Позиционные и непозиционные системы счисления — это набор специальных символов, применяемых для отображения числовых значений и имеющих разную основу.
Введение
На заре зарождения человеческого общества понятия счёта практически не существовало. Люди могли отличить два предмета от трёх, но всё что было больше этого скрывалось за термином «много». Как правило, при подсчёте чего-либо количество предметов соотносилось с количеством пальцев на конечностях.
Постепенный прогресс нашего общества сделал счёт насущной потребностью. Сначала изображение натуральных чисел сводилось к написанию чёрточек, но впоследствии для этих целей начали применяться буквенные обозначения и символы. Жители древнего Новгорода применяли славянский алфавит, для написания чисел над славянскими буквами ставили знак ~ (титло).
В Древнем Риме зародилась методика, которая известна и сегодня как римская система нумерации. В ней числовые значения представляются буквами латинского алфавита. Сегодня её используют для нумерации глав в книгах и тому подобного. Вот список римских цифр: I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000. В римской системе нумерации прослеживаются отголоски пятеричной системы счисления. Арифметические операции над большими числами в римской системе достаточно трудоёмки, но она применялась в Италии вплоть до тринадцатого века, а в некоторых европейских государствах аж до шестнадцатого века.
Славяне для обозначения чисел применяли весь алфавит, но с незначительными отклонениями от порядка следования букв в алфавите. Разные буквы обозначали разное число единиц, десятков и сотен. Такая система имела две существенные проблемы, которые и вызвали отказ от неё. Это слишком большое количество разных знаков, в частности для отображения большого числа, и, что ещё хуже, очень было неудобно выполнять арифметические операции.
Наиболее совершенной и доступной стала общеизвестная сегодня десятичная система счисления, которая зародилась в Индии, усовершенствована арабами и уже потом появилась в европейских странах. В качестве основания десятичной системы выбрано число десять. Конечно, существуют системы счисления, имеющие различные основания. Жители древнего Вавилона применяли шестидесятеричную систему счисления. Её отголоски видны и в наше время, поскольку мы и сегодня считаем, что в часе 60 минут, а в минуте 60 секунд. В древние времена люди так же пользовались двенадцатеричной системой. Сегодня от неё осталась широко известная «дюжина», то есть число двенадцать. Ещё существует обычай подсчитывать количество некоторых предметов не числом десятков, а числом дюжин, к примеру, это столовые приборы.
Позиционные и непозиционные системы счисления
Разнообразные системы счисления, существовавшие ранее и применяемые сегодня, можно подразделить на позиционные и непозиционные. Обозначения, которые используются для представления чисел, мы называем цифрами. При использовании непозиционной системы счисления, фактический вес цифры в обозначении числа не связан с её расположением. В качестве примера непозиционной системы можно привести римскую систему счисления, использующую латинские символы для кодирования цифровых значений. Для позиционной системы счисления характерна зависимость цифрового значения в обозначении числа от занимаемой цифрой позиции.
Число применяемых цифр в конкретной системе счисления есть её основание. Все цифры в числе располагаются на определённом месте, которое называется позиция.
Первой, из известных людям позиционных систем счисления, считается шестидесятеричная система древнего Вавилона. Цифры в этой системе были двух типов, а именно единицы и десятки. Но широкое распространение эта система не получила, в отличие от арабско-индийской десятичной системы счисления. Индусы впервые применили ноль, чтобы указать, какой вес имеет данная позиция в цифровой строке. Система стала называться десятичной, поскольку располагала набором их десяти цифр. Отличия позиционной и непозиционной систем счисления можно увидеть в конкретном сравнении двух чисел. Для сравнения двух чисел в позиционной системе счисления нужно сравнивать в выбранных числах цифры слева направо, которые расположены на одной позиции. Если цифра больше, то и значение числа больше. К примеру, в числах 123 и 234, цифра один меньше цифры два, значит число 123 меньше числа 234. Для непозиционных систем счисления такой закон не работает. К примеру, сравним два числа в римской системе счисления IX и VI. Видим, что I меньше, чем V, но при этом число IX больше числа VI.
Позиционные системы счисления
Чтобы обозначить основание системы счисления, в которой представлено число, используют специальный нижний индекс. К примеру, $555_7$ – цифра семь внизу означает, что это число представлено в семеричной системе счисления. Когда используется десятичная система счисления, то указывать основание нет необходимости.
В электронных вычислительных машинах могут использоваться системы счисления, имеющие основания два, восемь и шестнадцать. В общем случае, эти системы счисления могут полностью удовлетворить потребности как людей, так и компьютеров. Но бывают обстоятельства, когда возникает необходимость обращения к иным системам. Это могут быть троичная, семеричная и даже система с основанием тридцать два.
Для работы с числами, которые представлены в этих непопулярных системах, необходимо помнить, что в принципе они не имеют отличий от общеизвестной десятичной. Все арифметические операции выполняются по аналогичной процедуре. Так по какой причине не используются иные системы счисления? Основной причиной является то, что в обычной жизни человек привыкает к использованию десятичной системы счисления, и ему не нужна другая. В компьютерной технике применяется двоичная система, поскольку в ней проще выполняются все операции.
