Вейвлет-анализ — это специальный тип линейного преобразования сигналов и представляемых данными сигналами физических данных о процессах и физических свойствах природных сред и объектов.
Введение
Отдельные идеи теории вейвлетов возникли достаточно давно. К примеру, еще в 1910 году А. Хаар сформулировал обобщенную ортонормальную систему базисных функций с локальной областью определения, которая сегодня именуется вейвлетами Хаара.
В наше время появилось и было сформировано определенное научное направление, которое связано с вейвлет-анализом и теорией вейвлет-преобразований. Вейвлеты повсеместно используются с целью фильтрации и предварительной обработки данных, анализа состояния и формирования прогнозов ситуации на фондовых рынках, распознавания образов, при обработке и синтезе разных сигналов, к примеру, речевых, медицинских, для решения проблемы сжатия и обработки изображений, при обучении нейронных сетей и для многих иных целей.
Невзирая на тот факт, что теория вейвлет-анализа уже является в принципе разработанной, точной формулировки, что же означает термин «вейвлет», какой набор функций следует называть вейвлетами, пока не выработано. Вейвлеты бывают ортогональными, полуортогональными, биортогональными, а также данные функции способны быть симметричными, асимметричными и несимметричными.
Следует различать вейвлеты с компактной областью определения и вейвлеты, которые не имеют таковой. Отдельные функции могут иметь аналитическое выражение, другие могут обладать быстрыми алгоритмами вычисления, связанного с ними вейвлет-преобразования.
Вейвлет-анализ
Рассмотрим конкретный пример, а именно задачу, достаточно часто встречающуюся на практике. Имеется сигнал, которым в принципе может быть все что угодно, начиная от записанных сигналов датчика и заканчивая оцифрованной речью или изображениями. Идея многомасштабного анализа (multiscale analysis, multiresolutional analysis) состоит в том, чтобы рассмотреть сигнал вначале вплотную, то есть, практически под микроскопом, а далее через лупу, затем отойти на некоторое расстояние, и наконец взглянуть издалека, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 1. Принципы вейвлет-анализа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Такой подход предоставляет следующие возможности:
- Возможность за счет последовательного огрубления (или уточнения) сигнала выявить его отдельные особенности, например, ударения в речи или типичные детали изображения, и разделить их по интенсивности.
- Таким способом может быть обнаружена динамика изменений сигнала в зависимости от масштаба.
Когда резкие скачки, вызванные, к примеру, аварийным отклонением показаний датчика, в большинстве случаев можно увидеть «невооруженным глазом», то взаимные влияния событий на мелких масштабах, которые могут перерасти в крупномасштабные явления, усмотреть довольно сложно. И с другой стороны, сосредотачиваясь лишь на мелких деталях, можно упустить явления, которые происходят на глобальном уровне.
Идея использования вейвлетов для многомасштабного анализа состоит в том, что разделение сигнала осуществляется по базису, который образован сдвигами и разномасштабными копиями функции-прототипа. Это означает, что вейвлет-преобразования по своему существу являются фрактальными. Подобные базисные функции именуются вейвлетами (wavelet), когда они определяются на пространстве $L^2(R)$, то есть, на пространстве комплекснозначных функций f(t) на прямой с ограниченной энергией, могут колебаться вокруг оси абсцисс и быстро сходиться к нулю при увеличении абсолютного значения аргумента, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 2. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Необходимо отметить, что данное определение не может претендовать на полноту и точность, а способно представить только определенный «словесный портрет» вейвлета. То есть, свертка сигнала с одним из вейвлетов предоставляет возможность выделения характерных особенностей сигнала в области локализации данного вейвлета. Причем, чем большим масштабом обладает вейвлет, тем более обширная область сигнала способна оказать влияние на итоговый результат свертки.
В соответствии с принципом неопределенности, чем лучше функция является сконцентрированной во времени, тем больше она будет размазанной в частотной области. При перемасштабировании функции произведение временных и частотных диапазонов должно оставаться неизменным и представлять собой площадь ячейки в частотно-временной (фазовой) плоскости.
Преимуществом вейвлет-преобразования перед, к примеру, преобразованием Габора является тот факт, что оно способно покрывать фазовую плоскость ячейками равной площади, но имеющими разную форму, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 3. Ячейки. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Это предоставляет возможность отличной локализации низкочастотных деталей сигнала в частотной области (преобладающие гармоники), а высокочастотных во временной области (резкие скачки, пики и тому подобное). Кроме того, вейвлет-анализ может позволить осуществлять исследование поведения фрактальных функций, которые не имеют производных ни в одной своей точке.
Вейвлет-преобразование может нести очень большой объем информации о сигнале, но, при этом, имеет сильную избыточность, поскольку каждая точка фазовой плоскости может оказать влияние на его итоговый результат.
Можно утверждать, что для точного восстановления сигнала может быть достаточным знание его вейвлет-преобразования на некоторой достаточно редкой решетке в фазовой плоскости. Таким образом, и вся информация о сигнале может содержаться в данном относительно малом наборе значений.
Идея, в данном случае, состоит в том, чтобы масштабировать вейвлет в некоторое постоянное (к примеру, два) количество раз, и осуществлять смещение его во времени на фиксированное расстояние, которое зависит от масштаба. Причем весь набор сдвигов одного масштаба должен быть попарно ортогональным и подобные вейвлеты именуются ортогональными. При этом преобразовании должна выполняться свертка сигнала с некоторой функцией и с вейвлетом, который связан с этой скейлинг-функцией.
