Теория вероятностей и математическая статистика

Основные понятия теории вероятностей

В теории вероятностей исходными терминами принято считать испытания и события. Например, реализуется какое-либо испытание с вероятным случайным исходом. Множество всех вероятных взаимоисключающих исходов этого испытания именуется множеством элементарных событий. Набор всех элементарных событий принято считать достоверным событием. Любое подмножество множества элементарных событий является случайным событием.

В реальности существуют следующие типы событий:

• Достоверный тип события.
• Невозможный тип события.
• Случайный тип событий.

Событие считается достоверным, если по результатам испытания оно в любом варианте происходит. Достоверное событие принято обозначать как Q.

Событие считается невозможным, когда по итоговым результатам испытаний оно никогда не может произойти. Такое событие обозначается как I, то есть impossible, или нуль.

Событие является случайным, если по результатам испытания оно происходит, а может и не произойти. Как правило, случайные события обозначаются латинскими буквами А, В, С и так далее.

К примеру, осуществляется следующее испытание: испытатель подбрасывает одну монету. По результатам данного испытания могут быть следующие итоги:

1. Выпал герб.
2. Выпала решка.
3. Выпадение на ребро – это чрезвычайно редкий исход, и он не рассматривается.

Таким образом, по результатам испытания возможны только перечисленные выше элементарные события, а именно, А={выпал герб}, В={выпала решка}.

Суммарным значением двух событий A и B является такое событие C = A + B, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий A или B. Произведением двух событий A и B является некоторое событие C = AB, которое заключается в наступлении событий A и B одновременно.

События А и А” считаются противоположными, когда:

$A + A” = Ω, A*A” = I$

Очевидно, что события А и A” являются несовместимыми. То есть, пара событий является несовместимой, если по результатам одного испытания они не могут произойти одновременно.

Несколько событий $А_1, А_2, ...., А_п$ являются попарно несовместными, когда каждая пара не может произойти одновременно, то есть, каждое событие не может произойти одновременно с остальными.

События $А_1, А_2, ...., А_п$ могут образовать полную группу, когда по результатам испытания может произойти хотя бы одно из них, и ничего кроме этих событий не способно произойти.

Теория вероятностей и математическая статистика

Комбинаторикой является раздел математики, который посвящён решению задач выбора и расположения к компонентов из некоторого множества n компонентов согласно заданным правилами.

Вероятностью события является число, которое характеризует степень возможности появления события. Вероятность того, что событие А произойдёт, определяется по следующей формуле:

$P(A)= m/n$

Здесь m является числом исходов, которые благоприятны наступлению события А. п является числом всех возможных исходов.

Вероятность обладает следующими свойствами:

1. Вероятность случайного события А находится в диапазоне 0 ∠ Р(А) ∠ 1.
2. Вероятность достоверного события Р(Ω) = 1.
3. Вероятность невозможного события Р(I) = 0.

Математическая статистика является наукой, которая разрабатывает математические методы систематизации и применения статистической информации, позволяющие сформировать научные и практические выводы. Многие разделы математической статистики базируются на теории вероятностей, позволяющей оценивать надёжность и точность выводов, сформированных на основе ограниченного набора статистических данных. К примеру, это может быть оценка необходимого объёма выборки, который позволяет получить результаты требуемой точности при реализации выборочного обследования.

Математическая статистика представляет собой раздел математики, который разрабатывает способы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов для построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. Согласно математической природе полученных результатов наблюдений математическая статистика подразделяется на следующие группы:

1. Численная статистика.
2. Многомерный статистический анализ.
3. Анализ функций (явлений) и временных рядов.
4. Статистика объектов не численного характера.

Помимо этого, статистика делится на следующие виды:

1. Описательная статистика.
2. Статистика теории оценивания.
3. Статистика теории проверки гипотез.

Описательной статистикой является набор эмпирических способов, которые используются для визуального отображения и интерпретации информационных данных, таких как, расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и так далее, обычно, не предполагающих подтверждения вероятностной природы данных. Отдельные методики описательной статистики подразумевают применение возможностей современного компьютерного оборудования.

Методики оценивания и проверки гипотез базируются на вероятностных моделях происхождения информационных данных. Такие модели подразделяются на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях выдвигается предположение, что характеристики исследуемых объектов могут быть описаны при помощи распределений, которые зависят от (одного или набора) числовых параметров.

Непараметрические модели не привязаны к спецификации параметрического семейства для распределения исследуемых характеристик. В математической статистике оцениваются параметры и функции от них, которые представляют главные характеристики распределений, плотности и функции распределения и так далее.

Большим разделом передовой математической статистики является статистический последовательный анализ. В отличие от стандартных методик статистического анализа, базирующихся на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе предполагается создание целого массива наблюдений.