Системы счисления и арифметические операции в них

Операция сложения в разных системах счисления

Операция сложения в десятичной системе счисления давно известна каждому школьнику. Большие числа удобно суммировать в столбик. Например:

Рисунок 1. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основное, что нужно помнить это разрядность систем счисления. Необходимо освежить в памяти алфавит системы счисления и все операции окажутся лёгкими и простыми.

Сложение в двоичной системе счисления выполняется абсолютно аналогично десятичной системе. Рассмотрим конкретный пример:

Рисунок 2. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Самое основное — это нужно помнить, что в двоичной системе счисления используются всего два значения, а именно нуль и единица. Это означает, что сложение двух единиц даёт в сумме нуль в текущем разряде и единицу переноса в следующий разряд. В приведённом выше примере действия выполняются в следующем порядке:

1. Операция сложения начинается с младшего разряда, то есть справ налево. Нуль плюс нуль равен нулю, то есть пишем нуль в младшем разряде и выполняем переход на следующий разряд.
2. Суммируем один плюс один, получаем два. Но это основание системы счисления, поэтому в этом разряде пишем ноль, а единица переносится в следующий разряд.
3. В данном разряде нужно сложить три единицы, что в сумме даёт тройку, что также недопустимо. Вычитаем из трёх основание системы счисления, то есть два и получаем единицу. То есть в данном разряде пишется единица и единица переносится в следующий разряд.
4. Суммируем две единицы и снова сумма равна двум, что означает запись нуля в данном разряде и перенос единицы в следующий разряд.
5. Получаем итоговый результат: 10100.

Далее рассмотрим операцию сложения в восьмеричной системе счисления. Рассмотрим конкретный пример:

Рисунок 3. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Действия выполняются в следующем порядке:

1. Выполняем суммирование младших разрядов, то есть четыре плюс три равняется семи.
2. Далее выполняется суммирование следующего разряда, а именно пять плюс четыре равно девяти. Вычитаем из девяти основание системы счисления, то есть восемь, и получаем единицу в этом разряде и единицу переноса в следующий.
3. Выполняем суммирование текущего разряда, три плюс семь равно одиннадцати. Вычитаем основание восемь, результат равен трём и единица переноса в следующий разряд.
4. Суммируем шесть и один, что даёт в итоге семь.
5. Итоговый результат получается 7317.

Рассмотрим конкретный пример сложения в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 4. Сложение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем суммирование младших разрядов, то есть два плюс один равняется трём.
2. Суммируем следующий разряд, то есть пять плюс девять равно четырнадцати. Согласно алфавиту шестнадцатеричной системы счисления это символ Е.
3. Суммируем символ С, который означает двенадцать, и восемь, что в итоге равно двадцати. Вычитаем из двадцати основание системы счисления, то есть шестнадцать. Получаем четыре и единицу переноса в следующий разряд.
4. Суммируем две единицы, получаем двойку.
5. Получаем итоговый результат 24Е3.

Операция вычитания в разных системах счисления

Рассмотрим конкретный пример операции вычитания в десятичной системе счисления:

Рисунок 5. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание младших разрядов, то есть три минус один равно двум.
2. Выполняем вычитание в следующем разрядом, от двух отнимаем нуль, получаем два.
3. Необходимо из четырёх вычесть восемь. Выполняем заимствование единицы из старшего разряда и отнимаем от четырнадцати восемь. Результат равен шести.
4. Поскольку было заимствование единицы, то из пяти вычитаем единицу и получаем четвёрку.
5. Итоговый результат: 4622.

Рассмотрим пример вычитания в двоичной системе счисления:

Рисунок 6. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание младших разрядов, один минус один равно нулю.
2. Вычитаем из единицы нуль, в итоге получаем единицу.
3. Поскольку нуль меньше единицы, то выполняем заимствование единицы из старшего разряда и вычитаем из двойки единицу, Итогом будет единица.
4. Итоговый результат: 110.

Рассмотрим пример вычитания в восьмеричной системе счисления:

Рисунок 7. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание из четырёх тройки, получаем единицу.
2. Вычитаем из пяти нуль, итогом будет нуль.
3. Нельзя из трёх вычесть семь, поэтому выполняем заимствование из старшего разряда. Вычитаем из одиннадцати семь и получаем в итоге четыре.
4. Поскольку было заимствование единицы, то вычитаем из шести единицу и получаем пять.
5. Итоговый результат: 5451.

Рассмотрим пример вычитания в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 8. Вычитание в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем вычитание из четырёх три и получаем один.
2. Из пяти вычитаем нуль и получаем в итоге пять.
3. Далее необходимо из трёх вычесть семь, что недопустимо и поэтому заимствуем единицу из старшего разряда. Вычитаем из девятнадцати семь и получаем двенадцать, что в шестнадцатеричной системе обозначается символом С.
4. Так как была заимствована единица, то из шести вычитаем единицу. Итог равен пяти.
5. Итоговый результат равен 5С51.

Операция умножения в разных системах счисления

Рассмотрим пример умножения в восьмеричной системе счисления:

Рисунок 9. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Умножаем младшие разряды, то есть пять на четыре, получаем двадцать. Число двадцать равно два по восемь (основание системы счисления) плюс четыре. То есть в данном разряде пишем четыре, а двойку переносим в следующий разряд. Выполняем это действие для остальных разрядов, в итоге получаем 40234.
2. Умножаем на нуль, что в итоге дает четыре нуля.
3. Выполняем по аналогии умножение на семь. Результатом будет число 55164.
4. Выполняем суммирование всех произведений, что даёт 5556634. Это и есть итоговый результат умножения.

Рассмотрим пример умножения в шестнадцатеричной системе счисления:

Рисунок 10. Умножение в столбик. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

1. Выполняем умножение на младший разряд. Пять умножаем на четыре, получаем двадцать, что равно шестнадцати плюс четыре. Четыре пишется в данном разряде, единица переносится в следующий разряд.
2. Аналогичные процедуры выполняются дальше, итог будет А334.
3. Умножаем остальные разряды и затем всё суммируем.
4. Итоговый результат будет 169В974.