Анализ и синтез цифровых систем управления

Лекция 5 Анализ и синтез цифровых систем управления 5.1. Обзор законов локального цифрового управления исполнительными устройствами Локальные цифровые регуляторы непосредственно управляют исполнительными устройствами. Из всех видов таких устройств наиболее распространенными являются электродвигатели. Поэтому в дальнейших примерах анализа и синтеза цифровых систем будут рассматриваться системы управления электродвигателей. Для станков с ЧПУ и для промышленных роботов в настоящее время применяются в основном локальные регуляторы, построенные по принципу подчиненного (каскадного) регулирования. Широкое применение таких регуляторов обусловлено простотой расчета отдельных контуров, последовательным решением задач ограничения координат, облегчением процесса отладки, унификации отдельных узлов управления. При прямом цифровом управлении на базе микропроцессорной техники законы регулирования реализуются в виде цифровых алгоритмов. Это позволяет повысить точность управления, обеспечить стабильность параметров настраиваемых контуров, упростить средства сопряжения локальных регуляторов с цифровой системой управления верхнего уровня, улучшить эксплуатационные характеристики, например, за счет автоматического самоконтроля и контроля ЭВМ верхнего уровня за работой регуляторов. При создании цифровых регуляторов в основном копировались за­коны управления, разработанные для аналоговых систем. Это создает преемственность, возможность использовать опыт анализа, синтеза и настройки аналоговых регуляторов при разработке цифровых. Однако цифровые алгоритмы при таком прямом копировании не улучшили дина­мику электроприводов. Это связано с тем, что цифровые регуляторы из-за квантования по времени имеют худшие динамические характеристики, чем непрерывные (аналоговые) регуляторы, реализующие те же самые законы управления. В то же время цифровые системы имеют большие потенциальные возможности для реализации сложных законов управления (оптимальных, адаптивных и т.д.), которые позволяют получить статические и динамические характеристики управления, практически недостижимые при использовании ана­логовых регуляторов. Применение микропроцессорных (цифровых) систем управления предоставляет разработчику более широкие возможности в выборе типов регуляторов. Технически цифровые регуляторы будут одинаковыми. Отличие заключается лишь в программах управления. Т.е. сложность законов управления не влечет за собой усложнение технической реа­лизации. По способу синтеза цифровые регуляторы можно разделить на две основные группы: параметрически оптимизируемые и структурно оптимизируемые. В параметрически оптимизируемых регуляторах структура (программа управления) задана, и задача синтеза сводится к определению параметров (коэффициентов), при которых обеспечивается заданное качество управления. К таким регуляторам относятся типовые регуляторы: интегральный (И), пропорционально-интегральный (ПИ), пропорционально-интегрально-дифференциальный (ПИД). В структурно оптимизируемых регуляторах структура и параметры являются изменяемыми в зависимости от вида объекта и требований к качеству управления. Такие регуляторы можно условно разделить на три группы: компенсационные, апериодические с конечным временем установления и регуляторы состояния. Выбор типа регуляторов зависит от требований к статическим и динамическим характеристикам процесса управления и от технических возможностей микропроцессорной системы, с помощью которой реализуется регулятор. 5.2. Типовые регуляторы в цифровой реализации К типовым регуляторам относятся пропорциональные (П), интег­ральные (И), пропорционально-интегральные (ПИ) и пропорционально-интегрально-дифференциальные (ПИД) регуляторы. Цифровой И-регулятор был рассмотрен в качестве примера в §I.1. Этот регулятор является частным случаем ПИД-регулятора. Уравнение непрерывного ПИД-регулятора имеет вид: . (5.1) Или применяя преобразование Лапласа, получим: . (5.2) Такой регулятор наиболее часто применяется на практике. В частнос­ти, система подчиненного регулирования состоит из каскадно вклю­ченных ПИ- и П-регуляторов. Интегральная составляющая обеспечивает точность в установившемся режиме, П и Д-составлявшие служат для получения требуемых динамических показателей (длительности пе­реходного процесса, колебательности, величины максимального перерегулирования). При малых значениях периода Т уравнение (5.1) можно представить в виде разностного уравнения: . (5.3) Выражение (5.3) представляет собой не рекуррентный алгоритм управления. Как было показано ранее, для цифрового управления удобнее реализовать рекуррентный алгоритм. Для его определения найдем значение управляющего воздействия на предыдущем шаге: . Вычитая это уравнение из уравнения (5.3), получим: (5.4) где ; ; . Выражение (5.4) справедливо при малых значениях периода кван­тования. Для больших периодов квантования необходимо использовать точную дискретную модель. Как было ранее доказано, ее наиболее просто получить с помощью Z- или D-преобразований. В этом случае алгоритм управления записывается относительно идеальных импульсных сигналов (рис.2.2,б), а реальная форма импульсных сигналов с выхода управляющей ЭВМ учитывается формирующим элементом, роль которого выполняет цифро-аналоговый преобразователь. Согласно (5.4) Z-преобразованное выражение для цифрового (импульсного) ПИД-регулятора будет иметь вид: . (5.5) Из (5.5) следует, что дискретная передаточная функция импульсного (цифрового) ПИД – регулятора будет: . (5.6) Наличие полюса z = 1 говорит о том, что в установившемся режиме ошибка e(z) будет равна нулю (астатический регулятор). В общем случае передаточная функция астатического дискретного ПИД регулятора имеет следующий вид: . (5.7) По аналогии с выражением для непрерывного регулятора (5.2) уравнение дискретного регулятора (5.6) можно представить в следующем виде: . (5.8) Приравнивая в (5.6) и (5.8) коэффициенты при одинаковых степенях, получим: ; ; . (5.9) Если сравнивать эти коэффициенты с коэффициентами непрерывного ПИД-регулятора, то получим необычный вывод, что пропорциональная составляющего дискретного регулятора имеет отрицательный коэффициент. Это объясняется тем, что передаточная функция (5.6) соответствует рекуррентному алгоритму (5.4), и отрицательный коэффициент служит для "забывания" пропорциональной составляющей предыдущего такта. Т.е. пропорциональная составляющая определяется как первая разность интегральной составляющей. Для получения большего сходства с непрерывным регулятором уравнение дискретного регулятора (5.2) можно представить в следующем виде: . (5.10) Выражение (5.10) отличается от (5.3) задержкой на один такт интегральной составляющей, что не принципиально. Уравнение (5.10) дает такой же вид рекуррентного алгоритма (5.5), что и представление (5.2), но взаимосвязь между коэффициентами будет другая ; ; . (5.11) Из уравнений (5.1) и (5.2) следует, что показывают, что в случае малых значений периода квантования Т коэффициенты дискретного ПИД-регулятора можно приближенно рассчитать по коэффициентам непрерывного ПИД-регулятора, используя следующие соотношения: ; ; . (5.12) Определение коэффициентов дискретных регуляторов осуществляется теми же способами, что и для непрерывных систем: методом параметрической настройки, когда определяются критические из условия устойчивости значения коэффициентов, а затем они изменяются для получения заданного запаса устойчивости, либо путем расчета оптимальных коэффициентов, минимизирующих заданный критерий качества регулирования, например, квадратичный интегральный. 5.3.Исследование устойчивости импульсных систем Рассмотрим способ определения критических коэффициентов дискретного регулятора. Ранее было определено, что апериодическому звену первого порядка (2.11) соответствует дискретная передаточная функция (2.12): . (5.13) В результате обратного Z-преобразования получим следующее разностное уравнение: . Уравнение свободного движения определяется при u(k)=0 . Найдем yсв(k) при k = 1,2,3,… ; ; … . (5.14) Из (5.14) следует, что свободное движение будет стремится к 0 (что является признаком устойчивости объекта), если  1. Таким же образом можно доказать, что объект или замкнутая система регулирования n-порядка будут устойчивы, если корни характеристического уравнения их дискретных передаточных функций будут по модулю меньше единицы. Это означает, что на комплексной плоскости все корни характеристического уравнения должны лежать внутри единичной окружности. Таким образом, если все корни характеристического уравнения передаточная функция замкнутой импульсной системы ( 5.15) будут по модулю меньше единицы . то система устойчива. Если хоть один корень уравнения (5.15) будет , то системы находится на границе устойчивости, а если , то система неустойчива. Условие устойчивости импульсной системы графически представлено на рис. 5.1.а, Все корни характеристического уравнения на комплексной z-плоскости находятся внутри круга единичного радиуса. а) б) Рис.5.1. Комплексные плоскости расположения корней характеристического уравнения устойчивой импульсной системы а) z - плоскость; б) - плоскость Если применить замену переменной z в переменную с помощью с помощью следующего соотношения , ( 5.16) называемого билинейным преобразованием, то единичная окружность в комплексной - плоскости (рис.5.1,б) преобразуется в мнимую ось, а область, ограниченная этой окружностью в левую полуплоскость. Заменив в уравнении (5.15) переменную z на переменную с помощью соотношения (5.16), получим характеристическое уравнение следующего вида: . (5.17) Корни этого уравнения для устойчивой системы будут лежать в левой полуплоскости комплексной - плоскости. Это условие относительно переменной совпадает с условием устойчивости для непрерывных систем управления, поэтому в этом случае применимы критерии устойчивости, разработанные для непрерывных систем. Приведя к общему знаменателю слагаемые в уравнении (5.17), получим: . Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим характеристическое уравнение относительно переменной в следующем виде: (5.18) Для этого характеристического уравнения можно применять, например, критерий устойчивости Рауса-Гурвица. Рассмотрим примеры. Для системы первого порядка (n=1) или , где . Условие устойчивости для системы первого порядка определяется, как и Следовательно, . (5.19) Из (5.19) следует, что даже при положительных коэффициентах характеристического уравнения первого порядка импульсная система может оказаться не устойчивой. Из физики работы системы это объясняется тем, что период квантования по времени может быть таким большим, что вызванное им запаздывание может сделать замкнутую систему неустойчивой. Для системы второго порядка , после замены переменной получим: , или . (5.20) В соответствии с критерием Рауса-Гурвица условия устойчивости также определятся из положительности коэффициентов характеристического уравнения (5.20): . Для системы третьего порядка имеющей характеристическое уравнение имеет вид: . После соответствующих преобразований условия устойчивости определяются из положительности коэффициентов характеристического уравнения : и главного минора определителя Гурвица . Связь между коэффициентами и определяется по той же методике, что и для систем первого и второго порядков. В качестве примера рассмотрим определение критического коэффициента дискретного И-регулятора для объекта первого порядка. Согласно выражению (3.22) характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: . Приведя к общему знаменателю и взяв числитель, получим: . Согласно критерию Гурвица в устойчивой системе второго порядка все коэффициенты должны быть положительны ; ; . Подставив в первое неравенство выражение для коэффициентов из (3.14) и (3.22) получим . Следовательно, критический коэффициент дискретного И-регулятора kИ* определяется выражением . Для получения качественных переходных процессов величину kИ нужно уменьшить в 23 раза. Для расчета оптимальных типовых регуляторов разработаны рекомендации и стандартные соотношения. Другим важным вопросом является выбор периода квантования Т. Максимальное его значение определяется исходя из теоремы Котельникова-Шеннена. Для того чтобы непрерывный сигнал со спектром, ограниченный максимальной частотой max, можно было восстановить по его дискретной последовательности, как было доказано ранее, необходимо соблюдение условия. , где Т=2/Т - круговая частота квантования. При неизвестных значения спектра внешних сигналов выбор периода квантования по времени Т на начальном этапе проектирования можно определить из условия: , (5.21) где ТOmin - минимальная постоянная времени непрерывной передаточной функции объекта. Условие, при котором поведение дискретной замкнутой системы приближается к непрерывной системе, с достаточной точностью можно определить следующим неравенством: . (5.22) Очевидно, что при соблюдении соотношения (5.22) расчет коэффициентов ПИД-регулятора можно производить по рекомендациям, разработанным для непрерывных систем управления. При переходе к дискретному алгоритму ПИД-регулятора его коэффициенты пересчитываются в соответствии с зависимостями (5.12). Структурная схема регулятора, соответствующая уравнению (5.4) или (5.8), представлена на рис.5.2. Рис.5.2. Система с дискретным ПИД-регулятором С целью ограничения начального броска управляющего воздействия с выхода регулятора при резком изменении задающего сигнала uз(z), чаще применяют модифицированный алгоритм, структурная схема которого представлена на рис. 5.3. uз(z) Рис.5.3. Система с модифицированным дискретным ПИД-регулятором В этом регуляторе пропорциональная и дифференциальная составляющие берутся не от ошибки регулирования, а от выходной координаты: . При резком изменении uз(z) интегральная составляющая сигнала с выхода регулятора будет нарастать постепенно, а скорости изменения пропорциональной и дифференциальной составляющей ограничиваются из-за инерционности объекта. Очевидно, что программная реализация рассмотренных регуляторов достаточно проста и состоит только из операций умножения на постоянные коэффициенты и операций сложения. 5.3. Построение переходных процессов по передаточной функции импульсной системы 1 способ Передаточная функция замкнутой системы: . (5.23) Исходя из этго, записываем алгебраическое выражение: . (5.24) Подвергая выражение (5.24) обратному Z-преобразованию получим: . (5.25.) Подставляя в (5.25) значения тактов квантования k=0,1,2 … определим значения выходной величины в зависимости от задающего сигнала . Пример: После обратного Z-преобразования: . В частности, если задающий сигнал постоянный, например единичный сигнал, получим: Следовательно, при k=2 (на втором такте) переходный процесс выходит на установившийся режим. График решетчатой функции показан на рис. 5.4. Рис. 5.4. Решетчатая функция переходного процесса y[kT] и возможные варианты непрерывной (реальной) кривой переходного процесса Вид непрерывных кривых переходных процессов для одной и той же решетчатой функции могут значительно отличаться. Это зависит от динамических свойств объекта управления. 2 способ Из сравнения выражений дискретной функции (5.26) и ее z-изображение . (5.27) видно, что коэффициенты разложения (5.27) равны значениям решетчатой функции в соответствующие такты времени. Отсюда следует второй способ нахождения обратного Z-преобразования. Из передаточной функции (5.23) следует, что , или записав выражение (5.23) и выражение для v(z) относительно положительных степеней z в общем случае получим . (5.28) Разложим выражение y(z) в степенной ряд по отрицательным степеням z (в ряд Лорана) путем деления полинома числителя выражения (5.28) на полином знаменателя: . В соответствии с выражением (5.27) получим, что . Пример Возьмем ту же передаточную функцию, что и в примере первого способа построения переходных процессов. Так как задающий (входной) сигнал единичный v[kT]=1[kT], то . Следовательно . Разложим выражение для y(z) в ряд Лорана путем деления полинома числителя на полином знаменателя Таким образом . Т.е. получили, очевидно, тот же результат что и первым способом. 3 способ заключается в непосредственном применении обратного z-преобразования . (5.29) Если в фигурных скобках (5.29) стоит сложное выражение, его необходимо разложить на простые слагаемые для использования таблиц прямого и обратного z- преобразования функций. Из приведенных примеров видно, что построение переходных процессов по импульсной передаточной функции значительно проще, чем для непрерывных функций. Это объясняется тем, что коэффициенты импульсных функций по существу представляют пошаговое решение дифференциальных уравнений, описывающих динамику объекта управления.