Аналитическое определение определенного интеграла. Физический и геометрический смысл определенного интеграла

ЛЕКЦИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1. 2. 3. 4. 5. План Аналитическое определение определенного интеграла. Физический и геометрический смысл определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла. Приложения определенного интеграла. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Пусть функция y = f (x ) определена на отрезке [a, b]. Разделим отрезок [a, b] на n произвольных частей a = x0 < x1 < x2 < ..... < xn −1 < xn = b , выберем на каждом элементарном отрезке [xk −1 , xk ] произвольную точку ξ k и найдём длину каждого такого отрезка ∆xk = xk − xk −1 . Определение 1. Интегральной суммой для функции f (x ) на отрезке [a, b] называется сумма вида n ∑ f (ξ )∆x k −1 k k = f (ξ1 )∆x1 + f (ξ 2 )∆x2 + ... + f (ξ n )∆xn . Определение 2. Определённым интегралом от функции f (x ) на отрезке [a, b] называется предел интегральной суммы при n → ∞ и max ∆xk → 0 : b ∫ f (x )dx = a n lim ∑ f (ξ )∆x n→∞ max ∆x k → 0 k −1 k k , где х – переменная интегрирования, f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, [a;b] – область (отрезок) интегрирования, a, b – пределы интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел). Если функция f (x ) непрерывна или кусочно непрерывна на [a, b] , то предел интегральной суммы существует и не зависит ни от способа разбиения [a, b] на элементарные отрезки, ни от способа выбора точек ξ k на каждом из них. b Следует помнить, что ∫ f (x )dx есть определенное число. a ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Путь, пройденный движущейся по прямой материальной точкой за отрезок времени [ t 0 ; T ], равен определенному интегралу скорости от v = v(t): T S = ∫ v(t )dt . t0 Количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t 0 до T равно определенному интегралу от скорости химического превращения: T m = ∫ v(t )dt . t0 _ Работа переменной силы F , величина которой есть непрерывная функция F = f (x) , действующая на отрезке [a, b] , равна определенному интегралу: b A = ∫ f ( x )dx . a ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Если f (x ) ≥ 0 на [a, b] , то определённый интеграл b ∫ f (x )dx геометрически a представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной линиями y = f (x ) , x = a, x = b, y = 0 (рис.1). – фигуры Рис.1 b Замечание. Если f (x ) ≤ 0 для x ∈ [a; b], то ∫ f (x )dx ≤ 0 и тогда a b S = − ∫ f ( x )dx. a Если f(x) конечное число раз меняет знак на отрезке [a, b] , то интеграл разбивают на сумму интегралов по частичным отрезкам. Интеграл по всему отрезку [a, b] дает соответствующую алгебраическую сумму площадей, лежащих выше и ниже оси Оx (рис.2) Рис.2 СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: a 2. ∫ f (x )dx = 0 . a b a a b ∫ f (x )dx = −∫ f (x )dx . 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла: b b a a ∫ k f (x )dx = k ∫ f (x )dx (k = const ) . 4. Определенный интеграл от суммы двух функций равен сумме определенных b b b a a a интегралов от этих функций: ∫ ( f1 (x ) ± f 2 (x ))dx = ∫ f1 (x )dx ± ∫ f 2 (x )dx . Это свойство распространяется и на случай алгебраической суммы любого конечного числа функций. 5. b c b a a c ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , где точка x = c может лежать как внутри, так и вне отрезка [a, b] . 6. Если подынтегральная функция f (x) на всем отрезке интегрирования [a, b] принимает значения одного знака, то определенный интеграл есть число того же знака: b а) f (x ) ≥ 0 для x ∈ [a; b], тогда ∫ f (x )dx ≥ 0 ; a b б) f (x ) ≤ 0 для x ∈ [a; b], тогда ∫ f (x )dx ≤ 0 . a 7. Если наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a, b] обозначить через m, а наибольшее через M, то b m(b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a ) , где m ≤ f ( x ) ≤ M на [a, b]. a 8. Теорема о среднем. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] . То существует b хотя бы ∫ f (x )dx = f (с )(b − a ), с ∈ [a; b] . одно значение x = c, для которого Значение функции f(c) носит название среднего a значения функции f (x) на отрезке [a, b] . 9. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования ′ x  заменена этим пределом, т.е.  ∫ f (t )dt  = f (x). a  ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1) Формула Ньютона-Лейбница – основная формула интегрального исчисления. b ∫ f (x )dx = F (x ) b a = F (b ) − F (a ) , a где F (x ) – первообразная для f (x ) , т.е. F ′(x ) = f (x ) . Для вычисления определенного интеграла следует найти неопределенный интеграл (найти первообразную функцию), а потом вычислить приращение первообразной функции на отрезке интегрирования [a, b] . 2) Интегрирование по частям: b b ∫ udv =uv a − ∫υdu , b a a где u = u (x ), v = v(x ) – непрерывно дифференцируемые функции на отрезке [a, b]. Формула Ньютона – Лейбница – это одна из немногих формул-связок, объединяющих различные разделы математики воедино. Если бы не было формулы Ньютона – Лейбница, то неопределенные интегралы не нашли бы приложения, а определенные интегралы нельзя было бы вычислить аналитически. Именно эта формула делает интегральное исчисление важнейшим инструментом исследования процессов. Любой процесс описывается дифференциальными или интегральными уравнениями, а они решаются в интегралах. 3) Замена переменной: b β ∫ f (x )dx =α∫ f (ϕ (t )) ⋅ ϕ ′(t )dt , a где x = ϕ (t ) – функция, непрерывная вместе со своей производной ϕ ′(t ) на отрезке α ≤ t ≤ β , a = ϕ (α ), b = ϕ (β ), f (ϕ (t )) – функция, непрерывная на [α , β ]. При вычислении определенного интеграла по формуле замены переменной не требуется возвращения к старой переменной х. Достаточно из формул a = ϕ (α ), b = ϕ (β ), найти пределы изменения новой переменной t. Замечание. В отличие от неопределенного интеграла, в определенном интеграле нет необходимости возвращаться к прежней переменной интегрирования, т. к. результатом вычисления будет число, не зависящее от выбора переменной. 4) Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах. Если f (x ) – нечётная функция ( f (− x ) = − f (x )) по симметричному отрезку a [− а, а] , то ∫ f (x )dx =0 . −a Если f (x ) – чётная функция ( f (− x ) = f (x )) по симметричному отрезку a a −a [− а, а ] , то ∫ f (x )dx =2∫ f (x )dx . ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 1. Вычисление площади плоской фигуры Площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах а) площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x ) ( f (x ) ≥ 0) , прямыми x = a и x = b на отрезке [a, b] оси OX , вычисляется по формуле b S = ∫ f ( x )dx . a ОБРАТИТЕ ВНИМАНИЕ!!! б) (площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах) площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f1 (x ) и y = f 2 (x ) ( f1 (x ) ≤ f 2 (x )) x = b , находится по формуле и прямыми x = a и b S = ∫ ( f 2 (x ) − f1 (x ))dx a Замечание. Если оси координат поменять местами, то все рассматриваемые случаи имеют место, только интегрирование будет идти по переменной у. Замечание. Если фигура имеет «сложную форму», то прямыми параллельными оси ОУ, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить вышеуказанные формулы. Площадь плоской фигуры в параметрических координатах Если кривая задана параметрическими уравнениями x = x(t ) , y = y (t ) , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x = a , x = b и отрезком [a, b] оси OX , выражается формулой t2 S = ∫ y (t )x′(t )dt , t1 где t1 и t2 находятся из уравнений a = x(t1 ) , b = x(t2 ) , при этом предполагаем, что y (t ) ≥ 0 при t1 ≤ t ≤ t2 . Площадь плоской фигуры в полярных координатах Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат уравнением ρ = ρ (ϕ ) и двумя полярными лучами ϕ = ϕ1 , ϕ = ϕ 2 (ϕ1 < ϕ 2 ) выражается формулой ϕ 1 2 2 S = ∫ ρ (ϕ )dϕ . 2 ϕ1 Замечание. Если фигура имеет «сложную форму», то лучами, выходящими из полюса, ее следует разбить на криволинейные секторы к которым применить вышеуказанную формулу для нахождения площади. 2. Вычисление длины дуги плоской кривой а) При явном задании кривой. Если кривая [a, b] имеет непрерывную производную y = f (x ) на отрезке y′ = f ′(x ) (такая кривая называется гладкой), то длина дуги этой кривой b находится по формуле L = ∫ 1 + ( y′)2 dx . a б) Если кривая задана параметрически  x = x(t ),   y = y (t ), t ∈ [α , β ], где x(t ) и y (t ) – непрерывно дифференцируемые функции, то длина дуги этой β кривой вычисляется по формуле L = ∫ (xt′ )2 + ( yt′ )2 dt . α в) Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением ρ = ρ (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β , то длина дуги вычисляется по формуле β L = ∫ ρ 2 + (ρ ′) dϕ . 2 α 3. Вычисление объёма тела Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений Если площадь сечения тела, перпендикулярного оси OX и отстоящего от начала координат на расстоянии X , равна S (x ) , a ≤ x ≤ b , то объём тела b V = ∫ S ( x )dx . a Вычисление объема тела вращения а) Объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОХ, ограниченной линиями y = f (x ) , x = a , x = b , y = 0 b V = π ∫ y 2 dx . a б) Объём тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси ОY, ограниченной линиями x = ϕ ( y ) , y = c , y = d , x = 0 d V = π ∫ x 2 dy . c 4. Вычисление площади поверхности вращения а) пусть f (x ) и f ′(x ) непрерывны на [a, b] , кривая AB является графиком функции y = f (x ) ≥ 0 . Тогда площадь поверхности, образованной вращением кривой AB , вокруг оси OX , вычисляется по формуле b Sвр = 2π ∫ f (x ) 1 + ( f ′(x )) dx . 2 a б) если кривая AB задана параметрически  x = x(t ),   y = y (t ), α ≤ t ≤ β , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле β 2 2 Sвр = 2π ∫ y (t ) (xt′ ) + ( yt′ ) dt . α в) если кривая AB задана уравнением в полярной системе координат ρ = ρ (ϕ ), α ≤ ϕ ≤ β , То площадь поверхности вращения вычисляется по формуле b Sвр = 2π ∫ ρ (ϕ )sin ϕ ρ 2 (ϕ ) + (ρ ′(ϕ )) dϕ 2 a