Аналитическая геометрия на плоскости

Тема 1 Аналитическая геометрия на плоскости 1.1 Метод координат. Понятие об уравнениях линий на плоскости. 1.2 Различные виды уравнений прямой на плоскости. 1.3 Угол между прямыми. 1.4 Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 1.5 Простейшие задачи аналитической геометрии. 1.6 Общее уравнение кривой второго порядка. 1.7 Окружность. Каноническое уравнение окружности. Особенности общего уравнения, описывающего окружность. 1.8 Эллипс, вывод его канонического уравнения. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению. 1.9 Гипербола. Построение гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы. 1.10 Парабола. Различные виды парабол. 1.1 Метод координат. Понятие об уравнениях линий на плоскости Предметом аналитической геометрии служит изучение свойств геометрических образов (линий, фигур, тел, поверхностей и т.д.) с помощью особого метода, называемого методом координат. Пусть дано уравнение F(х, у)=0. Решением этого уравнения является пара чисел, которые при подстановке в это уравнение обращают его в тождество. Введем прямоугольную систему координат, в которой каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой паре чисел соответствует определенная точка плоскости. Если рассматривать множество пар действительных чисел х, у, удовлетворяющих этому уравнению как множество точек на плоскости, то они будут представлять собой график данного уравнения, который есть некоторая линия l. F(х, у) = 0  l Такое соответствие позволяет свести изучение геометрических свойств линий к исследованию аналитических свойств соответствующих уравнений. Таким образом, линию на плоскости будем рассматривать как геометрическое место точек, обладающих некоторыми свойствами общими для всех точек данной линии. Произвольную точку линии будем обозначать и называть текущей точкой данной линии, а ее координаты – текущими координатами. Определение. Уравнением линии на плоскости в выбранной системе координат называется уравнение , которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии и только они. Всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение, но не всякому уравнению соответствует некоторый геометрический образ. 1.2 Различные виды уравнений прямой на плоскости Общее уравнение прямой Общим уравнением прямой называется уравнение вида: Ах + Ву + С = 0, (1.1) где х, у – текущие координаты, а А, В и С – числа (const). Справедлива следующая теорема, которую приведем без доказательства. Теорема. Каждое уравнение первой степени относительно переменных х и у в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости определяет некоторую прямую и, наоборот, каждой прямой на плоскости соответствует уравнение первой степени: l – прямая  Ах + Ву + С = 0. Исследование общего уравнения прямой Ах + Ву + С = 0. Частные случаи 1. C = 0  Ах + Ву = 0 – прямая l проходит через начало координат (рисунок 1), т.к. при х=0 и у=0. 2.В = 0 Ах + С = 0  х = – С/А – прямая l параллельна оси Оу (рисунок 2). Рисунок 1 Рисунок 2 Рисунок 3 3.А =0 Ву + С = 0  у= – С/В – прямая l параллельна оси Ох (рисунок 3). 4. А=С=0  Ву=0  у=0 – ось Ох. 5. В=С=0  Ах=0  х=0 – ось Оу. Уравнение прямой с угловым коэффициентом Положение прямой l на плоскости вполне определяется заданием ординаты точки пересечения прямой с осью Оу – b и углом  между этой прямой и положительным направлением оси Ох. Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у) Рисунок 4 (рисунок 4). Проведем через точку В ось Вх', параллельную оси Ох и одинаково с ней направленную. Угол между осью Вх' и прямой равен α. В системе Вх'у точка М имеет координаты х и у – b. Из прямоугольного треугольника ВКМ и определения тангенса угла следует равенство , т.е. у = tgα · х + b. Введем обозначение tg=k, получаем уравнение: y = kx + b. (1.2) Его называют уравнением прямой с угловым коэффициентом, где х, у – текущие координаты; b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Оу, считая от начала координат (начальная ордината); k – угловой коэффициент. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении Положение прямой на плоскости вполне определяется заданием точки М0(х0; у0) и угла её наклона к положительному направлению оси Ох (рисунок 5). уравнение l ? Запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом y = kx + b. Точка М0(х0; у0) принадлежит прямой, поэтому ее координаты удовлетворяют данному уравнению: у0 = kx0 + b, откуда b = y0 – kx0 подставим b в уравнение с угловым коэффициентом: y = kx + y0 – kx0, или Рисунок 5 y - y0 = k(x - x0) (1.3) –уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Если в этом уравнении координаты точки М0(х0; у0) остаются неизменными, а угловой коэффициент k меняется произвольным образом, то через точку М0 пройдет множество прямых, которые называют пучком прямых, а точку М0 – центром пучка. Поэтому часто полученное уравнение называют уравнением пучка прямых. Пример 1.1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(3, –2) и составляющую с положительным направлением оси Ох угол  = 1350. Решение. Так как искомая прямая составляет с осью Ох угол  = 1350, то ее угловой коэффициент будет равен k == tg1350 = tg(900+450) = –сtg450= –1 (использовали формулы приведения). Подставим в формулу (1.3) координаты точки А и значение углового коэффициента, получим: y + 2 = –1(x – 3), y + 2 = –x + 3, x + y + 2 – 3 = 0, x + y – 1 = 0 – уравнение искомой прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Положение прямой на плоскости однозначно определяется заданием двух точек М1(х1; у1) и М2(х2; у2), принадлежащих этой прямой (рисунок 6). уравнение l? Запишем для прямой l уравнение пучка прямых: y - y0 = k(x - x0). Так как искомая прямая l проходит через точку М1(х1; у1), то ее координаты удовлетворяют этому уравнению: y – y1 = k(x – x1). Для определения неизвестного углового Рисунок 6 коэффициента, примем во внимание, что искомая прямая проходит и через точку М2(х2; у2), так что координаты последней тоже удовлетворяют уравнению: y2 – y1 = k(x2 – x1). Отсюда выразим k: . Подставим это значение k в уравнение (1.3): y – y1 = (x – x1). Разделив обе части уравнения на (y2 – y1), получим (1.4) – уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пример 1.2. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А(–3, 2), В(4, 5). Решение. Подставим в уравнение (1.4) вместо х1 и у1 координаты точки А, а вместо х2 и у2 – координаты точки В: , , , , – уравнение прямой АВ. 1.3 Угол между прямыми Пусть даны две пересекающиеся прямые l1 и l2, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами (рисунок 7). Необходимо определить угол φ между двумя прямыми l1 и l2. Из уравнений прямых известны их угловые коэффициенты k1 = tg 1, k2 = tg 2. Из рисунка 7 видно, что φ = α2 – α1 . Тогда, с учетом формулы тангенса разности двух углов, имеем: . Заменив тангенсы на соответствующие угловые коэффициенты (tg 1=k1, tg 2 = k2) получим: Рисунок 7 (1.5) – формула для нахождения угла между двумя прямыми. 1.4 Условия параллельности и перпендикулярности прямых Условие параллельности прямых Пусть даны две параллельные прямые l1: у = k1 x + b1; l2 : у = k2 x + b2 (рисунок 8). Если l1  l2 1 =2tg1=tg2 k1=k2. Следовательно, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов, т.е. если l1  l2 , то k1=k2. (1.6) Рисунок 8 Условие перпендикулярности прямых Пусть l1  l2 (рисунок 9). Воспользоваться формулой нельзя, т.к. не существует, но для такого угла существует котангенс , т.к. Рисунок 9 , то ; 1 + k1 k2 = 0  , следовательно, угловой коэффициент одной из перпендикулярных прямых обратен по величине и противоположен по знаку угловому коэффициенту другой прямой, т.е. если l1  l2, то . (1.7) Пример 1.3. Составить уравнение прямой l2, проходящей через точку Р(4, –3) параллельно прямой l1, заданной уравнением 2х + 3у – 5 = 0. Решение. Если прямая l2 параллельна прямой l1, то их угловые коэффициенты равны, т.е. k1=k2. Найдем k1 из уравнения прямой l1: 2х + 3у – 5 = 0, 3у = – 2х +5, . Тогда k1= и k2=. Подставим в уравнение (1.3) k2 и координаты точки Р: y + 3 = (x – 4), y + 3 = x + , умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей: 3y + 9 = –2x + 8, 2x +3y + 1 = 0 – уравнение искомой прямой l2. 1.5 Простейшие задачи аналитической геометрии Нахождение расстояния между двумя точками Даны две точки на плоскости А(х1, у1) и В(х2, у2). Найти расстояние между ними AB = d (рисунок 10). Опустим перпендикуляры из точек А и В на оси координат. Рассмотрим теперь получившийся прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора АВ2 = АС2 + СВ2. Т.к. АС = х2 – х1, а СВ = у2 – у1, то , тогда (1.8) – формула для нахождения расстояния между Рисунок 10 двумя точками. Деление отрезка в данном отношении Пусть дан отрезок АВ координатами начала и конца: А(х1, у1) и В(х2, у2). Известно, что точка С делит отрезок АВ в отношении , т.е. . Требуется найти координаты точки С. Обозначим неизвестные координаты точки С(х, у). Опустим на ось Ох перпендикуляры из точек А, С и В, получим при этом точки А1, С1 и В1 соответственно (рисунок 11). По теореме о параллельных прямых, пересекающих стороны некоторого угла α, эти прямые отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки, т.е. если , тогда и . Длины этих отрезков: А1С1 = х – х1 и С1В1 = х2 – х. Значит . Отсюда х – х1 = ·( х2 – х), х – х1 = · х2 – · х, х + · х = х1 + · х2, Рисунок 11 х(1 + ) = х1 + · х2, . Если опустить перпендикуляры на ось Оу, то получим аналогичное выражение для у: . Данные формулы и (1.9) называют формулами деления отрезка в данном отношении. Следствие. Если точка С – середина отрезка АВ, то АС = СВ и , следовательно, и (1.10) – формулы для нахождения координат середины отрезка. 1.6 Общее уравнение кривой второго порядка Ах+Ву+С=0 – общее уравнение прямой, т.е. линии первого порядка. Уравнение второй степени относительно переменных х и у следующего вида: Ах2 + Ву2 + Сху + D x + Еy + F= 0 (1.11) – общее уравнение кривой 2-го порядка, где A, B, C, D, E, F – действительные числа, причем по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Запишем определение. Определение. Линией (кривой) 2-го порядка называется геометрическое место точек плоскости, определяемое уравнением второй степени относительно текущих координат х и у. К кривым 2-го порядка относятся: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые играют большую роль в прикладных вопросах. Например, планеты солнечной системы в соответствии с первым законом Кеплера движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам; кометы, зашедшие в солнечную систему, могут двигаться вокруг Солнца либо по эллипсам, либо по параболам, либо по гиперболам в зависимости от значения скорости кометы. Кривые второго порядка начнем изучать с простейшей из них – окружности. 1.7 Окружность. Каноническое уравнение окружности. Особенности общего уравнения, описывающего окружность Определение. Множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром, называется окружностью. Пусть дана окружность радиуса R с центром в точке М0(х0; у0) (рисунок 12). Требуется составить ее уравнение. Возьмем произвольную точку М(х; у), лежащую на окружности и соединим ее с точкой М0 отрезком. Найдем длину этого отрезка по формуле (1.8), . Возводя обе части равенства в квадрат получим: (1.12) – каноническое уравнение окружности. Рисунок 12 Если центр окружности М0 расположен в начале координат, то х0 = у0= 0 и (1.13) – уравнение окружности с центром в начале координат. Посмотрим, как выглядит общее уравнение, описывающее окружность. Для этого в каноническом уравнении окружности (1.12) раскроем скобки: ; . Обозначим: –2х0 = D, –2y0 = E, , тогда получим + D x + Еy + F= 0. (1.14) Сравнивая это уравнение с уравнением (1.11), видим, что общее уравнение кривой 2-го порядка представляет собой окружность, если выполняются следующие условия: 1) А = В ≠ 0; 2) отсутствует член, содержащий произведение х · у, т.е. коэффициент С = 0. Пример 1.4. Построить кривую, заданную уравнением – 4 x + 6y – 12= 0. Решение. Данное уравнение описывает окружность, т.к. выполняются условия 1 и 2. Для того чтобы построить эту окружность, необходимо найти координаты ее центра и радиус, а для этого нужно общее уравнение привести к каноническому виду (1.12). Сгруппируем слагаемые, содержащие переменную х в одни скобки, а слагаемые, содержащие переменную у – в другие: (– 4 x) + (+ 6y) – 12= 0. Дополним каждую из скобок до «полного квадрата» и свернем их по формулам квадрата суммы или квадрата разности (и ): (–2·2· x+4)–4+(+2·3·y +9)–9–12=0, обратите внимание, что, дополнив первую скобку числом 4 (квадрат второго числа, т.е. ), мы за скобками отняли то же число; аналогично поступили и со второй скобкой. Свернув скобки, сложив свободные члены и перенеся их в правую часть, окончательно получим: ( x – 2)2 + (y + 3)2 = 25. Получили каноническое уравнение окружности с центром в точке М0(2; –3) и радиусом R =5. Построим эту окружность (рисунок 13). Рисунок 13 1.8 Эллипс, вывод его канонического уравнения. Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению Важнейшей после окружности кривой является эллипс. Его геометрическое определение можно дать в следующей форме. Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а. Из рисунка 14 видно, как получается подобная кривая: нить длиною 2а прикрепляется концами в точках F1 и F2, которые являются фокусами эллипса, и натягивается с помощью карандаша; острие карандаша (точка М – текущая точка) будет чертить эллипс, потому что сумма расстояний от точки М до точек F1 и F2, очевидно, всегда будет равна нити, т.е. 2а. Это геометрическое свойство эллипса было известно с древности и всегда находило практическое применение. Например, используя тот же Рисунок 14 прием, с помощью которого мы начертили эллипс на бумаге, можно разбить цветочную клумбу овальной формы, задав только расстояние между фокусами и длину нити 2а. Вывод канонического уравнения эллипса Введем декартову систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а ось Оу, перпендикулярная к Ох, делила отрезок F1F2 пополам (рисунок 15). Пусть М(х, у) – произвольная точка, принадлежащая эллипсу. По определению эллипса MF1 + MF2 = 2a. Найдем длины отрезков MF1 и MF2: Рисунок 15 , , тогда по определению . Решаем получившееся иррациональное уравнение, для этого уединяем один из корней . Возводим обе части уравнения в квадрат , , приводим подобные слагаемые , сокращаем на 4 . Снова возводим обе части уравнения в квадрат , , . Так как сумма двух сторон треугольника больше третьей стороны, то 2a > 2c  a > c и > 0. Обозначим , тогда последнее уравнение примет вид: , (1.15) – каноническое уравнение эллипса, где . Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению 1. Так как координаты точки О(0; 0) не удовлетворяют уравнению эллипса: , 0  1  то О(0; 0) не принадлежит эллипсу, т.е. эллипс не проходит через начало координат. 2. Найдем точки пересечения эллипса с осями координат: с осью Ох: Следовательно, эллипс пересекает ось Ох в точках А1(а; 0), А2(а; 0), которые называют вершинами эллипса. С осью Оу: Значит В1(0; b), B2(0; b) – вершины эллипса на оси Оу. Таким образом, эллипс имеет четыре вершины: А1(а; 0), А2(а; 0) , В1(0; b), B2(0; b). 3. Определим симметрию эллипса. Так как каноническое уравнение содержит x и у в четных степенях, то эллипс симметричен относительно координатных осей, а, следовательно, эллипс симметричен относительно начала координат. Поэтому форму эллипса можно исследовать только в I четверти, а в остальных четвертях достроить её по принципу симметрии. Выразим из канонического уравнения величину у как функцию от х: ; ; (у > 0 в I четверти). Отсюда следует, что у существует, если а2 – х2  0 или х  а. С учетом х  0 (I четверть), данное неравенство запишем в виде: 0  х  а. Аналогично выразим х как функцию от у: (х > 0 в I четверти). Из этого уравнения следует, что х существует, если b2 – y2 ≥ 0 или 0 ≤ у ≤ b (I четверть). При увеличении х значения у убывают и наоборот. Построим эллипс в I четверти и достроим его по принципу симметрии в остальных четвертях. Точки эллипса расположены в промежутке между вершинами эллипса. Следовательно, эллипс представляет собой овальную замкнутую кривую (рисунок 16). Отрезок А1А2 = 2а называют большой осью, а отрезок В1В2 = 2b – малой осью эллипса; F1F2 = 2c – фокусным расстоянием. Рисунок 16 Определение. Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси: , (1.16) причем 0 < ε < 1, так как 0 < с < а. С учетом зависимости между параметрами эллипса, формулу (5.6) можно переписать в виде: ; или . Эксцентриситет характеризует форму эллипса следующим образом: чем меньше эксцентриситет, тем больше отношение его полуосей приближается к единице; если положить ε = 0, то а = b и эллипс превращается в окружность. И наоборот, чем больше ε стремится к 1, тем меньше отношение полуосей, т.е. стремится к нулю и эллипс более вытянут по оси Ох. Пример 1.5. Написать каноническое уравнение эллипса, если его большая ось 2а = 10, а эксцентриситет ε = 0,6. Решение. Так как, согласно формуле (1.16) , то , если 2а = 10, тогда а = 10 : 2 = 5 и с = 0,6 · 5 = 3. Мы знаем, что , у нас а=5, с=3, значит , отсюда . Подставляя а и b в уравнение (1.15) , получим – каноническое уравнение искомого эллипса. Пример 1.6. Построить кривую, заданную уравнением . Решение. Данное уравнение второго порядка является уравнением эллипса, т.к. коэффициенты перед и одного знака, но разные по величине. Кроме того, если сравнивать это уравнение с общим уравнением кривой 2-го порядка (1.11), видим, что в нем отсутствуют слагаемые, содержащие х, у, х·у, т.е. коэффициенты С = D = E= 0. Чтобы построить эллипс, нужно найти все его параметры, а для этого необходимо преобразовать общее уравнение эллипса в каноническое. Для этого 225 перенесем в правую часть и затем обе части уравнения разделим на это число: , , после сокращения, получим: – каноническое уравнение данного эллипса. Сравнивая его с уравнением (1.15), видим, что , , значит а = 5 и b = 3 – большая и малая полуоси эллипса. Откладываем их на осях координат (рисунок 17). Зная а и b, найдем вершины эллипса: А1(–5, 0), А2(5, 0) и В1(0, 3), В2(0, –3). Чтобы найти фокусы, найдем полуфокусное расстояние с, из формулы получим, что , тогда , значит .Тогда фокусы эллипса будут в точках F1(–4, 0) и F2(4, 0). Эксцентриситет эллипса Рисунок 17 определяется формулой (1.16) и равен . Построим данный эллипс, аккуратно соединив плавной симметричной кривой вершины эллипса (рисунок 17). 1.9 Гипербола. Построение гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы Рассмотрим теперь другую кривую, называемую гиперболой, которая по виду сильно отличается от эллипса, но, как увидим, имеет с ним некоторые важные общие свойства. Эта кривая уже встречалась нам как график обратно пропорциональной зависимости вида , где с – const. Теперь мы подойдем к ней с иной точки зрения, исходя из следующего геометрического определения. Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная 2а. Для вывода уравнения гиперболы введем декартову систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а ось Оу, перпендикулярная к Ох, делила отрезок F1F2 пополам (рисунок 19). Обозначив F1F2 = 2c получаем, что F1(–c; 0), F2(c; 0). Пусть М(х, у) – текущая точка гиперболы. По определению Рисунок 19 гиперболы МF1 – МF2 = 2а. Найдя длины этих отрезков и проведя преобразования, аналогичные тем, что мы проводили при выводе уравнения эллипса, получим каноническое уравнение гиперболы (сделайте это самостоятельно с использованием литературы [3]) , (1.17) где ; х, у – текущие координаты; а, b – полуоси гиперболы. Видим, что каноническое уравнение гиперболы очень похоже на каноническое уравнение эллипса, отличает их только знак «–». Можно провести аналогичное исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Это исследование покажет, что гипербола пересекает ось Ох в точках А1(-а; 0), А2(а; 0), которые называют вершинами гиперболы. Точек пересечения с осью Оу нет. Рисунок 20 Гипербола симметрична относительно координатных осей, а, следовательно, она симметрична относительно начала координат. В промежутке между вершинами гиперболы точек гиперболы нет. Следовательно, она состоит из двух частей, расположенных справа от прямой х = а и слева от прямой х = - а, которые называются ее ветвями (Рисунок 20). Отрезок А1А2 = 2а называют действительной осью, отрезок В1В2 = 2b – мнимой осью гиперболы, а отрезок F1F2 = 2c – фокусным расстоянием. Асимптоты гиперболы Определение. Асимптотой кривой у= f(x) называется прямая, расстояние до которой от любой точки М, лежащей на кривой, стремится к нулю по мере удаления этой точки по кривой от начала координат: (рисунок 21). Можно показать, что асимптотами гиперболы Рисунок 21 служат прямые, имеющие уравнения . (1.18) Построение асимптот гиперболы значительно упрощает построение ветвей самой гиперболы. Для этого построим основной прямоугольник гиперболы, проходящий через точки А1(-а; 0), А2(а; 0) и В1(0; b), B2(0; b). Затем проведем его диагонали – это и есть асимптоты гиперболы (рисунок 22). Рисунок 22 Кроме того, оценить форму гиперболы можно по ее эксцентриситету. Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к действительной оси . (1.19) Эксцентриситет характеризует форму гиперболы: чем меньше ε, тем больше её основной прямоугольник вытянут по оси Ох. Пример 1.7. Гипербола, симметричная относительно осей координат, проходит через точку М(6, ) и имеет мнимую полуось b = 2. Написать уравнение этой гиперболы. Решение. Так как гипербола проходит через точку М(6, ), то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. если подставить их в уравнение (1.17) получим тождество. В это же уравнение подставим вместо b число 2 и получим: . Найдем отсюда а: , , , . Зная а и b, подставим их в уравнение (1.17): – получили каноническое уравнение искомой гиперболы. Пример 1.8. Построить кривую, заданную уравнением . Решение. Видим, что данное уравнение 2-го порядка очень похоже на общее уравнение эллипса, только, если у эллипса коэффициенты перед и были одного знака, то в данном уравнении они с разными знаками. Этот признак говорит нам о том, что перед нами общее уравнение гиперболы. Чтобы построить гиперболу необходимо найти все ее параметры, а для этого преобразуем общее уравнение в канонический вид (1.17): , , , . Сравнивая это уравнение с уравнением (1.17) , видим, что , , тогда а = 4 и b = 2 – действительная и мнимая полуоси гиперболы. Откладываем полуоси на осях координат (рисунок 23). Вершины гиперболы будут в точках А1(-4; 0), А2(4; 0). Чтобы найти фокусы, найдем полуфокусное расстояние с, из формулы получим, что , тогда , значит . Тогда фокусы гиперболы будут в точках F1(–, 0) и F2(, 0). Асимптоты гиперболы, как известно, имеют уравнения , т.е. . Для построения Рисунок 23 асимптот построим основной прямоугольник гиперболы, проходящий через точки А1(-4; 0), А2(4; 0) и точки с координатами (0, 2) и (0, –2), а затем проведем диагонали этого прямоугольника (см. рисунок 23). Эксцентриситет гиперболы определяется формулой (1.19) и равен . Построим ветви гиперболы, которые пересекают ось Ох в точках А1(-4; 0) и А2(4; 0) и бесконечно приближаются к своим асимптотам (рисунок 23). 1.10 Парабола. Различные виды парабол Эта кривая нам знакома, как график трехчлена второй степени: у = ах2 + bх + с или х = ау2 + bу + с, где а ≠ 0, b и с – любые действительные числа. Вы рассматривали такие параболы в рамках школьного курса математики (повторите этот материал самостоятельно). Теперь же мы займемся геометрическим определением параболы. Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой. Вывод канонического уравнения параболы Введем декартову систему координат следующим образом: ось Ох будет проходить через фокус и перпендикулярно к директрисе, а ось Оу проведем посередине между фокусом и директрисой и перпендикулярно к Ох (рисунок 25). Расстояние от фокуса до директрисы Рисунок 25 обозначим через р и назовем это число параметром параболы. Тогда фокус параболы F имеет координаты , уравнение директрисы . По определению параболы МК = МF, где М(х; у) – текущая точка параболы; – точка, лежащая на директрисе. Найдем длины отрезков МК и МF: . Тогда, по определению параболы МК = МF, и мы получаем: . Возведем обе части уравнения в квадрат: . Приведя подобные слагаемые, получим: (1.20) – каноническое уравнение параболы, где р – параметр параболы. Парабола, заданная уравнением изображена на рисунке 26. – ее фокус; – директриса этой параболы. Различные виды парабол Уравнение также определяет параболу, изображенную на рисунке 27, ее ветви направлены влево, фокус , – директриса. Рисунок 26 Рисунок 27 Если осью симметрии параболы является ось ординат, то уравнения таких парабол будут иметь следующие виды (рисунки 28, 29): Рисунок 28 Рисунок 29 Пример 1.9. Построить кривую, заданную уравнением . Решение. Данное уравнение 2-го порядка описывает параболу, т.к. в нем одна переменная в квадрате, а другая в первой степени (вспомните, что в уравнения других кривых, рассмотренных нами, обе переменные входили во второй степени). Выразив из уравнения , получим каноническое уравнение данной параболы: . Сравнивая его с уравнением вида , замечаем, что в нашем случае , значит – параметр параболы. Ветви параболы направлены вправо, ось симметрии – ось Ох. Теперь можно найти координаты фокуса и уравнение директрисы. Т.к. , то – фокус Рисунок 30 нашей параболы, а, если , то – директриса этой параболы. Найдем дополнительные точки для построения ветвей параболы. Пусть х = 4, тогда ветви данной параболы пройдут через точки с координатами (4,–4) и (4, 4). По этим данным построим параболу на рисунке 30.