Анализ резистивных цепей

14 Лекция 2. АНАЛИЗ РЕЗИСТИВНЫХ ЦЕПЕЙ План 1. Задача анализа электрических цепей. Законы Кирхгофа. 2. Примеры анализа резистивных цепей. 3. Эквивалентные преобразования участка цепи. 4. Заключение 1. Задача анализа электрических цепей. Законы Кирхгофа Электрическая цепь, образованная путем соединения между собой идеализированных элементов, является математической моделью реального электротехнического или электронного устройства. Чем больше элементов содержит такая цепь, тем точнее отображает она характеристики моделируемого устройства. Дадим определения основных понятий, касающихся геометрической конфигурации, или топологии, электрических цепей. Ветвь – участок цепи с двумя выводами. Ветвью может быть отдельный элемент либо группа элементов, соединенных последовательно или параллельно. Узел – точка соединения двух или более ветвей. Место соединения двух ветвей удобно рассматривать в качестве узла при машинных расчетах. При ручных расчетах несколько элементов, соединенных последовательно или параллельно, удобно рассматривать как одну ветвь. Поэтому при ручных расчетах узлом считают соединение трех или более ветвей. Контур – замкнутый путь, проходящий через ряд ветвей и узлов. Задача анализа электрической цепи формулируется следующим образом. Заданы схема цепи и характеристики ее элементов, а также напряжения и токи независимых источников. Требуется найти токи и напряжения ветвей. Уравнения, описывающие поведение электрической цепи, составляют на основе законов Кирхгофа. Чтобы записать уравнения по законам Кирхгофа, необходимо сначала выбрать положительные направления токов и напряжений ветвей. Положительное направление тока показывают стрелкой на выводе элемента. Положительное направление напряжения показывают стрелкой, расположенной рядом с элементом. Направления токов и напряжений резистивных элементов выбирают согласованными. Сопротивление проводников, соединяющих элементы, очень мало по сравнению с сопротивлениями резисторов, и им пренебрегают. Направления напряжений и токов источников следует рассмотреть особо. Стрелка ЭДС источника напряжения направлена к его положительному выводу. Поэтому напряжение на внешних зажимах этого источника направлено в сторону, противоположную ЭДС. 15 Первый закон Кирхгофа определяет баланс токов в узлах электрической цепи. Он формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю: n i k 1 k  0. (2.1) В уравнении (2.1) токи, направленные от узла, записывают с положительным знаком. Токи, направленные к узлу, записывают со знаком минус. Система уравнений по первому закону Кирхгофа, записанная для всех узлов цепи, линейно зависима. В этом легко убедиться, сложив все уравнения. Поскольку ток каждой ветви входит в два уравнения с разными знаками, сумма тождественно равна нулю. Поэтому число независимых уравнений по первому закону Кирхгофа равно n y  , где n y – число узлов цепи. Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контуре цепи: Алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю: n  uk  . (2.2) k  Если напряжение ветви совпадает с направлением обхода контура, то напряжению приписывают знак плюс, если же нет – знак минус. Перенесем напряжения источников напряжения, равные ЭДС этих источников, в правую часть. Уравнение (2.2) примет вид n n k  k   uk   ek . В соответствии с последним равенством во всяком контуре электрической цепи алгебраическая сумма напряжений ветвей равна алгебраической сумме ЭДС источников. Число независимых уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров. Можно показать, что число таких контуров определяется формулой nb  n y  , где nb – число ветвей. В качестве независимых контуров удобно выбирать внутренние ячейки цепи. Можно воспользоваться и другим способом: выбрать по порядку контуры, так чтобы каждый следующий контур содержал, по меньшей мере, одну ветвь, не входящую в предыдущие контуры. 16 Подчеркнем, что законы Кирхгофа справедливы для любых цепей с сосредоточенными параметрами. Они выполняются как для линейных, так и для нелинейных цепей, при любой форме напряжений и токов. 2. Примеры анализа резистивных цепей Рассмотрим примеры анализа цепей с помощью законов Кирхгофа. Пример 2.1. Анализ линейной резистивной цепи. Рассчитать токи и напряжения в цепи, показанной на рис. 2.1. R   Ом, R   Ом , R   Ом , J  0.9 A, E  18 B . Рис. 2.1 Решение. Выберем положительные направления токов и напряжений, как показано на рис. 2.1. Направления напряжений и токов резистивных элементов совпадают, поэтому для них достаточно показать только направления токов. Запишем уравнения по законам Кирхгофа: Верхний узел: I   I   J   . Контур I: R J  R I   U J   . Контур II: R I   R I   E . Решая уравнения, получим: I 2  1 A, I 3  0.1 A, U J  24 B . Напряжения резистивных элементов можно найти с помощью закона Ома. Напомним, что внутреннее сопротивление источника тока бесконечно велико. Поэтому напряжение этого источника (как и ток источника напряжения) находят из уравнений по законам Кирхгофа. Пример 2.2. Мост Уитстона (рис. 2.2) используется для измерения сопротивлений. В одно плечо моста включается источник напряжения, а в другое измерительный прибор – нуль-индикатор D, сопротивление которого можно считать равным нулю. Необходимо определить ток в плече с нульиндикатором. 17 R1 R2 I1 E D ID I3 R3 R4 Рис. 2.2 Решение. Ток нуль-индикатора найдем из уравнения по первому закону Кирхгофа: I D  I  I    . Для расчета токов определим эквивалентное сопротивление цепи: RЭ  RR R R    . R  R R  R Ток неразветвленной части цепи I  E . RЭ Поскольку резисторы R и R , R и R соединены параллельно, токи в них распределяются обратно пропорционально сопротивлениям: I  I  R R , I  I . R  R R  R Ток нуль-индикатора I D  I  I   I  R R  R R . R  R R  R  (2.3) 18 Обычно R – неизвестное сопротивление, а R – R регулируются до тех пор, пока ток через нуль-индикатор D не станет равным нулю. Из уравнения (2.3) следует, что сопротивление резистора R4 при этом R  R R . R Пример 2.3. Анализ цепи с управляемыми источниками. Определить напряжение на выходе усилителя напряжения в схеме, показанной на рис. 2.3. Коэффициент передачи усилителя равен К, входное сопротивление бесконечно, а выходное равно нулю. Рис. 2.3 Рис. 2.4 Решение. Заменим усилитель источником напряжения, управляемым напряжением (рис. 2.4). Выходное напряжение U вых  KU d . Поскольку входное сопротивление усилителя бесконечно, токи резисторов одинаковы. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа: RI  R I  E  KU d ; RI  U d  E . Решая эти уравнения, найдем, что Ud   R E; K  R  R U вых  KU d   KR E. K  R  R (2.4) (2.5) 19 Итак, выходное напряжение рассматриваемой схемы зависит как от коэффициента усиления K , так и от сопротивлений R1 и R2 . Резисторы R1 и R2 образуют цепь отрицательной обратной связи. Она служит для передачи части выходного напряжения на вход усилителя. При этом часть входного напряжения усилителя компенсируется. Особый интерес представляет случай, когда коэффициент усиления ИНУН очень велик. Такой усилитель называют операционным. Из формул (2.4) и (2.5) следует, что при K   напряжение на входе усилителя U d   , а выходное напряжение не зависит от коэффициента усиления активного элемента: U вых   R E. R Рассмотренный пример иллюстрирует влияние отрицательной обратной связи на характеристики цепей с усилителями. 4. Заключение 1. Основными понятиями, определяющими топологию электрической цепи, являются ветвь, узел и контур. Ветвь – участок цепи с двумя выводами. Узел – место соединения двух или более ветвей. Контур – замкнутая последовательность ветвей. 2. Уравнения, определяющие связь между токами и напряжениями цепи составляются на основе законов Кирхгофа. Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма напряжений ветвей в контуре равна нулю.