Анализ временных рядов. Введение

Лекция №7. Анализ временных рядов. Введение С данной лекции начинается второй основной раздел курса «Эконометрика» —анализ временных рядов. Для более подробного изучения материалов, обсуждаемых в лекциях 7 — 10, рекомендуется обратиться к учебнику Hamilton J. D. Time series analysis. Princeton university press, Princeton, New Jersey. 1994. А к аналогичным главам (анализ временных рядов) других учебников из списка базовой литературы. Временные ряды Временной ряд – последовательность наблюдений («выборка») некоторой случайной величины, зафиксированных в последовательные моменты времени : . Часто такие ряды рассматриваются, как конечный фрагмент бесконечной последовательности значений, которые можно было бы наблюдать в моменты  и : . Примеры временных рядов: 1. Линейный тренд:         . 2. Константа:                        . 3. Белый шум:                     .   Операторы над временными рядами Оператор – некоторое правило (функция, отображение,…) , которое сопоставляет аргументам  результат . Оператор над временным рядом в качестве аргументов использует временные ряды (и, возможно, числа) и преобразует его (их) в другой временной ряд. Примеры операторов над временными рядами: 1. Умножение на константу:   . 2. Сложение:                                   . Операторы над временными рядами, имеющие тот же смысл, что аналогичные операторы над числами, обладают и такими же свойствами: 1. Коммутативность:                   , . 2. Дистрибутивность:                    Лаговый оператор Лаговый оператор (оператор сдвига назад) принимает в качестве аргумента временной ряд и возвращает временной ряд из значений исходного ряда в «предыдущие» моменты времени: . Последовательное применение лагового оператора приводит к сдвигу на несколько периодов назад: , . Лаговый оператор обладает теми же свойствами, что умножение на константу: , .   Операторы, связанные с лаговым 1. Полиномы лаговых операторов: . 2. Оператор сдвига вперед: . 3. Разностный оператор: ,   Некоторые уравнения в разностях Уравнение в разностях связывает значение некоторого ряда  в «текущий» момент времени () с его значениями в «предыдущие» моменты времени () и, возможно, некоторыми другими рядами . Примеры уравнений в разностях: 1. Уравнение первого порядка:            . 2. Уравнение второго порядка:             . 3. Уравнение порядка :                           . Порядок уравнения – это разница между максимальным и минимальным моментами времени, в которые зафиксирован временной ряд , участвующими в уравнении. Уравнения в разностях первого порядка Рекурсивное решение уравнения: Если известно значение временного ряда на некоторую дату (например, ), а также последовательность значений , то можно в точности определить значение : Динамический мультипликатор: , Вывод был бы аналогичный и для другой «стартовой даты»; пусть изначально известно значение , тогда на любую дату  верно , и Динамические мультипликаторы (выражены в частных производных) показывают влияние процесса  на  в условиях, когда изменяется значение  на одну некоторую дату, без изменения остальных переменных, т.е. отражают краткосрочный эффект. Долгосрочный эффект показывает изменение величины  в некоторую дату при условии перманентного сдвига величин : . Если , то долгосрочным эффектом влияния  на  называют предел этой суммы при : .   Например, рассмотрим уравнение спроса на деньги в США (Goldfield, S.M. 1973. “The Demand for Money Revisited”, Brookings Papers on Economic Activity 3): , или в терминах уравнения в разностях первого порядка: , . Найдем, как изменится спрос на деньги через два квартала , при изменении текущего уровня дохода , если это не сказывается на будущем доходе : Если же изменение дохода будет перманентным, то можно вычислить долгосрочный эффект влияния этого изменения на величину спроса на деньги: .   Запись с использованием лагового оператора: . Умножим обе части на полином степени  лагового оператора с коэффициентами : .   Обращение операторов и уравнений При больших  и  использованный ранее полиномиальный лаговый оператор обладает следующим свойством: Т.о. такой полином – это приближение для оператора, обратного : , где , т.е. В терминах такого оператора уравнение в разностях первого порядка будет иметь следующий вид (конечно, при ):   Уравнения в разностях второго порядка Запись с использованием лагового оператора: . Применение техник, схожих с операциями над уравнением 1-го порядка, возможно, если полином в левой части удастся разложить на множители. Допустим, нашлись такие , , что . Чтобы эти операторы были идентичны, необходимо , . В терминах полиномов чисел (не операторов) это равносильно тому, что  и   это обратные корни полинома , т.е. .   Разложение полиномиального лагового оператора на множители позволяет переписать исходное уравнение в терминах обратных операторов: , а при  также использовать разложение   , где . Т.о. динамическая система устойчива, если , и не устойчива, если хотя бы одно из этих условий не верно.   Уравнения в разностях -го порядка Аналогично уравнению 2-го порядка, перепишем уравнение порядка p в терминах полиномиального лагового оператора и его разложения на множители: . Также, как и в случае уравнения 2-го порядка, значения  могут быть найдены одним из следующих способов: 1. Обратные корни многочлена 2. Характеристические числа матрицы . Обращая полиномиальный оператор и применяя аналогичное случаю уравнения 2-го порядка разложение, получим: где . Тогда можно вычислить эффекты влияния краткосрочного и перманентного изменения  на , используя , и условия стабильности системы аналогичны условиям для уравнения второго порядка: все  отличаются, и .