Аналитическая геометрия и линейная алгебра

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московский технический университет связи и информатики А.В. Куприн, С.М. Фроловичев КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие Москва 2016 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования Московский технический университет связи и информатики А.В. Куприн, С.М. Фроловичев «Рекомендовано УМО по образованию в области Инфокоммуникационных технологий и систем связи в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 11.03.02 – Инфокоммуникационные технологии и системы связи (уровень высшего образования – бакалавриат». Протокол № 84 от 28.05.2015 г. КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие для направления 11.03.02 Москва 2016 УДК 51 (075.8) Куприн А.В., Фроловичев С.М. Курс лекций по аналитической геометрии и линейной алгебре: Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2016. – 88 с. Учебное пособие предназначено для студентов первого семестра технических высших учебных заведений, обучающихся по программам бакалавров направления подготовки 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы связи». Ил. 33, список лит. 7 назв. Рецензенты: М.В.Карасев, д. ф.-м. н., профессор (ВШЭ МИЭМ) А.Г.Кюркчан, д. ф.-м. н., профессор (МТУСИ) Л.М.Баскин, д.ф.-м.н., профессор (С.-ПбУ информационных технологий) © Московский технический университет связи и информатики, 2016 г. СОДЕРЖАНИЕ Введение…………..…………………………………………………………….. 6 Раздел I. Матрицы и определители Лекция 1. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Миноры, алгебраические дополнения. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Определитель n -го порядка и его вычисление………. 7 Лекция 2. Матрицы, равенство матриц, действия над матрицами, транспонирование матриц, обратная матрица……………………………………… 11 Раздел II. Системы линейных уравнений Лекция 3. Системы линейных уравнений. Совместность и несовместность, определенность. Эквивалентность систем. Матричная форма записи систем. Система n уравнений с n неизвестными. Решение при помощи обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Элементарные преобразования матриц………………………………………………………………………. 15 Лекция 4. Ранг матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях. Ступенчатые матрицы и их ранг. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности системы. Однородные системы линейных уравнений…………………………………………….…………………………………. 19 Лекция 5. Фундаментальная система решений однородной системы уравнений. Общее решение неоднородной системы……………………….. 24 Раздел III. Векторная алгебра Лекция 6. Геометрические векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейная зависимость векторов. Коллинеарные и компланарные векторы.………………………………….………………………………… 27 Лекция 7. Базис на плоскости и в пространстве. Координаты вектора. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точки. Деление отрезка в заданном отношении. Преобразование координат при параллельном переносе и повороте системы…………………………………………….. 32 3 Лекция 8. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов и их вычисление в декартовых координатах…………………………………….36 Раздел IV. Уравнения первого порядка и их геометрические образы Лекция 9. Уравнение линии на плоскости. Прямая линия на плоскости. Уравнение поверхности. Уравнение плоскости в пространстве. Пучок плоскостей…………………………………………………………………………… 40 Лекция 10. Уравнения линии в пространстве. Различные виды уравнений прямой линии в пространстве. Взаимное расположение двух прямых, прямой и плоскости в пространстве………………………………………… 44 Раздел V. Уравнения второго порядка и их геометрические образы Лекция 11. Кривые второго порядка. Эллипс. Гипербола. Парабола. Общее определение кривых второго порядка…………………………………… 49 Лекция 12. Поверхности второго порядка. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Цилиндрические и конические поверхности. Вырожденные случаи.……………………….............................................................................. 54 Раздел VI. Линейные пространства Лекция 13. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость векторов линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства. Координаты векторов в базисе. Преобразование координат вектора при изменении базиса……………………………………………………….. 58 Лекция 14. Скалярное произведение в линейном пространстве. Евклидово пространство. Норма вектора, свойства нормы, угол между двумя векторами евклидова пространства. Ортогональные векторы. Процесс ортогонализации…………………………………………………………………….......... 62 Лекция 15. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису……………..……………………………………………………………......... 67 Лекция 16. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора и их вычисление. Линейная независимость собственных векторов с различными собственными значениями……..……………………………. 70 4 Лекция 17. Оператор простой структуры. Матрица оператора в базисе из собственных векторов. Самосопряженные операторы. Собственные значения и собственные векторы самосопряженного оператора………………………. 75 Лекция 18. Билинейные и квадратичные формы………………………. 77 Список литературы……………………………………………………... 84 Предметный указатель…………………………………………………. 85 5 Введение Курс аналитической геометрии и линейной алгебры является важной частью математической подготовки бакалавров телекоммуникаций. Действующими программами предусмотрено значительное сокращение лекционных часов по этому предмету, вследствие чего изложить весь необходимый материал в аудитории не представляется возможным. Поэтому возникла потребность в учебном пособии, призванном помочь студентам самостоятельно изучить темы, не включенные в аудиторный лекционный курс. Основой настоящего пособия стал электронный учебник, в работе над которым, помимо авторов этой книги, принимал участие доцент О.М. Смелянский. Кроме того, отдельным разделам аналитической геометрии и линейной алгебры были посвящены пособия и методические указания [1] – [4], ранее изданные в МТУСИ. Материал разбит на 18 лекций — по количеству учебных недель в первом семестре. Последовательность изложения соответствует рабочим программам и позволяет студентам подготовиться к текущим практическим занятиям, промежуточным аттестациям, проводимым в форме тестирования и контрольных работ, а также к экзамену. Издание снабжено предметным указателем. В тексте используются символы алгебры логики, значение которых известно студентам первого курса. В качестве дополнительной литературы авторы рекомендуют учебники [5] – [7], где можно найти, в частности, доказательства некоторых теорем, не приведенные в настоящем пособии. 6 Раздел I. Матрицы и определители Лекция 1 Определители второго порядка. Пусть дана таблица чисел (матрица) a b размером 2 × 2 : A =   . Ее определителем (или детерминантом) наc d   зывается число det = A Например: a b = ad − bc . c d (1.1) 1 2 =1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 =−2 . Диагональ, соединяющая левый верх3 4 ний и правый нижний углы квадратной матрицы, называется ее главной диагональю. В случае определителя второго порядка, главная диагональ – это (a, d ) . Свойства определителей. 1) Если матрицу транспонировать, т.е. строки заменить соответствующими столбцами, то величина определителя не изменится: a b a c = = ad − bc . В силу этого свойства строки и столбцы равноправc d b d ны. Любое из дальнейших свойств достаточно проверить только для строк. 2) Перестановка двух строк (столбцов) равносильна умножению определителя на −1 : c d a b . =− bc ad = − a b c d 3) Если у матрицы A две одинаковые строки (столбца), то det A = 0 . Это вытекает из свойства 2), т.к. перестановка двух равных строк, с одной стороны, не изменяет определителя, с другой стороны, меняет его знак, т.е. det A = − det A . Из последнего равенства заключаем, что det A = 0 . 7 4) Общий множитель всех элементов одной строки (столбца) можно вынести за знак определителя: ka kb a b . = kad − kbc = k ( ad − bc ) = k c d c d 5) Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то сам определитель тоже равен нулю. Это свойство является следствием свойства 4) при k = 0 . 6) Если соответствующие элементы двух строк (столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю. Это свойство является следствием свойств 3) и 4). Действительно, после вынесения за знак определителя коэффициента пропорциональности мы получим определитель с одинаковыми строками. 7) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых в указанной строке (столбце) расположены первые слагаемые, во втором - вторые слагаемые, а остальные строки (столбцы) этих определителей совпадают с соответствующими строками (столбцами) исходного определителя: a1 + a2 b1 + b2 a1 b1 a2 b2 . ) = ( a1 + a2 )d − (b1 + b2 )c = ( a1d − b 1 c ) + ( a2d + b2c= + c d c d c d 8) Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число, то определитель не изменится: a + kc b + kd a b kc kd a b . Здесь учтены свойства 6) и 7). = + = c d c d c d c d 9) Если под или над главной диагональю определителя все элементы равны нулю, то определитель равен произведению элементов, расположенных на a 0 a b главной диагонали: = = ad . c d 0 d 8 Определители третьего порядка.  a11 a12 Рассмотрим теперь матрицу размера 3 × 3 : A =  a21 a22  a  31 a32 a13  a23  . Ее опре a33  делителем называется число a11 a12 a13 det A = a21 a22 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12a21a33 − a13a22 a31 . a31 a32 a33 Принята следующая нумерация элементов матрицы: первый индекс указывает на номер строки, второй — на номер столбца, на пересечении которых расположен данный элемент. В каждом из шести произведений присутствует только один элемент любого столбца и один элемент любой строки. Чтобы запомнить, какие произведения входят с плюсом, а какие — со знаком минус, удобно иметь в виду правило, изображенное на рис. 1.1. 1 2 3 Пример. 4 5 6 = 45 + 84 + 96 − 48 − 72 − 105 = 0 . 7 8 9 Разложение определителя по элементам строки (столбца). Представим определитель третьего порядка в следующем виде: det A = a11a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21a32 − a11a23 a32 − a12 a21a33 − a13 a22 a31 = = a31 ( a12 a23 − a13a22 ) − a32 ( a12 a23 − a13a21 ) + a33 ( a11a22 − a12 a21= ) = a31 a12 a13 a a a a − a32 11 13 + a33 11 12 . Назовем минором элемента aij опреa22 a23 a21 a23 a21 a22 делитель второго порядка Mij, который остается после вычеркивания строки 9 и столбца, на пересечении которых стоит элемент aij. Например, a a M 23 = 11 12 . a31 a32 Тогда a11 a12 det A = a21 a22 a31 a32 a13 a23 = a31M 31 − a32 M 32 + a33 M 33 . a33 Алгебраическим дополнением элемента aij называется число Aij = ( −1)i + j M ij , т.е. Aij = M ij , если i + j четно, и Aij = − M ij , если i + j нечетно. Следовательно, det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 . Такое разложение определителя третьего поряд- ка справедливо применительно к элементам любой строки (столбца). Итак, det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 (или   det A = a1i A1i + a2i A2i + a3i A3i ), i =1,2,3. (1.2) Пример. Вычислим определитель по второй строке: 1 2 3 1 3 1 2 0 2 3 =2 −3 =2 ⋅ ( −2) − 3 ⋅ ( −1) =−1 . 2 4 2 3 2 3 4 Формула (1.2) позволяет перенести все свойства определителей второго порядка на определители третьего порядка. Понятие определителя любого порядка. Формулу разложения (1.2) определителя по элементам строки (столбца) можно принять за правило, по которому вычисляются определители порядка n > 3 . Например, для n = 4 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a41 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 + ai 4 Ai 4 , i = 1,2,3,4 . a34 a44 (1.3) Аналогично вводится определитель произвольного n –го порядка. Он сводится к определителям ( n − 1) –го порядка: a11 a12 a21 a22   a n1 a n 2  a1n  a2 n = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +  + ain Ain , = i 1,..., n .    ann 10 (1.4) Здесь алгебраические дополнения Aij = ( −1)i + j M ij , а минор Mij – это определитель, который остается после вычеркивания i-й строки и j-го столбца, т.е. определитель ( n − 1) –го порядка. Формула (1.4) называется разложением определителя по i –й строке. Можно показать, что при разложении по любой строке (столбцу) величина определителя не изменится. Пользуясь методом математической индукции, можно доказать, что свойства определителей 1) - 9) имеют место для определителей любого порядка. Согласно свойствам определителя имеем, что ai1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 +  + ain Akn = 0, если k ≠ i, (1.5) 0, если k ≠ i . a1i A1k + a2i A2 k +  + ani Ank = (1.6) Для вычисления определителя n –гo порядка можно преобразовать его, пользуясь свойством 8), к виду, описанному в свойстве 9) (т.е. всюду под или над главной диагональю получить нули). Пример. 1 2 2 2 2 −1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ( −1) ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ 3 −12 . 2= 2 3 2 2 0= 0 1 0 0 0= 0 1 0 0 = 2 2 2 4 2 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 2 2 2 2 5 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 Здесь мы вначале умножили вторую строку на (-1) и прибавили к остальным строкам. Определитель не изменился. Затем умножили первую строку на 2 и прибавили ко второй строке. Лекция 2 Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица чисел  a11 a12 a a22 A =  21      a m1 a m 2  a1n   a2 n   , где m — количество строк, n — число столбцов.      amn  11 Числа aij называются элементами матрицы A . Первый индекс i – номер строки, в которой стоит элемент aij, второй индекс j – номер столбца, в котором стоит элемент aij . Сокращенно записывают А = (aij). Если m = n, матрица называется квадратной порядка n, если m ≠ n , то матрица называется прямоугольной. Матрица А = (a1, a2,..., an) размера 1 × n называется матрицей-строкой, а  a1  a  матрица размера n × 1 – матрицей-столбцом: A =  2  . Нулевая матрица Θ      an  – это матрица, все элементы которой равны нулю. Единичная матрица n –го порядка – это квадратная матрица, на главной диагонали которой элементы 1 0 равны единице, а все остальные элементы равны нулю: E =    0 1      0 0 .   1 Диагональная матрица порядка n – это квадратная матрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Таким образом, единичная матрица является диагональной. Если A – квадратная матрица, то можно вычислить ее определитель. Если det A ≠ 0 , то матрица называется невырожденной, в противном случае – вырожденной. Определение. Две матрицы А = (aij) и В = (bij) называются равными, если их размерности совпадают и соответственные элементы равны: aij = bij для ∀i и j (т.е. А = В). Сложение матриц. Пусть А = (aij) и В = (bij) матрицы одинаковой размерности. Их суммой называется некоторая матрица С = (cjj) такой же размерности, что А и В, элементы которой определяются равенствами: cij = aij + bij .  1 2 3   1 −3 2   2 −1 5  Пример.  + =  .  4 5 6   5 4 −6   9 9 0  12 Свойства операции сложения матриц: 1) A + B = B + A (свойство коммутативности); 2) ( A + B ) + C =A + ( B + C ) (свойство ассоциативности); 3) A + Θ = A ; 4) A − B = A + ( − B ) , 5) ∀A     ∃ − A : A + ( − A) = Θ . Аналогично определяется сумма большего числа матриц. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число α ∈ R называется такая матрица В = (bij) (такой же размерности, что А), что bij = αaij, т.е. при умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на это число. Пример. 6   1 −2   −3 −3 ⋅  3 4  =  −9 −12  .      5 −6   −15 18      Свойства операции умножения матрицы на число: 1) α ( A + B ) = α A + α B (первое свойство дистрибутивности); 2) (α + β ) A =α A + β A (второе свойство дистрибутивности); 3) (αβ ) A = α ( β A) , α , β ∈ R (свойство ассоциативности). Произведение матриц. Произведение матриц А и В определяется только при условии, что число столбцов первого сомножителя (матрицы А) равно числу строк второго сомножителя (матрицы В). Если А = (aij) - матрица размера m × n , В = (bij) матрица размера n × k , то их произведением называется матрица С = (cij) размера m × k , элементы которой вычисляются по правилу "строка на столбец", а именно, равны сумме произведений соответственных элементов строки первого сомножителя cij= ai1b1 j + ai 2b2 j +  + ain bnj= Примеры. 1) и столбца второго сомножителя: n ∑a m =1 b . При этом пишут С = АВ. im mj  −1 1 4   1 −3 2     −2 1 4   2 3 5  =    −3 1 2     1( −1) + ( −3)2 + 2( −3) 1 ⋅1 + ( −3)3 + 2 ⋅1 1 ⋅ 4 + ( −3)5 + 2 ⋅ 2   −13 −6 −7  . =    ( −2)( −1) + 1 ⋅ 2 + 4( −3) ( −2)1 + 1 ⋅ 3 + 4 ⋅1 ( −2)4 + 1 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2   −8 5 5  13 1 0 0 0 0 0 0 0 2) A =  = ⇒ = = B AB BA , ,  1 0 0 0  1 0  , следовательно,  0 0       AB ≠ BA , т.е. вообще говоря, произведение матриц зависит от порядка сомножителей. Если AB = BA , то такие матрицы называются перестановочными (или коммутирующими). Свойства умножения матриц: 1) A ⋅ Θ = Θ ⋅ A = Θ ; 3) ( A + B )C =AC + BC ; 4) А(В + С) = АВ + АС; 2) AE = EA = A; 5) (АВ)С = А(ВС); 6) Если А и В – квадратные матрицы одного порядка, то det( AB = ) det A ⋅ det B . Возведение квадратной матрицы А в натуральную степень: A2 = A ⋅ A, An +1 = An ⋅ A . Транспонирование матрицы. Пусть А = (aij). Транспонированной по отношению к матрице А называется матрица At , получающаяся из матрицы А заменой ее строк на столбцы с сохранением номеров (т.е. первая строка заменяется на первый столбец и т.д.). 1 2  1 3 5 Пример. 3 4  , At  = A = .   2 4 6   5 6   Если А = Аt, то такая матрица называется симметрической. Обратная матрица. Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных матриц. Пусть А – квадратная матрица. Матрица В называется обратной для матрицы А и обозначается B = A−1 , если AB = BA = E , где Е – единичная матрица того же размера, что матрица А. Теорема о существовании и единственности обратной матрицы. Для того чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0 (т.е. чтобы матрица А была невырожденной). Если обратная матри- ца для матрицы А существует, то она единственная. Алгоритм построения обратной матрицы. Пусть det A ≠ 0 . 1) Вычисляем det A ; 2) составляем матрицу D, состоящую из алгебраических допол14 нений элементов матрицы А; 3) транспонируя матрицу D, получим матрицу Dt D , тогда A = . det A t −1 1 0 0 Пример. Пусть задана матрица: A =  0 1 1  .    0 −1 1    1) Вычисляем det A= 2 ≠ 0 ; 2) составляем матрицу D, состоящую из  2 0 0 алгебраических дополнений элементов матрицы А: D =  0 1 1  ;    0 −1 1    2 0 0  D: D t  0 1 −1 ; 3) получим матрицу Dt, транспонируя матрицу =   0 1 1    2 0 0  1 4) получаем обратную матрицу: A−1 = ⋅  0 1 −1 .  2   0 1 1  Раздел II. Системы линейных уравнений Лекция 3 Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными: b1 ,  a11 x1 + a12 x2 +  + a1n xn =  b2 ,  a21 x1 + a22 x2 +  + a2 n xn =   ............................................  am1 x1 + am 2 x2 +  + amn xn = bm . (3.1) Решением системы называется совокупность чисел ( x1 , x2 ,..., xn ) , которые обращают все уравнения системы (3.1) в верные равенства. Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной. Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное реше15 ние, и неопределенной, если решений бесконечно много. Две системы уравнений называются эквивалентными, если любое решение одной системы является одновременно и решением другой системы. Примеры. 1) 4,  x1 + 3x2 = – система несовместная (здесь второе  7  x1 + 3x2 = 1,  3x + x = уравнение противоречит первому); 2)  1 2 – система совместная и 2 x + 4 x = 2  1 2 определенная (единственным решением является x1 = 1 / 5 , x2 = 2 / 5 ); 2,  2x + x = 3)  1 2 – система совместная, но неопределенная (здесь второе 8 x + 4 x = 8  1 2 уравнение получается из первого умножением на 4).  a11 a12 a a22 Матрица A =  21      a m1 a m 2  a11 a12  a a22 а матрица A =  21      a m1 a m 2  a1n   a2 n   называется матрицей системы (3.1),      amn   a1n b1    a2 n b2  – расширенной матрицей системы (3.1).       amn bm   x1   b1  x  b  2 Введем также матрицы–столбцы X =   и B =  2  . Тогда систему (3.1)        xn   bm  можно записать в матричной форме: A ⋅ X = B , где X — неизвестная матрица-столбец, которую нужно найти. 16 Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Пусть имеется система AX = B, m = n и det A ≠ 0 . Тогда у матрицы A существует обратная A−1 . Пусть X – решение системы AX=B. Умножим обе части этого равенства слева на матрицу A−1 : A−1 ⋅ AX = A−1 ⋅ B ⇒ ( A−1 A) ⋅ X = A−1 ⋅ B , но A−1 A = E , а EX = X , следовательно, (3.2) X = A−1B . Из формулы (3.2) легко получаются формулы Крамера для нахождения X: где d = det A , xj = d j / d , a11 a21 dj =   a n1 a12 a22   an 2  a1 j −1 b1 a1 j +1  a2 j −1 b2 a2 j +1          anj −1 bn anj +1  a1n  a2 n   .    a nn (3.3) (3.4) Определители d j получаются из главного определителя d системы заменой j –го столбца на столбец B правых частей системы. Очевидно, формулы Крамера дают единственное решение системы, это следует из теоремы о единственности обратной матрицы (см. лекцию 2). Таким образом, необходимым и достаточным условием определенности квадратной системы является невырожденность ее матрицы. 1, 3 1  3x + x = Пример. Для системы  1 2 имеем= d = 10 , 2 2 4  2 x1 + 4 x2 = = d1 1 1 3 1 d2 d1 = 2,= d 2 = 4 . Отсюда x= = 1 / 5 , x= = 2 / 5. 2 1 2 4 2 2 d d Элементарные преобразования матриц: 1) перемена мест (транспозиция) двух строк (столбцов); 2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 3) прибавление к элементам одной строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число, отличное от нуля. Матрица B, полученная из другой матрицы A элементарным преобразованием, называется эквивалентной исходной. При этом пишут, что B  A . 17 Метод Гаусса. Пусть имеется система уравнений (3.1). Согласно введенным выше определениям, мы можем вместо системы (3.1) рассматривать расширенную матрицу A . Чтобы найти решение системы (3.1) по методу Гаусса, приведем матрицу A с помощью элементарных преобразований над строками к ступенчатому виду:  a11 a12  0 a (1) 22   0  A 0  0   ... ...   0 ... ... ... akk( k −1) ... ... ... ... ... ... ... ( k −1) ... akn ... ... | b1  | b2(1)   | ...   | bk( k −1)  . | bk( k+1−1)   | ...  | bm( k −1)  Данной матрице отвечает система (эквивалентная исходной) вида  a11 x1 + a12 x2 + ⋅⋅⋅ + a1,k +1 xk +1 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + a1n xn = b1 ,  a (1) x + ⋅⋅⋅ + a (1) x + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + a (1) x = b(1) ,  22 2 2,k +1 k +1 2n n 2   ( k −1)  akk( k −1) xk + ak( k,k−+1)1 xk +1 + ⋅⋅⋅akn xn = bk( k −1) . (3.5) Если bk( k+1−1) ,..., bm( k −1) отличны от нуля, то исходная система несовместна. Если все bk( k+1−1) ,..., bm( k −1) равны нулю, то исходная система будет определенной, если k = n . При этом сразу находим из последнего уравнения, что ( n −1) . Далее последовательно находим xn −1 , xn −2 ,..., x2 , x1. Если xn = bn( n −1) / anm k < n, то неизвестные xk +1 ,..., x n будем называть свободными. Для них выберем произвольные значения. После этого, двигаясь по системе (3.5) снизу вверх, найдем значения xk ,..., x1 . Решений в этом случае будет бесконечно много, т.е. система неопределенная, но совместная. Метод Гаусса применим к любой системе. 18 −9,  x1 + 2 x2 + 5 x3 =  Пример. Рассмотрим систему  x1 − x2 + 3x3 = 2, 3 x − 6 x − x = 25.  1 2 3 (3.6) Расширенная матрица системы (3.6) будет иметь вид:  1 2 5 | −9  = A  1 −1 3 | 2  .    3 −6 −1|25    Приведем матрицу A к ступенчатому виду. 1) Так как элемент a11= 1 ≠ 0 , то с помощью элементарных преобразований над строками матрицы добьемся того, чтобы элементы a21 и a31 обратились в нуль. Для этого из второй строки вычтем первую; далее, умножим первую строку на −3 и сложим с третьей. В итоге получим матрицу 5 | −9  1 2  0 −3 −2 |11  , у которой элементы первого столбца равны 0, кроме пер   0 −12 −16|52    вого. 2) Умножим вторую строку на −4 и сложим с третьей. В итоге мы привели матрицу A к ступенчатому виду:  1 2 5 | −9  A   0 −3 −2|11  .    0 0 −8| 8    Последняя матрица определяет систему, которая эквивалентна (3.6): −9,  x1 + 2 x2 + 5 x3 =  11,  −3x2 − 2 x3 =  8. −8 x3 =  Отсюда находим x3 = −1, x2 = −3 , x1 = 2 . Лекция 4 Пусть A – матрица размерности m × n . Рассмотрим элементы, стоящие на пересечении произвольно выбранных r строк и r столбцов этой матрицы. Определитель, составленный из этих элементов, называется минором r–го порядка матрицы A. 19 Определение. Ранг матрицы A (обозначается rang A ) – это число, равное наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы, т.е. rang A = r , если все миноры порядка большего, чем r (если они существуют), равны нулю, а среди миноров порядка r есть хотя бы один отличный от нуля. Данное определение дает способ вычисления rang A . Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. Чтобы вычислить ранг матрицы A, можно поступить следующим образом. Приведем матрицу к ступенчатому виду элементарными преобразованиями над строками (см. пример на метод Гаусса в лекции 3). Число ненулевых строк ступенчатой матрицы будет равно рангу матрицы A. Пример. Вычислим ранг матрицы  0 2 −4   −1 −4 5  . A= 3 1 7     0 5 −10  Вначале приведем матрицу к ступенчатому виду. Покажем последова5   −1 −4 5   −1 −4  −1 −4  0 −11 22   0 2 −4   0 2     тельность выкладок: A   0 2 −4   0 −11 22   0 0      5 −10   0 5 −10   0 0 0 5 4 . 0  0 Очевидно, что ранг последней матрицы равен 2, так как все миноры третьего порядка равны нулю (или число ненулевых строк равно 2). Следовательно, rang A = 2. Пусть в некотором множестве W = {а, b, с,...} определена операция сложения: α a + β b ∈ W , где a, b ∈ W , α , β ∈ R . Определение. Элемент a множества W является линейной комбинацией элементов a1 ,..., am ∈ W , если существует m чисел α1 ,..., α m таких, что a α1a1 + ⋅⋅⋅α m am . При этом говорят, что элемент a линейно выражается через = элементы a1 ,...am . 20 Теорема Кронекера – Капелли. Пусть имеется система линейных уравнений (3.1). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу ее расширенной матрицы: rang A = rang A . Следствие. Пусть система (3.1) совместна. Решение системы единственное тогда и только тогда, когда rang А равен числу неизвестных (порядку) системы. Укажем способ нахождения решения системы линейных уравнений. Пусть rang A= rang A= r < n и пусть, для определенности, базисный минор расположен в левом верхнем углу матрицы системы. Переменные x1 , x2 ,... xr будем называть базисными переменными, xr +1 , xr +2 ,..., xn – свободными. Далее, свободные переменные обозначим через c1 ,..., cn −r соответственно. Оставим только первые r уравнений системы (т. н. укороченная система). Из нее найдем x1 , x2 ,... xr по формулам Крамера. В итоге получаем, что общее решение системы будет иметь вид X = ( x1 , x2 ,..., xr , c1 ,..., cn −r )t . Пример. Пусть расширенная матрица системы имеет вид  1 −2 0 1  3 −1 − 2 0 A=  2 1 −2 −1   1 3 −2 −2 | −3  | 1  | 4  | 7 . Приведем ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду:  1 −2 0 1  0 5 −2 −3 A  0 5 −2 −3   0 5 −2 −3 | | | | − 3   1 −2 0 1 10   0 5 −2 −3  10   0 0 0 0   10   0 0 0 0 | −3  | 10  . | 0  | 0 Итак, что rang А = 2. Базисными будут переменные {x1 , x2 } , свободными  x − 2 x2 =−3 − x4 , . В результате – {x3 , x4 } . Решаем укороченную систему:  1 5 x2 =10 + 2 x3 + 3 x4 21 получим 1 + 4c1 / 5 + с2 / 5,  x1 = x =  2 2 + 2c1 / 5 + 3c2 / 5,  x3 = c1 ,   x4 = c2 (общее решение системы, где c1 и c2 – произвольные числа.) Однородные системы линейных уравнений. Однородной называется система (3.1), в которой все bi = 0 : 0,  a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn =  a x + a x + ... + a x = 0,  21 1 22 2 2n n  .............................   am1 x1 + am 2 x2 + ... + amn xn = 0. (4.1) Более короткая запись системы (4.1) имеет вид n ∑ a x= j =1 ij j AX = Θ , или i 1,..., m . 0,= Свойства решений однородной системы. 1) Пусть X и Y – решения системы, тогда= Z α X + β Y – тоже решение системы, где α , β ∈ R . Доказательство. n ∑ aij (α x j + β y= j) =j 1 n n n n ∑ aijα x j + ∑ aij β y=j α ∑ aij x j + β ∑ aij y j . =j 1 =j 1 =j 1 =j 1 2) По теореме Кронекера-Капелли однородная система всегда совместна. Доказательство. A = ( A | 0 ) ⇒ rang A = rang A, или, что более очевидно: тривиальное решение X = (0,...,0)t удовлетворяет нашей однородной системе линейных уравнений (4.1). 3) Если rang А = n, тогда тривиальное решение единственно. Доказательство. По условию rang A = n, следовательно, det A ≠ 0 . Поэтому мы можем найти решение Г = (γ 1 ,..., γ n )t системы по формулам Крамера (3.3), (3.4), т.е. d= 0,= i 1,..., n . Следовательно, все γ i = 0 . i 4) Если rang A < n, то однородная система (4.1) имеет нетривиальное решение (при m = n это значит, что det A = 0). 22 Определение. Система элементов x1 ,..., xn называется линейно независимой, если из равенства α1 x1 + ... + α n xn = θ (здесь θ – нулевой элемент системы) следует, что все числа αi = 0 . Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами называется тривиальной. Определение. Система элементов называется линейно зависимой, если существуют числа αi , не все равные нулю, такие, что α1 x1 + ... + α n xn = θ. Пример. Выясним, являются ли данные три элемента (вектора) линейно 0 независимыми. Пусть= x1 = 2, x   2  3    3 = 0, x   3 1    3  2  . Составим линейную   0   0  3  3  0  0  . Последнее выракомбинацию этих элементов α1  2  + α 2  0  + α 3  2  =          3 1  0 0         жение запишем в виде системы 0, 3α 2 + 3α 3 =  0, 2α1 + 2α 3 =  3α + α = 0. 2  1 (4.2) Определитель этой однородной системы равен 0 3 3 2 2 2 0 2 0 2 =−3 +3 =+18 + 6 ≠ 0 . Следовательно, система (4.2) имеет 3 0 3 1 3 1 0 только тривиальное решение α= α= α= 0 , и, следовательно, система эле1 2 3 ментов x1 , x2 , x3 – линейно независима. Пример. Выясним, являются ли данные три элемента (вектора) линейно 1 независимыми. Пусть = X 1 = 0, X2   1   23 2 = 0, X3   2    3  2  . Составляем соотно  1   0, α1 + 2α 2 + 3α 3 =  шение: α1 X 1 + α 2 X 2 + α 3 X 3 = 2α 3 = 0, θ , что приводит к системе   α + 2α + α = 0.  1 2 3 Определитель полученной однородной системы 1 2 3 1 2 0 0 2= ( −1)2 = 0 . Значит, система элементов X 1 , X 2 , X 3 линейно за1 2 1 2 1 висима. Укажем коэффициенты линейной комбинации αi ≠ 0 . Для этого приведем матрицу однородной системы к ступенчатому виду:  1 2 3  1 2 3   1 2 3   0 0 2    0 0 −2    0 0 −2  . Последняя матрица определяет сис      1 2 1 0 0 2  0 0 0        0, α + 2α 2 + 3α 3 = тему  1 Решая последнюю систему, получаем, что − α = 2 0.  3 0 , где α 2 можно задавать произвольно. α1 = −2α 2 , α 3 = Лекция 5 Пусть имеется однородная система уравнений (4.1) и пусть rang A = r 0 и противоположно направлен в случае α < 0. 2)     Основные свойства введенной операции таковы: 1) α ( a + b) = α a + α b ;      (α + β )a =α a + β b (дистрибутивность); 3) (αβ )a = α ( β a ) (ассоциати- ность). Эти свойства очевидны из наглядных геометрических соображений.    Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a2 ,..., an называется    выражение вида α1 a1 + α 2 a2 + ... + α n an , αi ∈  ∀i =1,..., n . Числа αi называются коэффициентами линейной комбинации. Линейная комбинация называ- 29 ется нетривиальной, если ее коэффициенты не все равны нулю, в противном случае линейная комбинация называется тривиальной. Определение. Векторы называются линейно независимыми, если только тривиальная комбинация этих векторов равна нулевому вектору:     α1 a1 + α 2 a2 + ... + α n an = θ ⇔ α= α 2= ...= α n= 0 . 1 Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная комбинация, равная нулевому вектору:     ∃α1 , α 2 ,..., α n ; α12 + α 22 + ... + α n2 ≠ 0; α1 a1 + α 2 a2 + ... + α n an = θ.    Очевидно, что если среди векторов a1 , a2 ,..., an имеется хотя бы один нулевой, то эти векторы линейно зависимы. Утверждение. Совокупность векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, сама является линейно зависимой. (Это очевидно, ведь по условию уже существует нетривиальная комбинация векторов подсистемы, равная нулю. При остальных векторах совокупности достаточно выбрать нулевые коэффициенты, комбинация все равно останется нетривиальной и равной нулевому вектору.) Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.   Доказательство. 1) Пусть векторы a и b линейно зависимы, т.е.       β αa + βb = θ . Если, для определенности, α ≠ 0 , то a = − b ⇒ a  b (по оп- α   ределению умножения вектора на число). 2) Если же дано, что a  b , то или один из векторов нулевой, что влечет их линейную зависимость, или они оба      ненулевые, но при этом связаны соотношением a = µ b или a − µ b = θ , а эта    линейная комбинация векторов a и b нетривиальна (коэффициент при a   равен 1). Значит, векторы a и b линейно зависимы. Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях. 30 Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.    Доказательство. 1) Пусть три вектора a , b и c линейно зависимы. То    гда ∃ α , β и γ такие, что α a + β b + γ c = θ , причем α 2 + β 2 + γ 2 ≠ 0 . Пусть      α  β    − a − b = a′ + b′ , где a′  a , b′  b . Из правила параллелоγ ≠ 0 . Тогда c = γ γ  грамма следует, что c лежит в плоскости параллелограмма, построенного на   векторах a и b , а значит, все три этих вектора  являются компланарными. 2) Пусть векторы a ,   и b c компланарны. Если какие-либо два из них коллинеарны, то все три линейно зависимы согласно утверждению этой лекции. Если же никакие два из этих векторов не коллинеарны, то перенесем их на одну  плоскость и приведем к общему началу. Проведем через конец вектора c   прямые, параллельные векторам a и b до пересечения с прямыми, на кото   рых лежат векторы a и b . Получится параллелограмм (рис. 6.5). Вектор c является диагональю этого параллелограмма, следовательно,          c = a′ + b′ = λ a + µ b , или λ a + µ b − c = θ , но из трех коэффициентов λ , µ , −1    один заведомо отличен от нуля. Следовательно, векторы a , b и c линейно зависимы. Теорема. Любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Приведем схему доказательства. Если среди четырех векторов есть три компланарных, утверждение очевидно. Если никакие три из этих векторов не компланарны, то приведем их все к одному началу. Три некомпланарных вектора лежат на ребрах параллелепипеда, диагональю которого является четвертый вектор. Следовательно, он может быть представлен в виде суммы векторов, коллинеарных остальным трем векторам, то есть выражается в виде их линейной комбинации. Значит, все четыре вектора линейно зависимы. 31 Лекция 7   Определение. Два линейно независимых упорядоченных вектора a и b  образуют базис на плоскости, если любой вектор c этой плоскости можно представить в виде их линейной комбинации, т.е. ∃α , β ∈  такие, что    = c αa + βb.   Определение. Три линейно независимых упорядоченных вектора a , b и   c образуют базис в пространстве, если любой вектор d пространства можно     представить в виде d = α a + β b + γ c .      Равенство d = α a + β b + γ c называется разложением вектора d по бази    су a , b , c , а числа α , β , γ — координатами вектора d в этом базисе. Очевидно (см. теоремы лекции 6), что на плоскости базисом являются любые два неколлинеарных вектора этой плоскости, а в пространстве – любая тройка некомпланарных векторов. Координаты вектора относительно заданного ба    зиса определяются однозначно. Равенство d = α a + β b + γ c можно записы вать в символическом виде d = {α , β , γ } .     Теорема. Пусть в некотором базисе a , b , c заданы d1 = {α1 , β1 , γ 1} ,     d 2 = {α 2 , β 2 , γ 2 } . Тогда d1 + d 2 = {α1 + α 2 , β1 + β 2 , γ 1 + γ 2 } ; λ d1 = {λα1 , λβ1 , λγ 1} .        Доказательство. λ d1 = (λα1 )a + (λβ1 )b + (λγ 1 )c ; λ ⋅ α1 a + β1 b + γ 1 c = ( )            d1 + d 2 = α1 a + β1 b + γ 1 c + α 2 a + β 2 b + γ 2 c = (α1 + α 2 )a + ( β1 + β 2 )b + (γ 1 + γ 2 )c . ( ) ( ) Базис из двух взаимно перпендикулярных единичных векторов плоско  сти i , j с началом в фиксированной точке O порождает декартову прямоугольную систему координат. Точка O называется началом координат, а коор- динатные оси Ox и Oy , направленные   так же, как векторы i и j соответствен32 но, называются осью абсцисс и осью ординат (рис. 7.1). Координаты точки    M определим как координаты вектора OM в базисе i , j , т.е. если    OM = x0 i + y0 j , то говорят, что точка M имеет абсциссу x0 и ординату y0 , и  записывают M ( x0 , y0 ) . Длина вектора OM может быть найдена по теореме Пифагора: OM = OP 2 + OQ 2 = x0 2 + y0 2 . Заметим, что координаты вектора равны проекциям этого вектора на координатные оси. Если в выбранной системе координат заданы две точки M 1 ( x1 , y1 ) и M 2 ( x2 , y2 ) , то координаты век   тора M 1= M 2 OM 2 − OM 1 согласно предыдущей теореме можно найти, вычислив разность соответствующих координат конца и начала этого вектора:  M 1M 2 = {x2 − x1 , y2 − y1} , откуда расстояние между точками равно M 1M 2 = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 . Перейдем теперь к задаче о делении отрезка в заданном отношении. Пусть на плоскости заданы точки A( x1 , y1 ) и B( x2 , y2 ) . Проведем через эти точки на- правленную ось (рис. 7.2). Пусть C ( x, y ) – точка на этой оси такая, что AC =λ. CB Параметр λ может принимать любые значения, кроме −1 . При λ ∈ [0, +∞) точка C находится на отрезке AB , при λ ∈ ( −∞, −1) точка C находится вне отрезка за точкой B , а при λ ∈ ( −1,0) – вне отрезка за точкой A . Переходя к   векторам, можно записать: AC= λ ⋅ CB , что в координатном виде приводит к равенствам x − x1= λ ( x2 − x ) , y − y1= λ ( y2 − y ) , откуда можно найти координаты точки C : x= x1 + λ x2 , 1+ λ y= 33 y1 + λ y2 . 1+ λ (7.1) Если λ = 1 , то C является серединой отрезка AB и выражения (7.1) становятся формулами деления отрезка пополам: x= x1 + x2 , 2 y= y1 + y2 . 2 (7.2) Пример. В треугольнике ABC , где A(3, −7) , B(5,2) , C ( −1,0) найдите длину медианы AD . По формулам (7.2) рассчитаем координаты точки D : = x 5 −1 = 2, 2 = y 2+0 = 1. 2 Отсюда, по формуле расстояния между точками: AD= (2 − 3) 2 + (1 + 7) 2 = 65 . В пространстве декартова прямоугольная система координат вводится аналогично. В качестве базиса выбирают три взаимно перпендикулярных единич   ных вектора i , j , k , исходящих из общей точки O (начала координат). Через начало координат проводят оси, направ   ленные так же, как векторы i , j , k – это ось абсцисс Ox , ось ординат Oy и ось аппликат Oz соответственно (рис. 7.3). Координаты точки D ( x, y , z ) равны координатам радиус-вектора         OD этой точки: OD =OA + OB + OC = xi + y j + zk .   Если ϕ1 , ϕ 2 , ϕ 3 – углы наклона вектора OD = d к осям, то x = d cos ϕ1 , y = d cos ϕ 2 , z = d cos ϕ 3 . Числа cos ϕ1 , cos ϕ 2 , cos ϕ3 называются направ ляющими косинусами вектора d . Очевидно, что cos2 ϕ1 + cos2 ϕ 2 + cos2 ϕ 3 = 1. Для двух точек с известными координатами M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 )  можно найти координаты соединяющего их вектора M 1M 2 ={x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1} , расстояние между ними M 1M 2 = ( x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + ( z2 − z1 )2 , координаты 34 точки M ( x, y , z ) , делящей отрезок M 1M 2 в известном отношении λ = x= x1 + λ x2 , 1+ λ y= y1 + λ y2 , 1+ λ z= M 1M : MM 2 z1 + λ z2 . 1+ λ В заключение лекции рассмотрим правила преобразования координат точки (вектора) при параллельном переносе и повороте системы. При параллельном переносе (на рис. 7.4 показан плоский случай) новое начало имеет в старом базисе координаты O (a, b) . Но        = = OO  + OM , или OM OM −OO + OM , что в координатной записи имеет вид x =−a + x , y =−b + y . Здесь x и y – координаты точки M в новом базисе. Обобщение на пространственный случай очевидно. Итак, если система, полученная из первоначальной параллельным переносом, имеет начало в точке O (a, b, c) , то связь между старыми ( x, y , z ) и новыми ( x , y , z ) координатами точки M дается формулами x= x + a , y= y + b , z= z + c . Далее, пусть дана система координат Oxy и полученная из нее поворотом на угол α относительно точки O система Ox′y ′ (рис. 7.5). Разложим базисные векторы повернутой системы по старому базису:            ′ ′ ′ ′ ′ = i cos α ⋅ i + sin α ⋅ j , j =− sin α ⋅ i + cos α ⋅ j . Но OM =xi + y j =x i + y j′ .     Подставив выражения i′ , j′ через i , j , получим:       xi + y j = x′ ⋅ (cos α ⋅ i + sin α ⋅ j ) + y ′ ⋅ ( − sin α ⋅ i + cos α ⋅ j ) .   Приравнивая коэффициенты при i и j в правой и левой частях последнего равенства, получим выражения старых координат через новые: 35 , y x′ sin α + y ′ cos α . Выражение новых координат = x x′ cos α − y ′ sin α= через старые получается, очевидно, из последних формул заменой α → ( −α= ) : x′ x cos α + y sin α , y ′ = − x sin α + y cos α . Поворот системы в пространственном случае выходит за рамки нашего курса. Лекция 8   Определение. Скалярным произведением векторов a и b называется   число (a , b ) , равное произведению модулей этих векторов     на косинус угла между ними: ( a, b) =| a | ⋅ | b | ⋅ cos ϕ , где     ϕ = ∠(a, b) – угол между векторами a и b (рис. 8.1).   Величину | b | ⋅ cos ϕ назовем проекцией вектора b на   направление вектора a и обозначим прa b . Таким образом можно записать:       ( a, b) =⋅ | a| прa b =⋅ | b| прb a . Скалярное произведение обладает следующими            свойствами: 1) ( a, b) = (b, a ) (коммутативность); 2) ( a, b + c= ) ( a , b) + ( a , c )     (дистрибутивность); 3)= (λ a, b) λ ( a, b), λ ∈  (однородность). Свойства 1) и 3) очевидны из определения, а дистрибутивность доказывается следующим образом:                  ( a, b + c ) =| a| ⋅ прa (b + c ) =| a| ⋅ (прa b + прa c ) =| a| ⋅ прa b+ | a| ⋅ прa c = ( a, b) + ( a, c ) . Здесь мы воспользовались тем, что проекция суммы векторов равна сумме их проекций.   Пусть векторы a и b заданы в декартовой прямоугольной системе коор          динат: a = (α1 , α 2 , α 3 ) , b = ( β1 , β 2 , β 3 ) . Тогда ( a, b) = (α1 i + α 2 j + α3 k , β1 i + β 2 j + β 3 k ) =      = α1β1 (i, i ) + α 2 β 2 ( j, j ) + α 3 β 3 ( k , k ) = α1β1 + α 2 β 2 + α 3β 3 , поскольку     (= i, j ) (= i, k ) ( = j, k ) 0 в силу взаимной перпендикулярности базисных векто      ров i, j, k . Ясно также, что ( a, a ) =| a |2 = α12 + α 2 2 + α 32 ⇒| a=| α12 + α 2 2 + α 32 . Сопоставляя определение скалярного произведения и его выражение в декартовой системе, получим формулу для угла между векторами: 36 ϕ = arccos α1β1 + α 2 β 2 + α 3β 3 α + α2 + α3 ⋅ β + β 2 + β3 2 1 2 2 2 1 2 2 . (8.1) Заметим, что формула (8.1) дает ϕ ∈ [0, π ] , что соответствует интервалу изменения угла между геометрическими векторами. Утверждение. Для того чтобы два вектора были ортогональны (т.е. перпендикулярны), необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. Этот критерий ортогональности векторов очевиден из определения скалярного произведения. Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки.   Например, так расположены базисные векторы i, j, k определенной в лекции 7 декартовой прямоугольной системы координат, поэтому ее называют правой системой. Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется левой, если составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки. Левую тройку можно получить из правой, если переставить два соседних вектора тройки или поменять направление любого вектора тройки на противоположное. Напротив, при циклической перестановке, т.е. при пере         ходе от тройки a, b, c к тройкам b, c, a и c, a, b ориентация тройки (ее свойство быть правой или левой) не меняется. Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым, ни к левым.   Определение. Векторным произведением векторов a и b называется       вектор c , обозначаемый c = [a, b] (или a × b ), который определяется следующими тремя условиями: 37     1) длина вектора c равна | c |=| a | ⋅ | b | ⋅ sin ϕ ,      где ϕ = ( a, b) – угол между векторами a и b ;     2) c ⊥ a , c ⊥ b ;    3) тройка a, b, c является правой (рис. 8.2). Перечислим свойства векторного произведения:            1) [a, b] = −[b, a ] (антикоммутативность); 2) [a, b + c= ] [a, b] + [a, c ] (ди    стрибутивность); 3)= [λ a, b] λ [a, b], λ ∈  (однородность). Свойства 1) и 3) очевидны; доказательство дистрибутивности остается за рамками курса. Из   антикоммутативности, в частности, следует, что [a, a ] = 0 , а также т.н. критерий коллинеарности векторов: Утверждение. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение было равно нулю. Теорема (геометрический смысл векторного произведения). Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах-сомножителях как на сторонах. Доказательство. Из рисунка 8.2 и пункта 1) определения видно, что       c= [a, b]= S ⋅ e , где S — площадь параллелограмма со сторонами a и b , а    e – единичный вектор, перпендикулярный a и b и образующий с ними пра  вую тройку. Тогда | [a, b] |= S .   Пусть i, j, k — базис правой декартовой прямоугольной системы координат. Пользуясь только определением векторного произведения, легко уста            новить, что = [i, i ] [ = j, j ] [k= , k ] 0 , [i, j ] = k , [ j, k ] = i , [k , i ] = j . Учитывая это,   вычислим векторное произведение [a, b] через координаты сомножителей   a = (α1 , α 2 , α 3 ) и b = ( β1 , β 2 , β 3 ) в правой декартовой системе. Получим:          [α1 i + α 2 j + α 3 k , β1 i + β 2 j + β 3 k ] = (α 2 β3 − α 3 β 2 )i − (α1β3 − α 3 β1 ) j + (α1β 2 − α 2 β1 )k , или в символической записи 38  i  j  k   [a, b] = α1 α 2 α 3 . β1 β 2 (8.2) β3    Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b, c назы   вается скалярное произведение векторного произведения [a, b] и вектора c ,    т.е. число ([a, b], c ) . Теорема (геометрический смысл смешанного произведения). Сме   шанное произведение ([a, b], c ) равно объему параллелепипеда, построенного на векторах-сомножителях как на ребрах, взятому со знаком « + », если трой   ка a, b, c правая и со знаком « − », если эта тройка левая.    Доказательство. Пусть векторы a , b , c некомпланарны и пусть S – площадь парал  лелограмма, построенного на векторах a , b .  Если e – орт векторного произведения, то       ([a , b], c )= S ( e, c )= S ⋅ прe c (рис. 8.3). Оче видно, прe c = ± h , где h – высота параллелепипеда, построенного на приведенных к об   щему началу векторах a , b , c , причем знак выбирается в зависимости от ориентации тройки. Значит,    ([a, b], c ) = ±V , где V – объем параллелепипеда. Следствием теоремы является т. н. критерий компланарности векторов: Утверждение. Для того чтобы три вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю. (Тогда V = 0 ). Пусть в правой декартовой системе координат заданы векторы    a = (α1 , α 2 , α 3 ) , b = ( β1 , β 2 , β 3 ) , c = (γ 1 , γ 2 , γ 3 ) . Тогда их смешанное произведение вычисляется по формуле 39 α 1    ([a, b], c ) = β1 γ1 α2 α3 β2 β3 . γ2 γ3 (8.3)       Из формулы (8.3) и свойств определителей следует, что ([a, b], c ) = ( a,[b, c ]) , поэтому в дальнейшем смешанное произведение будем обозначать просто    a ⋅ b ⋅ c . Кроме того, при циклической перестановке сомножителей сме         шанное произведение не меняется: a ⋅ b ⋅ c = b ⋅ c ⋅ a = c ⋅ a ⋅ b , а при перестановке соседних сомножителей меняет знак. Оно дистрибутивно и однородно по каждому сомножителю: например,                 (λ a ) ⋅ b ⋅ c = λ ⋅ ( a ⋅ b ⋅ c ) . ( a1 + a2 ) ⋅ b ⋅ c = a1 ⋅ b ⋅ c + a2 ⋅ b ⋅ c ; Раздел IV. Уравнения первого порядка и их геометрические образы Лекция 9 Уравнение вида F ( x, y ) = 0 называется уравнением линии L , расположенной в плоскости Oxy , если ему удовлетворяют декартовы координаты любой точки, принадлежащей линии L , и не удовлетворяют координаты никаких других точек. Так, например, уравнение x 2 + y 2 − 1 = 0 определяет окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Теорема. Произвольная прямая, принадлежащая плоскости Oxy , задается уравнением первого порядка относительно декартовых координат x и y .  Доказательство. Проведем из начала координат вектор OP , перпендикулярный к данной прямой (рис. 9.1). Тогда произвольная точка M прямой об   OM = p , где p =| OP | – ладает свойством прOP расстояние от начала координат до прямой. Но      2  OM = p . Если OP = {α , β } , OM ⋅ OP = | OP | ⋅прOP   то OM ⋅ OP = α x + β y = p 2 . Значит, уравнение 40 прямой имеет вид α x + β y − p 2 = 0 . Это линейное уравнение. Его можно умножить на любое отличное от нуля число, тогда получим Ax + By + C = (т.н. общее уравнение прямой на плоскости). Из доказательства ясен смысл коэффициентов A и B , пропорциональ ных координатам α и β вектора OP , а именно:  вектор N = { A, B} перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ax + By + C = 0 . Этот вектор называется нормальным вектором прямой. Пусть заданы две прямые A1 x + B1 y + C1 = 0, 0 . Угол ϕ между ними равен углу A2 x + B2 y + C2 =   между их нормальными векторами N1 и N 2 , но угол между прямыми выби- рается меньший из двух смежных, т.е. не превосходящий прямого, а угол между векторами может быть тупым. Чтобы получить ϕ ≤ π / 2 , в формуле (8.1) возьмем числитель по модулю: ϕ = arccos | A1 A2 + B1B2 | . A12 + B12 ⋅ A22 + B22 (9.1) Условие перпендикулярности прямых имеет вид A1 A2 + B1B2 = 0 , условие   параллельности следует из того, что N1  N 2 ⇒ ния равны A1 B1 . Если эти отноше= A2 B2 C1 , то прямые совпадают. C2 Расстояние от произвольной точки M 0 ( x0 , y0 ) плоскости до прямой Ax + By + C = 0 можно вычислить по формуле d= | Ax0 + By0 + C | A +B 2 2 . (9.2) Если B ≠ 0 (т.е. прямая не параллельна оси Oy ), то общее уравнение можно переписать в виде y = y kx + b . Последнее −( A / B ) x − (C / B ) или = уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k , ко41 торый равен tg α , где α – угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox (рис. 9.2). Угол между прямыми можно рассчитать по формуле ϕ = arctg k1 − k2 , а условия параллельности и перпендикулярности через 1 + k1k2 угловые коэффициенты прямых соответственно выражаются так: k1 = k2 и k1 ⋅ k2 = −1 . Уравнение вида F ( x, y , z ) = 0 называется уравнением поверхности S , если ему удовлетворяют декартовы координаты любой точки, принадлежащей поверхности S , и не удовлетворяют координаты никаких других точек. К примеру, уравнение x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 определяет сферу единичного радиуса с центром в начале координат. Пусть в пространстве дана плоскость ω и выбрана декартова система координат. Пусть M 0 ( x0 , y0 , z0 ) – некоторая точка плоскости ω и  вектор N = { A, B, C} – произвольный ненулевой вектор, перпендикулярный нашей плоскости (такой вектор называется нормалью к плоскости, рис. 9.3).     Точка M ( x, y , z ) ∈ ω ⇔ M 0 M ⊥ N ⇔ ( M 0 M , N ) = 0 . Выражая скалярное произведение через координаты, получим A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0. (9.3) Это – уравнение произвольной плоскости, проходящей через заданную точку M 0 . Оно является линейным относительно координат текущей точки M плоскости ω . Итак, справедливо следующее утверждение. Теорема. Уравнение произвольной плоскости в некоторой декартовой системе координат имеет вид Ax + By + Cz + D = 0 (общее уравнение плоскости). Общее уравнение может быть неполным, когда один или несколько коэффициентов (но только не A , B и C одновременно) равны нулю. Так, при 42 A = 0 плоскость параллельна оси Ox , при D = 0 она проходит через начало координат, а при A = D= 0 , следовательно, проходит через ось Ox . Для пары плоскостей A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , A2 x + B2 y + C2 z + D2 = можно сформулировать условие перпендикулярности A1 A2 + B1B2 + C1C2 = A1 B1 C1 . = = A2 B2 C2 и условие параллельности: Угол между плоскостями (понимаемый как меньший из двух смежных двугранных углов) задается формулой ϕ = arccos | A1 A2 + B1B2 + C1C2 | A12 + B12 + C12 ⋅ A22 + B22 + C22 . (9.4) Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле, аналогичной (9.2): d= | Ax0 + By0 + Cz0 + D | A + B +C 2 2 2 . (9.5) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 ( x0 , y0 , z0 )   параллельно двум неколлинеарным векторам a = {α1 , α 2 , α 3 } и b = {β1 , β 2 , β 3 } . Согласно свойствам векторного произведения, в качестве нормали можно    взять N = [a, b] . Тогда уравнение плоскости в векторной форме имеет вид       ( M 0 M , N ) = 0 , или M 0 M ⋅ a ⋅ b = 0 , где M 0 M = {x − x0 , y − y0 , z − z0 }. По формуле (8.3) имеем x − x0 y − y0 z − z0 α1 β1 α2 β2 α3 β3 = 0. (9.6) Из уравнения (9.6) легко получить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) , M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , M 3 ( x3 , y3 , z3 ) , не лежащие    на одной прямой. Именно, в качестве векторов a и b можно взять M 1M 2 и  M 1M 3 , а в качестве точки M 0 взять M 1 . Тогда получим: 43 x − x1 x2 − x1 x3 − x1 y − y1 y2 − y1 y3 − y1 z − z1 0. z2 − z1 = z3 − z1 (9.7) Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей, проходящих через данную прямую L . Теорема. Пусть две различные плоскости A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 принадлежат некоторому пучку. Тогда уравнение любой другой плоскости этого пучка можно записать в виде λ ( A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + µ ( A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0 , где λ и µ – некоторые числа. Доказательство. Покажем, что коэффициенты при x , y и z в уравнении пучка не могут обратиться в ноль одновременно. Действительно, если λ A1 + µ A2 = λ B1 + µ B2 = λC1 + µC2 = 0 , то A= B= C1 / C2 , т.е. плоско1 / A2 1 / B2 сти параллельны, но, по условию, они различны и проходят через прямую L , значит, не могут быть параллельными. Итак, это линейное уравнение определяет плоскость. Очевидно, все точки прямой L удовлетворяют этому уравнению при любых λ и µ ⇒ плоскость проходит через L . Любую плоскость пучка можно выделить, задав принадлежащую ей точку M * ( x* , y * , z * ) , не лежащую на прямой L, тогда из равенства λ ( A1 x* + B1 y * + C1 z * + D1 ) + µ ( A2 x* + B2 y * + C2 z * + D2 ) = 0 можно найти отношение λ / µ (или µ / λ ), отвечающее выделенной плоскости пучка. Лекция 10 Линию в пространстве можно рассматривать как непустое пересечение двух поверхностей. Таким образом, система двух уравнений с тремя переменными  F1 ( x, y , z ) = 0,   F2 ( x, y , z ) = 0 44 (10.1)  x2 + y2 + z2 = 1, может определять некоторую линию L . Например, система   x+ y+z = задает единичную окружность с центром в начале координат, лежащую в плоскости x + y + z = 0. Однако, система вида (10.1) может определять не только линию, но и отдельные точки или даже поверхности. Система (10.1) определяет линию тогда и только тогда, когда ее общее решение записывается следующим образом:  x = x (t ),   y = y (t ),  z = z (t ).  (10.2) Эти соотношения называются параметрическими уравнениями линии в пространстве. Пусть дана некоторая прямая L и любая точка M 0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ L . Далее,  пусть s = {l , m, n} – произвольный ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей. Такой вектор называется направляющим вектором прямой (рис.10.1). Пусть M ( x, y , z ) ∈ L – текущая (произвольная) точ  ка. Тогда M 0 M  s , но коллинеарные векторы имеют пропорциональные x − x0 y − y0 z − z0 . = = l m n координаты: Мы получили канониче- ские уравнения прямой в пространстве. По сути, это система вида (10.1). Приравняем каждую из дробей в канонических уравнениях некоторому числу t , тогда получим параметрические уравнения этой прямой: x x0 + lt , =  y y0 + mt , = =  z z0 + nt. 45 (10.3) Прямую в пространстве также можно рассматривать как пересечение 0,  A x + B1 y + C1 z + D1 = двух непараллельных плоскостей, т.е. система вида  1 0,  A2 x + B2 y + C2 z + D2 = где коэффициенты A1 , B1 , C1 непропорциональны коэффициентам A2 , B2 , C2 , также определяет прямую. Чтобы перейти от такой записи к параметрическим уравнениям (10.3), достаточно найти общее решение этой системы, например, методом Гаусса (см. лекцию 3). Можно поступить иначе: в качестве направляющего вектора взять векторное произведение нормалей пересекаю   щихся плоскостей, т.е. s = [ N1 , N 2 ] , а точку M 0 выбрать как любое частное решение системы (например, положить одну из переменных равной нулю). 0,  2 x − y + 3z + 7 = Пример. Привести к каноническому виду прямую  0.  3x + y − z − 2 =    i j k        = N 3,1, − 1 [ N , N ] = 2 − 1 3 = − 2 i + 11 j + 5k , N= 2, − 1,3 , , { } { } 1 2 1 2 3 1 −1 т.е.  s= {−2,11,5} . Положим в системе z = 0 , тогда получим x = −1 , y = 5 ⇒ M 0 ( −1,5,0) . Составляем канонические уравнения данной прямой: x +1 y − 5 z . = = −2 11 5 Заметим, что для составления уравнений прямой, проходящей через две заданные точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , достаточно в качестве направ  ляющего вектора взять s = M 1M 2 , т.е. = l x2 − x1 , m = y2 − y1 , n= z2 − z1 . Рассмотрим две прямые: x − x1 y − y1 z − z1 ( L1 ) = = l1 m1 n1 и x − x2 y − y 2 z − z 2 ( L2 ) . = = l2 m2 n2 Условия параллельности и перпендикулярности прямых таковы:   l m1 n L1  L2 ⇔ s1  s2 ⇔ 1 = = 1, l2 m2 n2 46     L1 ⊥ L2 ⇔ s1 ⊥ s2 ⇔ ( s1 , s2 ) =0 ⇔ l1l2 + m1m2 + n1n2 =0 . Угол между прямыми можно найти по формуле ϕ = arccos | l1l2 + m1m2 + n1n2 | l +m +n ⋅ l +m +n 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 . Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. В первых двух случаях они принадлежат одной плоскости. Условие принадлежности двух прямых L1 и L2 одной плоскости может    быть записано, исходя из компланарности векторов s1 , s2 и M 1M 2 :    = s1 ⋅ s2 ⋅ M 1M 2 l1 m1 n1 l= m2 n2 0. 2 x2 − x1 y2 − y1 z2 − z1 Если прямые не принадлежат одной плоскости, они являются скрещивающимися. Рассмотрим теперь прямую x − x0 y − y0 z − z0 = = l m n ( L) и плоскость Ax + By + Cz + D = 0 (ω ) . Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости легко сформулировать на языке их направляющего вектора и нормали:     L  ω ⇔ N ⊥ s ⇔ ( N , s ) = 0 ⇔ Al + Bm + Cn = 0 (рис.10.2),   A B C (рис. 10.3). L⊥ω ⇔ N s ⇔ = = l m n Угол ϕ между прямой L и плоскостью ω – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Он в сумме с углом ψ между направляющим вектором пря  мой s и нормалью N 47 к плоскости составляет π / 2 (рис. 10.4). Отсюда sin ϕ = cosψ , но   | Al + Bm + Cn | | ( N , s) | . ⇒ ϕ = arcsin cosψ = 2 2 2 2 2 2 N ⋅s A + B +C ⋅ l +m +n условие Сформулируем прямой 0,  Al + Bm + Cn = L⊂ω ⇔  0.  Ax0 + By0 + Cz0 + D = принадлежности данной плоскости: Первое соотношение системы выражает параллельность прямой и плоскости, второе — принадлежность некоторой точки прямой данной плоскости. Выведем теперь формулу, по которой можно рассчитать расстояние от произвольной точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) пространства до прямой x − x0 y − y0 z − z0 . Если построить на векто= = l m n   рах M 0 M 1 и s , как на сторонах, параллелограмм, искомое расстояние d будет его высотой, прове денной к стороне длиной | s | (рис. 10.5). Площадь параллелограмма численно равна длине векторно  го произведения [ M 0 M 1 , s ] , отсюда   [ M 0 M1, s]  . (10.4) d= |s| Расстояние между скрещивающимися прямыми найдем, исходя из геометрического смысла смешанного произведения. Именно, объем V па  раллелепипеда, построенного на векторах s1 , s2 ,  M 1M 2 как на ребрах, численно равен модулю смешанного произведения этих векторов. Здесь 48  s1 = {l1 , m1 , n1} ,  s2 = {l2 , m2 , n2 } – направляющие векторы прямых, а M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z2 ) – их точки. Расстояние между скрещивающимиV , где площадь осS   нования S численно равна длине векторного произведения [ s1 , s2 ] (рис. 10.6). ся прямыми равно высоте d этого параллелепипеда: d = Таким образом:    s1 ⋅ s2 ⋅ M 1M 2   . d= | [ s1 , s2 ] | (10.5) Раздел V. Уравнения второго порядка и их геометрические образы Лекция 11 В лекции 9 мы выяснили, что уравнение первой степени Ax + By + C = определяет прямую линию на плоскости. Перейдем теперь к рассмотрению геометрических образов алгебраического уравнения второй степени относительно x и y : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 . Для упрощения общего уравнения воспользуемся преобразованиями поворота и параллельного переноса (см. лекцию 7). Поворотом системы устраняем слагаемое, содержащее произведение координат; затем параллельным переносом (с точки зрения алгебры это означает выделение полных квадратов) устраняем линейные слагаемые. Поясним этот алгоритм конкретным примером. Пример. Упростить уравнение 52 x 2 − 72 xy + 73 y 2 − 100 x + 50 y − 50 = 0. Произведем поворот системы на угол α относительно начала координат. Сделаем подстановку = α , y x′ sin α + y ′ cos α (см. лекx x′ cos α − y ′ sin= цию 7). После приведения подобных слагаемых получим x′2 (52cos2 α − 72cos α sin α + 73sin 2 α ) + x′y ′(72sin 2 α + 42sin α cos α − 72cos2 α ) + + y ′2 (52sin 2 α + 72cos α sin α + 73cos2 α ) + x′(50sin α − 100cos α ) + y′(50cos α + 100sin α ) − 50 = 0. 49 Потребуем, чтобы коэффициент при x′y ′ равнялся нулю:  −4 / 3, 72sin 2 α + 42sin α cos α − 72cos2 α =0 ⇒ 12 tg 2 α + 7 tg α − 12 =0 ⇒ tg α =  3 / 4. 3 3 Выберем α = arctg , тогда sin α = , 4 5 cos α = 4 . Подставив эти значения, 5 имеем 25 x′2 + 100 y ′2 − 50 x′ + 100 y ′ − 50 = 0 . Выделим полные квадраты по 2 1 1   4. x′ и y ′ : ( x′ − 2 x′ + 1) − 1 + 4  y ′2 + y ′ +  − 1 − 2 =0 , или ( x′ − 1) 2 + 4  y ′ +  = 2 4     2  y′ +  x′ − 1 , y= Обозначим x= 1 (это преобразование отвечает параллельному 2 переносу, см. лекцию 7). В результате получим уравнение Здесь = x x 2 + y 2 = 1. 4 4x + 3y 4 y − 3x 1 = − 1, y + . 5 5 2 Рассмотренный пример показывает, что любое уравнение второй степеx 2 y 2  0, ни можно привести к виду 2 ± 2 =  ±1 (если по обеим переменным остаa b  нутся квадраты), или к виду y 2 = ±2 px (либо x 2 = ±2 py – когда по одной из переменных квадрат отсутствует). Подобная запись сложилась исторически и называется канонической. Разберем каждое из уравнений отдельно. 1) x2 y2 + = −1 – уравнение не определяет ни одной точки. a 2 b2 x2 y2 2) 2 + 2 = 0 – уравнение определяет единственную точку – начало a b координат (0,0) . x2 y2 x y x y 3) 2 − 2 = 0 – уравнение распадается на два: + = 0 и − = 0 – a b a b a b каждое из которых является уравнением первой степени и, следовательно, определяет прямую. Итак, случай 3) определяет пару прямых, проходящих через начало координат. 50 Случаи 1) – 3) называются вырожденными. Остальные определяют т.н. кривые второго порядка. x2 y2 4) 2 + 2 = 1 . Это каноническое уравнеa b ние эллипса (рис. 11.1). Некоторые свойства этой кривой можно усмотреть из ее уравнения. Так, эллипс симметричен относительно обеих координатных осей, а значит, и относительно его центра – начала координат. Эллипс является финитной (ограниченной) кривой, поскольку | x |≤ a , | y |≤ b . Точки пересечения эллипса с координатными осями называются его вершинами. Они имеют координаты A1,2 ( ± a,0) , B1,2 (0, ±b) . Положительные параметры a и b называются полуосями эллипса, большой и малой. На рис. 11.1 изображен случай, когда a > b , т.е. a – большая, а b – малая полуось. Соответственно отрезки A1 A2 и B1B2 между вершинами являются большой и малой осями эллипса. Точки F1 ( −c,0) и F2 ( c,0) , лежащие на большой оси, называются фокусами эллипса. Здесь = c a 2 − b2 (и= c b2 − a 2 , когда b > a ; в этом случае фокусы лежат на оси Oy ). Можно показать, что эллипс является геометрическим местом точек, сумма расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная (и равная длине большой оси эллипса). Это свойство на самом деле является определением эллипса, свободным от привязки к какой-либо системе координат. Величина ε , равная отношению расстояния между фокусами к длине большой оси, называется эксцентриситетом эллипса. Очевидно, ε= c , a если a > b , и c b ε = , если b > a . Отметим, что 0 ≤ ε < 1 . При ε = 0 ⇔ a = b получается окружность. Прямые D1 и D2 , расположенные симметрично относительно центра эллипса и перпендикулярные его большой оси, расстояние между которыми в 1 ε раз больше длины большой оси, назы51 ваются директрисами эллипса. Уравнения директрис x = ± или y = ± b ε a ε (при a > b ) (при b > a ). x2 y2 5) 2 − 2 = 1 . Это каноническое уравнение гиперболы. Гипербола, как a b и эллипс, симметрична относительно координатных осей и центра, точки O (0,0) . Кривая является инфинитной (имеет неограниченно простирающиеся ветви). Очевидно, что | x |≥ a , y ∈  . y → ∞ имеем При x → ∞ x y  ± . Значит, пара пряa b b мых y = ± x являются асимптотами гиa перболы. Параметр a называется полуосью гиперболы, а b – мнимой полуосью. Точки A1,2 ( ± a,0) (рис. 11.2) называются вершинами гиперболы. Отрезок A1 A2 , соединяющий вершины, называется осью гиперболы. На прямой A1 A2 (вне оси) расположены т.н. фокусы гиперболы F1 ( −c,0) , F2 ( c,0) . Пара- метр= c a 2 + b2 . Гипербола является геометрическим местом точек, раз- ность расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная (и равная длине ее оси). Это инвариантное определение гиперболы. Отношение расстояния между фокусами к длине оси называется эксцентриситетом ε = c / a . Очевидно, что для гиперболы ε > 1 . Прямые D1 и D2 , расположенные симметрично относительно центра гиперболы и перпендикулярные ее большой оси, расстояние между которыми в ε раз меньше длины оси, называются директрисами гиперболы. Уравнения директрис x = ± a / ε . 6) x2 y2 − = −1 . Это также уравнение гиперболы. Ее называют a 2 b2 сопряженной с гиперболой, определяемой в случае 5). Если обратиться к 52 рисунку 11.2, то сопряженная гипербола вписана в свободные углы между асимптотами и касается прямоугольника в точках B1,2 (0, ±b) , которые являются ее вершинами. Фокусы такой гиперболы расположены на оси Oy , ε = c / b , уравнения директрис y = ±b / ε . Уравнения асимптот, очевидно, не меняются. 7) y 2 = 2 px . Это каноническое уравнение параболы (рис. 11.3). Кривая инфинитна, имеет ось, но не имеет центра симметрии. Точка O (0,0) называется ее вершиной, положительное число p — параметром; прямая D , перпендикулярная оси и отстоящая на расстояние p / 2 от вершины, называется директрисой. Точка F , лежащая на оси и также отстоящая на расстояние p / 2 от вершины, но по другую сторону, называется фокусом. Уравнения y 2 = −2 px , x 2 = ±2 py также определяют параболу, иначе (проанализируйте, как) расположенную относительно осей координат. Существует независимое от системы координат определение параболы: парабола — это геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы. Интересно, что подобным образом можно дать общее определение всех кривых второго порядка (т.е. эллипса, гиперболы и параболы). Определение. Кривой второго порядка называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до некоторой фиксированной точки (фокуса) к расстоянию до некоторой фиксированной прямой (директрисы) есть постоянное число ε . (Для эллипса и гиперболы имеются в виду фокус и директриса, лежащие по одну сторону от центра). При ε ∈ [0,1) получим эллипс, при ε ∈ (1, +∞) – гиперболу, при ε = 1 – параболу. 53 Лекция 12 Рассмотрим общее уравнение второго порядка относительно x , y , z : Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Kz + L = 0. Можно показать, что поворотом системы координат можно устранить слагаемые, содержащие произведение различных переменных. Однако детали такого преобразования оставим за рамками нашего курса. Линейные же слагаемые устраняются методом выделения полных квадратов – так же, как для общего уравнения второго порядка относительно x и y (см. лекцию 11). В результате получим канонические уравнения поверхностей второго порядка. Классификацию поверхностей проведем в зависимости от числа переменных, входящих с квадратом, и распределения положительных и отрицательных коэффициентов. x2 y2 z2 1) Трехосный эллипсоид 2 + 2 + 2 = 1 . Симметричен относительно a b c каждой из трех координатных плоскостей, а также начала координат (центра этой поверхности). Из всех поверхностей второго порядка только эллипсоид является ограниченной поверхностью. Точки с координатами ( ± a,0,0) , (0, ±b,0) , (0,0, ± c ) называются вершинами эллипсоида (рис. 12.1). Отрезки между вершинами называются осями, а положительные параметры a , b , c — полуосями эллипсоида. Любое непустое сечение эллипсоида плоскостями, перпендикулярными координатной оси Ox , Oy или Oz — это эллипс, полуоси которого уменьшаются и стремятся к нулю при приближении плоскости сечения к вершине эллипсоида. Если какие-нибудь две из трех полуосей эллипсоида равны, он является поверхностью вращения. Например, если a = b эллипсоид является поверхностью вращения вокруг оси Oz . При совпадении всех полуосей эллипсоид становится сферой. 54 x2 y2 z2 2) Однополостный гиперболоид 2 + 2 − 2 = 1 . Неограниченная поa b c верхность, симметричная как относительно центра O (0,0,0) , так и относительно каждой из координатных плоскостей. Все сечения, перпендикулярные оси Oz , являются эллипсами, наименьший из которых x2 y2 + = 1 (горловой эллипс), получается в a 2 b2 сечении плоскостью z = 0 (рис. 12.2). Сечения однополостного гиперболоида, перпендикулярные оси Ox или оси Oy , являются гиперболами. При a = b является поверхностью вращения относительно оси Oz . x2 y2 z2 3) Двуполостный гиперболоид 2 + 2 − 2 = −1 . Также симметричен отa b c носительно начала координат (центра) и каждой из координатных осей. Неограниченная поверхность, состоящая из двух частей, не связанных друг с другом: при z ≥ c и z ≤ −c – отсюда и ее название. Непустые сечения, перпендикулярные оси Oz , являются эллипсами (рис. 12.3). Сечения, перпендикулярные оси Ox или оси Oy , являются гиперболами. Точки (0,0, ± c ) называются вершинами двуполостного гиперболоида. Если a = b , то это поверхность вращения относительно 4) Конус второго порядка оси Oz . x2 y2 z2 + − = 0 . Каноническое уравнение отa 2 b2 c 2 личается от уравнений гиперболоидов отсутствием ненулевого свободного члена в правой части. Центр симметрии — точка O (0,0,0) — называется вершиной конуса. Вообще, конической называется поверхность, которая вместе с точкой M 0 ( x0 , y0 , z0 ) содержит и все точки M ( x, y , z ) прямой OM 0 . Ко55 нус второго порядка обладает этим свойством (рис. 12.4). Неограниченная поверхность, как бы «разделяющая» однополостные и двуполостные гиперболоиды. Имеет три плоскости симметрии Oxy , Oyz и Oxz . Сечения, перпендикулярные оси Oz , являются эллипсами, стягивающимися в точку при приближении к вершине. Сечения, перпендикулярные осям Ox или Oy – это гиперболы. Если a = b , то конус является поверхностью вращения относительно оси Oz и называется круговым. Уравнения 1)-4) исчерпывают все случаи т.н. центральных поверхностей второго порядка (не считая, конечно, перестановки переменных, что не приводит к новым поверхностям). Среди нецентральных поверхностей второго порядка прежде всего выделим параболоиды. Их канонические уравнения содержат квадраты лишь двух переменных, третья (не теряя общности, примем в качестве этой переменной z ) входит линейным образом. x2 y2 5) Эллиптический параболоид 2 + 2 = ± z . Каждое из этих уравнений a b определяет неограниченную поверхность с вершиной в точке O (0,0,0) , симметричную относительно плоскостей Oyz , Oxz . Любое непустое сечение, перпендикулярное оси Oz , является эллипсом, а параллельное оси Oz – параболой, отсюда и название. Если a = b , то является поверхностью вращения вокруг оси Oz и поэтому называется параболоидом вращения. На рис. 12.5 изображен параболоид при выборе знака "+ " в каноническом уравнении. Если выбран "− " , то эллиптический параболоид симметричен показанному на рисунке относительно координатной плоскости Oxy . 56 x2 y2 6) Гиперболический параболоид 2 − 2 = ± z . Все сказанное о выборе a b знака в правой части уравнения эллиптического параболоида применимо и к гиперболическому, поэтому ограничимся рассмотрением знака "+ " . Поверхность симметрична относительно плоскостей Oyz , Oxz . Сечения, перпендикулярные оси Ox или Oy , являются параболами. Сечения, перпендикулярные оси Oz (кроме плоскости z = 0 , сечение этой плоскостью приводит к паре прямых y = ±bx / a ) являются гиперболами, причем при переходе через плоскость z = 0 гиперболы- сечения переходят в семейство им сопряженных гипербол. Гиперболический параболоид имеет форму седла (рис. 12.6). Чтобы лучше представить себе пространственную форму этой поверхности, полезно иметь в виду, что гиперболический параболоид потому и получил свое название, что может быть получен путем параллельного перемещения параболы z = x 2 / a 2 , вершина которой скользит по другой параболе z = − y 2 / b2 , расположенной в плоскости, перпендикулярной плоскости первой параболы. Осталось отметить цилиндрические поверхности (признаком такой поверхности служит отсутствие одной из переменных в ее каноническом уравнении). Например, эллиптический цилиндр (рис. 12.7) в пространстве опредеx2 y2 ляется уравнением 2 + 2 = 1 . Гиперболический и параболический цилиндры a b определяются уравнениями x2 y2 − 2 = 1 и y 2 = 2 px соответственно. 2 a b 57 Существуют также канонические уравнения, определяющие т.н. выроx2 y2 жденные случаи. Например, уравнение 2 − 2 = 0 определяет в пространстa b x2 y2 z2 ве пару плоскостей y = ±bx / a , уравнение 2 + 2 + 2 = 0 определяет точку a b c x2 y2 z2 −1 не определяет ни одной точки. (0,0,0) , а уравнение 2 + 2 + 2 = a b c Раздел VI. Линейные пространства Лекция 13 Пусть дано множество V = { x, y , z,...} , и в этом множестве определена операция сложения так, что каждой паре элементов x, y множества V ставится в соответствие однозначно определенный элемент x + y ∈V , который называется их суммой. И пусть однозначно определено произведение α x ∈V элемента x ∈V на число α ∈  . Определение. Множество V будем называть действительным линейным пространством, если указанные операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам: 1) x + y = y + x (свойство коммутативности), 2) ( x + y ) + z =x + ( y + z ) (свойство ассоциативности), 3) существует нулевой элемент θ ∈V такой, что x + θ= x, ∀x ∈V , 4) ∀x ∈V ∃( − x ) (противоположный элемент) такой, что x + ( − x ) =θ , 5) α ( x + y ) = α x + α y , 6) (α + β )x =α x + β x , 7) (α ⋅ β ) x = α (β x) , 8) 1 ⋅ x = x. Элементы линейного пространства V будем называть векторами. 58 Примеры линейных пространств. (A) Геометрические векторы на плоскости. Операции сложения векторов и умножения вектора на число были определены ранее. Аксиомы 1) - 8) верны как свойства этих операций. Следовательно, это линейное пространство. (B) Геометрические векторы в пространстве. (C) Множество M 2×2 матриц размера 2 × 2 . Определения суммы матриц и произведения матрицы на число определены стандартным образом. Нулевым вектором будет матрица, все элементы которой равны нулю. Множество таких матриц будет линейным пространством. (D) Множество P2 многочленов с действительными коэффициентами степени, не превосходяP2 = α 0 + α1t + α 2t 2 , α 0 , α1 , α 2 ∈ . щей 2: (E) Рассмотрим множество  n упорядоченных наборов из n действительных чисел (α1 , α 2 ,..., α n ) , αi ∈ . Введем на этом множестве операции сложения и умножения на число по формулам (α1 , α 2 ,..., α n ) + ( β1 , β 2 ,..., β n ) = (α1 + β1 , α 2 + β 2 ,..., α n + β n ) , λ ⋅ (α1 , α 2 ,..., α n ) (λα1 , λα 2 ,..., λα n ), λ ∈  . Легко проверить, что данные опе= рации удовлетворяют свойствам 1)–8) линейного пространства. Следовательно, множество  n является линейным пространством. Введем понятия линейной зависимости и независимости векторов линейного пространства V . Определение. Векторы x1 , x2 ,..., xn ∈V называются линейно зависимыми, если существуют числа αi , не все равные нулю, такие, что α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = θ. Определение. Векторы x1 , x2 ,..., xn ∈V называются линейно независимыми, если равенство α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn = θ справедливо ⇔ все αi = 0 . Примеры. (А) Любые два вектора a и b на плоскости, исходящие из общего начала, линейно независимы, если они неколлинеарны. (B) В пространстве любые три вектора a , b , c , исходящие из общего начала, линейно независимы, если они некомпланарны. (C) Рассмотрим линейное пространст- 59 1 0  0 1 0 0 0 0 во M 2×2 . Матрицы  ,  ,  ,   линейно независимы.  0 0  0 0 1 0 0 1 (D) Рассмотрим линейное пространство многочленов P2 . Очевидно, что многочлены 1, t , t 2 линейно независимы. (E) Рассмотрим линейное пространство  n . Очевидно, что n упорядоченных наборов (1,0,...,0), (0,1,...,0), (0,0,...,1) (в каждом наборе n чисел, в k -м наборе на k -м месте стоит единица, остальные нули) являются линейно независимыми. Определение. Размерностью линейного пространства V называется максимальное число его линейно независимых векторов. Пусть это число равно n . В этом случае пишут dimV = n . Такие пространства мы будем обозначать Vn . Определение. Пусть имеется пространство Vn . Тогда любой упорядоченный набор из n линейно независимых векторов {ei }i =1 пространства Vn n называется базисом этого пространства, если ∀x ∈Vn ∃αi ∈  такие, что x= α1 x1 + α 2 x2 + ... + α n xn . Во всех примерах (A)–(E) указанные системы линейно независимых элементов являются базисом в своем линейном пространстве. Координаты вектора линейного пространства Vn в некотором базисе. Пусть имеется линейное пространство Vn и в нем фиксированный базис {e1 , e2 ,..., en } . Пусть a ∈Vn , тогда можно записать a= α1e1 + α 2e2 + ... + α n en . (13.1) Это выражение для вектора единственно. Следовательно, вектор a однозначно соответствует упорядоченному набору (α1 , α 2 ,..., α n ) коэффициентов его вырaжения (13.1) через базис {ei }. В этом случае говорят, что упорядоченный набор (α1 , α 2 ,..., α n ) – это координаты вектора a в базисе {ei }. Формула (13.1) – это разложение вектора a по 60 базису {ei }. Заметим, что базис мы зафиксировали, в другом базисе координаты вектора a будут другие. Вернемся к рассмотрению линейного пространства Vn . Возникает следующий вопрос: как меняются координаты вектора при переходе к новому базису? Закон преобразования устанавливается матрицей Te→ f , которая задается следующим образом. Пусть имеется два базиса {ei }и { fi } в Vn . Тогда можно записать, что f k= t1k e1 + t2 k e2 + ... + tnk en , k = 1,..., n , так как любой вектор пространства Vn однозначно записывается через базис {ei }. Запишем последнее соотношение в матричном виде:  t11 t ( f= ( e1 , e2 ,..., en ) ⋅  21 1 , f 2 ,..., f n )  ....   tn1 (Подробно о перемножении t12 ... t1n  t22 ... t2 n  . .... .... ....   tn 2 ... tnn  матриц см. (13.2) лекцию 2.) Матрица Te→ f = (tij ) — это матрица перехода от базиса {ei } к базису { f i } . Матричное соотношение (13.2) можно записать в виде f = eTe→ f . Заметим, что матрица Te→ f является невырожденной, поскольку ее столбцы линейно независимы. Правило преобразования координат вектора при переходе к новому базису. Соотношение (13.1) можно записать в матричном виде:  α1  α  a = ( e1 , e2 ,..., en ) ⋅  2  = e ⋅ Α , где Α – вектор-столбец (матрица размера n × 1 ,       αn  составленная из координат вектора a ). С другой стороны, a= f ⋅ Α ' , где Α ' – столбец координат того же вектора a в новом базисе { fi } . В силу (13.2) = a eTe→ f ⋅ Α ' , и в то же время a = e ⋅ Α . Из единственности f = eTe→ f , тогда разложения по базису имеем Te→ f ⋅ Α ' = Α , или= Α ' Te→ f −1 ⋅ Α . Заметим, что 61 обратная матрица Te→ f −1 существует в силу невырожденности матрицы перехода. Пример. Рассмотрим пространство V3 с базисом {ei }, и пусть базис { f i } выражается через базис {ei }по формулам f1 = 5e1 − e2 − 2e3 , = f1 2e1 + 3e2 , f1 = −2e1 + e2 + e3 . Матрица перехода от базиса {ei }к базису { fi } имеет вид  3 −2 8   5 2 −2     −1 1 −3  . −1 Te→ f = −1 3 1 , обратная матрица Te→ f =      −2 0 1   6 −4 17      1 Пусть задан вектор= a (1,4, −1) в базисе ( e1 , e2 , e3 ) , т.е. a =  4  . Тогда    −1     3 −2 8   1   −13  a ' = −1 1 −3  ⋅  4  = 6  .        6 −4 17   −1  −27        Значит, его разложение по базису −13 f1 + 6 f 2 − 27 f 3 . ( f1 , f 2 , f 3 ) имеет вид a = Лекция 14 Определение. В пространстве Vn задано скалярное произведение, если любой упорядоченной паре векторов a, b ∈Vn поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом ( a, b ) и называемое скалярным произведением векторов a и b , причем это соответствие должно удовлетворять т.н. аксиомам скалярного произведения: 1) ( a, b) = (b, a ) (свойство коммутативности), 2) ( a + b, c ) = ( a, c ) + (b, c ) (свойство дистрибутивности), 3) (α= a, b) α ( a, b), ∀α ∈  (свойство однородности), 4) ( a, a ) ≥ 0 , причем ( a, a ) = 0 ⇔ a = θ , где θ – нулевой элемент пространства Vn . 62 Определение. Если в Vn определено скалярное произведение, то это пространство называется евклидовым пространством. Будем обозначать евклидово пространство символом En . {ei }. Пример. Пусть в Vn зафиксирован базис x, y ∈Vn n x = ∑αi ei , i =1 n y = ∑ β i ei . Определим Тогда для любых скалярное произведение i =1 ( x, y ) следующим образом: n ( x, y ) = ∑αi β i . (14.1) i =1 Проверим, что (14.1) определяет скалярное произведение, т.е. проверим выполнение аксиом 1) – 4). Действительно: 1) = ( x, y ) n αi βi ∑= n βα ∑= i =i 1 =i 1 n ∑ (αi + βi )γ i = 2) ( x + y , z ) = n 3) = (α x, y ) n n = αα β α= ∑ ∑α β i i =i 1 =i 1 ( y, x) , ∑ (αiγ i + βiγ i ) = ( x, z ) + ( y, z ) , где z = ∑γ i ei , i =1 =i 1 =i 1 n i i i α ( x, y ) , 4) x, x ) (= n n α α ∑α ∑= i i =i 1 =i 1 2 i ≥ 0, и равенство имеет место лишь при всех αi = 0 . Введем понятие нормы (длины) вектора из En . Для любого x ∈ En определим норму по следующей формуле: x = ( x, x ) . При этом выполняются следующие свойства нормы: 1) x ≥ 0 , причем x = 0 ⇔ x = θ (неотрицательность нормы), 2) x + y ≤ x + y (неравенство треугольника), 3) α ⋅ x = | α | ⋅ x . Свойства 1) и 3) очевидны из определения нормы. Докажем неравенство треугольника. Для этого выведем сначала т.н. неравенство КошиБуняковского. В силу аксиомы 4) скалярного произведения (λ x + y , λ x + y ) ≥ 0 , но (λ x + y , λ x += y ) λ 2 ( x, x ) + 2λ ( x, y ) + ( y , y ) ≥ 0 . Для раскрытия скобок мы воспользовались аксиомами 1)-3). Поскольку неравен63 ство выполняется для всех λ ∈  , дискриминант квадратного трехчлена относительно λ неположителен, т.е. D= 4( x, y ) 2 − 4( x, x) ⋅ ( y, y ) ≤ 0 . Отсюда ( x, y ) 2 ≤ ( x, x ) ⋅ ( y , y ) =x ⋅ y . После извлечения квадратного корня получа2 2 ем неравенство Коши-Буняковского | ( x, y ) |≤ x ⋅ y . (14.2) Вернемся к доказательству свойства 2) нормы. Можно записать, что x + y =( x + y, x + y ) =( x, x ) + 2( x, y ) + ( y , y ) ≤ x + 2 x ⋅ y + y= 2 2 2 (x + y ), 2 откуда после извлечения квадратного корня и следует неравенство треугольника. При выводе мы воспользовались соотношением (14.2). Наличие скалярного произведения позволяет ввести в En понятие угла ϕ между векторами x, y ∈ En , а именно cos ϕ = ( x, y ) . x ⋅ y (14.3) При этом в силу неравенства (14.2) для любых x, y | cos ϕ |≤ 1 , т.е. введенное определение угла корректно в действительном евклидовом пространстве. Заметим, что из (14.3) следует, что если ( x, y ) = 0 , то ϕ = π / 2 . В этом случае будем говорить, что векторы x и y ортогональны по аналогии с геометрическими векторами. Определение. Система ненулевых векторов {xi }i=1 k из En называется ортогональной, если ( xi ,= x j ) 0, i ≠ j . Утверждение. Векторы ортогональной системы линейно независимы. Доказательство. В самом деле, пусть α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk = θ , тогда можно записать, что ( x j , α1 x1 + α 2 x2 + ... + α k xk ) = 0 для любого x j этой системы. Раскрывая скобки и учитывая ортогональность системы, получим, что ( x j , α j x j ) =α j ⋅ x j 2 =0 ⇒ α j =0 , поскольку все векторы в системе ненуле- 64 вые. Значит, все коэффициенты α j в линейной комбинации равны нулю, что и означает, по определению, что векторы x1 , x2 ,..., xk – линейно независимы. Утверждение. Любая линейно независимая система может быть ортогонализована. Доказательство. {xi }i=1 . k Пусть имеется k линейно независимых векторов В качестве первого вектора ортогональной системы {ei }i =1 возьмем k e1 = x1 . Далее, положим = e2 α1e1 + x2 . Подберем число α1 так, чтобы ( e1 , e2 ) = α1 ( e1 , e1 ) + ( e1 , x2 ) = 0 . Следовательно, α1 = − ( e1 , x2 ) e1 2 . Третий вектор будем строить в виде линейной комбинации e3 = β1e1 + β 2e2 + x3 . Коэффициенты β1 β2 и подберем, исходя из требования ортогональности (= e3 , e1 ) (= e3 , e2 ) 0 . Поскольку условие ( e1 , e2 ) = 0 уже выполнено, получим ( e3 , e1 ) = β1 e1 + ( x3 , e1 ) = 0 , ( e3 , e2 ) = β 2 e2 + ( x3 , e2 ) = 0 , откуда β1 = − 2 2 β2 = − ( x3 , e2 ) e2 2 ( x3 , e1 ) e1 2 , . Продолжая этот процесс, мы выстраиваем ортогональную систему в виде линейных комбинаций векторов данной системы. Описанный алгоритм называется процессом ортогонализации. Определение. Вектор b ∈ En назовем нормированным, если b = 1 . Любой вектор евклидова пространства можно нормировать – умножить его на т.н. нормирующий множитель b= a a 1 1 . Так, если a ≠ 1 , то = a (a, a ) уже имеет единичную норму b = 1 , т.е. является нормированным. Переход от вектора a к вектору b называется нормировкой вектора a . Определение. Базис {ei }пространства En называется ортонормированным, если: 1) этот базис ортогонален; 2) все векторы этого базиса нормированы. 65 Утверждение. Любое пространство En обладает ортонормированным базисом. Доказательство. Возьмем произвольный базис, подвергнем его процессу ортогонализации, а затем нормировке. Пусть {ei }i=1 – n ортонормированный базис в En . Выразим скалярное произведение двух произвольных векторов этого пространства через их n координаты. Пусть x = ∑αi ei , i =1 n n n n y = ∑ β i ei , тогда i =1 n n ( x, y ) =∑αi ei ⋅ ∑ β j e j =∑∑α i β j (ei , e j ) = ∑α i βi , что совпадает с формулой (14.1). =i 1 =j 1 =i 1 =j 1 Пример. =i 1 Найти ортонормированный базис, порожденный векторами x1 = (1,2,1) , x2 = (2,3,4) , x3 = (3,2,1) . Вычислим определитель матрицы пере- хода Te→ x к «базису» {x1 , x2 , x3 } от базиса e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) , e3 = (0,0,1) 1 2 3 пространства E3 : det Te→= 2 3 2= 10 ≠ 0 ⇒ {x1 , x2 , x3 } – базис. x 1 4 1 Положим f= (1,2,1) , f1 = 6 . x= 1 1 ( f ,x ) 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 1⋅ 4 Далее,= f 2 α1 f1 + x2 , где α1 = − 1 22 = − 2 = −2 . 1 + 22 + 12 f1 ( f ,x ) 4 Тогда f= − 1 23 = − , (0, −1,2) , f 2 = 5 . Ищем f 3 = β1 f1 + β 2 f 2 + x3 , где β1 = 2 3 f1 ( f ,x ) β2 = − 2 23 = 0 . Отсюда f 3 = (5 / 3, −2 / 3, −1 / 3) , f2 Нормируя систему  1 2 1  g1 =  , , ,  6 6 6 { f1 , f 2 , f 3 } , f 2 = 30 / 3 . получим ортонормированный базис 1 2   g= , 2  0, − , 5 5  66 2 1   5 g1 =  ,− ,− . 30 30   30 Лекция 15 Пусть дано n-мерное действительное линейное пространство Vn , и пусть задано отображение A: Vn → Vn , , т.е. для ∀x ∈Vn , Ax =y , вектор y ∈Vn называется образом вектора x . Определение. Отображение A называется линейным оператором, если: 1) A(x+y)=Ax +Ay ∀x, y ∈Vn ; 2) A(λ x ) = λ ( Ax ) ∀x ∈Vn , ∀λ ∈ R . Замечание. В этом разделе под оператором A мы понимаем только линейный оператор. Утверждение. 1) Линейный оператор переводит любую линейную комбинацию векторов в линейную комбинацию (с теми же коэффициентами) образов этих векторов, т.е. A(α1 x1 + ... + α n x= α1 Ax1 + ...α n Axn ; 2) линейный n) оператор переводит вектор θ (нулевой) в θ ; 3) A( − x ) = − Ax . Докажем пункт 2). Пусть y ∈Vn – произвольный вектор. Тогда Aθ =A(0 ⋅ y ) =0 ⋅ Ay =θ . Доказательство пункта 3). Действительно, A(( −1) ⋅ x ) =( −1) ⋅ Ax . Примеры. 1. Тождественный оператор I x = x, ∀x ∈Vn 2. Нулевой оператор О x = θ , ∀x ∈Vn . 3. Линейный оператор, переводящий вектор, исходящий из начала координат, в проекцию на какую-либо ось. 4. Ax = [a, x ] , где a = (α1 , α 2 , α 3 ) - фиксированный вектор в пространстве R 3 ; [a, x ] – векторное произведение векторов в пространстве R 3 . В линейном пространстве Vn зафиксируем базис A : Vn → V {ei }in=1 . Тогда для ∀x ∈Vn имеем x= α1e1 + ... + α n en . Любой линейный оператор A , действующий в пространстве Vn , однозначно определяется заданием образов 67 Ae1 ,..., Aen всех векторов фиксированного базиса. Действительно, пусть n n i =1 i =1 x = ∑αi ei , тогда Ax = ∑αi Aei , а величины Aei уже определены. Утверждение. Для любого упорядоченного набора v1 ,..., vn ∈Vn ∃ единственный линейный оператор A : Vn → Vn , такой что Aei = vi . Это означает взаимно однозначное соответствие между A : Vn → Vn , и набором векторов {v1 ,..., vn } из Vn . Очевидно, что любой v j из этого набора записывается в базисе {e } n i i =1 в = виде v j n = α e,j ∑ i =1 ij i 1,..., n , где числа αij - координаты векторов v j в базисе {ei }in=1 . Составим из коэффициентов αij  α11 α12 α α 22 матрицу A =  21  ... ...   α n1 α n 2 ... α1n  ... α 2 n   , здесь j – столбец матрицы A состоит из ... ...   ... α nn  координат вектора v j . Поскольку {v j } произвольны, то и матрица A произвольна и dim A= n × n . Таким образом, мы получили взаимно однозначное соответст- вие при фиксированном базисе между линейными операторами и матрицами. Определение. В этом случае говорят, что матрица A= {αij } – матрица линейного оператора A в базисе {ei }in=1 . Если разложить вектор Aek по базису {ei }in=1 , то будем иметь Ae= α1k e1 + α 2 k e2 + ... + α nk ek , k= 1,..., n, k т.е. Ae == Ae1 ,..., Aen ), e ( e1 , e2 ,..., en ). eA, где Ae (= (15.1) (15.2) Пусть A – матрица линейного оператора. Вопрос. Как найти координаты образа вектора x ∈Vn при этом преобразовании A ? 68 n Итак, пусть x = ∑ γ i ei , γ i известны, = Ax n ∑ β e . Тогда y= ,y i =1 n ∑β e = γ 1 Ae1 + ... + γ n Ae= Ax n n k =1 n Ae ∑ γ (α ∑γ= = Ax i =i 1 т.е. k k n i n ∑ (∑γ α = k 1 =i 1 i i =i 1 i =1 i i . Используя формулу (15.1), получаем, что e + ... + α= ni en ) 1i 1 n n n e ∑β e , ∑γ ∑α= i =i 1 = k 1 ki k = k 1 k k n ki ) = ∑ β k ek . В итоге получаем формулу = k 1 ( β1 , β 2 ,..., β n )t = A(γ 1 ,..., γ n )t . (15.3) Пример. Пусть задано V3 и определена матрица линейного оператора A  −2 1 0  в виде: A =  1 3 2  . Задан вектор a = 5e1 + e2 − 2e3 . Найдем координаты    6 −4 1    b – образа этого вектора при нашем преобразовании. Согласно формуле (15.3), получим, что  −2 1 0   5   b Aa 3 2   1= = = 1     6 −4 1   −2      −9   4  , т.е. b = −9e1 + 4e2 + 24e3 .    24    Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса. Пусть имеется пространство Vn и два базиса {ei } и { f i } и матрица перехода T от базиса {ei } к базису { f i } , т.е. f = eT . И пусть оператор D задается матрицей A и B соответственно в базисе {ei } и { f i } , тогда, ввиду (15.1),(15.2), D e = eA, D f = fB . Отсюда получаем, что D= f fB = ( eT )= B e(TB ), но D f = D(eT) = (De)T = (eA)T = e(AT), ⇒ e(TB) = e(AT). Поскольку векторы ei линейно независимы, то получаем, что TB = AT , или = B T −1 AT , = A TBT −1 ,det T = T ≠ 0. (15.4) Пример. Пусть задан линейный оператор Ax = [a, x ] , где a = (α1 , α 2 , α 3 ) фиксированный вектор в пространстве R 3 , [a, x ] – означает векторное произведение векторов (см. лекцию 8) пространства R 3 . Найдем матрицу опера69  тора в стандартном базисе e = {i, j, k } . Так как a =α1 i + α 2 j + α 3 k , то [a= , i ] α3 j − α2 k , [ a, j ] = −α 3 i + α1 k , [ a ,= k ] α 2 i − α1 j. Отсюда получаем, что  0 вид: Ae  α 3 матрица оператора A в базисе e = {i, j, k } имеет =   −α  2 −α 3 α2  −α1  .  0  α1 Пример. Пусть базис { f i } получается поворотом базиса {ei } вокруг орта i на угол ϕ . Матрица перехода от базиса {ei } к базису { f i } имеет вид: 1 = Te→ f  0 cos ϕ   0 sin ϕ  Пример. 0  − sin ϕ  ,  cos ϕ  Рассмотрим 1  0 cos ϕ −1 T= T= f →e e→ f   0 − sin ϕ  тождественный 0  sin ϕ  .  cos ϕ  оператор I: V3 → V3 . 1 0 0 Его матрица имеет= вид I = 0 1 0  E . 0 0 1   Лекция 16 Пусть дано Vn и линейный оператор A : Vn → Vn . Определение. Вектор x ∈Vn , x ≠ θ , называется собственным вектором оператора A, если существует число λ такое, что Ax = λ x , причем λ называется собственным значением оператора A. Как находить собственные значения оператора A и отвечающие им собственные векторы? Пусть A – матрица линейного оператора A : Vn → Vn в некотором базисе. И пусть также заданы координаты вектора x, т.е. x = ( β1 , β 2 ,..., β n ). Тогда формулу Ax = λ x можно записать 70 в виде ( A − λ E ) xt = θ t , где  a11 − λ  a  21 A − λE =  ...   a n1 a12 a22 − λ ... an 2 ... a1n  ... a2 n   . Это характеристическая матрица ... ....   ... ann − λ  оператора A. Выражение A − λ E = det( A − λ E ) представляет собой характеристический многочлен n-степени матрицы A, его корни называются характеристическими корнями этой матрицы. Определение. Матрицы A и T −1 AT , где T – некоторая невырожденная матрица, называются подобными. Утверждение. Подобные матрицы обладают одинаковыми характеристическими многочленами и, следовательно, одинаковыми характеристическими корнями. Нахождение характеристических корней матрицы. Пример. Пусть матрица А имеет вид:  1 −3 1  A =  3 −3 −1  .    3 −5 1    (16.1) Ее характеристический многочлен det( A − λ E ) = (λ + 1)(4 − λ 2 ) = 0 . Корни последнего: λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = −2 . Утверждение. Действительные характеристические корни оператора A (если они cуществуют) и только они являются собственными значениями этого оператора. Доказательство. Достаточность. Обозначим через A матрицу оператора n A в базисе {ei } . Пусть x = ∑ β i ei – собственный вектор оператора A, т.е. суi =1 ществует λ0 ∈ R такое, что Ax = λ0 x. Получаем систему уравнений: λ0 β1 ,  a11β1 + a12 β 2 + ... + a1n β n =  a β + a β + ... + a β = λ0 β 2 ,  21 1 22 2 2n n  ......................................   λ0 β n .  an1β1 + an 2 β 2 + ... + ann β n = 71 (16.2) Систему уравнений (16.2) запишем в виде 0,  ( a11 − λ0 ) β1 + an 2 β 2 + ... + ann β n =  a β + ( a − λ ) β + ... + a β = 0,  21 1 22 2 2n n   .................................................... 0.  an1β1 + an 2 β 2 + ... + ( ann − λ0 ) β n = (16.3) Так как x ≠ θ , т.е. ∃β i ≠ 0 и система однородных уравнений (16.3) имеет ненулевое решение ⇔ a11 − λ0 a21 ... a n1 a12 a22 − λ0 ... an 2 a1n ... a2 n ... = 0. ... ... ... ann − λ0 (16.4) Отсюда получаем, A − λ0 E = 0, т.е. собственное значение λ0 оператора является характеристическим числом матрицы A и, следовательно, λ0 ∈ R . Необходимость. Пусть λ0 – действительный характеристический корень оператора и, следовательно, характеристический корень матрицы A: A − λ0 E = 0 . В этом случае система однородных уравнений (16.4) обладает ненулевым действительным решением. Обозначим это решение через ( β1 , β 2 ,..., β n ) . После этого получим систему (16.3), которую запишем в мат- ричном виде Ax t = λ0 x t , где x= ( β1 , β 2 ,..., β n ) ≠ θ . Последнее равенство приводит к формуле Ax = λ0 x. Следовательно, вектор x является собственным вектором оператора A, отвечающим собственному значению λ0 . Приведенное доказательство дает алгоритм нахождения собственных векторов оператора A. Так, вначале мы должны найти собственные значения λi линейного оператора (это будут характеристические корни матрицы A ). Затем, последовательно подставляя значения λi (вместо λ0 ) в систему (16.3), находим координаты соответствующего собственного вектора ( β1( i ) , β 2( i ) ,..., β n( i ) ) , отвечающего данному собственному значению λi . (Как на- ходить решения однородной системы уравнений, см. лекцию 5). 72 Пример. Пусть матрица A определена формулой (16.1). Ее характеристические корни: λ1 = −1, λ2 = 2, λ3 = −2 . Подставляя в систему (16.3) λ0 = λ1 = −1, получим систему 2 x1 = ( β1(1) , β 2(1) ,..., β n(1) ) :  3   3 −3 −2 −5 уравнений для нахождения вектора 1   β1(1)   0      −1  β 2(1)  = 0 .    (1) 2   β 3   0  Из системы находим, что x1 = c(1,1,1) . Аналогично поступаем с λ2 и λ3 и находим, соответственно, что x2 c= = (4,1,7), x3 c(2,3,3) , где c ∈ R . Пусть A : Vn → Vn - линейный оператор, и пусть в базисе {ei } оператор определяется матрицей A. Утверждение. Матрица A линейного оператора A задается диагональной матрицей ⇔ все векторы ei базиса {ei } являются собственными векторами A. Утверждение. Собственные векторы x1 , x2 ,... xk , отвечающие различным собственным значениям оператора А, линейно независимы. Пример. Найдите собственные значения и собственные векторы мат 2 −1 2  рицы= A  5 −3 3  .  −1 0 −2     2 −1 2  1 0 0  2 − λ   A − λ= E  5 −3 3  − λ ⋅  0 1 = 0   5  −1 0 −2   0 0 1   −1      −1 −3 − λ 2  3  . −2 − λ  −(λ + 1)3 . (2 − λ )(2 + λ )(3 + λ ) + 3 − 5(2 + λ ) − 2(3 + λ ) = Определитель det( A − λ E ) = Характеристическое уравнение (λ + 1)3 = 0 , откуда λ = −1. Подставим λ = −1  3 −1 2   x1   0   0  . Решим эту в уравнение ( A − λ E ) X = 0 , получим  5 −2 3   x2  =    −1 0 −1  x   0    3    систему методом Гаусса: 73  3 −1  5 −2   −1 0  Отсюда  x1  = X = x2  x   3 2  −1 0 3-ю стр. на 1-е место  0 −1 3      0 −2 −1  0, − x1 − x3 = − x2 − x3 = 0. −1   −1 0 −1 −1    0 −1 −1 . −2   0 0  Общим решением будет 1  1  ⋅ t , t ∈ R . Итак, мы нашли всего один собственный вектор      −1 = e1 (1, 1, −1) (все остальные, полученные умножением на число t , не дают линейно независимых с e1 ). Значит, эта матрица не может быть приведена к диагональному виду.  2 −6  Пример. Привести к диагональному виду матрицу A =  . − 2 1   Решение. | A − λ E |= Для 2−λ −2 −6 = λ 2 − 3λ − 10 = 0 , корни λ1 = 5 , λ2 = −2 . 1− λ  −3 −6   x   0  1 λ1 = 5 имеем   x  =  ,   −2 −4   2   0   4 λ2 = −2 имеем   −2  x1   2  x1 + 2 x2 = 0 , =    ⋅ t . Для  x2   −1 −6   x1   0   x1   3  , , − x + x = = 2 3  x=    ⋅ t . Выберем два   1 2 3   x2   0   2   2 линейно независимых собственных вектора, из которых составим базис: e= (2, −1) и e2 = (3, 2) . Матрица перехода к этому базису имеет вид 1  2 3 1  2 −3  , обратная к ней T −1 =  T =  . Теперь найдем матрицу A′ :  1 2 1 2 − 7     −1 = A′ T= AT 1  2 −3  2 −6  2 3  1  2 −3  10 −6   5 0     =    =   . 7  1 2  −2 1  −1 2  7  1 2  −5 −4   0 −2  Как и должно быть, на диагонали расположены собственные значения в том порядке, в котором были выбраны собственные векторы. При помощи перехода к диагональной матрице, подобной данной, легко возвести матрицу A в произвольную целую степень. Именно, для диаго74  λ1 0  0  0 λ  0 2 k  = нальной матрицы ( A′) =         0 0  λn  k  λ1k  0    0 λ2k  0  0 .      λnk    ′) k (T −1 AT= Но ( A= ) k T −1 AT ⋅ T −1 AT ⋅  ⋅ T −1 AT = T −1 AkT , отсюда можно E  53 найти A = T ( A′) T . Для матрицы из последнего примера ( A′) =  0 k −1 k 3 0  , −23   2 −6   2 3 125 0  2 / 7 −3 / 7   68 −114  откуда получим = A =   −1 2  0 −8  1 / 7=   −38 49  . − 2 1 2 / 7         3 3 ( A′ )3 T T −1 Рекомендуем проверить этот ответ непосредственным возведением в куб матрицы A . Лекция 17 Определение. Оператор A : Vn → Vn имеет простую структуру, если все его характеристические корни действительны и различны. В силу последнего определения получаем, что в случае оператора простой структуры существует базис, составленный из собственных векторов этого оператора. А это означает, что матрица оператора, имеющего простую структуру, может быть задана диагональной матрицей, т.е. существует мат λ1 0 0 λ 2  −1 рица Q ( det Q ≠ 0 ) такая, что A = Q BQ , где B =  0 0   ... ...  ... ...  ...  ...   λ3 ...  .  ... ...  ... λn  ... ... Определение. Пусть оператор A : En → En . Оператор A* называется сопряженным к оператору A, если ( Ax, y ) = ( x, A∗ y ) для любых x, y ∈ En . 75 Операция ∗ перехода от оператора A к A* обладает следующими свойствами: 1) (A*)*=A; 2) (A+B)*=A*+B*; 3) (AB)*=B*A*; 4) (α A)∗ = α A∗ ; 5) ( A−1 )∗ = ( A∗ ) −1 . Доказательство. 1) (= Ax, y ) (= x, A∗ y ) (= A∗ y , x ) ( y ,(= A∗ )∗ x ) (( A∗ )∗ x, y ) . В силу произвольности x и y получаем, что A = (A*)*. ∗ 3) (( AB = )∗ x, y ) ( x= , A( By )) ( A= ( By ), x ) (= By , A∗ x ) ( y , B= ( A∗ ) x ) ( B∗ A∗ x, y ) . В силу произвольности x и y получаем, что ( AB )∗ = B ∗ A∗ 5) Поскольку ( Ix = , y ) (= x, y ) ( x, I ∗ y ), то I = I∗. Следовательно, 1 ∗ AA−1= A−1 A= I= I ∗ и, поэтому, (= AA−1 )∗ (= A−1 A)∗ I ∗ и A∗ ( A∗ ) −= I= I . Из последних двух равенств получаем: Оператор A A∗ ( A∗ ) −1 = A∗ ( A−1 )∗ , отсюда ( A∗ ) −1 = ( A−1 )∗. Определение. называется самосопряженным, если ( Ax, y ) = ( x, Ay ) , для любых x, y ∈ En . Утверждение. Самосопряженный оператор A в любом ортонормированном базисе задается симметрической матрицей. Обратное утверждение также верно. Утверждение. Все характеристические корни линейного самосопряженного оператора A : En → En действительны. Утверждение. Собственные векторы xk , отвечающие различным собственным значениям линейного самосопряженного оператора A : En → En , ортогональны.  11 2 −8  Пример. Пусть дана матрица A =  2 2 10  .    −8 10 5    Характеристические корни матрицы имеют вид: λ1 = 9, λ2 = −9, λ3 = 18 . Подставляя в систему (16.3) λ0 = λ1 , получим собственный вектор x1 = (2 / 3, 2 / 3, 1 / 3) . 76 Аналогично находим x2 = (1 / 3, −2 / 3, 2 / 3), x3 = ( −2 / 3, 1 / 3, 2 / 3) . Нетрудно проверить, что векторы взаимно ортогональны, т.е. (= x1 , x2 ) ( = x2 , x3 ) (= x1 , x3 ) 0 . Матрица оператора A в базисе f = {x1 , x2 , x3} 9 0 0  имеет вид = A f  0 −9 0  .    0 0 18    Лекция 18 Пусть имеется пространство Vn . Рассмотрим прямое произведение Vn на Vn , т.е. Vn × Vn = {{x, y}, x, y ∈Vn } . Определение. Числовая функция B(x, y): Vn × Vn → R называется билинейной формой, если при фиксированном y форма является линейной по x, а при фиксированном x является линейной по y. Билинейная форма является симметрической, если B(x,y) = B(y,x). Матрица билинейной формы определяется по формуле:= B {= bij } B( ei , e j ) , где {ei } – базис пространства Vn . Пример. Пусть имеется En . Определим билинейную форму как B( x, y ) = ( a, x )(b, y ) , где a,b – фиксированные векторы пространства En . Пример. Пусть B( x, y ) = α1β1 + 2α1β 2 + α1β 3 + 3α 2 β1 + 4α 2 β 2 + 5α 2 β 3 + α3β1 + 2α3β 2 + 7α3β 3 . 1 2 1 Тогда матрица этой билинейной формы имеет вид B =  3 4 5  .   1 2 7   Определение. Пусть B(x,y) – симметрическая билинейная форма, т.е. B(x,y)=B(y,x). Положим B( x, x ) = B( x, y ) |y = x , тогда B(x,x) называется квадратичной формой. Рассмотрим пространство Vn и фиксируем в нем базис {ei } . Тогда квадратичную форму можно представить в виде 77 B ( x, x ) = n ∑b αα i , j =1 ij i j , (18.1) n где bij - матрица квадратичной формы B(x,x). Здесь x = ∑αi ei . Если квадраi =1 тичная форма B(x,x) в некотором базисе имеет вид n B( x, x ) = ∑ λiαi2 , (18.2) i =1 то вид (18.2) называется каноническим видом квадратичной формы. В частности, если λi = 1,..., n , то формула (17.2) представляет нормальный ±1,0, i = вид квадратичной формы B(x,x). Утверждение. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором квадратичная форма имеет канонический вид (и даже нормальный вид). Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Квадратичную форму можно записать в матричном виде:  a11  a1n  x1     . Пусть – матрица перехода к t = Q X= AX ( x1  xn )      T   a  a  x  nn  n   n t новому базису. Тогда = Q X= AX (TX ′) t = ATX ′ ( X ′)t (T t AT = ) X ′ ( X ′)t A′X ′ , откуда A′ = T t AT . Пример. Найти матрицу T преобразования, приводящего к каноническому виду квадратичную форму 5 x12 + 2 x22 − 4 x1 x2 . Выделяем полный квадрат, учитывающий все слагаемые, содержащие 4 4 4 6 x1 (т.н. метод Лагранжа): 5( x12 − x1 x2 + x22 ) − x22 + 2 x22= 5( x1′) 2 + ( x2′ ) 2 . 5 25 5 5 2 ′ x1 − x2 , x2′ = x2 , т. е. Здесь x= 1 5  x1′   1 −2 / 5   x1   x′  =    , откуда 1   x2    2   X′ T −1 78 X −1  1 −2 / 5   1 2 / 5 . Проверим, что A′ = T t AT диагональна: T = =    1  0 0 1   5 −2  A= , 2 2 −   0  1 Tt =  , 2 / 5 1   0  5 −2  1 2 / 5   5 −2  1 2 / 5   5 0   1 = = = A′ = T t AT         .  2 / 5 1  −2 2  0 1   0 6 / 5  0 1   0 6 / 5  Определение. Разность количества положительных k и отрицательных l коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы называется ее сигнатурой. Замечание. Иногда сигнатуру записывают в виде (k , l ) . Определение. Квадратичная форма называется положительно определенной, если ее сигнатура равна ее порядку n (иначе говоря, k = n ). Квадратичная форма называется отрицательно определенной, если ее сигнатура равна (−n) (то есть l = n ). Различают также неотрицательно определенные (k < n, l = 0) и неположительно определенные = (k 0, l < n) квадратичные формы. Все прочие квадратичные формы называются неопределенными. Очевидно, положительно определенная квадратичная форма принимает положительные значения при всех значениях переменных (при любом векторе x ), отрицательно определенная – отрицательные. Неотрицательно определенная форма больше или равна нулю при всех значениях xi , неположительно определенная – меньше или равна нулю. Исследование знакоопределенности квадратичной формы проводится или выделением полных квадратов по методу Лагранжа, или при помощи критерия Сильвестра. Теорема (критерий Сильвестра). Пусть ∆ 0 = 1 , а ∆ i ( i = 1, 2, ..., n ) – угловые миноры матрицы квадратичной формы Q (отсчитываемые от левого верхнего угла, т.е. ∆1 =a11 и т.д.). Тогда для положительной определенности Q необходимо и достаточно, чтобы все ∆ i были положительны, а для отри79 цательной определенности необходимо и достаточно, чтобы знаки ∆ i строго чередовались (очевидно, начиная со знака + , т.к. ∆ 0 = 1 ). Замечание. Можно показать, что при диагональном преобразовании по методу Лагранжа канонические коэффициенты квадратичной формы равны aii = ∆i . Отсюда и следует критерий Сильвестра. ∆ i −1 Так, в примере на стр. 78-79 угловые миноры равны ∆1 =5 , ∆ 2 =6 , отсюда следует положительная определенность квадратичной формы и значе∆2 6 ∆1 ′ . = = 5 , a= 22 ∆2 5 ∆0 ′ ния канонических коэффициентов: a= 11 Пример. Найдите канонические коэффициенты по критерию Сильвестра и проверьте найденные значения методом Лагранжа для квадратичной формы Q = 5 x12 + x22 + 3 x32 + 4 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 .  5 2 −1    Выпишем матрицу квадратичной формы: A =  2 1 −1  .    −1 −1 3  Вычислим угловые миноры: 5 2 −1 3 1 0 3 1 =1. ∆1 =5 , ∆ 2 = 1, ∆ 3 = 2 1 −1 =2 1 −1 =−(−1) ⋅ 5 2 −1 −1 3 5 2 0 Итак, все угловые миноры положительны – значит, квадратичная форма является положительно определенной. Канонические коэффициенты равны a11= ∆1 5 = = 5, ∆0 1 a= 22 ∆2 1 , = ∆1 5 a33= ∆3 1 = = 1. ∆2 1 Найдем теперь канонический вид методом Лагранжа. Для этого соберем все члены, содержащие x1 , и выделим полный квадрат, следуя формуле "сокращенного умножения": квадрат любого числа слагаемых равен сумме 80 квадратов и всевозможных удвоенных произведений. Именно, 2        4 2 2 1  Q= 5  x12 + x1 x2 − x1 x3  + x22 + 3 x32 − 2 x2 x3= 5  x1 + x2 − x3  − 5  5   5  5      удвоенные произведения    обозначим y1  4 1 4 1 6 14 − x22 − x32 + x2 x3 + x22 + 3x32 − 2 x2 x3 = 5 y12 + x22 − x2 x3 + x32 =  5 5 5  5 5 5  вычли из полного квадрата добавленное слагаемые, не содержащие x1 2  9 1 2 14 2 1  14 1 2 2 =5 y1 + ( x2 − 6 x2 x3 ) + x3 =5 y1 + x2 − 3x3  − x32 + x32 =5 y12 + y2 2 + y32 .   5 5 5 5  5 5 y2  обозначим  Выпишем преобразование координат, приводящее квадратичную форму к 2 1  y = x + x − x3 , 1 1 2  5 5  каноническому виду:  y= x2 − 3 x3 , Очевидно, канонические коэффи2  y3 = x3 .   циенты в Q =5 y12 + 1 2 y2 + y32 совпадают с вычисленными по критерию 5 Сильвестра. Пример. Найдите сигнатуру квадратичной формы Q =x12 − 3 x32 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3 . Воспользуемся критерием Сильвестра. Угловые миноры ∆1 =1 , ∆ 2 =−1 , = ∆ 3 det= A 0 . Значит, a11 = 1 , a22 = −1 , a33 = 0 , то есть у формы третьего порядка один положительный, один отрицательный и один нулевой канонические коэффициенты. Сигнатура равна нулю. Квадратичная форма является знаконеопределенной. 81 Приведение квадратичной формы к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования координат. Пусть фиксированы En и B( x, x ) . Отметим, что матрица B, отвечающая квадратичной форме, имеет симметрический вид. Первый шаг: находим характеристические корни λi матрицы B. Второй шаг: находим собственные векторы xi , отвечающие числам λi , и нормируем их (приводим к единичной норме). В полученном ортонормированном базисе матрица B квадратичной формы примет диагональный вид. Продемонстрируем этот метод для квадратичной формы из примера на стр. 78-79. Пример. Привести квадратичную форму 5 x12 + 2 x22 − 4 x1 x2 к каноническому виду при помощи ортогонального преобразования координат. 5−λ −2 Характеристическое уравнение | A − λ E |= −2 = λ 2 − 7λ + 6 = 0 . 2−λ Собственные значения λ1 = 1 , λ2 = 6 . Собственные векторы e1 = (1, 2) , (2, −1) (они уже ортогональны в соответствии с утверждением, привеe= 2 денным на стр. 76). Нормируем базис: = g1 = g2 e2 = e2 (2, −1) 1   2 =  ;− . 5 22 + (−1) 2  5 Обратная матрица T −1 = Матрица 1  −1 / 5  − 1  −2 / 5 det T T −1 = T t выполняется. 1/ 5 t ′AT  = A′ T = AT T= 2 / 5  e1 = e1 (1, 2) 2   1 =  ; , 5 12 + 22  5 перехода T= −2 / 5   . Очевидно, 1 / 5  Теперь найдем 2 / 5   5 −2   1 / 5     2 2 − −1 / 5    2 / 5 1 1 2   . 5  2 −1 соотношение матрицу A′ : 2 / 5  1 0 =   .  6 −1 / 5    Отметим, что на диагонали расположены собственные значения матрицы A . 82 Теперь укажем преобразование координат:  x1′  −1 = X ′ = T= X  ′ x  2 1 1  5 2 2   x1  x1 + 2 x2 2x − x , x2′ = 1 2 .  x  ⇒ x1′ =  −1  2  5 5 Обратное преобразование: x1 = x1′ + 2 x2′ 2 x′ − x′ , x2 = 1 2 . 5 5 В новых координатах Q = 5 x12 + 2 x22 − 4 x1 x2 = ( x1′ ) + 6 ( x2′ ) (проверьте непо2 средственным вычислением). 83 2 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Фроловичев С.М. Матрицы. Системы линейных уравнений / МТУСИ. М., 2002. – 20 с. 2. Фроловичев С.М. Линейные операторы. Методические указания к семинарским занятиям по курсу «Аналитическая геометрия» / МТУСИ. – М., 2002. – 19 с. 3. Куприн А.В., Фроловичев С.М. Элементы аналитической геометрии. Ч. 1: Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2004. – 25 с. 4. Куприн А.В., Фроловичев С.М. Элементы аналитической геометрии. Ч. 2: Учебное пособие / МТУСИ. – М., 2005. – 21 с. 5. Блох Э.Л., Лошинский Л.И., Турин В.Я. Основы линейной алгебры и некоторые ее приложения: Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1971. – 256 с. 6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов. - Изд.7-е, стер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. – 224 с. 7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. – Изд. 4-е. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. – 296 с. 84 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Алгебраическое дополнение элемента опре- Кронекера-Капелли теорема 21 делителя 10, 11 Лагранжа метод 78-80 Асимптоты гиперболы 52 Левая тройка (система) 37 Линейная комбинация Базис – векторов 29 – линейного пространства 60 – элементов 20 – на плоскости 32 Линейно зависимая система 23, 59 – в пространстве 32 Линейно независимая система 23, 59 Базисные переменные 21, 25 Линейное пространство 58 Билинейная форма 77 Вектор геометрический 27 – нулевой 28 Векторное произведение 38 – в декартовых координатах 39 Векторы коллинеарные 28 – компланарные 30 – линейно независимые 30 – линейно зависимые 30 Гаусса метод 18 Геометрический смысл – векторного произведения 38 – смешанного произведения 39 Гиперболический параболоид 57 Гиперболический цилиндр 57 Гиперболоид двуполостный 55 Гиперболоид однополостный 55 Главная диагональ матрицы 7 Декартова прямоугольная система координат 32 Деление отрезка в заданном отношении 33 Директриса эллипса 52 – гиперболы 52 – параболы 53 Евклидово пространство 63 Канонические уравнения прямой в пространстве 45 Квадратичная форма 77 Коллинеарность векторов 28 Компланарность векторов 30 Конус второго порядка 55 Координаты – вектора 33 – точки 33 Коши-Буняковского неравенство 64 Крамера формулы 17 Матрица 11 – билинейной формы 77 – вырожденная 12 – диагональная 12 – единичная 12 – квадратная 12 – линейного оператора 68 – невырожденная 12 – обратная 14 – системы линейных уравнений 16 – транспонированная 14 Минор элемента определителя 9, 11 Минор матрицы 19 Направляющий вектор прямой 45 Норма вектора 63 Нормальный вектор плоскости 42 Нормированное пространство 65 Общее решение системы линейных уравнений 27 Оператор линейный 67 – нулевой 67 – самосопряженный 76 – сопряженный 75 – тождественный 67 Определитель 7 – произведения матриц 14 Ориентация тройки векторов 37 Ортогонализация векторов 65 Ортонормированный базис 65 Парабола 53 Параболический цилиндр 57 Параболоиды 56-57 Параллельный перенос 35 Параметрические уравнения прямой 45 Поворот системы 35 Подобные матрицы 71 85 Порядок системы линейных уравнений 21 Условие параллельности – плоскостей 43 Правая тройка (система) 37 – плоскости и прямой 47 Правило параллелограмма сложения векто– прямых на плоскости 41, 42 ров 28 – прямых в пространстве 46 – треугольника сложения векторов 28 Условие перпендикулярности Проекция вектора 36 – плоскостей 43 Произведение матриц 13 – плоскости и прямой 47 Пучок плоскостей 44 – прямых на плоскости 41, 42 – прямых в пространстве 47 Разложение определителя по столбцу (строке) 9, 11 Фокусы гиперболы 52 Размерность линейного пространства 60 – параболы 53 Разность векторов 29 – эллипса 51 Ранг матрицы 20 Расстояние между скрещивающимися пря- Фундаментальная система решений 24 мыми 48 Характеристический многочлен 71 Расстояние от точки до плоскости 43 Расстояние от точки до прямой Характеристическое уравнение 71 – в пространстве 48 – на плоскости 41 Циклическая перестановка 37 Расширенная матрица системы линейных Цилиндрические поверхности 57 уравнений 16 Частное решение системы линейных уравСвободные переменные 21, 25 нений 27 Сигнатура квадратичной формы 79 Сильвестра критерий 79 Элементарные преобразования матриц 17 Система линейных уравнений 15 Эксцентриситет гиперболы 52 – неопределенная 16 – эллипса 51 – несовместная 15 Эллипсоид трехосный 54 – однородная 22 Эллиптический параболоид 56 – определенная 16 Эллиптический цилиндр 57 – совместная 15 Скалярное произведение – векторов 36, 62 Скрещивающиеся прямые 47 Смешанное произведение векторов 39 Собственные значения оператора 70 Собственный вектор оператора 70 Сопряженная гипербола 52-53 Сумма матриц 12 Тривиальная линейная комбинация 22 Угол между – плоскостями 43 – прямой и плоскостью 48 – прямыми в пространстве 47 – прямыми на плоскости 41, 42 Умножение – вектора на число 29 – матрицы на число 13 Уравнение прямой на плоскости 41 86 План УМД на 2015/16 уч.г. С. 3, п. 13 Андрей Валентинович Куприн Сергей Михайлович Фроловичев КУРС ЛЕКЦИЙ ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ Учебное пособие Подписано в печать 07.04.2015г. Формат 60х90 1/16. Объём 5,5 усл.п.л. Тираж 500 экз. Изд. № 25. Заказ 46. ООО «Брис-М». Москва, ул. Авиамоторная, д. 8а.