 (mod n)
p(p − 1) | (n − 1)
{
`
r
p 2 2(m−2)
hp ≡ (1 + kpm−2 )p ≡ 1 + pkpm−2 +
k p
+... ≡
2
k
h
s
s
$ u
&
%
%
%
E
h 6≡ 1 (mod pm−1 ).
E
&h
&h
"C
S
(
'h
C
"
j
(
$
k
E
'
E
d
E
E
h
&h
s
c
"
$
"
"`
$
`
"
m
4
7
1
1/
-.,,+
1
4/
2
1
a
%
$
d
"
$
"
%
k l
an−1 ≡ (api −1 )mi ≡ 1 (mod pi )
an−1 ≡ 1 (mod n)
(
E
'
(
(
n
E
$
~
{
i
E
E'
'
%
'
& &
V
2
hp = (1 + kpm−1 )p ≡ 1 (mod pm )
%
E
h
hy
$
E
$
;
n
$ £
C
"
b$
m
E'
h ≡ (1 + kpm−2 ) (mod pm−1 ),
'd
"
E
%
j
{
{
m−3
n = p1 p2 . . . pk pi 6= pj
n − 1 = (pi − 1)mi
i
c
(
d
%
E
"
&
V
n
'
y
$
"
'd
'
% %
m>1 p
%
(
'
$
l
(pi − 1) | (n − 1)
n = p1 p2 . . . pk pi 6= pj
$ u
$
%
C
'
h
$
%
p2 | n p > 1
n
n = p 1 p2 . . . pk pi =
6 pj
"C
b
"
E
#
"
"
"
E
k
$
%
"
hp ≡ 1 (mod pm−1 )
"
(
#
'
an−1 ≡ 1 (mod p2 )
p|n
$
&
%
k
2pm
#
C
#%
(pi − 1) | (n − 1)
"
l
m
%
"
"
2 4 pm
k
E'
m
'd
a
E
$
&
%y
i
ordm (g) | pm−1 (p − 1)
h=g (p−1)p
n−1 2 a 2
= a 2
≡
= 1 (mod n).
n
"'
"
"
h
*
%
$
#
*
%
$
#
(
%
$
$
$
bD
1/2
%
k
$
'd#
a (mod n)
a ≡ ±1 (mod n)
(
;
;
%
z
E
$
"
E
"
k
'
(
%
m
at ≡ 1 (mod n)
(
k
#
%
g
b
$
k
"
%
'k
%
{
{
}
n
"
"
j
n
an−1 ≡ 1 (mod n)
$
{
{
{}
}
{
{
~
{~
(
"
b
"%
C
j
'
E
"b
%$
"j
hj
{
u
m
h'
h
}
=
{
{
S
_
j
`
j
E
C
#%
' $
%E
d m
!
"
b
"%
C
d
E
E l
$
$
$
c
'
%
k
h
d
"
'
h
'd
%
d
'
E
$
"
`
d m
$
%
%
$
#
&
%
E
"
#
C
#%
d
"
D
`
`
r
(
{
{
{
}
>
{
{}
}
{
{
{
>
{
{
E
E
$
h B
%
C
%
'$
C
#%
h
y
k
'
"%
'
C
h
%
&
$
y
E
'
E
E
¤
&
>
{
{
{
{
k
"
'
$
y
dj
#
'
"
(
b
;
>
}
}
~
{
}
}
~
{
}
Fn = {a ∈ Zn : an−1 ≡ 1 (mod n)}
{}
}
{
{
}
%&
(
u
d m
!
"
E
%a
C
h
"
¤
&
%
(
$
$
C
'd
E
%$
&
$
"
"
B
m
z
y
$
'
E
kb
"
k%
$
$
E
'd
E
%a
h
"
E
%
&
E
E
h
%
k
h
'
%
C
u
'
{
{
&
%
{
{
{
}
{
{
{}
}
{
{
;
$
$
'
"
m
E'
kb
"
k%
E
'd
E
%a
h
"
E
%
&
"
{
{
{
{
}
{
{
{}
}
{
{
&
%
a, b ∈ Z∗n
$
{
{
V
`
5
5
x
B
v
(
"
bE
$
j
'd
>
"
E
;
{
{
{
}
{
{
{}
}
(
(
{
{
{
{
{
{
}
{
{
{}
}
{
{
?
{
{
{
(
y
E
h
a
'
C
"
&
#
E
{
%
E
k
E
h
a
'
C
"
&
&
E
'h
#
&
q
~
W
(
X
& *
%
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
a ∈ Z∗n
"
E
"
#
(
*
E
S
U
U
'
S
1 < a < C log2 n
$
"`
E
$
$
E
'
E
k
"
k%
E
{
$
( &
4
,
5
h
%
d m
E
$
−1
d
a
S
TX
>
d
E
"
E
"
k
'
'
$
E
"
Cy
`
'
%
$
$
(
(
( &
h%
%
a
%
h
x
B
4
,
'
{
%
k l
a
;
`
t
'
Cy
s−1
at , a2t , . . . , a2
−1 (mod n)
'
'
"
E
j
E
"
#
{
(
`
Ej
ab
E
"
%
C
$
`
d
"
E
*
E
+
%
$
$
E
"
ab
$
$
n
*
%h
b
@
%
j
n
a
"'
'd
c
$
$ u
n−1=2s t t
a>2
h%
d
'
E
%
'
"
"C
'
"
E
$
#
d
"
(
'
d
n−1
2
$
k
`
k'
$
$
"
C
d
;
'
$
"
_
|En | 6
h
'
g
%
E'
$
"
h
E
c
E
h
$
m
"
$
%
$
%
'
"
E
%
a
$
#
$
E
E
#
j
%
"
;
'
E
$
$
"
C
%h
a
"
`
"
u
*
'
g
$
#
`
'
%
Z∗n :
c
"
E
"
#
%
"'
"
E
$
%
v
a
"
$
%&
C
#%
+
d
"
¢
;
'
E
"
$
$
¤
;&
k
"
"
k
%&
C
#%
m
'd
k
h
E
En = a ∈
k
"
k%
E
by
$
$
*
E
'
E
b$
$
"
by
$
&
t
'd
m
&
"
d
%
"'
"
"
E
%
"
$
k%
%
E
'd
E
E
'd
,
C >0
n
,
t
$
'd
,
E
$
a
"
"
E
"
j
' $
E
E
'd
E
E
%
k
'
%
h
"
n
;
z
"'
"
"
E
%
E
n
E
E
%
k
"`
"`
%
'
$
$
E
E
"
"
$
%
`
O(log3 n)
'
&
(
"
'd
E
'
E
k
'
¤
{1, 2, . . . , n − 1}
(a, n) = 1
n
z
"b
$
$
j$
Cy
h%
"
"
'd
c
C
"
E
"
k
'
E
'
%$
"j
l
(
"
h
c
'$
E
%
$
#
&
$
"
E
%
k
"
h
E
c
"
$
"
"
`
m
"
"
k
$
E
'
"
`
$ u
$
%
'k
%
C
y
k
'
"%
'
C
h
z
j
$
'
E
$
$
"
'
"
bE
"
E
"
k
'
m
k
1/2k
$
¤
*
'
'
$
$
E
CE
"
"
E
#
&
%
E
&
E
'
E
$
$
(
n
"
"
$
y
E
by
"
( j
$
%
$
& & & &
"
l
a
a
a
a
b
a
...
=
=
= −1.
=
n
p1
p2
pk
p1
p1
& & &
f
;
E
"
C
D
m
%#
'
&
E
E
hb
%
$
(
a ∈ Z∗n
E
E
j
' $
+
"
h%
"
$
k
$
"
'
b
"
n
c
C
C
"
$
'
h
%
E
"
$
"
E
a
_
$
a
$
E
E
%
f
n
by
E
"
'
$
b
%
"
$
j
"
E
'
"
≡( na )≡−1 (mod p2 )
a ≡ 1 (mod p2 )
"
E
&
&h
'
"
"
"
$
$
"`
d
2
a
"
k
'
"
"
'
E
E
h
E
E l
'
"
a ≡ b (mod p1 ),
a ≡ 1 (mod p ),
2
a ≡ 1 (mod pk ).
$
$
"
n
n
n−1
2
'
E
"
j
d
a
$
$
n
n
n
$
E'
b
%
$
a
n
a
a
1
n
a
≡
(mod n)
n
a
1 ∗
|Z |.
2 n
{1, 2, . . . , n − 1}
(a, n) = 1
-
4
1
1/
-.,,+
1
4/
1
2
h
$
d
"
n
j
(
%
%
"
b
"%
C
'
%
$
$
$
z
'
$
E
C
b
%
$ u
"
& $
4
,
B
&
b
%
"
kb
'"
$
*
%
"
u
m
%
'h
'
"
(
(
*
"
f4
4
,
;&
D
a l
R
$
"
"
$
$
k
E'
E
$
"
'
h
b
E%
*
$
k
E'
$
;
"
E
"
$
"
'
h
b
E%
*
%
;
$
$
"
"
k
E'
a
h
%
m
_
E
;
"
$
$
%
e¥
$
$
"
'
h
b
E%
%
$
$
$
$
"
'
h
b
E%
n < 25 000 000 000
n = 3 215 031 751
n
n < 2 152 302 898 747
2 3 5 7 11
n
n < 3 474 749 660 383
2 3 5 7 11 13
n
n < 341 550 071 728 321
2 3
5 7 11 13 17
n
$
$
$
$
k
E'
E
"
'
h
b
E%
$
"
k
E'
E
$
"
h
$
k
E'
*
"
%
$
$
"
$
%
;
$
"
z
$
%
%+
$
$
'
b
E%
$
j
$
$
y
b
"
'
k
c
%
k
'
'
"
"
dc
$
"
E
h
k
%d
E
b
"
C
#%
#
dc
"
c
b
n < 1 373 653
n < 25 326 001
2 3 5
n
2 3 5
7
E
*
E%
C
"
$
"
`
j
$
$
E
a
j
E
#
E
c
b
%
E
%
k
h
d
"
"
k
k
E
h
`
m
m
E £
h
(
$
$
$
$
E'
y
E
%
$
#
dc
"
'
h
b
E%
&
E
E
#
E
$ m
"
%
$
$
#
&
h
a
%
k
%
h
%
$
#
c
"
k
"
z
C
'
"
$
C
a > 1
b
$
"
p
X
%$
"b
"j
%
$
C"
"
E
$
"
+
'h
5
`
$
$
"
"
k
"
%
k'
"
$
h
%
$
#
c
2
¤
m
(
$
E'
y
E
d
$
"
(
Ri
%
%
E
$
#C
#
`
r
f
¤
%
f
&
%
+
Cy
h
z
%
{
{
{
}
>
{
{}
}
{
(
"
%
k'
"
$
$
z
$
$
E
E'
"
$
$
"'
$
"
$
%
y
%
k
"
%
k'
k
%
$
#
d
"
'
h
b
#
%
k
h
"
%
k
E%
'd
%
$
$
$
$
#
'
bD
E
¢
+
'
%
C
$
$
E
'h
#
"
$
$
"
&
E
E
bh
"
E
%
'k
$
k
%
$
#
E
E
h
dc
"
%
%
$
$
$
z
'
"
$
$
d
"
'
h
b
E%
k
"
%
%
$
#
k
h
%
$
#
k
h
E
"
k
%
A
h
z
k'
$
"
$
$
a
%
k
#
!
"
( j
b
&
$
(
"
h
c
'$
E
%
$
#
z
j
'
"
E
$
a
"
"
E
"
' $
E
'"
"
"
%
&
"
h
d
%
$
5
z
E
£
D
C
#%
C
EC
'h
%
"
'
E
E
%
m
$
&
'
E
$
$
"
'
"
Eb
"
E
"
$
E
C
E
E
h
d
y
%
$
C
"
bD
E
E
(
$
$
"
'
h
;
'
E
$
$
"
k
*
E'
j
"'
"
'
$
"
&
E
E
h
k
E
'
"
"
$
#
c
"j
E
h
E
%
$
& &
k
'"
k
;
$
h
j
$
%
$
#
%
k
h
"
#%
h
"
f
u
%
k
$
#
dc
"
%
k
k
$
"
%
'k
n
E%
TXV
a
"
k
E'
j
E
V\
{
}
C
#%
(
k
"
Cy
h%
$
y
"
$
"
'
h
(
2000436751 = 487 · 1531 · 2683
'
`
$
hj
m
h'
{
{
E
%# y
B
$
x
'$
k
"
c
a
'
$
"
E
E
a
k
j
3/4
652969351 = 271 · 811 · 2971
h
'
d
E
a
S
*
{
{
{
}
j
z
"
"
d m
j
E
h
k
n
E
S
{
{
}
=
dc
m
*
k'
`
3
a
\
VT
S
?
>
E
h
y
%
%
$
"
%
k'
$
2
"
`
]
{
{
S
V
_
k
$
#
"
h
$
$
$
$
"
"
a ∈ Z∗n
%
j
%&
TX
X
{}
}
{
z
E
C
#%
$
k
"
$
E%
`
"
&
b
E%
u
a
d
b
E%
p
$
E'
$
&
$
'
$
561 = 3 · 11 · 17
561−1=16·35
¤
¥
¤¥
)
U
S
?
%
E'
E
"
"
m
"
$
%
"`
$
`
k
"
0.7507
V
U
V
n
k
1/4k
( &
"C
$
%E
"
%
$
#
1 < a < 2 log2 n
'&
h'
u
'
$
$
y
E
h
"
k
' $
j
$
$
C
"
0.7513
'
k`
z
$
"
'
k
"
%h
$
'
E%
'
k
b
E
k
C
"
k
'
mod 561
263
166
67
1
1
'D
%
$
m
$
"
E
"
k
'
"
$
#
"
"
O(sn)
'
'
n
$
h
"
"`
k
'
C
"
#%
h'
"
r
∃ r, 0 6 r < s, a2 t ≡ −1 (mod n).
"
E
$
a
%
%y
( %
C
c
−1
%
$
d
E
E
h
%
j
5
&h
s
¢
a
a
#
%
h
"C
'
24
,
"
C
#
E%
k%
E
n
%
$`
$
&h
$
$
#
dc
h
( &
'
h m
'
C
#%
%
2
h
`
k
"
"
#
%
"
"
"
$
"
%
%
&
E
"
k
E
mod 17
8
13
−1
1
1
$
%
k'
j
£
D
$
$
C
E
%
'
h
$
'
E
−1
E
"
n
k
"
%
h
E
'd
&
a l
R
%
k'
k
%
k
$
'd#
2
h
z
v
'
&
,
4
"
"
E
'
d
E
$
"
E
"
k
'
d
`
1
1/
E
E
%h
`
1
4/
1
2
-.,,+
-
a
%
h
e¥
4
,
E m
( &
(
E
c
"
(mod n)
(
k
h
(
E
E
h'
(
u
−1
#
!
"
E
w
`
b
E%
$
mod 11
−1
1
1
1
1
C
%
h
b
cn0.133
E
(
( & ,
r
mod 3
−1
1
1
1
1
%
D
−1
C
E%
'
%
'$
$
#
2
(235 )2
(235 )4
(235 )8
(235 )16
e
4
,
B
k
h
"
E
`
"
E
35
%#
c
'$
$
$
$
E
at ≡ 1 (mod n)
C
'
$
#
−1
(
'
&
D
d
E
n
%
d
%
$
"
%
E
(−1, −1, −1)
n
−1
s−1
k
O(n1/10.89 )
(
d
E
a
O(n1/7 )
"
%&
(2, 2, 2)
(at )2 , (at )4 , . . . (at )2
a
n
2047 = 23 · 89
121 = 11 · 11
781 = 11 · 71
25 = 5 · 5
a
(
¤
,
"
z
"
{
{
}
>
{
a1
a2
[a1 (log n)6 ,
{
~
S
?
{
~
{
{
~
{
{
{
n π1 (x)
P (p − 1) > x2/3
{
~
>
{
}
`
"b
( '
%$
"j
z
'
E
k
$
$
"
'
k
&
(
%"
$
z
z
%
¤
hj
`
j
"
%
#
¤
&
%
f
m
h'
d
"
$
$
#
"`
#
$
$
y
+$
E
d
b
E
%
k
"
m
m
E%
k
k
h
"j
E
j
E
#
(
z
j
j
E
'
C
"
j
b
"%
C
d
b
E%
E
"
hC
n
g
E
k
$
C
b
%
$ B
(
$
b
"
E
a
%
$
¤
&
%
Cy
b
E%
%E
"
dc
"
j
d
h
a
'
&
D
%
$
#
b
E%
E
`
D
'h
%
kC
h
&
z
"
%
b
" m
"
C
h m
"
%&
C
"
'
&
$ £
C
b
"
%
E
'd
h
E
%
'
"
'
"
#b
"'
h%
$
"
h m
hy
"
$
$
&
%
j
$
c
'
k
E
#
E
b
%
E
$
b
"
%
D
E
'd
E
#
"
"
h
%
&
'
k
%
&
E
E
'
C
"
(
'
"
E
k
&
h'
$
$
y
,
%
(
'
&
u
E
'
E
k
"
'
$
$
"
k
E
'
E
"
'
"
%&
z
j
D
'
%
k
h
"
a
%
#
E
#
(
"
%&
C
j
%
E
z
u
_
$
$
'd#
k
$
"C
"
'
"
E'
&
"
'
E
$
E'
"
h
$
E
`
u
m
(
C
"
"
(
d
E
E
"
E
b
E%
"'
$
(
E
&h
s
z
$
&
D
Cy
h%
$
C
"
dc
"
h
"
#
z
$
%
C
E
'
E
'
E
$
$
$ u
"
b
"C
%"
h
j
$
$
"
E
'
(
u
*
kb
"'
#
E
$
j
"
a
%
"
'h
"
k
E
$
d
#`
"
"
%
$
b#
%
%"
$
$
(
%
C
E
h`
E
d
"
E
'
(
'
"
$
"
$
y
Ca
E
E
k
"
'
dj
z
j
b
%
"
E
#
E
"
16 log2 n + 1>8 log n
r=n
E
'
%
{
>
{
~
{
}
E
j
#
E
k
h
c
h
O((log n)6 )
$
#
dc
"
$
r −1
E
y
{
n0
%$
_
'
%
{
{
}
$
$
(
j
#
E
%dc
&
%
p
&
&
%
N
(
$
y
n > n0
C
c
$
{
&
(
$
c
'
%
k
h ¤
x=4 log n+
d
b
E%
k
?
r
#
{
π1 (x) > c
'
"%
£
q | or (n)
E
{
~
;
'
E
"
c>0
$
'
{
r=2
[a1 (log n)6 , a2 (log n)6 ]
C
√
q > 4 r log n
h
'
}
~
'h
"
%&
$
u
$
E
a
(
E'
(
j
'
"
b$
%
"
u
l
z
C
#%
'
E
C
b
E
`
d
b
E%
"
a
%
s
%
C
$
" u
z
*
"
E
z
'd
'
√
r−1
> q > 4 r log n
2
√
r − 8 r log n − 1 > 0
x2 −(8 log n)x−1=0
r>64 log2 n
n
%
(
"
h'
P (n)
p p6x
$
{
S
V
(
%
B
√
2 r log n=O((log n)4 )
#
b$
%
n0
"
~
+
h
"
b
$
'
"
E'
Ej
E%
'"
$
"`
l
,
&
%
j
c
k
E
#
E
(
%
$
#
&
$
"
E
E
"
a
%
'd
`
`
n
b
"
a2 (log n)6 ]
j
"
%
$
%
n > n0
%
;
b
r−1
l
%
`
;
'
E
$
$
"
&
#
,
a
"'
6≡ 1 (mod r)
%"
h
$
"
`
m
(
(x − a)n ≡ (xn − a) (mod xr − 1, mod n),
dj
r−1
q
a
n−q
n
bD
%
&
% ;
¤
ab b > 1
n,
E
r←r+1
£
(
n
&
l
(n, r) 6= 1
xq
n
q
xi
&
E
$
"
% %
¢
f
(
r
b
(
h%
$
(x − a)n ≡ (xn − a) (mod n).
'
*
q
√
q > 4 r log n
%"
$
(
'
dj
0
{
~
{
{
{
{
$
?
{
>
{
}
{
(
(
;
'
E
$
$
"
(
,
( d
"
2
,
A
9
-
(
(
(
(
9
(
(
(
%
,
%
&
+
(
$
/
,f
.
(
b
"
"
"
E
'
,
&
√
2 r log n
(x − a)n 6≡ (xn − a) (mod xr − 1, mod n)
$
"
{
{
}
$
"
"
Cy
h%
E
E'
E
"
%&
$
~
S
V
n
C
%
%
(
%"
n
h m
;
;
'd#
5
a
E
n−2
(
r
q
qt
e
C
'
h
((x − a) − (x − a))
n
"
;
(
r1
n
(
r
,¥
E
&h
k
(
c
$
a
&
,
,
2
k
n
n = q t (q, t) = 1
r=n
%
(
E
n
a
a
r
x
.
log x
P (r − 1) > (a2 (log n)6 )2/3 > r2/3
1
4/
1
2
4
1
1/
-.,,+
-
&h
'
$
n
z
h
(
E
z
"
u
r
C
s
z
&
E
d m
$
"
h'
b$
E
"
"
%&
a
&
D
(
'
&
E
%#
'
k
$
"
'
E
%
&
`
(
z
"
%y
C
h
b
"
h'
u
$
b
"
E
a
%
$
"
z
O(pol(log log n))
r
(
"
'$
"
%
√
2 r log n = O((log n)4 )
{
(
O∼ ((log n)12 )
#
hj
E%
#
h'
¤
$
$
%
E
k
$
"C
"
%
%"
h
`
m
m
j
h
"
'
&
D
k
E
%
E
'd
%
k
h
%
$
#
5
z
'd
%
'
'
,
u
&
%
(
E
%#
'
b
"
E
E
a
"
`
D
k
$
"
k%
E
O((log n)4 log log n)=O ∼ ((log n)4)
O((log n)6 )
*
j
k
E
h'
'
&
b
E%
'"
h%
$
$
z
"
%&
E'
b
%
j
$
&
D
&
k
E
x
E
%
E
'd
b
"
$
"
E
a
%
$
"
&
c
E x
k
E
a
CE
_
%
$
%
$
$
%
E
E
*
k
E
'
E
C
E
D
j
j
$
#
$
E
#
'
'h
'
E
k
E%
`
(
"
%&
b
&
D
"
$
$
z
'd
&
b
E%
"'
h%
E
k
(
%
$
#
"
dc
$
$
c
'
%
k
h
E
#
E
%
$`
E
"
$
"
z
k
E
E
E
a
E
k
k
E
h
a
c
E
%
k l
p 6 blog2 nc
{
{
y
"
%
k'
&
E
'
k
"
'
E
a
c
'
m
"
xk−1 = 1
'
&
'
k%
k
e
"
C
_
$
#
x
xp = n
}
$
"
$
"
$
k
"
E
'd
O∼ ((log n)9 )
k%
E
¤
%
k
$
x
#
A
b
E%
"'
h%
$
C
"
b
"
%
E
'd
E
a
%
$
#
%
$
'h
"
(
"
z
j
k
E
#%
'
"
d
dc
C
'
C
"
u
b 6 blog2 nc
*
E
E'
'
"
%&
&
`
&
)
%
a
E
h'
j
k
E
(
k+1 p
'd
$
'
%
E%
$
'd#
$
E
'd
b
'
C
i=0
k
X
{
{
'
"
CE
%
&
%
$
"
E
b
%
"
x=
E'
%
(
a
%
r
~
&
"
#`
$
'
B
h
"
'
"
ab b > 1
?
n
"
%&
k
&
E
'
(
(
(2 ) 6 n < (2
n
%
'
"
k p
}
bh
C
'
"
h
E%
$
h'
'
$
$
$
&
"j
"
"
'd
"
%&
&
D
&
'
b
"
b
E%
%E
#
"
z
$
"
E
k
E
#
E
c
'
"
#
C
#%
u
j
h
E
#
E
(
E
%
k
(
z
$
b
'"
b
%
j
$
"
"
%
k
h
C
h
'
"
b$
%
"
j
l
$
'
"
E'
E
m
c
"
E
"
E
cd
"
k
"
%k
{
S
V
?
{
{
>
{
{
{
{
~
{
}
$
$
y
E
'd
E
'
D
d m
pol (x)
'
"
k
j
"
(
'
&
c
bD
%
x
{
"
#b
$
b
E'
m
%
E
m
E'
E
#
d
%
"
C
#
C$
"
O∼ (f (n))
&
'
$
"
6
{
8
k
E
%
(
E
#
"
"
m
$
k
"
k%
E
'd
n
E
a
%
$
$
"
h
#
"
d
&
u
× pol (log log n))
~
"
a
E
C$
E
j
h'
b
E
'd
xk = 1
{
S
l
Π
d# B
z
c3 (log n)
< N,
log log n
r−1
q
V
'd
E
`
'
k
d
$`
− 1)
r−1 r−1
6 2/3 < r1/3 < x1/3 ,
q
r
C$
E
E
"
C&
%"
log a1 > 0 log a2 < log log n
n
p
{
(
$
"
%
`
h _
%
&h
h
d
"
$
ca2 (log n)6
c2 a1 (log n)6
>
−
>
log(a2 (log n)6 ) log(a1 (log n)6 )
ca2 (log n)6
c2 a1 (log n)6
>
−
>
7 log log n
6 log log n
(log n)6
(log n)6 ca2
c2 a 1
>
−
,
= c3
log log n 7
6
log log n
6≡ 1 (mod r).
Ej
y
$
$
r
'
%
C
k
"
$
(
%"
h
dc
s
a
E
h&
$
(
'
$
"
E
"
#
E
N > π1 (a2 (log n)6 ) − π(a1 (log n)6 ) >
{
`
`
#
$
"
$
"
u
x
x
< π(x) < c2
.
c1
ln x
ln x
or (n)
%"
h
E
&
b
E%
b$
m
&
%
&h
n
h
y
k
'
E
%
k
"'
'
%
E
2/3
E
"
"%
'
C
h
h
"
"
$
C
$
"
Π = (n − 1)(n2 − 1) · . . . · (nx
#
> 4 r log n
j
b
√
E
"
(
%
$
#
E
%a
hC
x2/3 log n <
nr−1 ≡1 (mod r)
r−1
q
(
%
"
x = a2 (log n)6
d m
$
$
"
#
b
E%
'"
%
%"
k
$
y
w
h
*
$
"
q = P (r − 1) > r
2/3
Ej
n
E
Π
%a
h
$
"`
l
b
%
%
k
x2/3 log n
%
$
C#
m
(
a2
%"
h
a1
h
or (n) | (r − 1)
d
E
'd
q | or (n)
s
_
c3 > 0
(
$
"`
C&
h
n0
q
0 < c1 < 1 < c 2
O((log n)12 ×
O(f (n)pol (log log n))
xi 2 i ,
(2k + 2k−1 )p 6 n
√
O( r pol(log log n)) = O ∼ ((log n)3 )
O(r(log n)2 pol(log log n)) = O ∼ ((log n)5 ),
1
4/
1
2
4
1
1/
-.,,+
-
'
"
Xp
k
hy
$ £
pk ≡ 1 (mod r)
d|k
(
(
*
"C
m
(
C
b
|G| > |S| =
$ u
%
E
d−1
Ig(x) = {m : g(x)m ≡ g(xm ) (mod xr − 1, mod p)}.
d
E
%#
"
j
'
j
E
d
E
y
Fp
(
"
%&
&
D
E
d
2
h
'
"
#C
"
"
$
#
'
"
"
"
%&
%
&
'
&
z
#
'd
C
%
'$
C
"
u
m
%
$
#
%
%"
%
$
√r
r > q > 4 r log n > l
n
%
C
"
#
"
d
"
E
%
%
'
"
'
$
%
$
d m
!
d m
(
d m
g
1 6 a, a0 6 l
$
Cy
'
"
"'
"
d
E
k
$
%
$
z
E
j
y
%
d
E
%#
"
hj
d
E%
#
$
&
E
"
'
"
#
a
u
z
b
"C
$ u
dc
"
C
f
&
%
$
'd
c
'
%
k
h
%
'
"
'
&
%
z
*
j
y
%&
" m
d
"
b
"%
C
E
a
%
$
#
b
%
%"
h
$
"
k
"
h
`
`
(
%
k
h
%
$
h
C
#%
"
'
C
b
%
$
%"
h
E
%a
¢
£
b
"
%
#
'
"
"
#
z
$
%"
h
dc
"
'
"
$
u
%"
h
$
"
"
`
E
%
E
k
$
"
%
'h
E%
#
&
E
dc
'
h
"
$
$ v
s
k'
&
"
k
"
(
b
k
h
r
(
%
$
#`
%
"
h
y
a
b
%
(
(
(
"C
¤
$
$
"
E
h
E
"
C
`
h m
%
'
(
dc
"
$ u
z
'
"
j
E
%
k
$
"
$
'
"
$
a
E
h
C
&
'
$
d
"
E
%
"
#
a
u
b
C
C
&
(x − a) 1 6 a 6 l
G
h
Cy
%#
%
'
$
b
%
b"
"
d m
!
"
a
'
h&
`
C
#%
"
$
$ v
(
"
(
j
$
"
b
%"
C
k
"
#
E
j
%
k
%
k
d
"
E
$
%
'
"
#
E
"
%&
2
$ B
&
D
C
%
z
$
g
$
$
#
"
$
E
h
E
"
`
h m
C
E
%
'
'
%
&
%
(
$
y
k
E
'
E
C
k
E
D
k
"
%
k'
*
$
"
b
"C
$
$ u
"
b
"%
C
j
"
h
"
%&
"
#
a
%
h
(
'
E
"
$
u
"
E
%
&
h
a
%
k
h
%
k
E
'
E
$
E
%
E
'd
j
$
$
(
$
"
C
"
%
"
C
h m
j
"
b
"%
C
(
*
j
E
a
'
E
'
E
$
"
$
&
%
&
%
$
c
'
%
k
h
¤
B
$
E
'd
h&
'
a
"
E
'
E
$
%
'
"
*
"
b
"%
C
b
%
"
kb
"
#
E
j
"
a
"
%&
E
Fp (x)/(h(x))
$
#`
E%
#
&
"
%
d
"
( %
k
(
ua 6 d − 1.
"
$
¢
" m
d
"
s
&
X
$
u
E
"
'
(
"
b
"%
C
&
%
'
E
$
E
'
E
$
¤
%
h
k6d
√
l = 2 r log n
Fp (x)/(h(x)) = GF (pd )
√
|G| > n2 r
G
S
d
C
"
b
d m
"
#
j
j
&h
$
%
h
E
Ca
k
"
b
E%
"'
h%
$
"
(x − a)ua ,
j
m
E
C
%
$
"
h
c
'$
E%
bD
E
%
(
E%
#
&
`
'
$
$
"
E
'
Y
C
'"
_
%
p 2 l = n2 r ,
>
l
l!
l
√
d = or (p) > q > 4 r log n = 2l
g(x)
G
%
%
$
z
E
C
$
E'
&
%
$
"
d
g(x)p ≡ g xp
"
E
#j
b
%$
p1
f
$
b
a
u
b
%
$
j
'
&h
hj
d
$
(x − a)n ≡ (xn − a) (mod h(x), mod p),
k
(
E
E
b
m
%
d m
C
#%
$
( %
k
$
s
&
E
(x − a)n ≡ (xn − a) (mod xr − 1, mod p).
"
d
E%
j
#
'$
"
#b
"j
(
Fp = GF (p)
h(x) 6= x − 1
E
'
E
%a
h
E
#
&
h(x)
E
g
&
&
'
Ca
$
E
#
E
'
$
q >4 r log n q | or (n)
pi 1 6 i 6 k
(or (p1 ), . . . , or (pk ))
q | or (p)
n
√
1 6 a 6 2 r log n
√
(
%
$
$
"
'h
b
%
"
kb
b
%$
$
" £
E
n
C
(
*
E
b
'
"
&
"
k%
E
n=p
k
E
k
$
"b
%$
E
"
%
$
#C
b
%
'd
"
r =n
n
$
'
h(x)
r r
E
E
C
#%
E
$
n
k
y
%"
"j
$
"
"
%&
"
n
"
%
'k
k
d
"
*$
"
$
$
p
E
k
E%
#
&
bh
"
#
k
Cy
'D
( d
"
E
or (n)
"
h
m
b
d = or (p)
k
h
E
C
'd
"C
$ u
$
" £
"
E
r −1
%
'
$
c
E
(
,
"
Fp (x)/(h(x))
"
%
_
C
$ u
a
h(x) | (x − 1)
(n, r) = 1
(
j
r
%$
&
&
r
#
"
(
r
n
E
%
"
r
n
Fp (x)/(h(x))
− X = 0,
r | (pk − 1)
k
h
"
#
n
r
n
d
xp − x ≡ 0 (mod h(x), mod p)
≡ g(x) (mod h(x), mod p).
d
Xp −
l+1
1
4/
1
2
4
7
1
1/
-.,,+
-
`
j
d
b
`
,
&
%
m
∃ a ∈ Z∗n , (an−1 ≡ 1 (mod n)) ∧ ∀ q | (n − 1), a
n−1
q
{
>
{
}
( %
$
z
$
'
E
"
b
"
d m
d
"
$
"
"
'
`
n
z
k
y
Ej
E
h
'd
'
"
k
E
"
j
' $
D
]
S
(
y
$
%
$
#
dc
"
j
C
h
k
E
"
$
c
"
%&
'
"
k
E
$
$
$
d!
# m
E
d
"
%
$
#
d
"
"
'k
%
C
d
E
#
"
"
h
"
$
$ v
(
E
"
$
%
$
#
$
"
$
$
"'
"
E
C
#%
%
( %
$
#
Cy
h%
k
$
"
g
$
$
"
"
*
$
h
"
"
k
$
"
k
E
z
$
m
'd
"
"
*
"
h
E
E
$
c
g
$
"
b
E%
"'
E
"'
"
"
"
%
$
`
h%
$
"
(
"'
"
d
b
E%
"
h
'
C
"
$ £
hy
"
(
"
%
j
$
#
"j
%
$
#
$
"
"
E
k
$
"C
"
dc
"
h
$
`
`
m
$ B
`
'd
$
$
'h
&
b
E%
%$
$
#b
"
b
E%
"'
h%
$
k
"
E
k
"
m
"
"
(
(
f
$ B
(
6≡ 1 (mod n)
+
'
"
C
#%
E
E
h'
c
k
%
$
$
$
#
dc
$
"
k
E
"
$
%
k
h
m
£
s
C
%
E
(
%
'
h
k
&
C$
"
h
E
'
C
dh
h
C
%
b
j
y
E
E
"
$
"
(
*
$
$
$
k
$
"
k
E
'
"`
'
"
"
"b
'
"
%$
"j
h
D
( d
w
'
"
d
"'
"
b
"'
h
C
"
&
E
C
"
( d
u
*
E
z
$
$
$
%
C
dc
$
E
#
"
"
h
E
E
E
d
E'
E
d
"
"
d
E
E
h
E
"
j
#
E
k
`
(
$
"
'
n
#
"
a
&
C
"
Cy
%
"
X
q
n
{
&
"
'
$
c
k
"
'
C
n
"
d
"
{
n
~
$
"
'
%
C
'
Cy
_
z
a
%
(
"
u
$ u
n
"b
%$
"j
E
#
5
h%
dj
"
E
"
"C
"
C
#%
C
h
"
$
#
"
&
"b
"
E
$
&
%
E
h
C&
b
%
$
&
E
E
hj
D
'd
"
E
*
E
"
d
"'
"
%
'
h
z
*
$
"
k
'
%
y
$
d
"
$
"
'k
%
C
j
E
d
m
E
j
c
E
%
'
b
%
h
j
$
%
"
E
d
"
%
h
&
m
$
z
$
y
d
$
C
dh
h
'
"
"
"
%#
"
$
"
k
"
%
'k
k
b
E%
'"
$
"`
h
(
)
'
"
B
(
%
$
#
d
'
k
"
"
h
a
'
C
"
E
'
C
"
$
"
%E
$
#
'
d m
$
$
b"
"
"
$
$ v
(
a
dc
"
E
E
#b
'd
%
h'
$
%
'
s
$ u
h&
b
"C
"
%
"
a
$
l
#
(
!
"
"
!
!
%
'
"
E
%
j
k
h
#
#
j
E
m
£
y
$
$
#C
"
"
b
"'
dj
h
( %
g(xm1 )m2 ≡ g(xm1 m2 ) (mod xr − 1, mod p).
{
&
e
,
$
(
(
(
C
h
"
z
*
*
$
$
$
v
x
j
%
k
'
%
%
E m
E
"
k'
%
'
"
"
D
'd
dc
E
_
z
E
"
$
$
m
h
E
d
"
%&
d
E
E'
j
h
E
d
'
E
"
z
$
j
%
b
"'
b
%
$
E
C
h
c
k
C
#%
c
&
E
'
"
¢
m
m
(
d
E
"
C&
$`
h _
"
%&
&
b
E%
E
j
c
k
h
E
#
E
%
&
E
E
hC
#
Cy
D
C
#%
E
Cy
C
z
%
"
#
$
b
"
C
h
"
$
j
$
dc
#
E
#
"
c
'
"
O(log nlog log log n )
{
}
>
~
h
"
%
k
k
b
E%
"
C
#%
"
n
{
(
%
$
"
( &
'
"
"
%
k'
$
%
%&
`
&h
C
#%
$
n
~
y
h
%
h
j
b
d
$
"
h
$
#
d
"
D
'd
d
E
'$
b
%
"
"
"
E'
n
{
S
E'
b
n
E
$`
$
"
E
Ej
$
#
" m
"
'
E
"
h'
(
E
a
j
ni1 −i2 =pj2 −j1
k>1
{
r=n
%
`
"
E
'
#
k
"
c
'
m 1 ≡ m2
%
m
'd
hj
b
"
h
s
s
g(x)m1 g(x)kr = g(x)m2 = g(xm2 ) = g(xm1 +kr ) = g(xm1 ) = g(x)m1 .
V
b
%
u
E
"
#
$
"
#
"
#
og
g(x)
Fp (x)/(h(x))
og = |G|
m1 , m2 ∈ Ig(x)
m1 ≡ m2 (mod r)
m1 ≡ m2 (mod og )
m2 = m1 + kr k > 0
Fp (x)/(h(x))
E
#
"
C
"
h
$
$
$
"
$
C
E
g(xm1 )m2 ≡ g(xm1 m2 ) (mod xm1 r − 1, mod p),
{
z
$
"
h
%
k
"
E
'd
b
%
"
E
"
%&
b
E%
B
g(x)m1 m2 ≡ (g(x)m1 )m2 ≡ g(xm1 )m2 (mod xr − 1, mod p).
(
z
$
"'
"
"
%h
`
Ej
'
k
w
&
E
E
bh
"
#
E ⊆ Ig(x)
n i 1 p j 1 ni 2 p j 2
E%
d
%
E
d
"
(
E ,
#
$
%
"
(
d
E
j
$
#
E
#
E
$
"
"
b
%E
og | kr
%E
`
h
b
E
n
$
$
"
%
"
a
m
k
$
"
$
√
og >n2 r
n = pk
E
d
#
dc
$
"
C
j
#
c
bD
%
E
"
%
$
$
E
#
"
"
#
"
"
%
E
=1
E
"
c
b
#
$
`
h
%
k
r
kr
' $
E%
%
k
h
"
h
b
"
ni1 −i2 ≡ pj2 −j1 (mod og ).
√
r
'
b
"
`
h
E
"
#
g(x)
j
#
E
"
%
"
E = {ni pj : 0 6 i, j 6 b rc}
√
|E|=(1+b rc)2 >r
E
(i1 , j1 ) 6= (i2 , j2 ) ni1 pj1 ≡ ni2 pj2 (mod r)
ni1 pj1 ≡ ni2 pj2 (mod og )
√
d
$`
E
"
C
$
h m
#
j
#
E
%&
n|i1 −i2 | p|j2 −j1 |
{
~
{
{
{
{
>
{
}
(
E
S
V
}
e
,
5
5
u
k>1
C
q
a
%
k
#
"
n
E
E'
E
$
j
E
s
d
$
"
C
h m
b
E%
"'
h%
%
a
3(Fk −1)/2 6≡ 1 (mod Fn )
h
n = qk R + 1 > 1
$
#
h
(
`
"
'
'
Fk 6≡ 1 (mod 3)
Fk ≡ 2 ≡ −1 (mod 3)
{
{
Cy
E
E'
d
C
&
`
E'
j
$
C
#%
'$
"
E
b#
%
{
"
$
$
$
E
y
y
E
%
"
"
E
d
%
b
s
Fk
3
h%
E
"C
k
"
C
h
m
d
n−1
}
k
h
k
E
E l
j
'
E
$
s
(
%
j
$
"
E
'
(
"
?
'dc
c
"
E
#
"
C
#%
d
C
`
%
k l
$
C#
"
≡
%"
$
Ej
(
$
"
m
`
$
"
b
'"
'
"
E
(
%
f
,
g
&
%
&
%
k
Fk = 2 2 + 1
E
~
>
{
h
%
$
*
'"
"
#
%
(
%
dj
%
%
=
d m
!
#
%
Z∗n
{
{
{
~
S
XV
"
%
%
z
%
b
m
&
$
#
%
d
E
E'
E
$
"
a
E
$
$
"
%&
`
j
m
d
$
"
h
"
%
k
'
j
Fk
3
h`
$
"
t
U
%
E
c
E
kb
"'
b
%
'$
%
d
E
E'
E
E
k
h
"
#
?
~
&
E
&"
%
"%
C
%
E
`
E
j
a
%
y
≡ (−1)(Fk −1)/2
*
b
"C
$ u
$
$
#
d
m
E
"
b
h
j
j
h
a
}
(
E
%E
$
h
"
$
c
E
%
k
h
(n − 1)
"
R
(a(n−1)/q −1, n)=1
p = qk r + 1
p
'
&"
%E
V
#
%
+
"
$
E
+
h
j
#
E
dc
"'
b
%
$
E
"
' $
s
$
#
2
#
"
'd
(
u
S
(
"
n
d
u
%
"
"
$
'
'
k
E
a
j
"
d
E
'
E
a
3
Fk
C
'
E'
h
`
$
c
'
m
#%
q
V
( &
,
4
,
q
d
$
#
c
%
n
"
b$
S
B
&
%
j
%
$
#
E
$
"
E
"
k
'
3(Fk −1)/2 ≡
%
"
f
"
&
E
h
%
k
h
&
$
Cy
"
Fk −1
q=2
"
'k
V
n−1
hy
$ £
j
"
(
E
d m
!
,
%
C
#%
m
&
"
(
`
E
"
'
$
&
E
%
¢
m
$
z
"
b
"
$
%
'
"
$
"
g
l
u
b
%$
m
h
E
%
$
&
"
E
j
h'
'$
( d
#
&
%
'
"
¥
m
(
j
b$
%
"
,¥
¥
' 2
%E
h
`
d!m
$
%
k
bh
"
$
"C
"
d
$
"
C
`
h m
d
"
E
(
%
d
'
E
"
2525223
"
$
an−1 ≡1 (mod n)
n
(
n
'
%
$
j
k
"
c
E
%
E
%
;&
,
'd
(mod 3)
%
l
u
C
C
(
"
' $
E
Z∗n
C
j
+ 1 = 4294967297 = 641 · 6700417.
z
%
%
$
#
kj
b
%
$
b
"'
"
'd
'
%
$
"
Fk
(
F12
n=5
b
E%
"
"
"
$
$
"
E
%
"
C
%
'
ord(b1 . . . bs ) = q1k1 . . . qsks = n − 1.
b
%
Fk = 22 + 1 k = 1, 2, . . .
'
"
"'
E
h
E
a
`
$
"
&
&h
m | (n−1)
ϕ(n)=n−1
h
z
&
"
%
"
"
"
h
"
d
E
#
&
%
$
&
"
n−1
z
¢
d
'h
%
k
%
$
"
b
"
d m
$
y
$
#
k
"
'
C
"
$
%y
%
*
n
(
$
$
#
'
"
a
dj
A
,
E
Zn
$
#
"
b
"
#
E
h%
$
a = b 1 . . . bs
%
E
E%
'"
&
'h
%
$
#
"
u
¤
%
$
ord(a)=m
$
j
a
%
$
"`
E
(
&h
E
C
Z∗n
"
#
j
'
%
a
%
h
%
'
dj
C
#%
#
"
a ∈ Z∗n
#
%
E
CD
h
"
u
$
$
a1 , . . . , as ∈
"
%
'd
n
"
m=n−1
#
h'
$
w
n = 0, 1, 2, 3, 4
"
'
f5
,
( & ¤
`
(
d
"
$
a
2 +1
m = 2k
m
(
)
u
'
%
%
j
"'
bi
d
"
$
'#
c
i
5
qiki
$
E'
( &
e
e
F5 = 2
2
5
k
y
,
*
h
∃ a ∈ Zn , ord(a) = n − 1
n−1
∀ q | (n − 1), ∃ a ∈ Z∗n , (an−1 ≡ 1 (mod n)) ∧ a q 6≡ 1 (mod n)
(1) ⇔ (2) (1) ⇒ (3)
(3) ⇒ (2)
n − 1 = q1k1 . . . qsks
i
ai
ord(ai ) | (n − 1)
ord(ai )
ki
n−1
q
|
ord(a
)
bi
i
i
qi
ord(bi ) =
"
%
k'
k
E
a
B
n
F23
"
n
a
n
3(Fk −1)/2 ≡ −1 (mod Fk ).
3
(mod Fn ).
r
p
1
4/
1
2
,
/
1/
1/
- ,+
-
$
y
$
'
(
"
n
(
(
{
{
{
{
}
R
"
%
mk
1
n = pm
1 . . . pk
q | (pi − 1)
n ≡ 1 (mod q)
Q = qt + 1 >
1
?
{
(
$
%
$
#
d
"
"
z
b
"
e
e
d m
"
a
a
"
( &
4
,
d
E
E
h
E
&"
%E
`
u
"
m
$
(
(
E
(
z
'
h%
_
%
E
j
'
z
b
%
d
C
&`
'
E
$
%
"
"
#
b
#
u
"%
C
$
"
E
%#
"
$
C$
d
C
"
%
$
#
c
h
$
$
q | (pi − 1)
j
j
"
'
'
#
%
"
b
%
q
'
#
{
{
}
"b
%$
Rl
"
"%
C
pi
bE
"
m
b
"j
¢
%"
C
#%
(
+
'k
%
C
u
(
%"
h
E
C
"
"%
'
C
h
%y
C
h
"
E
%
k
h
z
"
#
C
#%
#
"
"C
'
(
"
`
z
C
"
$
"
"
'd
c
"
$
"
d
"`
$
`
"
C
%
'$
d
"
#
"
E
`
m
(
(
z
E
#
j
&
%
E
$
b
"C
'
"
l
$ u
b$
%
"
j
'k
%
C
$
j
&h
s
"
%
"C
'
"
$
$
"
#
%
k
h
"
"
#
$
j
"
'd
d
"
'k
%
C
h&
s
(
?
z
$
%
hb
"
'd
a
E
h&
'
"
"
#
%
(
*
=
m
?
{
{
{
}
{
{
{
~
an−1 ≡ 1 (mod n)
p
n
{
{
}
{
~
*
d
b
E%
'
"
E
'
E
$
$
~
S
`
$ u
"
b
"C
'
"
b$
%
"
j
{
{
}
?
(
{
{
}
{
{
E
a
{
{
{
~
~
{
{
{
j
"
b
"%
C
Cy
h%
b$
"
C
#%
E
`
"
'
%
C
%
$
$
%
m
m
a(n−1)/q 6≡ 1 (mod n)
z
R
&h
i
d m
$
"
{
q
a
E
~
h
%
(
j
(
hy
i
i
an−1 ≡ 1 (mod pm
a(n−1)/q 6≡ 1 (mod pm
i )
i )
mi
t
a
pi
t | (n − 1)
t
(n − 1)/q
qk | t
k
C
E%
"'
"
k
h
%
j
h
%
$
"
"
$
%
b
$
"
k
h
Ca
E
E
%a
mk
1
n = pm
1 . . . pk
"
h%
_
*
b
"C
$ u
~
~
(
= &
C
%
$ £
$ v
C
%
$
#
(
$
b#
%
%"
h`
q
$
"
"C
'
"
$
C
$
E'
j
"
"
d
"
"
n
(
%
%"
a
s
"
b
%
b
k
'
z
d
y
h
"
C
%#
#
l
V
(
y
?
=
$
j
$
'
"
E'
b
"
E
E
&"
%E
u
'"
%
"
#
"
{
~
S
C
#%
E
$
`
,
V
X
S
V
8
q
$
$
"
E
k
"
%
k'
k
k
"
C
"`
Cy
h%
C
#%
m
m
$
#
%
%"
h
c
'
%
k
Ch
"
Cy
E
E
h
k
k
E
`
u
%
$
d
z
(
(
Ej
h
s
(
(
$ B
d
"`
%
C
%
C
h%
n
_
$
(
$
'
"
$
y
E'
E
%
E
'd
b
E%
'
E
z
"
E%
b
"'
%"
h
E
+
'k
%
C
"
k
'
"%
'
C
h
≡ (−1)(n−1)/2
&
(
#
E
'
E
n ≡ pi Q (mod q)
Q ≡ 1 (mod q)
n
pi = qs + 1 > 2q + 1
b
#
?
%
$
k
"
$ B
'
$
"
E'
"`
C
%
`
$ B
%
(
%y
C
h
E
#
(
s
(
'
"
Rl
S
h
t | pimi −1 (pi − 1)
&h
b$
%
"
j
'
E
$
'
%
"
#
n = qk R + 1 > 1
%
"
(
"
d
'
E
h
r
$
#
d
(
Ej
C
#%
V
n=qR+1>1
R < 4(q + 1)
≡ 1 (mod n) a(n−1)/q =
6 1 (mod n)
n
n
h'
_
dc
$
"
}
{
3
k
2 R+1
d m
!
"
$ £
hy
"
n = pi Q
"
E
a
(
%
l
pi − 1 = q k r
#
&
%
E
#
E%
"
z
$
"
E
#
"
b#
%$
$
b
E%
"'
h%
"
y
"
R
a(n−1)/q ≡
6 1 (mod n)
p = qk r + 1
'
h
j
"
k
'
$
C
h
%
"
#
(
#
`
i
h&
E
£
c
h
$
j
"%
'
C
h
b
"
#
k
E
E'
"
'
dj
'
"
k
h
b"
$
(a(n−1)/q − 1, n) = 1
%
$
A
m
"
$
"
#
(
C
s
E
(
E
"
#
3(n−1)/2 ≡
'
(
#
3(n−1)/2 ≡ −1 (mod n).
"
#
&h
{
z
%$
'
h
h'
C
$
"
(
*
%
"
k
E
E l
i
Z∗pmi
( d
'
$
pi ≡ 1 (mod q)
t
> 2q + 1
Q
#
s
=
D`
b
E%
"
$
b#
"'
"
E
R < 2 k 3 < 2k + 1
u
a(n−1)/2 6≡ 1 (mod n),
"
E
#
~
( d
h
b
"
h
y
p2 > (F + 1)2 > R(F + 1) > RF + 1 > n.
~
?
"`
E
E
c
'
E
%
"
n−1
E
&
u
$
c
a
"
5
h
k
C
#%
#
h
a
'
a
"
e
e
,
~
$
$
y
#
u
(n − 1)/q
m | (p − 1)
a=3 q=2
3(n−1)/2 6= 1 (mod n)
s
{
{
~
{
(
"
R < 2k
$
}
>
{
{
{
%
dc
E
"
#
q
h
{
&
{
u
R>
n = FR + 1 > 1
0
{
}
>
~
F 6p−1
'
l
{
√
%
"
j
p6
C
b
"
'
{
n
'
$
3
%
C
qk | m
p − 1 = qk r
2
≡ −1 (mod Fn ).
3
an−1 ≡
n = pi Q > (1 + 2q)2 = q · 4(q + 1) + 1 > qR + 1.
1
4/
1
2
/
1/
1/
- ,+
-
p
n
z
h
(d, (p − 1)/d) = 1
z
z
%
C
`
E
'
w
}
{
{
E
#
&
?
>
{
{
{
{
}
{
"
E
%
E
k
ϕ(d)
(p − 1),
d
{
~
{
{
{
{
{
}
>
{
%
b
`
h
Ca
$
$
j
8
"
"
'd
d
"
'k
%
C
&h
%
~
S
$
b#
%
%"
h`
"
?
{
{
}
{
{
T
&
C
ϕ(k) = ϕ(d)
#%
$
$
"`
'
C
i
}
z
n
$ v
d
$
k | (p−1)/d
X
$
kj
b
%
'
"
d
(
(
s
(
z
$ u
*
b
"C
$ u
b
%
'
"
E
'
E
"
$
*$
b
"C
'
"
b$
%
"
j
%
k
C
`
E
(
*
w
{
{
{
{
{
(
"
h'
{
{
}
? ?
{
{
{
{
}
$
C
d
%
E
"
h m
E
E
"
"
'd#
d
E
#
"
h'
kb
"%
'k
k
"
C
h m
(
$
E
%
$
#
%
C
h
"
E
%
$
%
C
h
dc
"
c
b
E%
`
g
E
c
b
%
E
%
k
h
h
E
a
%
'
$
'$
%
$
'd#
a
E
"
h'
d
{
{
{
{
~
~
~
>
{
~
}
>
?
S
}
>
{
{
{
{
}
{
{
{
=
(
k
E
&"
%E
u
d
z
$
$
%
k
"
%
k'
k
E
%
$
#
E
E
hj
"
#
kb
"
h m
C
"
#
"
(
(
$
Ej
h
%
C
E
%
"
h'
d
%
E
k
"
%
k'
z
"
$
$
"
C
#%
d
E
"
#
d
b
E%
$
$
k
"
%
'k
k
%
k
Cy
h%
_
%
(
%
k'
k
y
$
E
&"
%E
u
d
"
'
%
C
'
E
b
%$
C
h
C
h
%
$
#
b
"
#
$
z
h%
$
$
$
$
C
'
"
(
(
C
&
$
_
E'
E
"
k
'
"
u
`
"%
'
C
#
$
E
C
#%
c
C
b
"
E
"
k
'
b
"
r
z
E
h
h
$
$
"
`
k
E
E'
j
u
h&
C
#%
E
E
&"
%E
u
d
"
E%
C
%
$
$
$
j
"
a
%
'
E
&
d
E
C
%#
c
%
$
#
dc
%
(
$
"
j
C
g
`
B
m
(
z
`
Ri
h
E
&
"
%&
d
"
4
m
d!m
$
%
'
%
C
C
( &
24
,
B
%
C
#%
'"
b
%
"
'"
c%
$
$
$
#
%dc
'
k
E
D
$
"
k
E
'
E
C
&
E
"
h'
E
k
k
"
b
(
B
"
"
E%
'"
(
$
"
C
#%
E
E
'h
(
z
"
"
y
$ £
(
#
E
m1 m2 < F
n > F3
m1 + m 2 > F
F > m1 m2 > m1 (F − m2 ) > F − 1
m1 = F − 1 m 2 = 1
n = F3 + 1
m1 + m 2 < F
m1 m2 = x m 1 + m 2 = y
m 1 m2
m2 − ym + x = 0
S
S
(
VX
=
q
'
'
&h
s
(
(
z
j
'd
E
E
E
E
%
`
,
¥
¤¥
,¥
fv
s
d m
!
_
£
&
E
$
y
$
¥
¥¤
,
"
h
E
"
"
"
$
( & ¤
%
k
"
#
"
(
k
"
h
c
m
%
n = 2RF + 1 = (m1 F + 1)(m2 F + 1)
'"
ϕ(k)ϕ(d) = ϕ(d)
b
(
b$
%
"
j
l
(
"
$
E
E
"
%a
"`
%
C
%
h
y
y
d | (p − 1)
%
k | (p−1)/d
X
"
| (p−1)
ϕ(d∗ ) =
$
'
"
#
'
E B
$
y
$
$
%
$
#
E
"
'd
b
E
#
E
k
"
m
'd
(
(
(
z
$
`
f
m
(
b
"C
4
,¥
v
$ u
%
%"
h
dc
$
"
C
c'
h
%
b
_
'
%
y
$
#
dc
$
"
&
"
%&
'
£
$
E
'
"
$
s
w
%
a
"
"
E
h
Cy
'
E
"
h
E
"
E
E'
"
$
#
"
'
$
%
$
#
%
C
"
u
'
E
b
"
"
a
E
E
$
"
"
*
$
n
#
T>
'"
C
#%
2
E
k | (p−1)/d
X
%
X
E
>
p
d | d∗
E
"
a
%
h
$ B
"
#
C
#%
"
x ∈ Z∗p
'd
T=
'
√
F> 3 n
ϕ(x)
(
,
$
>
"C
p > (2F + 1) > (2R + 1)(2F + 1) > 2RF + 1 = n.
"
?
(
%y
C
h
{
2
E'
g
`
y 2 − 4x
{
{
r
#
E
%
$
k
m
#
&
"
$
C $
a l
R
(
E
h
a
'
C
"
pF +1
{
~
{
&
'
"
'
E
$
l
=
n
?
2R=xF +y
{
C
F
r
"b
%$
k
h
`
`
q
F
an−1 ≡ 1 (mod n)
(a(n−1)/q − 1, n) = 1
p
n
p = mF + 1
√
F> n
F
R
{
}
(
(
d
E
√
3
&
{
~
"
g
"j
E
#
"
#
F>
(
h
a
%
k
h ,
Ej
%
$
√
p=mF +1> n
'
$
%
h
%
h
p
"
n F R a
x>0 06y 1
E'
E
k
&
q
~
#
Cy
√
F> n
$
(
S
'
F
"
k%
E
h%
_
2
~
{
( &
¤
4
"
&h
n−1
'
4
,
s
a
'd
"
b$
%
?
2
y − 4x
{
u
√
p6 n
p > 2F + 1
%
"
{
'
"
F | (p − 1)
$
j
{
}
}
F
#
%
l
a
k
n
%"
h
R
n6F 3
m 1 > m2 .
2R = m1 m2 F + m1 + m2 .
(d, (p − 1)/d) = 1.
ϕ(kd) >
p−1
,
d
1
4/
1
2
/
1/
1/
- ,+
-
$
"
&
$
$`
%
"
&
z
&h
z
$
$
a
%
C
d
E
Ej
'
k
d
"
z
"
E
a
g
C
h
"
&
"
w
(
z
"b
$
$
%
,
$ ¤
%
by
d
"
"
'
%$
"j
l
( f
%
k
%
z
%
$
$
#
a
"
*
$
$
$
¤
v
u
%
%
E m
"
"
by
d
"
"
'
(
(
w
E
d
"`
Ej
h&
E
&
k
k
E
c
'
k
E
E
hj
(
*
z
b
E
#
k
$
"
'
dj
$
k
h
c
'$
%
$
#
d
"
E
k
E%
h
d
,
u
m
w
E
E
(
"
y
$
%
'
%
C
%
k
'
"%
'
C
h
"
$
"
'"
k
"
k%
E
'd
&
D
E`
d
k
E
d
"
(
$ s
$
"
"
d m
"
#
(
$
"
%
$
#
k
"
%
k
$
$
&
E
C
#%
%
k
h
%
$
#
d
`
(
z
$
E
"
$
Ca
k
i
x
$
$
$
&
#
!
"
'
%
$
#
"
&
m
C$
"
"
%&
&
(
(
j
E
a
%
h
"
k
h
'd
'
%
f
x
$
%
$
#
E
C
#%
`
m
d B
&
%
t ∈ (2m−2 /F, 2m−1 /F − sm)
`
z
$
( '
"
E'
k
C
$
%
b
"
a
%
a
E
&h
z
%
"
$
j
(
'
' $
E
"
' $
$
d
"
"
'k
%
C
$
&
E
#
"
"
$
h
h
k
E
"
&
¤
,
$
"
k%
E
'd
"
'
%
d
(
"
`
`
$
"
%&
d
'
E
C$
Cy
h%
%$
a
%
C
#%
'$
%
z
$
j
by
%
$
#
%
j
"
%
by
$
C$
E
"
&
"
k
"
(
&
¤
x
_
z
'
"
E
j
(
$
'
"
h
%
$
$
#
E'
Ej
$
by
E
E
h
a
kj
h
d
#
E
&
"
`
"
'd
'
m
E
k
E%
h
dc
E
$
"
s
%
"
(
&
$
,
g
x
%
$
$ u
b
`
(
Cy
h%
'$
"
"C
$
$
"
$
"
E
C
#%
"
E
"
E
d
b
E%
'"
%$
"`
$
$
h
( d
*
#
dc
E
h
k
j
"
'
'
"
%&
*
%
$
#
%
z
`
z
"
"
D
C
kj
b
%
$
%
$
#
dc
'
E
$
$
"
'
dc
$
"
j
C
h
j
$
d
"
$
"
"
"
E
~{
(
}
{
{
{
{
}
~
{
v
>
{
{
{
~
}
*
TX
(
U
{
&
E
"
%&
d
%
%
*
E
E
E m
u
~
a
%
h
m
$
#
$
"
u
c
%&
k
C
#%
$
"
j
m
(
%
%
$
Ch
"
D
$
#
dc
"
$
h
C
dc
'
%
k
h
d
"
$
"
B s
F
'
$
h
k
"
k%
E
'd
'
(
k
h
c
h
$
"
%&
'd#
$
c
bD
%
m
(
&h
1/3
m
%
"b
%$
"
%&
`
k
%
(
%
'$
h
a
E
E B
&
k
E
B >0
E
`
d
$
"
"j
d
E
E
hb
h
"
d!m
$
b
"
"
`
%
C
dh
(
( &
,
4
4
,
h
E
'
1/2
"
'
$
h
d
C
"
k
m
`
r
'
"
$
"
%
$
$
y
m
d
E
2εm < F < 2cεm
ε
w
"
C
(
C
h
Cy
(
r
(
"
%
$
#
#`
$
"
E
'
E
( '
"
$
$
E'
E
Ca
E
"
C
C
h
%
'
j
"
&
E
z
%
m
E
k
%"
h
"
C
%
k
k
E
$
E
f
u
'
z
j
j
C
b
"'
b
%
$
C
%
%
'
"
w
C
#%
$
'
E
c
'
$
$
`
j
`
k
j
"
E
"
' $
"
j
%
$
#
c
'
%
k
h
$
$
&
$
k
h
"
"
b
E%
#C
n
"
E
$
E
C
$
h
k'
%
k
%
$
d B
$
E'
E
#
`
E
#
k
"
"j
n−1
k
"
Cy
$
E
"'
j
#
k
"
%
k'
k
k
E
d
E
`
m
h
E
m 0
k
"
#
E
C
#%
"
'h
E
b
%
%
$
$
A
E
E
z
#
"
(
&
b
'd
E
"
h
c
b
E
%
"
$
%
'
¤
%
$
#
s
s
X
1
ϕ(F ) X
1
1−
>1−
=
,
F
q
q
j
j=1
j=1 j
k%
k
'd
b
"
C
"
C
h m
%
$
#
d
E%
"
%
$
E
(
%
,
q1 , . . . , qs
F = q1k1 . . . qsks
x y R=R(x, y)
{
~
{
{
{
>
{
~
{
{
{
{
(
z
$
y
"
'
C
% $
c
E
E
%
$
#
dc
"
j
C
h
E
&
u
,
(
"
?
4
4
,
u
B
m
"
%&
d
`
d m
$
%
%
a
%
h
C
% $
c
( &
a ∈ Z∗n
ϕ(F )/F
'd
( %
$
#
d
"
"
$
$
≡ 1 (mod n)
a(n−1)/qj ≡ 1 (mod n)
a
F
n
n
a ∈ Z∗n
j
~
S
V
{
{
{
>
{
}
{
}
>
T
U
S
[
(
XV
:q
'
'
F = q1k1 . . . qsks F > R
(
$
h
. . . , qs
"
(2R, F ) = 1
n = 2F R + 1
q 1 , . . . , qs
P = {n = n0 + ia : n0 = ta + 1, a = 2F, 0 6 i 6 s}.
A
1
4/
1
2
7
/
1/
1/
- ,+
-
'"
b
E
#
"
>
{
(
z
b
%
'
%
`
s
E
h
$
a
c
'E
k
"
"
!
"
&
%
$
#
Ej
C
c
m
z
$
$
#
k
d
"
$
E
"
c
b
%
CE
E
'
`
1
k
"
E%
$
'd#
dc
E%
(
$
`
r
E'
E
j
&
%
d m
!
'
C
E
E'
$
E
_
$
$
h
c
k%
a
"
"
'
dc
`
,
4
4
( & 5
(
E
E
j
B
m
£
h
z
a
"%
'
E
$
j
&
$
"
by
&
b
E%
E
%
k
E
&
C
<
Cy
d!m
$
"
'
$
$
'D
$
E
(
z
'
E
'D
$
j
z
(*
*
%
.
-
9
9
.
/
/
&
%
z
j
42
,
m
$
" i
d
&
c
'
d
E
h
E
%
`
d m
%
$
#
dc
"
b
"
k
E
4
E
h%
$ u
"
'$
$
&
E
E'
&
E
$
( &
$
&
E
"
D
(
$
E
E
z
$
$
y
$
#
d
"
C
h
h
k
h
E
%
k
"
%
k'
k
E
"
j
' $
C
E
"
E
%
'"
E
d
m
k
#
"
#
$
%
$
#
'
E
d
E
'
"
y
j
E
#
j
%
$
#
b
h
%
$
#
dc
$
"
(
z
$
b
%
"
d
E
$
E
D
$
'
k
"
%
k'
B
&
k
%
$
#
dc
"
%
k
h
$
$
'
y
'$
d
"
k
"
%
k'
%
$
k
'
$
k
"
'E
dc
E
"
j
' $
c
'
$
$
E
h'
%
,
" B
m
(
C
#%
d
E
"
`
$`
$
#
"
#b
z
"
'h
&
h
"
q = 2 k = 2m
f4
,
m
¥
(
" m
c
'
( &
%
%
z
`
'
"
d
e
,
y
?
{
{
{
{
{
{
{
}
{
&
c
E
4¥
Ln−2 ≡ 0 (mod n)
( &
"
b
E%
E'
%
#
r
d m
!
"
C
Cy
"
Cy
E
E
h
{
{
z
%
$
#
(
E'
dc
"
j
E
h
(
%y
C
h
'
E
C
E
"
h'
&h
s
$
y
b
%
"
{
{
>
~
{}
{
y
~
(
*
S
V
&
%
%
$
#
"
#
$
{
{
}
{
$
"
(
*
$
%
b
%
"
d
"
b
"
d m
"
a
{
E
n
}
'$
,
m
" m
.
hC
Cy
"
Mp
#% y
(
m
h
(
E
E%
h
(n + 1)
a
!
$
d
%
'
"
"C
E
$
9
%
>
&
"
E
"
b
"C
$ u
*
#
%d
"
z
#
"
h'
k
$
"
%
k'
k
E
"
%
#
$
$
y
'h
%
$
#
k
"
'
dj
E
&h
$
"
b
"
'h
&
(
*
n
n
j
"
$
$
a
h
E
D
'
$
E
"
"
#b
"j
d
E
%#
j
'd#
d
E
(
`
z
y
"
"
'k
"
$
'$
h
%
$
$
"
#
j
%$
k
"
E
"
j
' $
(
k
"
$
j
k
E
#
"
#
%
(
%
$
$
`
$
E
E
%
$
E
E
%
$
#
%
k
h
d
"
"
"
`
Cy
h
z
¢
m
E
k
"
$
j
$
$
$
$
%
k
"
%
k'
k
h
c
h
&
"
C
#%
d
E
"
#
d
E
"
' $
%
d
%
$
"
E
E
h
&
h
dc
"
'
d
h
%
$
#
`
g
?
'
S
T
S
TU
q
h
k
%
E
E
"
j
' $
h&
C
#%
'$
d
E
d
"
"
z
$
d
'
dj
E
"
k
"
$
k
E
"
d
h
"
D
'd
d
E
E
"
$
$ v
$
$
$
y
j
%
$
#
E
a
%
E
d
E
E'
E
d
"
"
k
"
"
#
n2 +1 n2 ±n−1
(
@
q
j
$
j
E
E
a
%
E
#
"
b
#
"'
b
%
$
E
p
(
VX
"
( %
"
a
E
n+1
$
%
"
C
%
"
h
k
'
h
"
E
k
$
"
b
E%
"'
~
Lm+1 = L2m − 2,
E
dc
$
#
&
E
B
%
"
E
z
$
"`
'
h%
&
`
n
"
$
"
#
c
'D
h%
$
(
'
k
"
j
h'
p
Pp =Mp (Mp − 1)
`
%
z
h%
$
'
$
"
&
y
&
E
"
$
'
"
C
E
%
"
Mn = 2 n − 1
%&
d
E
j
E
'
"
"
by
z
#
&
%
$
y
$
k
"
'
{}
}
L0 = 4,
'
h'
j
dj
by
$
$
2r = a +
"
$
{
%
b
E
h
'
h
"
dj
E
C
{Lm }
E
'
"
E
{
{
"
{
S
(
'h
`
h i
E
Mn
"
$
#
{
'h
{
{
$
%
$
"
b
E%
Lm = V2k /2
&
k
E
h
?
b
$
$
#
"'
Mn
j
U(n+1)/r 6≡ 0 (mod n),
a
%
"
>
&
k > 0.
%&
`
{
}
{
?
{
>
bE
E
E
#
&
%
"
'$
E
c
b
h%
$
Uk+2 = pUk+1 − qUk ,
V k+2 = pVk+1 − qVk , k > 0.
d
z
q
p
Cy
"
%
{
$
"
b
E%
"'
E
d
d
p2 − 4q)/2
E
a
'
"
%
%
h%
"%
E
E'
$
$
{
d
E
xp− px + q = 0
r = (p + p2 − 4q)/2
2
#
z
Cy
n
(n − 1)
b
"'
j
E
=
>
"
{}
k
Cy
h%
_
&
j
h'
k
$
'd#
c
y
E
E l
p
b
%
~{
{
{
{Uk }
#
&
%
?
>
{
(
$
V 2k = V k2 − 2q k ,
{
}
}
"
$
{
(
)
'
%
q
{
{
#
n
"
h'
j
k
'
rk =(Vk +Uk
h
$
{
E m
#
n
by
"
'
p
E
$
"
>
b
E%
a b
p
2rn = a − b p2 − 4q (mod n)
{Uk }
Un+1 ≡ 0 (mod n)
~
{
{
"`
%
$
u
%
{
}
{
(n − 1)
(n + 1)
(n + 1)
p2 −4q
"
E
a
>
{
~
q
r
&
E
Un+1 ≡ 0 (mod n),
#
'"
"'
h%
S
p q
E
#
&
{
$
{
}
b
y
U1 = 1,
V 1 = p,
b
%
=
=
E%
r
{Uk } {Vk }
%
E
%
}
c
E
U2k = Uk Vk ,
z
{Vk }
~
8
n
n>1
n+1
k
E
n
a
A
~
S
?
p = 1 q = −1
E
"
{
S
" B
p2 − 4q (mod n)
n
c
&
?
"'
U0 = 0,
V 0 = 2,
s
(
h
"
Cy
E
q
(
z
(n − 1)
$
{
V
p
"
}
r
b
"
{
p2 − 4q
E%
k
E
E l
n
y
{
p
d
+b
h%
$
(n − 1)
(n + 1)
0 6 m < n.
k
1
4/
1
2
5
/
5
41
2
1
- ,+
-
/
3
&
&
@
' #
F #
I
H
'$
I
F
F
.
A
<1
$0
3
.
' &$
3
=
<
H
-
-
'$
*
'
3
/
&
&
@
' #
F #
I
=
<
H
I
H
,
%(
3
*
C
#
&
.
F #/
? F %
&
' #
3
$
0 &
3
@
&
F
I
.
8
-
-
'$
I
H
F
%( F
?
&
*
7
$( ?
3
*
#
&
.
.
$0
3
.
'
77
,
,
,
7
H
&
F +
,
7
,
7
,7
,
E
/I
=
I
H
#
<
C
256
1 000
10 000
100 000
1000 000
10 000 000
100 000 000
dc
$
54
168
1 229
9 592
78 498
664 579
5 761 455
7
, , ,,
,7 7 ,
$
$
$
y
C
π(C)
%
k
h
c
'$
$
d
E
h&
"
E
'
E
E
'
'$
B1
,
m
&
4
B1
,
; =
c
bD
%
%
k
h
m
j
$
z
$
D
"
h
c
E
'
E
'
E
a
E
'
E
#
"
B1
,
%
E
'
E%
h
dc
E
"
%&
E
E
k
"
`
m
m
%
B1
,
?
.(
$ /
%
&
E
D
&
E
E
h
(
(
j
2
m
=
/
& 0
*
4
"
j
E
%
E
'd
b
"
'
"
'
E
C$
h
c
E
%
$
#
%
.
.
4
m
@
%
E
k
E
h
a
c
E
%
k
h
"
#b
`
"
'h
&
k
( %
%"
h
&
b
E%
'
*
$
$
$
y
&
'
k
E
h
a
c
E
&
D
&
'
b
%
"
E
"
k
"
'
#
"
A
A
E
?
&
+
$@
, ,7 ,7
?
(
$ /
($
&
$@
@
,
B1 D
C B1
,
?
.(
$
%
$ /
E
4
z
j
$
j
E
&
"
#
"
'
"
%&
%
E
"
#
"
.
5<
$
#
%d
C
h
h
k
h
E
k
E%
h
%
k
h
( %
*>
+
?
'3 &
)
1
)
1
)
1
=
&(
4
&
5<
/
&
' :
;
7 7
5<
'
9
%
*8
%
$
#
d
$
"
E
k
E%
h
%
k
h
,
7/
56
&
(
&
/
1
/
1
/
1
E
%#
'
k
$
"
'
E
"
%&
&
E
E
h
%
k
h
`
.
.
($
$,
'&
)
/
-
32
&
1
4
$
%
$
#
%
k
%"
h
&
b
E%
'
"
E
&
'
k
E
h
a
c
Eb
"
E
a
%
.
.
7
_
$,
($
7
7
/
-
1
*)
+
(
%
(
'&
$#
!"
, ,
-
, , , ,7 , 7
, , ,
, 7
7
7
, , , , , , , , ,
7 , ,, 77
,
, ,
, 7 7
, , ,, ,
'
#
%
m
(
j
$
$
$
E
k
"
%#
$
'
C
"
%&
&
b"
"
E
a
%
#
%
$
#
dc
"
(
k
h
j
$
$
E
%
$
$
#
%d
'
E
d
$`
$
d
E
c
z
c
'$
E
h
$
"
E
%
m
m
w
$
#
k
$
b
"
"
"
h
c
E
"
'"
"
E%
h
k
E
$
#
d
"
'
E
b
%
"
k
"
%
k'
E
"
$
E
$
C
k
,
, , , , , ,
7
,
,
,
7 , 7 7
, ,
,
, ,
7
7
, , ,
, 7 7 7 77
, , , , , , , , ,
, , 7
`
$
"
a
b
"%
k'
"
$
$
$
C
%
B
m
j
%
&
E
a
"
EC
h
"`
"
b
(
#
hj
c
k
h
c
'$
E%
$
#
$
$
$
EC
h
"
k
"
%
k'
`
k m
Ca
"
#
$`
$
j
$
$
dc
"
c
'
$
b$
"
"
E
h
c
E
d
E
"
C&
m
h _
(
$
$
j
b
"
%
E
'd
a
E
'
E
"
&
"
#
bD
%
b
%
"
E
kb
$
"j
m
,
"
a
b
"
%
E
'd
h
c
E
d
"
k
E%
h`
%
$
#
m
$
$
"
EC
h
'
"
h
"
j
E
'
"
$`
%
$
#
c
bD
%
%
k
h
d
E
"
E
h
m
_
(
k
h
c
'$
%
$
#
d
"
E
(
)
,
, ,
z
%&
&
E
E
h
E
%
E
'd
u
+
j
$
d
a
E
'
'
E
%
$
#
E%
h
b
E%
5
,7
/
5
41
2
1
"'
- ,+
h%
'$
'
1
*
+
5
4/
1
2
-
$
>
$
+
+5
9
$D
$
85
3
&
'(
.
7
3@
8
7
$
'
k
"
#% y
j
n
z
E%
h
>
,
C B1
D
$ /
%
.(
?
log2 n
n
"
d
"
E
"
E
3
*
#
&
.
n
n
$
`
"
$0
3
.
7
O(log n)
√
E
F
n
/I
n
n
%
#
√
√
$
(
7 , , ,,
,
,
n
,
*
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
*
#
&
.
.
H
< G
F
=
.
7
77
,
7 , 7
7
7
,
,
7
7
,
, 77 ,7 , 7 , , , ,
7 7
,7
, , , , , , , , , , , , ,
7 7 7 ,7
'3 1
;&
, ,
Pp
F
$0
3
- & J / - &
- .& -
−
−
−
−
H
-
- & ?
%(
*
7
,
,7
,
−
−
−
−
=
<
7
,
7
7
K
K
Mp
,
,
7
,
,
K
K
p
n
√
√
O(π( n) log2 n) = O( n log n)
√
O( n log2 n)
"
#
k'
log(1 − x) < −x
0
{
h
d
E
"
j
$
' $
k
"
%&
¢
xi =
#
~
{
{
{
>
{
~
z
j
C
b
%
$ B
$
j, k 06j
{
{}
}
~
~
{
&
p0 +2k rs
j=2 −1
d=(xj −xk , n)
1
λ√
>0
l = 2λn
d
"
C
#
pnl =
j
b$
%
"
~
(xj −xk , n)
!
&
%
k
h
c
u
l+1
ρ
n
l2
l(l + 1)
<−
= −λ.
2n
2n
x0 , x 1 , . . .
xj 6≡ xk
z
`
C
#%
#`
'
E
$
$
"
"
h
'
c
E%
h
dc
E
"
%&
'h
" B
m
1
4/
1
2
7
5
7
/
5
41
2
1
- ,+
-
j
$
z
x
y
k
$
"
(
"
%&
&
%
z
m
h
z
%
h
"
%
`
u
(
%
$
#
dc
$
"
'dc
z
#
"
E
"
j
d
h
(
%"
h
d
$
"
b
"
a
%
g
%
$
#
%
"
C
h m
"
%&
"
h
'
E
"
%&
d
E
E
h
%
$
z
'
$
$
E
k
E
h
a
c
bE
"
E
a
%
"
#
"
"
'd
C
"
j
(
'
E
"
$
b
"
a
%
"C
h%
%
$
#
(
Ej
h
s
z
&
bD
E
√
z = b 4 nc + 1 y = z 2
√
O( 4 n log4 n)
k
$
k
E
z
"
"
$
%"
$
"
d
%
$
`
#
%
k
h
%
k l
z
z
E
$
b
"
E
a
%
C$
"
( %
$
#
kj
h
E
%
E
$
#
&
kj
h
u
$
%
E
k
"
k%
E
'd
"
b
"
"
m
k
E%
h`
(
$
'
E
"
&
'
"
b
"
E
a
%
$
z
¢
C
c'
h l
k
E
h
a
c
£
(
E
'
E
%
$
#
dc
kj
h
C
"
u
O(log2 t)
%k
E
'
`
#
$
"
h
#
dc
k
d
E
E
(
z < b nc + 1
'd
"
%
b
E%
%"
"
z
%
%"
C
'
"
$
"
E
(
$
b
%
2
"
h
"`
x
c
b
E%
k
E%
'
"
#
h
¢
2
dc
%&
h
dc
$
$
E
"
"
' f
k
$
y
b"
&
"
(
z
$
$
E
"
%&
b
"
E
a
%
k
E
#
'
%
$
#
%dc
k
E
h
a
c
E
l
l
¢
£
D
'
"
{
{
{
>
{
?
¢
(
$
'
E
"
(
"`
Cy
h%
E
E'
$
E
E
£
(
z
"
%&
k
$
"
k%
E
$
&
'
b
"
E
a
%
C$
"
j
d
E%
'd
E
h
&
h
a
%
k
h
&
#
y
$
&
E
"
C
"
'd
%
k
%"
h
&
$
"
&
b
E%
E
k
E
h
a
c
E
%
k
h
u
$
$
$
`
(
#
E
$
c
a
$
$
%
"
a
E
dc
E
%E
'
"
#
'
b
%
$
"
k
`
`
'
E
E%
"
x
u
&
d
E
E'
E
"
h
k
"
%
k'
k
E
"
A
k%
E
"
*
h
%
%
"
%&
V
z
j
'd
b
"`
E
#
E
E%
$
d# B
$
S
T
T
S
X
S
(
S
U
U
V
X
Ut
q
8
(
$
b
"
E
$
$
u
'
"
E
k
E
h
a
c
bE
"
E
a
%
C
"
?
z
y
$
$
j
$
y
a
%
"
$
$
"
E%
h
E
a
CE
"
C
"
'd
b
h
{
{
(
$
j
j
k
E
#
E
b
"
E
E
#
"
"
h
E
{
{
}
'
"
$
`
B
#
f (j) mod t
E
m
*
h
m
"
k%
√
4
"
%
k
(
'
j
h
%
%
E
d
E
u
E
"
dc
$
&
"
(
$
"
E
a
%
"
(x−1), . . . , (x−z)
O(z log2 z log2 t)
j
$
"
c
bD
%
"
`
u
h
a
,
1÷2
h
k
E
¤¢
'd
E
#
E
a
'd
'
C$
E
$
"
"
%
$
#
%dc
k
E
a
CE
k
E
a
%
#
(
b
"
k
E
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
}
{
{
(
z
$
%
'd
h
c
E
E
%
E
'd
&
c
#
`
!
"
>
{
{
{
~
S
V
?
{
~
~
{
$
s
Ej
{
d
h
(
{
#
#
E
%#
'
Ca
k
$
"
'
E
u
m
`
(
D
C
#%
h
&
"
j
$
d
%E
bh
"
b
E%
"
$
"
d
%E
bh
"
b
E%
"
(
(
$
$
k
$
"
C
#%
&
"
h
"
"
%&
&
'
b
"
E
a
%
"
u
B
z
$`
"j
E
"
'
'
h%
$
h
c
EC
"
%&
C
'
m
`
$`
E
"
'
"
'
E%
#
&
E
E
j
h'
1
2
`
z
'
E%
#
&
E
E
j
h'
`
5
7
/
5
41
- ,+
1
4/
1
2
n
m
-
h
E
b
E%
"'
h%
$
b
C
'
h%
$
k
$
"C
"
C
"
%&
m
z
$
j
C
'
"
%
s
7
z/2
"
%&
m
E
(
w
"
$
u
%
{
~
S
O(z log2 z log2 t)
"
$
`
dc
b
E%
a
h
c
w
"
$
%
k
Ch
"
2 log z
O(z log t log z)
n
%
h
a
m
"
(
"
"
z
(
"
a
E
$
?
{}
log t
S
c
E
%
k l
%
'$
E
a
%
C
C
& _
>
V
i−1
$
`
E
E
m
$
C
j$
&
'
k
n
h
%
E
C
#%
$
#
%
k
%"
h
&
(
'
{
{
}
C
log
Xz
#
h
Q
S
XV
S
( f
w
j
k
m
m
$
"
"
l
z/4
%dc
E
'
"
h%
j$
k
$
"
z
"
E%
h
+
$
$
&
j
b$
%
"
O(log2 t)
$
k
"
%
"
(t, y!)
88
"
C
h m
%
$
#
'
d
(t, f (j))
E
h
u
h
k
E
bD
t=n
k'
$ B
f (x) = ((x − 1)z + 1) . . . ((x − 1)z + z).
b
E
'h
#
E
(
j
#
E
E
k
E
log t
k
(
(
E
Cy
h
a
y! = (1 · 2 · . . . · z)[(z + 1) · . . . · (2z + 1)] . . . [((z − 1)z + 1) · . . . · z ] =
z
Y
(jz)!
= f (1)f (2) . . . f (z),
=
((j − 1)z)!
j−1
z
%
'd
%
k l
&
%
k'
( %
k
%"
h
&
b
%
k
%
k
h%
$
$
j
>
e−λ
j
j
m
(
%
%
"
$
C
$
$
$
kb
"'
b
t ∈ N
k
E
b
E%
E%
'
d# B
,
x
d# B
f (j) = ((j − 1)z + 1) . . . ((j − 1)z + z) j = 1, . . . , z
(t, y!)
E'
E%
D
&
%
k
%
(j − 1)z + 1, . . . , (j − 1)z + z
(t, f (j))
h
'"
(
&
f (1), . . . , f (z)
(t, f (j)) j = 1, 2, . . . , z
$
#
%
h%
"
¤
x
%&
λ
#
h
a
%"
%
$ u
(
"
√ √
O( λ 4 n log3 n)
&
&
k
$
#
E
&
(t, y!)
E
E
d
"
E
%
E
h
d
E
$
"
'd
b
'
f
x
ρ√ √
C λ 4 n log3 n
"
$
$
"
E
a
"
E
&
(
&h
√
O( 4 n log4 n)
z ∈ N y = z2
h
&
"
h
d
b
E%
E
E
&
n
d!m
$
`
%
E
b$
&
D
"
£
c
E
n
&
'
E
%
O(λ n log3 n)
"
$
k
E
E
O(z log2 z log2 t)
%&
k
C
b
%
$ B
√
l+1
4l + 1
z i
2 log 2i 6 z log2 z
2i
O(z log t)
n
x2 −n=y 2
%
%
$
(
g
m
j
b2 mod n =
k
p∈B
Y
pαp (b) .
j
"
z
$
z
C
"
'
m
"
k
%
%
$
$
#
(
d
'
B ={p1 , p2 , . . . , ph }
p1 , p2 , . . . , ph
M h = π(M )
B
"
$
a
E
$
( dj
E
`
m
"
"
k
E
k
( '
z
"
"
'
h
n
"
"
$
E
E'
m
m
%
$
'k
%
C
c
$
y
k
'
"%
'
C
h
h
E
a
k
k
$
y
#% y
j
4
,
5
&
z
$
h
j
a
c
E
%
k
h
"
c
"
%&
dc
E
k
h
k
$
E
'
c
&
j
"C
b
%
$
%
%"
( & e
%
V
8
S
T
V
X
Ut
=
$
y
C
'
"
E'
"
k
'
"%
'
C
h
#
%
$
j
j
"
%
$
b
#
"'
"
"
%
k
'
a
"
E%
'
"
$
h
$
%
"
#
√
√
(b knc + i + x), (b knc + i − x)
(0, n)
√
√
(b knc + i + x)(b knc + i − x) = kn.
%
'
"
E
'
"
'
"
E
#
j
n
%
$
#
dc
%
"
$
#
j
k
&
&
#
%dc
`
E
a
$
E
$
E%
'
"
h
'
`
k
j
(
#
$
c
C
C
#%
'$
"
u
(
z
j
j
C
"
E
#
E
$
"
%
k
'
"
`
m
c
k
E
E
#
E
&
z
j
$
E
#
E
%dc
"
#
"'
k
"
%# y
m
C
"
E
E
a
n
j
h
"
E
'h
#
'
"
b$
%
"
j
l
(
c
k
B
`
m
$
k
E
'
E
C
h
c
c
k
C
#%
c
&
E
"
'
"
#
$
"
b
"
E
a
m
"
%
z
j
E
#
E
%dc
kn √
(b knc + i)2 − kn = x2
x
%
(
k
h
c
'$
E
√
z
$
E
`
C
b
%
'$
%
$
$
"
%
k'
k
B
$
j
h
"
kb
"'
b
%
'$
E
a
E'
c
'E
`
z
j
$
b#
%
%"
h`
bD
%
Eb
"
h
c
m
z
$
`
h`
bD
E
E
k
"
h
c
E
&
"
by
$
E
`
E%
h
dc
E
"
%
k
'
h
"
d
E
E
%
hb
%"
?
{
{
}
{
{
{
{
{
~
{
{
m
C
`
E £
h
E
'
"
h m
h
"
"
%#
"
'
(
%
%"
h
dc
E
a
$
j
E
#
E
bD
%
`
"
"
(
j
a
E
'
dc
E
m
z
'
%
j
$
#
bD
%
m
n0
"
&
`
m
$
d
$
by
`
`
Ej
"
h
h
E
k=1
k'
b∈N
"
E
`
"
h
w
x2 ≡ y 2 (mod n),
'
£
j
E
%
c
h
"
"
$
"
E
"
k
'
m
E
&
h
a
%
k
$
'
"
S
V
=
"
u
z
$
$
b
%
%"
$
'd#
dc
E
"
E
j
#
"
k
"
%
k
h
{
{
{
~
~{
{
(
(
$
j
$
E
%#
'
k
$
"
'
E
"
%&
&
b
"
"
E
a
%
%
`
`
_
(
'
"
h'
C
c'
h
"
E
'h
'
%
$
#
E%
'
"
z
(
(
$
$
j
$
j
%"
h
dc
a
E
'
c
'
h
"
by
"
E
'h
E
k
"
%
k'
k
m
j
%
"
E
E'
w
C
"
$
z
u
E%
h
dc
E
C
h
"
`
`
E
h
"
%&
d
E
E
h
m
m
u
h
"
k
"
%
k'
k
$
E%
`
£
E
"
'
'd
$
'
u
n
`
'h
C
z
E
E
d
E
E
E
"
C
"
$
(
E
D
E
"
$
(
%"
h
d
b
E%
'
(
%
$
$
#
%
"
Eb
"
"
%
$
g
(
%
$
#
&
D
E
C
Cy
h%
%
$
g
,
"
h'
"
`
`
d
%
E
"
*
E
t = x2 − n
x
E
E
d# m
!
%
#
c
"
E
'd
$
y
"
(
E
"
$
k
"C
x
%
E
k
h
$
#
dc
"
$
'
%
k l
dc
$
"
m
bD
%
$
j
#
E
%
$
E
"
"
dc
E
a
k
E
z
k
c
bD
$
E%
Ej
&
%
$
'd#
C
"
k
"
E
h
$
%
m
h
k
√
√n
n
j
h'
$
#
%
$
c
'$
c
j
'
( %
%
k
h
h'
k
"
%
k'
'
k
'
i
'
k
"
#b
"
m
`
$
#
d
"
$
m
'
k
"
k
E%
"
%
k l
$
h
b=x−y
"
&
%
b2 mod n
%
E
bD
%
E
bD
%
&
%
'd#
$
#
%
n0
$
m
(
h
bE
%
%"
g
E
'
d
E
#
"
h'
"
k
k = 3, 5, . . .
'
&
C
#
¢
i = 1, . . . , k.
d
z
'
b
%"
$
'd#
h
"
h
%
*
(
h
E
a
$
"`
'
$
$
E
h%
$ u
C
h m
√
(b nc + i)2 − n = y 2 .
h
E
j
(
%
%
'
&
%
(x, √
y)
√
b nc + 1, b nc + 2, . . .
%
$
$
#
E
"
#
E
(
n
+
`
"
E
h
E
%
E
'd
*
$
Cy
'
"
a−b
,
2
b = x − y.
B
B
y=
$
#
$
,
$
n=a·b
n = x2 − y 2
dj
E
C
#%
'
E
"
b
"
u
+
h
{
x 6≡ ±y (mod n)
n
(
h
"
√
b nc + n0
"
h'
n=a·b a=x+y
d
%
E
i = 1, . . . , k
'
E
%
&
E
h
%
k
h
ti = t mod pi ,
&
'
¥
x
x
"
&
h
a
p1 , . . . , pk
pi | n i = 1, . . . , k
√
x
b nc + 1
D
x
;
%"
h
d
%
k l
(
&
#
x
$
E
C
Cy
h%
d m
!
k
"
c
E
%#
,
x
"
n=x2 −y 2
$
E
+`
%
g
'
a+b
,
2
a = x + y,
+
'
%
C
(
&
$
x=
*
t = x2 − n
n
C f
$
t
"'
$
(
"
p2i
( ptii ) = −1
"
k
"
%
k'
*
t = x2 − n,
b
"
`
*
$
¤
x
"
#
n>1
'dh
&
D
`
ti = 0
ti 6= 0
kb
"
$
n
"
u
"
(
&
p
f
x
y
'
"'
E
a>b>0
x>y>0
"
(
&
c
$
#
"
(x + y, n)
x2 ≡ y 2 (mod n)
(x − y, n)
O(n0 log2 n)
x 6≡ ±y (mod n).
1
4/
1
2
5
77
/
5
41
2
1
- ,+
-
7
x = b i1 . . . b it ,
y=
p∈B
Y
$
z
E
a
%
m
%
'
%
j
z
C
%
$
"
$
"
#
E
'
{
}
>
{
}
{
E
u
>
z
(
D
&
k
Cy
h%
$
"
(
(
$
z
`
4
,
r
g
v
D
h w
%
h
E
l
' ¢
&
%
z
$
y
j
a
E
%
$
#
dc
$
"
E
h'
j
'
k
c
'
d
h%
£
#
#
#
j
(
%
$
#
%dc
%
$
%
'
"
E
'
$
bD
E
E
%
k
%"
h
k
E
h
a
c
E
h
"
&
E
E
bh
"
E
a
h
E
"
#
h
m
E
$
d
E
Ca
E
k
E
C
#%
%
k
h
CE
C
`
C
#%
d
j
z
k
k
'
"
b
E%
"'
h%
$
d
k
E%
'
k
b
"
E
k
'
C
"
k
_
(
E
E
a
C
"
(
"
h
c
'$
$
'
"
#
u
&
z
'
"
"
a
h
k
`
`
%
$
%
$
#
%
"
#
"
E
'
E
C
"
'
E
"
$
*$
x2 ≡ a 2
E
D
E
"
E
D
E
"
$
(
$
h
b
E
#
kb
%"
k'
k
C
"
C
h m
%
(
%
dc
E
"
j
$
' $
E
%
$
#
&
bD
%
b
E
#
"
d
"
$
z
$
$
#
z
$
$
"
E
%E
k
"
k%
E
'd
`
z
'
"
g
m
j
$
%
"
*
z
r
b
"
D
"
h m
C
h
E
&
"
(
)
d
b
E%
'
d
C
%#
E
%
$
#
"
"
C
"
h m
C
%
h m
C
$
#
h
a
a
E
"b
"
h
"
$
$
%
z
b
g
m
m
m
$
%
$
#
%
( dj
E
"
`
g
m
"
#
"
E
'd
m
$
k
E
'
E
"
"
#
"
√
n
2
"
E
"
k
'
k
x
$
"
dc
m
%
$
#
{
h w
%
h
(
j
m
$
h
%&
'
"
$
#
'
E
E
#
j
(
"
b
j
E
a
,
b
j
h'
E
&
E
&
%
#
k
&
D
E
%
'd
'
E
a
%
4
fe
,
i
'
$
1
M≈
(
B
"
$
k
"
'd
"%
C
j
"
$
`
k
"
k%
E
'd
%
$
#
$
$
¢
$
'd
"
%k
'
E
E'
"
$
C
E
Rl
$
"
%&
b
"
C
h
"
m
%y
C
h
"
E
h
¤
j
'
"
d
E
E
C
#%
"
'
d
E
#
'
a
h
&
"
E
h'
u = (x + y, n),
`
&
r
`
u
'
"
E'
%
"j
1/2
$
$
u→∞
k
E
C
#%
C
#%
}
%
E
E
'
"
k
k
z
"
%
$
`
`
j
E
a
%
E
&
C
C
h
k
E
a
g
z
(
(
z
j
j
b
"
'
&
%
&
"
%
"j
"
'
C
%
$
#
C
h
a
'
"
$
_
`
2
u
x
$
b
E%
'
"
E
E
h
E
"
"
E
%
(
)
`
b
"
'
"
"
"
"
%
$
g
x ≡ ±y (mod n)
z
E
C
E
%#
m
Ψ x, x1/u = x · u−u(1+o(1)) .
E
l
r
b
(
Cy
$
"
%
k
E
j
h'
n
#
E
a
C
'
"
z
S
V
(
b
"
(
j
%"
$
'd#
a
%
h%
'$
$
h
dc
h
k
E%
1 < t 6 m.
y
> 0 x > 10 u 6 (log x)1−ε
m
$
k
"
#% y
Ψ(n, M)
'
'
d
h%
{
{
{
`
kb
"
`
j
{
z
E
B
'
b
j
( dj
E
"
d
%
%
k
'
c
n = u · v,
k
E
%#
"'
b
$
#
log x
log y
$
'
C
u=
'
$ £
hy
"
%
$
"
j
E
C
#%
b$
"
m
Ψ(x, y) = x · u−u(1+o(1)) .
Ψ(n, M)
= u−u ,
n
1
4/
1
2
5
7
/
5
41
2
1
- ,+
-
7
y
%
Pk2 − nQ2k
$
(
dc
$
#
`
m
$
z
'
b
j
E
`
z
a
%
j
Pk2 − nQ2k
j
"
#% y
d
b
E%
E
"
`
z
$
#
dc
E
C
#%
'
"
`
"
h
'
$
%y
C
h
(
d
b
E%
E
C
"
u
`
(
'
"
b$
%
u
?
{
{
}
?
{
{
{
{
}
~
>
{
*
TX
(
U
{
{
}
z
#
z
'
d m
"
#
%"
$
$
$
b
%
$
E
E'
'
"
E
D
'
C
b
"
d m
$ £
hy
"
j
m
"C
$
k
$
"
'
E
E
Rl
$
"
%&
b
"
C
h
"
"
#
(
h
c
`
m
k
h
c
h
'
$
"`
'
l
$ B
C$
%
'
"
b$
%
"
j
(
'
b
"
'
EC
h
"
E
&h
s
#
j
{
{
{
{
}
{
{
m
{
z
}
&h
>
C
E
%#
'
'
"
$
#
(
(
j
C
#%
D
$
E B
dc
E
"
' $
}
{
Qk
kb
"
&
b
$
%
$
#
"
'd#
n
#`
b
d
d m
"
#
m
`
E
&
C
C
"
a
+
h%
~
S
V
{
{
{
{
}
k
#
"
$
d
'
E
%
(
"j
bh
C"
{
"
$
dj
`
Qk
1
|Pk2 − x2 Q2k | − 2x < 2x · −1 +
+
<
Qk+1
2xQ2k+1
Qk+1
Qk + 1
< 2x · −1 +
= 0.
< 2x · −1 +
Qk+1
Qk+1
Pk
Qk
#
$
#
'
%
$
m
E
%#
`
l
`
E
;
bD
%
m
h
P
"'
$
'd
$
"
E
"
k
m
"
#
"
'
%$
'
'
%
"
j
>
;
m
%
d m
E
Rl
$
&h
*
$
$
$
"
k
E
D
b
"
E
a
%
$
(
E
'
E
C
dc
E
%E
d
j
`
`
E
h
%
&
"
$
$ v
m
m
E
a
'd
b
"
E
j
h
$
y
%
$
#
"
k
"
%# y
$
dj
E
`
$
$
m
m
a
E
E
dc
"
%
k
&
Rl
$
"
%&
b
"
E
a
%
$
Cy
#
!
"
Cy
"
E
E
'
p
C
a
"
%
$
b#
"
Pk
"
C
%
k
'
j
Pk2 mod n
u
m
'
C
%
E
dj
'$
%
E
'
E
"
'd
b
"'
b
+
"
m
k = 1, 2, . . .
h m
"
C
"
u
$
#
Rl
$
'
"
E
Pk2 ≡ (Pk2 − nQ2k ) (mod n),
√
|Pk2 − nQ2k | < 2 n
Pk2
%
"
%
b
( np ) = −1
a
(
B
h m
m
"
"
$
h%
"
"
%y
$
C
Pk2 − nQ2k
√
x= n
dj
√
n
E
d
'd
¤
'd#
"
%&
#
$
#
c
c%
'
"
C
C
"
$
'$
dc
E
k
E
"
E
j
k
j
E
j
;
'd
$
%
k
E
y
y
h
a
%
&
`
s
$
(
E%
h
b
"
%
E
'd
E ¤
h
&
D
E
'
m
m
$
b
"
E
h
E
&
B
m
z
#
dc
E
%#
j
"
#
z
c
#
%
$
k
%
$
#
"
$
$
b
"
E
"
k
'
C
"
%d
k
"
%
k'
b2 mod n
"
p
C
j
k
E
%#
`
$
,
"
j
E
$
d B
E
"
x>1
$
"
%
'
E
"
' $
j
h
a
c
E%
Cy
j
E
#
E
B
E
"
%y
$
h
b
"'
'
"
E
"
E
a
n
"
j
#
E
b
m
E
D
'
%
n
$
#
E
"
D
'd
$
%
d
;
%
$
#
$
Pk2 mod n
%
m
h'
j
E
#
z
$
$
"
k
z
C
$
#b
√
"
#b
(
'd
E l
E
dc
E
`
E
D
"
%&
d
"
j
d m
$
b
"'
b
%
$
E
a
%&
A
$ £
hy
"
Q2k | = Q2k ·
$
m
j
E
a
%
k
h
E
%
k
c
b
'
h%
$
M = π(M ) = L(n)1/2 .
E
$
#
'
dj
m
"
a
$
$
Pk2 − nQ2k
b
`
'
%
`
m
h B
"
%&
E`
$
E
a
"
*
−x
2
`
$
E
'h
a
bD
*
E
b
$
#
$
b
"
E
j
y
E
'
E
C
y
*
b
E
"
C
h m
C
"
E
"
E
b
"
bD
E
C
b
"
%
h
"
%
k'
$
"
E
"
k
|Pk2
u
k
E
$
"
j
k
'
E
(
(
*
E
C
uu = L(n)1/2 ,
E
C
#%
$
'
&
E
j
a
E
'
y
k
E
D
C
#%
C
m
&
dc
T = OA (uu · h2 + h3 ),
m
S
'
"
h
E
c
E
"
+
E
E'
Rl
$
T
V
V
S
c>1
a
z
'
d
C
E
X
S
[U
X
d
E
`
k
E
T = OA (L(n)2 + L(n)3/2 ) = O(L(n)2 ).
%
E
h
"
$
%
*
"
%&
'
c
k
E
"
%
c
h u
L(n)
b
"'
E
&
$
$
y
E
j
$
"
V
Ut
$
"
E
a
E
E
h+1
h = π(M ) = lnMM
M = L(n)1/2
&
by
k
"
m
C
c'
h'
k
"
%# y
%&
b
8
:
(
B
%
k
j
j
C
" _
"
B
'
a
E
&
'd
b
%
`
( &
5
%
O(L(n)c )
&
E
$
#
d
E
C
#%
&
24
$
B
E
a
%
`
m
h
$
,
M
√
exp( ln n · ln ln n)
h
h
dc
E
OA (h3 )
h
h+1
n
= −1.
p
k>1
|Pk2 − x2 Q2k | < 2x.
Pk
Pk
1
1
2
.
· x+
< Qk ·
x−
· 2x +
Qk
Qk
Qk Qk+1
Qk Qk+1
√
2 n
1
4/
1
2
,
5
/
5
41
2
1
- ,+
-
"
$
*
%
$
Zp
(
g
j
fab
b
−
a
n
=− .
a
x = −b/a −1 < x < 0
z
j$
c
E
'
#
c
$
Cy
k
h
c
$
E
$
y
h%
$
k
"
m
m
'd
j
E
d
b
E%
"
E
b
#
dc
`
dc
E
C
#%
$
`
$
E
'
E
C
#%
C
h
"
u
m
$
'
"
$
E'
k
"
k%
E
'd
'
"
E
'd
"
(
)
"
E
%d
$
$
E%
E
'
E
b
E%
'
"
E
$
b2 − ac = n,
#
d
"
E
$
"
E
C
#%
$
$
+
%
'
k
"
#
c
y
(
'
%
C
y
$
h
`
n
"
y
h
m
m
(
z
k
#
E
a
h
%
k
%h
a
%
h
E
( &
,
e
4
,
u
r
B
$
y
"
y
k
'
"%
'
C
h
%
$
#
%d
k
"
%
k'
k
d
"
E
h&
z
$
%
$
S
X
V
t
V
Z
X
S
(
S
*
(
VX
@
8
'
"
(
E%
#
j
&
E
b
'"
b
%
$
%
a
%
j
y
$
$
$
"
E
a
%
E
kb
`
m
" m
h
"
%
k
'
k
E
(
"
#
"
D
C
E
j
#
C
#%
s
c
h
d
E
E
h
%
&
"
E
' $
z
h
E
`
u
l
a l
R
h
(
(
(
m
m
£
(
$
"C
'
"
$
C
E
%
$
y
j
%
$
#
"
b
'"
"
$
C
$
d!m
$
"
a
"
"
a
k
E
$
&
h
a
%
k
h
z
'
E
"
k
"
k%
$
$
y
E
'd
dc
"
%
k
h
c
"
$
p∈B
'"
k
r
a, b, c
fab (x)
C
E n
`
x
'
%
C
kb
"
k%
$
$
E
"
"
'd
h
"
E
%
"
#
(
(
$
$
$
%
$
'#
"
%#
&
bD
%
E
#
"
"
h
%
k
h
k
"
k%
E
'd
(
%y
C
h
"
m
E
$ u
m
E
%a
Ch
"
u
s
(
"
$
E
'
E
dc
"
%
k
h
%
$
#
"
b
%
"
%
z
x≡ri (mod p)
p∈B
E
b
"C
(
%y
C
h
"
y
$ £
E
`
&
h
a
%
k
h
z
$
'
"
E
'
b
'"
"
b
y
E
h
a
c
/
5
E
41
2
1
C
- ,+
1
4/
1
2
5
u
-
" m
"
E
E
h
b
E%
"
'
h
'
%
h
Cy
z
$
"
'd#
d
E
#
"
h'
k
"
%
k'
k
dc
"
%
k
h
%
$
#
"
b
%
"
a
E
p∈B
x
"
(
c
E
"
k
"
'
%
$
E
"
C
E
c
h
b
a, b, c
,
j
z
E
'
k
C
u
C
#%
√
f (x) = (x + b nc)2 − n,
E
E
a
"
E
"
%dc
d
E
"
j
x
E
#
"
(
h'
$
"'
b
"
'd
(p)
E
b
E%
E
"
"
E'
$
j
#
b
E
"'
"
%
k
"
$
$ v
%&
√
2
(p)
b
'"
"
%
'
"
E
Cy
y
E
≡ n (mod p),
r1 , r2
[−M, M]
E
E
E
E
f (x)
p∈B
%a
j
a
%
$
$
C
"
E
h
%
(p, Qk ) = 1
&
j
$
$
$
"
j
#
E
a
%
k'
B
h
E
h
a
b
"'
(
"
b = f (x)
−M 6 x 6 M
"
αp (x)
k
j
a
%
%
k
h
&
b
E%
"
E'
%&
C
k
p
'
%
k
h
C
"
'
'
%
$
dc
'
"
#
u
(Pk , Qk ) = 1
E
'
p
E
p∈B
Y
C
2
√
&
"
&
h
#
E
E
%
√
f (x) 6 x2 + 2x n,
x
"
"
%
k l
B
"
a
f (x) = (x + b nc) − n =
E
d
z
k
E
%# y
√
(x + b nc)2 6= f (x)
k
(
dj
"
a
E
"
h
a
j
( np ) = 1
(
(p)
$
'
m
u
2
Pk Q−1
k
E
$
"
`
%
'
"
E
#
$
√
(x + b nc)2 ≡ f (x) (mod n),
x∈Z
D
E
j
&
"
c=
n
√
(x + b nc)2 − n ≡ 0 (mod p)
(p)
E
'
E
j
"
$
%
#
'
b
"
C
"
'd
"
a
f (x)
Qk
r1 , r2
(p)
x = ri + jp i = 1, 2 j ∈ Z
"
a
O(L(n)c )
'
C
E
"
h'
D
B
E'
$
b
%
'
b
kb
"
k%
E
'd
x
p
p
p | (Pk2 − nQ2k )
(p)
f (x)
fab (x) = ax2 + 2bx + c,
0 6 b < a;
afab (x) = (ax + b)2 − n,
(ax + b)2 ≡ afab (x) (mod n),
(ax + b)2 6= afab (x).
[−M, M ]
1
fab (−M ) ≈ (a2 M 2 − n).
a
C
#%
'
"
#
u
i=i+1
(
(
b
z
"
E
`
%
bD
%
m
z
$
&
"
E'
b
%
j
$
'E
"
$
&
E
E'
$
" m
k
E
h
a
c
E
h
"
`
(
d
E
"
j
s
m
*
$
k
"
%
'k
k
n
$
$
E
'
E
k
"
k%
E
'd
d
(
j
$
y
$
$
E
a
c
#
"
$
'
k
"
`
m
m
'd
d
"
&
'dc
E
j
h'
h&
¢
r
£
z
$
$
"
dc
"
'E
%
$
#
dc
"
"
'
$
b
"'
b
%
j
$
E
a
%
m
k!
&
%
E
h
E
E
E
"
j
' $
(
p | (2M (k) − 1, n),
d=(2M (k) − 1, n)
p
1. . .>αk
d
b
d# B
"C
k
E%
,
%"
¢
'
%
k
$
"
m
%
$
#
M (k)=
(
'
(
'
%
y
E
%
$
j
c
'
%
k
h+
'
"
2
b − ac = n.
¤
x
h
j
$
#
$
$
$
C
'
%
C
"
#
E
0 6 b < a.
h%
$
"
"
a
E
"
E
#
E
Cy
h%
b$
"'
j
m
2n
.
M
(
m
$
$
'
"
#
'
(
$
"
√
x
C
E
E'
z
$
"C
'
"
C
#
E
k
"
k%
E
x
$
$
z
E
'd
E
j
h'
%
$
#
$
'
"
#
'
E
d# m
C
E
¢
−b/a
z
fab (x)
'
"
#C
"
a
'd
a
"
E
j
C
"
%
$
# m
u
a
'
E%
#
&
E
k
m
"
`
a
9
&
z
*
' $
h
"
h
9
-
*
l
h
"
&
"
E
"
z
9
9
9
9
(
f (x)
%
j
%
"
D
&
E
#
"
h'
h
"
k
$
"
'
dj
E
E
h
"
C+
E
d
E
a
%
'
"
E
%#
'
E
%y
"
`
u
j
C
E
E
k
E
#
E
b
"
m
'd
C
h
(
z
z
#
d
'
E
%
$
m
d m
%
$
$
%
k
h
d
b
E%
"
"
#
h
%
d
%E
C"
$
"
b
E%
E
b
E%
u
d m
"
#
"
j
"
B
&
C
'
j
E
`
%
(
%
M
$
#
'E
( dj
"
[−M, M]
E
"
"
E'
E
E
'
E
$
h
c
b2 ≡ n (mod a),
%&
E
"
"
h'
`
d
%
m
$
a≈
&
E
"
y
k
'
"%
'
m
"
j
E
%
( nq ) = 1
h
c
$
C
'd
%
$
#
$
c
C
#
D
h
u
dc
"
−M
&
√
1
|fab (x)| 6 √ M n,
2
√
2 2
√
M n
√
√
√
|fab (x)| 6 2 + 2x n ≈ 2x n 6 2M n.
j
[−M, M]
E
E
h
%
'
"
q|a
b
m
a, b, c
fab (x)
2M (k) ≡ 1 (mod p).
2M (k) 6≡ 1 (mod n),
mi = cM (i) mod n
1
4/
1
2
5
/
5
41
2
1
- ,+
-
%# y
"
$
$
$
(
E
a
%
k
"
%
`
m
z
D
z
'
C
"
E m
E
"
%
k
$
'd#
E
b$
%"
$
"
#
m
z
'd
E
"
C
"
E m
E
(
C
$
$
E
#
"
"
h
k
E'
D
%
k l
( d
E
a
"
#
C
E
b
"
d m
!
C
"
&
d
E
b
$
" £
%
( &
"
`
d
"
d
z
D`
b
E%
%
$
#
d
'h
$
"
'
k
"
E%
%
$
#
"
"
#% y
`
d
E
"
#
(
$
"
Cy
j
m
(p, q, ϕ(n), d)
(p, q, ϕ(n))
&
E
+
"
%
k
$
'd#
&
%
"
&
c
B
"
m
"
d
"
E m
E
b
Ca
E
E
(
'k
u
E
j
'
$
%# y
d
"
d
"
k
"
%
k'
k m
%
$
#
"
E
$
$
"
`
z
%
C
$
j
d
/
m
+
E
j
%
g
"
j
(
"
%
$
#
E
C
#%
b$
"j
k'
k
$
"C
"
"
E
j
h'
m
`
$
%
$
#
dc
"
c
bD
%
'
h
"C
E
&
E
&
"
m
z
%
k
$
'd#
q
d
'
E
E
$
$
E
E
E
'h
C
#%
$
"
$
E
p
'$
#
te ≡ s (mod n)
hj
d
!
E
E'
B
dc
"
$`
$
$
"
#
!
"
"
t
"
&
"
E m
E
(n, e)
'
d
j
E
C
#j
A
m
n = pq
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
ed ≡ 1 (mod ϕ(n))
(n, e)
m
"
m
p q e
&
%y
k
E
h
a
c
E
'd
k
u
D
A
k'
k
$
"
%
k'
k
B
k
E
'
$
$
(
y
$
$
`
%
k l
#% y
dc
E
"
(
z
d
h
a
d
`
r
m
$
$
"
dc
d
m
" m
"
%&
`
¢
d
"
"
C
'
"
'
d
E
" m
'd
"
E
E
/
%#
'
E
E
C
&
b
"
m
d m
!
"
a
"
%&
b
k
$
"C
m
(
(
$
b
%
`
c
#
u
!
"
"
s
"%
k'
"
$
C
$
k
E%
$
'd#
%
k
h
(
j
`
m
$
E
k
$
$
"
"
#
C
"
$
$
y
E
E'
b
%
j
$
b
E%
'
d
c
E%
%
k
h'
m
d
$
$
y
'
"
d
E
d
Ej
C
dc
"
'
'
"`
'
E
C
#j
m
" m
z
j
h'
'
k
E
h'
'
&
E
'
"
h
"
b
%
'
b
%&
E
%
E
'd
u
$
z
#
"
d
E
$
E%
$
#
&
E
E
k
"
$
(
E
E
$
"
'
%
C
$
E
%
E
'd
b
"
d m
!
j
$
¢
h
E
b
E
"
'
E
h'
'
"
z
D
b
E
#
%
C
#%
k
'
$
k
"
'E
¥
" m
2
'
E
a
%
h
(
E
h
`
$`
$
%
d m
!
E
(
)
%# y
d
"
d
"
d
$
"
$
#
&
"
£
$
bD
%
b
"
a
E
#
E
kb
"
#
E
u
m
m
'd
E
E
%a
h
"
"
h m
C
%
Eb
%"
h
(
b
E%
(
"
"
s
z
r
$
$
$
#
$
$
%$
k
"
%
k'
k
$
"
k
#
&
"
b
%
(
/
z
¤
'
"
E
E
h
E
"
`
h m
C
&
D
E
(
"
%"
h`
d
b
%
"
C
"
u
L
J
L
J
N
N
J
G
N
(p − 1) | M (i)
%
b
t
(p, q, ϕ(n), d)
E%
E
k
z
$
"
E
m
"
(mi − 1) mod n
Zn
E
(
$
a
%
k
"
Zn
log M (i) 6 i log i
O(i log i)
cM (i)
E
`
mi ≡ 1 (mod n)
"
O(k 2 log k log3 n)
(
$
j
E'
E
dc
E
%#
b
%
`
c
(c, p) = 1
p | (mi − 1)
E
(c, n) = 1
mi ≡ 1 (mod p)
n
k
e
(n, d)
s ≡ te (mod n).
t ≡ sd (mod n)
z
$
E
E
E
'
E
h
C
kj
b
%
$
"
%&
b
"'
h
E
a
-
1
4/
1
2
(
`
"
$
≡ −1 (mod n),
s0 −1
r
"
r
|Bn | = |Bn0 | +
≡ −1 (mod p)
s0 − 1 < i
s0 =1
i
X
|Bns |.
s0 6 i
b
E%
"
#b
"j
(
j
"
"
y
`
y
j
"
E
"
%
k
'
ϕ(n) = 2i m2j l,
%
k
h
$
"
E
"
k
'
d
'
E
`
"
d
"
$
E
E
k
E
h
a
c
"C
$ u
(
E
j
h&
y
j
%
$
#
"
`
"
E
"
%
k
'
1 − 2−k
n
Z∗n = An ∪ Bn
s0 −1
s0
r
An = a ∈ Z∗n : ∃s0 6 s, a2
6≡ ±1 (mod n), a2 r ≡ 1 (mod n) ,
Bn = Z∗n \An .
b
"
%
$
#b
"
%
$
#
z
$
$
E
c
C
$
by
"
E
"
k
'
"
%&
d
E
E
h
"
#
a
`
u
z
c
E
&
%
(
j
E
h
E
E
E
a
%
(
`
%h
g
'
"
%&
&
j$
$
k
E
'
E
k
"
h
c
E
&
%
$
E
d
"
%
%"
h
`
$
$
%
"
$
#
c
'
%
k
h
%
g
$
"
E
D
$
C
%
D
&
D
E
"
¤
by
(
z
j
%
$
#
d
$
C
"
C
h m
E
£
(
b
$
"
j
%
$
b#
'"
a
d
%
E%
'"
"`
$
l
(
E'
(
f
x
`
%
$
# ¤
&
D
E
&
E
E
h
E
k l
%
&
%
k
$
'd#
z
$
$
`
$
b
'"
"
$
$
C
%# y
`
d
E
"
"
E
a
E
"
$
%
$
#j
%y
"
Eb
"
$
`
m
E
#
"
E
h
p
TX
T
S
E
a
X
S
\S
(
W
*)
T
V
S
j
'
k
$
"
%
"
#
a
u
`
=
7
/
/
/
1/
1
,
,
"
/
1/
4/
1
2
1
4
1
- ,+
-
≡ 1 (mod n).
'h
d
"
E
$
"
k
E
"
%&
h
c
E
a
d
&
"
r
j
h
n
"
%
E
d
"
'
%
s
z
"
k
$
+
E
E
p
'
%
C
#
_
i6j
E
"b
%$
"j
h
|Bn | <
'"
(
d
E
"
#
E
=
~
~
>
{
}
'
u
?
"
%
C
s0
$
l
$
"`
s0 6 i
C
*
h
'
"
$
a
E
'
$
h
"
(
$
g
D
b
u
ml | r
"
m, l
s
[
(
b
%
Bn = Bn0 ∪
b 2 = a2
(
s0 −1
2i m2j l | (ed − 1) = 2s r
#
{
{~
~
~{
>
"
k
Cy
%
%
6≡ ±1 (mod n),
(
a2
Bn
(
a2
1/2
"
&h
Bn0 = {a ∈ Zn : ar ≡ 1 (mod n)},
s0 −1
s0
r
≡ −1 (mod n), a2 r ≡ 1 (mod n) ,
Bns = a ∈ Zn : a2
{
{
j
a ∈ An
E
"C
$
E
'
$
p−1=2i m q−1=2j l
Bns
"
h&
z
"
E
{
}
"
h%
$
E
a1 , . . . , ak
"
(
b
"C
(
"
{
"
'
dj
E
r
%
a
E
$ u
$
E
"
#
E
*
?
"
%&
"
s0 −1
b
$
b
E%
"
#
kb
"
k%
E
'
"
s
>
~
S
D
(b + 1, n)
%
"
kb
"
k%
"'
#
C
"
≡ 1 (mod n).
E
&
$
"`
d
'd
s>1
'd
h%
$
ar
"
b
h
a
E
#
&
%
$
E'
(
'
{
$
$
n
i
r 2s−1
"
a
$
%
k
h
E
%a
h
&h
$ u
$
"
{
{
{
(n, e)
n
"
b
E%
E
"
b
"C
E
"
%
(
kb
"
k%
b$
%
}
d
C
h
%
g
(
E
`
&
h
a
j
' $
E
'd
j
~
k
$
ϕ(n) = (p − 1)(q − 1)
ed ≡ 1 (mod ϕ(n))
h m
"
%&
d
E
$
"
E
"
k
&
"
"
l
"
k
h
q
"
"'
w
E
%a
ed ≡ 1 (mod ϕ(n))
b
j
Z∗n
%"
%
$
(
%
k
`
b
r
C
¤
`
a 1 , . . . , ak ∈
E
#
'
b
h
%
h
¢
p
$
−1 (mod n)
D
$
(
&
D
E
v
E m
+
$
ed − 1 = kϕ(n),
ed−1=2s r
Z∗n
h%
C
%
D
(
$
C
*
"
`
p + q = n − ϕ(n) + 1,
p
p − q = (p + q)2 − 4n.
'
$
%
k
"
%
E
"
"
#%
$
"
#
V
d
E
ϕ(n)
"
(a ) , (a ) , . . . , (a )
r 22
'E
$
$
"
%
%
{
q
"
E
%
k
k
'
m
k
%
g
'd#
"
$
'd#
c
d B
E
p
$
$
a
a ≡ 1 (mod n)
ar ≡
6 1 (mod n)
&
E
E
h
Ej
"
$
$ v
~
d
k
r 2
%
k l
2s r
"
"
r
%
g
d
"
{
n = pq
E
$
#
"'
%
$
,
x
q
D
$
g
a
C
%
'
k
$
(
&
k'
%
p
(
$
D
"
¤
x
'
E
"
u
d
"
"
$
k
(
&
$
"
(p, q, ϕ(n), d)
b = a2
s0
(b − 1, n)
q
|ϕ(n)|
2
Bns ,
s0 =1
gi = gi−1 gi−1 /hi−1 ,
hi = (gi , eA ),
`
&
dc
E
"
j
' $
(
k
E'
b
"
`
d
E
"
b$
%"
h
`
/
j
%
$
#
"
#
hj
z
j
n
%
$
$
E
"
"
%
k
E
'd
E
h
C
E
D
U
T
Z
(
E
E
c
%# y
c
%
$
(
A
j
E
"
#
'
m
$ m
#% y
b
'"
"
$
C
$
y
%
k
'
k
E
$
t
s1 ≡ teA (mod n)
"
#
c
"
%
z
$
"
$
"
E
(
'
"
C
%
'
$
$`
%# y
C
%
D
E
'
h m
C
"
&h
s
(eA , eB ) = 1
%
$
#
&
E
Vp
R
"
E
&
$
$
%# y
dc
"
d
"
$
%
"
d
"
#
a
%
h
( y
C
#%
`
u
$
C
E
E
h
k
$
$
k
E
"
E
#
j
E
h
%
h
E
#% y
j
B
z
(
E
j
Ej
h
s
&h
(
"
$ £
hy
"
(t, ϕ(n)) = 1
E
$
m
q
kb
c
$
D
p
a
*
l
s
( %
$
#
$
"
#
%
$
'k
%
C
$
c
E
%
k
h
%h
'
g
"
%&
d
E
$
E
D
b
"
k
j
z
j
C
b
%
$ B
%
$
#
k
E
h
a
d
(
E'
"
C
#%
E
#
D
%
E
"
%
E
'd
"
%&
#
m
%
"'
&
$
%
d
C
&
h
k
h
'
y
C
z
%
C
b
$
k
"
'
"%
'
C
h
"
h m
%
$
#
"
b#
"
'h
&
(
d
$
"
h m
C
j
j
k'
d
"
#
j
%
$
# ¤
&
D
k
E
%
E
'd
"
b
"%
C
'
E
E
C
#%
C
#%
u
E
'h
#
t
n
"%
k'
'$
$
"
'd
'
c
b$
sx1 sy2 ≡ t (mod n)
%
k
kb
`
E
k
%
"'
*
S
xeA + yeB = 1
d
$
y
"
m
$
#
E
D
"
E
E'
E m
E
c
$
%
E
%a
b ≡ dA (mod n)
hi | eA (eA , ϕ(n)) = 1
E
%a
$
E'
*
$
$
#
bh
&
%
E
k
h
Ca
$
$ v
"
t = h 0 h1 . . . h i
eB dB − 1
, eA = 1,
t
E
"
a
h
$
E
a
E
"
d
D
$
C
TUV
$
#
%
'
z
C
h
"
d
E
%
j
`
hy
2 log n
E
$
$
dc
$
"
q
h
E
d
E
%a
b
"
p
C
E
u
"
h
by
C
p
"
h
h'
$
"
b
%
E
k
h
j
E
#
"
E'
"'
b
%
d
h
a
"
#
"
(
ϕ(n)
%
$
#
m
%
E
q
D
D
E
dc
E
C
c'
h
%
"
$
" m
k
h
$
$
h
d m
'
m
j
Ej
a
%
E
%
j
b$
"'
j
E
&
k
%
"
c
#
$
m
dc
$
"
E
h
b
$
(
$
E
'd
$ u
{
E
&
$
d
E
"
B
{a ∈ Zp : ar ≡ 1 (mod p)}
"
%
%
(
k
E'
"
"
s2 ≡ teB (mod n)
$
"
a
$
=
?
>
%
%# y
j
t = h 0 h1 × . . . × h i
E
#
dc
#
u
%
k
`
$
$
a
#
'dc
dc
%# y
/
j
$
b#
"%
h
kb
%
k
"
c i
E
E
'h
$
"
z
B
'
z
E
"
x, y
j
b
"
&
b
c
bD
*
eB
ϕ(n)
E%
D
`
{
a
{
~
{
(
d
E`
p
d
%
"
"
b
{
{
{
}
"
$
$`
%
j
4i − 1
2k
=
2 ml = ml 1 +
3
$
z
eB dB − 1
k
$
$
E
E
j
B
q
%
"'
b
=
{
"'
b
C
&
|Bn0 | = |Bp0 | · |Bq0 | = (r, p − 1)(r, q − 1) = ml,
(
t = thi .
&h
$
%
~{
'd#
"
u
a
{
{
{
{
{
S
V
p
eA
'
A
eB dB − 1 = kϕ(n)
&
"
%
(
"
E m
E
u
}
~
q
(
$
b#
%
(
'
"
b$
%
~
>
{
p
&
%&
`
(
%"
C
"
E
j
l
$ £
%
hi > 1
d
C
E
%#
'
b
%"
E
$
"
"
m
q0 = eB dB − 1 h0 = (g 0 , eA ) t = h0
E
E'
h`
d
b
E%
k
E
$
'd#
Cy
E
"
s
$
$
"
j
(
j
#
E
C
"
a
n = pq
E
'
E
j
E
dA
E
"
h
"C
'
"
#
j
' $
− (2s −1 r, q − 1)) = (2s m − 2s −1 m)(2s l − 2s −1 l) = 22(s −1) ml.
$
$
C
"
#
d
E
"
' $
(
j
#
£
t
(eB dB − 1)/t
A
m
%
E
%
k=0
c
$
{
4i + 2
2i+j + 2
2i+j
ϕ(n)
= ml
6 ml
< ml
=
.
3
3
2
2
i−1
X
"
a
u
}
|Bn | = ml +
h ,
i
"
u
(
$
E
c
&
,
x
"
'
%
B
$
(
&
|Bns | = |Bps ||Bqs | = ((2s r, p − 1) − (2s −1 r, p − 1))((2s r, q − 1)−
%a
%
k l
¤
x
E
r, p − 1) = m
h
(
#
"
#
dB
&
k
E%
q
Zp
Zn ∼
= Zp + Z q
hi > 2
i 6 log2 (eB dB − 1) 6 2 log2 n.
eB dB − 1
+ beA = 1.
t
eB dB − 1
.
t
q
/
,
/
1/
4/
1
2
1
4
,
/
,
/
1/
1
1
- ,+
-
`
m
b
z
%
j
{
(
r s
>
p ≡ 1 (mod r),
p ≡ s − 1 (mod s)
{
'
"
$
'h
%
&
%
$
( d
"
$
"
d
"
"
%
$
#
$
%
$
#
d
$
"
b
E%
E`
E'
C
&
$
D
E
#
&
%
E
C
kj
E%
,
%
$
#
'h
%
$
#
m
z
E
'
l
$
u(r, s) = (sr−1 − rs−1 ) mod rs
"j
C#
u(r, s) = 2g, g ∈ Z.
{
u(r, s) = 2g + 1,
u(r, s) + rs,
'
u(r, s),
E
h
"
k
'D
$
"
_
$
"
"
'
"
$
"j
(
k
$
$
C
"
"
E
%
$
#
k
'D
$
"
'
%
%"
h
c
E
h
( d
$
`
u
z
y
b
E%
"
E
d
"
%
$
#
"
b
%
"
$
$
%
'
"
E
'
%
k'
"
E%
h
dc
E
by
`
m
%
`
'
E
%
j
$
#
E
Ca
E
y
j
z
`
C
n
$
(
h
"
Cy
h%
$
C
b
$
%
$
#
d
E
C
#%
$
d
c
"
$
"
(
&
Ej
&
h
a
%
$
#
E
C
#%
$
$
m
&h
'
"
d
E
"
#
`
,
x
_
(
k
E
"
$
%
k l
t
k
%
k'
"
$
C
%
b
$
m
"
¤
x
2lt+1
" m
Cy
$
h%
E
h
dc
(
&
z
d
E
"
E%
s
>
{
}
$
$
"
E
%
'
"
r
"
by
(
r
£
'
'
/
£
k
(
'
%
u
'
b$
"
D
r
¢
£
dc
"
E
E
%
$
#
c
"
'
"
"
E
$
$
"
k
"
k%
$
+
'
"
E'
d
E
%
E
b
"
d m
d
E
%a
h
E
'd
b
%
&
%
C
#%
d
E
"
#
%
'
k
h
'd
$
#
"
k'
d
"
#
#
z
E
e
4
,
r = 2lt + 1.
p = 2jr + 1,
p = 2ks − 1,
E
&
"
%&
a
%
h
E
h
( &
(
a l
R
z
E
#
"
$
"
h
d
"
$
E
E
k
E
h
a
c
E
%
k
hC
"
t
$
%
"j
k
k
¢
b
$
$
r
x
k
a
%
%
$
#
%
m
m
"
&h
'
(ordp (a1 ), ordq (a2 )).
$
E
$
z
b
%
#
[1, log t]
c
"
#
k
$
d# B
f
x
"
#
¢
%
E
'
E
$
p q r
h
m
(
&
z
*
E
bD
%
"
"
E
c
'$
b
E%
[x, x + log x]
( d
z
"
`
h m
C
d
"
E
E
$
$
#
s
%
k
h
(
%
$
#
%
"
j
j
C
%
'$
"
#
"
?
>
{
}
{
z
z
j
y
a
E
d
$
"
E
k
E
a
%
"
&
b
%
Cy
E
&
bc
"
" B
.
"
%&
&
p0 + 2krs
=
&
"
"
$
z
p0 =
(
E
u
k
$
"
&h
E
D
dc
E
"
E%
'
_
D
j k l
E
h
E
z
y
"'
h%
E
p r s t
~
%
h
'
'
j
$
E
#
E
&
k
E
E
b
C
'
ϕ(n)
.
2
S
$
E
'
"
$
'
b
% $
z
j
"
'
#%
ed ≡ 1 (mod ϕ(n)).
{
B
&
%
E
#
'
d m
!
$
d
h%
"
$
'
%
C
$
E'
(p − 1, q − 1)
b
E%
$
%
m
%
a
h
E
j
a
E
'
b
"
%# y
$
ed ≡ 1 (mod (p − 1, q − 1))
$
(
l
"
$
E
E
Zn ∼
=Zp +Zq
{
V
q+1
2
~
'"
k
"
%# y
¢
%
"
a
%
$
#
j
(p + 1)
"
d
( %
$
$
E
dc
%
E
$
s t
a
E
%a
h
q2 =
h
$
j
5
#
$
"
$
c
b
#
$
(p − 1, q − 1)
(p−1, q−1)=2 p=2t+1 q=2s+1
(s, t) = 1
(p − 1)
p q
p−1 p+1 q−1 q+1
d
E
%a
( & e
4
,
£
d +
( %
$
q−1
,
2
E
a
q1 =
%
h
'
D
B
d
2
C
#%
"
'
d
`
(
%
$
(p − 1, q − 1)
$
$
"
d m
D
p−q
2
#
"
q1 − 1
#
p+1
,
2
"
u
$
"
"
' $
"
¢
a = a 1 + a2
dc
$
"
p1 − 1
m
d!m
#
D
−n=
bD
%
E
E%
"
#
d
E
q−1
bD
h
d m
k
"
'
h
ordn (a) =
v
c
%
k
"
a
"'
2
%
%
E
E'
%
C
m
E
E
h
p+q
2
c
b
p2 =
%
$
$
$
p−1
E%
#
p−1
,
2
#
E'
"
q −1
%"
%
$
#
d m
"
#
p−1
hj
E
h'
d
$
"
%
d m
!
p1 =
&
j
h
E
'
kb
$
$
"
&
'
"
#
'
$
j
n
j
{
~
{
}
>
+
E
'
E
C
b
"
D
"
h
"
kb
"'
b
%
'$
B
\
>
>
{
}
{
/
1
/
,
/
1/
1
- ,+
,
1
/
1/
4/
2
1
4
{
{
{
U
(
P
m
-
j
a
E
#
E
%
b
"
d m
d
E
%a
h
E
E
"
dc
'
z"
p
p ≡ 1 (mod r),
p ≡ s − 1 (mod s),
r ≡ 1 (mod t),
p
bD
$
c
'
j
e∈
Z∗ϕ(n)
E
$
"
%
d m
"
#b
"'
(
b0i =
j=1
2i
Y
pijij ,
α
ordordn (ω) (e)
i = 1, . . . , r,
b0i
b00i =
j=1
2i
Y
b00j
qijij ,
β
r
¢
£
$
j
`
s
C
#%
$
ϕ(Fp ) ϕ(Fq )
,
Fp
Fq
i = 1, . . . , r,
j = 1, . . . , s,
j = 1, . . . , s.
"C
h%
E
E'
"
$
h
$
E
'
%
C
$
%
k'
"
y
h
'
"
E
%
%
$
"
$
'$
%
$
#
'd
by
m
"
%
$
(
'
%
C
C
E
E
h
c
y
$
y
k
'
"%
'
C
h
%
$
k
(
+
j
¤
,
f
(
)
d
$
y
$
k
"
%
k'
j
$
E
k
z
%
'
Ej
E
l
$ B
C
b
%
'
"
b$
%
"
j
`
h`
(
C
#%
~
r
¢
£
{
{
{
{
{
{
>
>
{
~
>
{
{
(
j
$ B
d
n
"`
%
C
%
'
"
b$
%
"
l
{
~
S
{
{
h=pq p−1=2Rp Fp q−1=2Rq Fq
Fp Fq
{x ∈ Z∗n : [Fp , Fq ] | ordn (x)} > (p − 1)(q − 1)
~
#
"
"
#
x ∈ Z∗n
?
>
b
"
"
k
h
%d
Fp | ordn (x) Fq | ordn (x)
(Fp , Fq ) | ordn (x)
#
k'
d
"
i=1
s
Y
qj0 − 1 = 2a00j b00j ,
(
"
#
%
c
C&
'h
Fq =
p0i − 1 = 2a0i b0i ,
"
#
j
E
E
a
k
E
$
&
E
Ej
E
$
#
h
%
C
#
α
(
"
#
$
hy
$ £
p0i i ,
{
C
/
h
"
C#
"
i=1
r
Y
~
n = pq
(
z
$ m
"
%
$`
s
*
a
u
u
Fp =
= ω (mod n).
{
%
"
'
dj
B
E
(
g
"
f>
~
S
`
#
m
a
j
`
%
$
"
f
(Fp , Fq )
{
eu ≡ 1 (mod ordn (ω)),
4
h
(
y
&
bD
'
hy
(
E
>
m
c
%
g
$ £
sr−1 ≡ 1 (mod r),
{
V
"
j
' $
k
E
m
%#
Eb
E
h
"
p − p0 ≡ 0 (mod r) p − p0 ≡ 0 (mod s)
p0 ≡ u(r, s) (mod rs)
p0
p q
ω ∈ Z∗n
ordn (ω)
ω
j
E
k
$
d!m
"
"
a
'h
rs−1 ≡ 1 (mod s).
"
#
k
E'
D
$
E
d
"
d
"
c
u(r, s) = (sr−1 + rs−1 ) mod rs.
(
k
E'
D
j
$
$
h
b
%
$
"
b
E%
"
'
z
E
"
d
"
$
$
"
"
$
y
Cy
b$
"
E
$
"
c
j
Cy
u(r, s) = 2g + 1,
u(r, s) = 2g, g ∈ Z,
h
a
c
E
%
k
h
C
#%
$
sr−1 ≡ 0 (mod s) rs−1 ≡ 0 (mod r)
(
u(r, s) ≡ 1 (mod r),
u(r, s) ≡ −1 (mod s).
h
m
'
E
$
"
h
"
`
/
{
{
{
~
{
{
{
{
'
%
C
'
&
C
$
Ej
E
( &
z
E
#
"
h
$
"
h
h'
4
42
,
u
p = p0 + 2krs
z
ordordn (ω) (e)
k
3
d m
m
ω
"
'
$
$
s = ω e , (ω e )e = ω e , (ω e )e = ω e , . . . , ω e , . . .
2
h
E
c
C
#%
eu
%
C
k
"
%
2
E
'd
E
c
"
h
p = p0 + 2krs
E
'h
&
D
b
E%
"'
h%
$
u(r, s),
u(r, s) + rs,
%#
k
=ω
'
%
eu −1
E'
$
#
b
E%
E
s
p0
p ≡ p0 (mod rs)
p0 + 2k 0 rs
D
x∈
Z∗n
$
m
$
%
k
h
"
#
E
"
`
m
"
#
%
k
h
E
(
%
E
#
"
p0 =
(
qi0 i .
β
ordn (x) >
r
s
X
X
ϕ(Fp ) ϕ(Fq )
1
1
·
>1−
−
.
Fp
Fq
p
q
i=1 i
i=1 i
{x ∈ Z∗p : Fp | ordp (x)} > (p − 1)
ϕ(Fp )
,
Fp
ϕ(Fq )
{x ∈ Z∗q : Fq | ordq (x)} > (q − 1)
.
Fq
/
,
/
1/
4/
1
2
1
4
/
,
/
1/
1
1
- ,+
-
(
j
`
#
$
$
%
k
a
E
m
(
`
b
z
'
a
%
z
b
%
CE
$
(
b
%
Z
"
"
'
$
C
'
"
E'
z
C
"
C
j
h m
%
$
#
bD
%
E
#
"
"
$
h
m
j
h`
E
#
E
%dc
h
m
(
z
$
$
$
d
E
"
k
"
%
k'
k
%d
%
`
`
g
m
%
'
"
%dc
z
$
E
k
j
m
"
%
k'
"
$
h
(
"
by
&
b
E%
"
E
C
d
"
$
E
E
E
`
&
bD
%
#
"
b
%
h%
'
C
m
$
k
E'
b
%
j
$
E'
"
k
"
%
k'
k
d
E
$
$
E'
"
"
#
"
dc
m
z
$`
E
E
a
"%
dc
E
E
j
%
"
"
d
/
j
E
#
E
%
b
"
b
E%
(
¢
E'
b
%
j
$
$
dc
"
'
C
"
h
b
k
"'
$
j
E
a
E
"
k
E'
D
`
(
j
k
E
#
E
s
k
E'
z
D
k
'
"
%
k
j
y
h
z
k
E'
D
"
$
$
$
E
E
'd
'
b
*
V
X
S
m
8
=
Vp
\S
"
"
$
$ v
(
k
E
%
E
'd
c
E'
"
E
&
E
"
"j
c
bD
%
$
Cy
"
"
E
%
$
#
dc
"
E
&
d
C
h
`
m
h
bD
%
E
k
"
'
$
(
'
$
y
`
m
$ m
#
E
E
C
C$
u
$
a
%
E
d
"
'k
%
C
C
"
'
"
E
$
E
&"
%E
u
d
"
by
%$
$
#
d
"
"
'
%$
"b
"
pij
'
"
h
b
E
"
b
"
E
a
d
"
E
j
#
E
k
m
k
E'
%
$
#
b"
"j
k'
$
%
$
#
d
"
E
j
'
E
z
j
h
%
k
hb
j
%$
'
b
%
$
"
z
$
D
d
"
$
E
E
'
"
#
'
z
$
j
b
"j
k'
E
#
"
"
h
k
E'
D
$
$
k
E'
"
h
"
$ m
b
E%
"
$
E
"
"
$
`
$`
$
"
'd
k
E
#
%
k
h
%
$
#
C$
'
E
C
'
"
E
E
d
E
E'
$
E
&
"
E
%$
&
_
(
p00ij
`
E
$
#
e6k
"
E
$
E
"
E
k
n
$
'
u
$
h&
kb
"
"
√
e
"
u
e
C
"
(
"
E
E
t<
te = s
$
E
c
(
E
m
d
E
E
'$
"
e
a
%
k
E
#%
'
"
e
%
$
$
"
a
y
%
$
E
$
c
bD
%
d
Cy
E
k
'
"%
$
#
'd
k
"%
D
d
k'
j
j
h'
'
k
"
%
k'
C$
h
k
E £
00
qij
'
'
`
E
a
d
"
E'
%
$
#
E
C$
y
k
$
"
k
"
b$
'
E
C
'
E
d
E
E'
$
$
h
#
'
j
E
&
k
"
Cy
b
%
'$
d
"
$
E
&
%
k
h
(
$
"
c`
d
'
E
C$
"
E
E
%
$
#
dc
$
"
k
E
"
$
£
z
$
j
C
h
"
b
"'
b
%
$
a
E
h
"
&
"
b
E%
"
$
E
"
b
"
%
$
z
$
y
"
$
Cy
E
#
"
"
h
c
h
%
$
#
dc
"
E
&
k l
{
{
~
{
{
{
}
{
{
{
`
q
C
'
C
h
"
E
a
{
+
~{
{
p
$
%
$
d
&
$
k
E
C
d
C
k
C
"
`
$
"
k
g
m
$
$
e
#
j
E
m
%d
%
E
"
h
e
k
$
E
h
"
"
$
E
dc
"
d
h
e
k
"
h
c
$
$
$
E
$
E
a
E
E
&"
%E
u
p00ij
x
k%
E
k
k
E
kb
"
j
#
E
?
>
{
{
qi0
"
j
"C
b
%
E
E
a
"'
'd
e
Cy
j
#
&
%
c
C
#%
_
p0i
'd
b
%
$
'
E
l
$
b
E%
"'
h%
>
}
{
{
q
$
'
"
k
C&
j
m
"
E
#
A
l
£
{
p
h&
"
E
s1 ≡te1 (mod n1 ), . . . , sk ≡tek (mod nk )
(ni , nj )=1
ni , nj )
'
"
E m
E
E m
E
"
"
(
&
%
E
e=t
' $
D
d
"
$
k
E
y
"
"
r
s
X
X
1
1
1−
+
.
p
q0
i=1 i
i=1 i
c
(b01 , . . . , b0r ) | ordFp (t),
"
(Fp ,Fq ) (t) | ordordn (x) (t),
#
z
%
C
$
(Fq ,Fp ) (t).
%
&
%
k
h
d m
$
(b001 , . . . , b00s ) | ordFq (t),
k
d
k
"
k%
s
b0i | ordp0αi (t)
i
$
"
#
D
E
'd
dc
"
%
k
%
k
(
'
"
b$
%
l
¢
1
qi0
%
E
(
h
"
j
~
j = 1, . . . , si ,
"
h
£
"
#b
"j
i = 1, . . . , s,
j
m
#
b
r
¢
6≡ 1 (mod qi0 ),
h
c
"
"
d m
E
"
%
£
a
"
i=1
$
E
%
"
' $
r
¢
C
#%
E
#
A
i
k
$
v
'
(
E
%a
k'
r
£
&
%
E
ordordn (x) (t)
r
s
P
P
1
p0 +
$
$
"
%
#
&
%
k'
%
%
C
Ej
h
$
"
%
k
h
¢
hy
$ £
i=1
k
bE
%
$
p1 − 1 q1 − 1
$
$
%
E
%$
_
(b01 , . . . , b0r , b001 , . . . , b00s ) | ord
&
"
r
£
&
"
i = 1, . . . , r
i = 1, . . . , r
"
#
p q
p 1 q1
%"
%
h`
#
h
c
"
%
k
Ch
¢
x ∈ Z∗n
j
"
'
dj
s
m
b
%
$ u
x ∈ Z∗n
E'
b
(
C
"
ord
%
%
k
%"
"
k
C
(Fp , Fq ) | ordn (x)
$
"
`
h
&
"
$
E
E l
#%
'
(b01 , . . . , b0r , b001 , . . . , b00s )
x ∈ Z∗n
m
&
bD
j = 1, . . . , ri ,
"
$
bD
%
%
m
b0i | ordFp (t)
b0i | ordp0i (t)
$
h
%
a
i = 1, . . . , r,
z
j
"
"
d
"
%
"
q0 −1
qij
6≡ 1 (mod p0i ),
C
$
k
h
t
p0 −1
pij
(p − 1)(q − 1)
#%
k
E'
t
t
00
qij
qij
d
d
e
/
,
/
1/
4/
1
2
1
4
/
7
,
/
1/
1
1
- ,+
-
(
%
c
2
,
,
z
y
$
C
%
E
a
d
$
"
k
E
a
%
¤
2
2
E
Cy
b
/
j
$
(
z
%
b
"
"
a
$
"
C
&
E
E
k
"
%
h
5
l
4
f
f
f
,
v
(
C
5
f
kb
"
z
$
j
E
E
a
'
"
%&
'dc
%
$
#
E
z
"
m
(
(
z
$
"
k
'"
j
$
"
%
k
&
'
%
$
#
"
D
'
$
E
`
&
_
e
f
%
$
y
j
E
d
h
"
k
"
%
k'
k
"
m
'
h
"
dc
E
E'
$
"`
h
%
E
$
j
E
h
k
'
k
"
E B
$
( %
)
%"
h
bD
%
E
#
"
"
bh
"
h
c
m
j
$
E
"
%
k
'
'dc
c
#
"
%
%
h
"
$
#`
%
z
%
%"
h
dc
$
"
$
$
c
b
E%
$
E
d
E'
"
E
d
"
E
"
*
h
%
%
x
u
(
h
%
%
'
h
"
"
%#
"
'
d
E
E
$
E
h
%
$
`
,¥
u
B
m
z
$
$
#
"
$
`
j
%
k
h
'dc
c
#
"
%
%
h
"
k%
"
%
$
C$
"
E
" i
E
"
'$
EC
"
$
E
E
%
h
(
$
$
#
dc
"
z
'dc
$
k
"
d
"
$
"
k
E
k
E
E
h'
u
m
(
¤
' 2
E'
5
h
'
E
a
%
h
"
D
&
E
#
"
h'
d
h
"
(
z
$
'
d
E
$
E
h
%
$
#
dc
"
k
E
"
$
d
h
"
¥
4
f
m
$
`
$
(
)
$
h
'
"
h
E
"
&
`
$
`
$
$
&
'
%# y
k
E
"
(
(
z
¢
$
"
%&
'
E
'
"
%
a
"
¥
f
Rl
¤
,
s
$
d
"
(
(
z
$
m
E
" m
'
d
E
$
h
& g
R
%
$
#
c
#
%&
$
`
%dc
"
E`
d
E
E'
E
C
"
$
"
E
'
h
"
d
E
E'
(
z
"
E
E
"
%h
a
%
h
E
%
h
¥e
4
,
B
" i
E
'
EC
( &
(
$
"
h
w
9
9
4
24
,
(
(
(
(
%
'
h
&
%
(
z
%
%
C
C$
d
E
h'
%
$
#
dc
$
"
c
b
E%
%
k
h
`
r
r
(
,
$ s
d
"
$
"
d
"
4
" m
'
E
$
"
E
"
k
'
'
"j
'
"
E
'
*
v
$
E
E'
E
"
'h
%
#
E
E'
%
C
m
E m
%
%
"
$ s
(
(
*
*
$
$
"
$
E
%
E
h
b
"
'$
E
"
2
f
2
x
_
f
$ s
k'
%
"
'
(
`
d
E'
%
C
%
%
$
#
'
`
$
"`
'
'
b
"
C
#%
E
a
E
r
m
_
4
(
z
j
$
h'
dc
b
E%
"
%
E
h
&
E
c
&
E
E
E'
$
E
v
f
,¥
% f
h
(
&
E
j
d
"j
k'
e
,
f
(
j
$
$
$
k
E
h'
#
,
,¥
v
" i
&
E
'
$
E
E
E
$
E ¤
%
h
C
"
k
$
(
z
$
'
%
#
hj
E
E
a
C
%
$
#
bD
%
a
"
c
a
h
C
C
#%
E
E
j
$
$
`
,
m
h B
"
"
#
c
&
E
'
a
E
"
%&
h
Eb
(
$
k
E
a
"
E
h
,
f
y
j
b
C
E'
C
E
"
$
h
%h
'
`
n
g
'
"
%&
%
E
k
$
m
E l
C
4
d
"
$
"
d
E
h
c
"
(
$
$
E%
'
"
E m
E
"
'
&h
b
'"
E
"
'$
m
"
$
'
"
$
E'
E
k
k
E
%
E
"
E
'd
'
E
j
"
E
#%
'
C
"
b
"
C
#%
a
E
%
$
#
m
%
$
m
c
#
$
!
"
"
E
a
%
$
y
E
E
Cy
E
h
%
C
E
E
(
j
j
&
E
b
% $
'
b
%
$
%
h
E
$
E
,
f
4
¤
,
u
(
E
&h
C
#%
'$
C
"
b
%"
$
'd#
a
u
(
%
"
' $
j
"
#
"
$
#
%
"
Cy
'
"
m
$
#
s
$
$
C
c
"
$
"
"
z
$
#
"
d
E
N
N
J
ML
t ≡ ti (mod ni )
&
E
'
E%
j
e
Eb
"
"
D
"
%
$
#
%dc
(
n1 · . . . · nk
C
#%
b
%
'$
E
'h
#
t1 , . . . , t k
te < n 1 · . . . · nk
e
E
m
'
E
$
E
%
kC
√
e
s
s 1 , . . . , sk
"
E
'
E
C
t =s
t t<
t
#
E
"
$
E
k
k
E
C
#%
e
(
j
#%
'
s ≡ si (mod ni ) i = 1, . . . , k
0 6 s < n 1 · . . . · nk
t1 , . . . , t k
t
-
/
,
/
1/
4/
1
2
1
4
#%
d
"
d
y
"
$
+
*
*
(
5
fe
f
4
e
24
,
5
*
¥
(*
(
(
(
(
9
*
9
9
-
9
-
;9
(
#
9 ?
*
4
4
,
.
(
(
*
(
(
r
k
&
"
*
(
$
+
%
(
*
4
,
`
,
¥
¤¥
?
?
z
d
"
y
$
&
"
(
4
,
E
%
`
¥
¥
¤¥
(
(
*
m
+
u
m
&
"
'd
$
$
E
#
%&
(
?
{
_
A
*
(
¥
¤
¤2
2
f
,
e
*
(*
(
(
(
(
9
-
9
-
9
9
9
?
z
¥
(*
(*
(
*
9
9
e
,
e
e
4
,
,
¤
(
-
(
(
(
-
e
e
.
.
.
.
.
/
/
/
9
9
9
9
-
'
B
$
f
E
%
E
h'
?=
{
{
" i
*E
b
k
{
,
,
$
m
f
5
(
u
" i
*E
b
k
+
_
?
{
{
,
2
¤"
4
,
(
*
(
#% y
d
"
f
$
#
dc
"
$ v
E%
(
(
h
,
5
? ?
{
,
(
4
4
4
,
*
(
(
9
9
*
+
"
%&
k
#
%&
¤
e
4
,
$
(
(
?
?
m
|{
,f
A
z
3
e
,
¤
e
-
?
?
.
9 ?
f
*
*
9 ?
9
(
(
(
(
5
d B
_
!
-
9
9
9
<
4
¤
*
(
*
$
+
"
"
+
k
`
e
4
,
5
$ m
E
a
%
%
(
(
(
$
#
k
"
_
&
(
(
*
%?
?
¤
¤
¤
5
$
%&
C
"
"
E
'
d
"
%&
m
A
A
¤
,
-
(
(
(
*
*
*
4
,
¤
,
4
,
(
*
+
j
?
?
4
4
4
,
¡¢
£
-
9
-
9
e
¤
9 <
9
9
9
-
-
-
(
(
(
%
E
?
?
?
E
"
$
+
d
"
%&
{
{
,
,
A
*
(
*
(*
(
(
(
e
¤
,
,
ef
4
,
5
(
j
'
%$
"b
"
h
u
*
"
*
9
9
-
1
1
<
r
EC
#
+
?
?
¢
(
)
(
&
"
%
$
#
C$
9 ?
-
-
(
,
¥
¤¥
B
s
?
{
,¥
<
9
5
¤
(
(
*
$
¥
¥
¤¥
*
(
*
(*
(
(
(
*
(
(
b
k%
B
+
h
( j
z
* f
( d
"
&
9
¤¥2
ef
,
4
¤
24
,
5
(
(
(
?
z
?
?
?
z
%
d
E
E%
$
C
#%
k
E'
&
'
"
$
C$
z
¤
u
s
$
i
~
4
9
-
9
9
-
9
¤
+
(
*
,
4
4
,
(
9
5
2
,
¤
f
4
,
-
-
* f2
(*
(
1
+
(
(
*
(
?
?
?
z
(
(
%&
k
E
"
by
~
{
}
r
z
z
m
e
9
+
-
9
9
-
1
<
?
?
$
E
#
E%
$
'd#
b
`
m
(
(
*
9
<
9
-
9
9
¥
¥
¤¥
2
¤
+
x
B
m
(
(
$
"
E
?
?
?
?
z
$
a
%
d
"
%&
*
(
*
(*
(
(
(
!
"
{
~
{
A
5
f
,¥
4
f
,
4
4
,
(
(
(
*
z
*
9
'
-
9
9
9<
-
4
42
,
h i
j
+
%
-
y
$
#
"
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
*
'
E
¤
9
9
-
{
B
h'
{
{
,
,
5
(
*
(*
(
¤¥
f5
,
,
( 1
(
(
C
,
e
4
,
¢
(
(
*
(
(
%
*
*
+
<
9
ef
4
,
¤
-
4
m
&
%
?
?
?
?
