Решение системы уравнений методом Гаусса-Зейделя

Введение

При решении определённых классов прикладных задач появляется потребность в определении корней СЛАУ (системы линейных алгебраических уравнений). Методики решения СЛАУ подразделяются на следующие большие классы:

• Точные методы.
• Итерационные методы.

Точные методы решения, такие как, к примеру, метод Гаусса, способны определить точные значения корней СЛАУ, причём при правильной организации программы точность может определяться лишь погрешностями, которые сопряжены с округлениями и представлениями чисел в электронных вычислительных машинах (ЭВМ).

Итерационные методики решения СЛАУ могут быть охарактеризованы тем фактом, что точное решение системы они способны определить только в качестве предела определённой бесконечной очерёдности векторов. Исходное приближение при этом должно быть найдено каким-нибудь иным методом или задано произвольно. При исполнении заданных требований может быть получен оперативно сходящийся к решению итерационный процесс. К данному типу методологий могут быть отнесены метод итераций и метод Зейделя.

Решение системы уравнений методом Гаусса-Зейделя

Предположим, что необходимо решить систему уравнений следующего вида:

Рисунок 1. Система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Общеизвестно, что данная система уравнений обладает единственным решением, когда её матрица является невырожденной, то есть определитель матрицы не равен нулю. Если матрица является вырожденной, то система может обладать бесконечным количеством решений (в случае, когда ранг матрицы и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением «к» столбца свободных членов равны) или совсем не иметь решения (в случае, когда ранг матрицы и расширенной матрицы отличаются).

Приведённая выше система уравнений может быть записана в матрично-векторной форме:

А Х = В.

Здесь А является матрицей коэффициентов системы, которая содержит n строк и n столбцов. В является заданным вектором правых частей. Х является искомым вектором.

Метод Гаусса базируется на известном из обычного школьного курса алгебры методе исключений. Путём комбинирования каким-нибудь образом уравнений системы, можно добиться того, что во всех уравнениях, кроме одного, исключается одна неизвестная. Далее исключаются следующая неизвестная, третья и так далее. 

Пусть имеется система уравнений размера n х n. Алгоритм Гауссова исключения имеет в своём составе несколько шагов. Если система записана в указанном выше исходном виде, то первым шагом станет исключение х из последних n-1 уравнений. Это может быть достигнуто путём вычитания из второго уравнения первого, умноженного на $а_{21} / а_{11}$, из третьего уравнения первого, умноженного на $а_{31} / а_{11}$, и так далее. В результате этого процесса получается преобразованная система уравнений.

Рисунок 2. Преобразованная система уравнений. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Если теперь применить такой же самый процесс к последним n-1 уравнениям данной системы, то можно исключить $х_2$ из последних n - 2 уравнений и так далее, пока вся система не превратится в треугольную форму. В этой форме верхние индексы показывают, какое количество раз менялись соответствующие коэффициенты. Этим завершается фаза, которая считается прямым исключением (или приведением к треугольной форме) алгоритма гауссова исключения. Решение треугольной системы может быть легко получено на фазе обратной подстановки, при которой уравнения, приведённой выше системы, могут решаться в обратном порядке.

При формировании компьютерной программы, которая реализует данный алгоритм, необходимо обратить внимание на то, что последовательно преобразуемые в ходе этого процесса компоненты «a» могут быть записаны в те же ячейки памяти, где находились компоненты исходной матрицы.

Метод Зейделя является некоторой модификацией метода простой итерации. Главная его идея состоит в том, что при вычислении (k+1)-го приближения неизвестной xi должны учитываться уже вычисленные ранее (k+1) – е приближения неизвестных $х_1, х_2, ..., х_{i-l}$. В данном методе, аналогично методу простой итерации, следует привести систему к определённому виду, чтобы диагональные коэффициенты были максимальными по модулю, а далее нужно проверить условия сходимости. Условия сходимости метода Зейделя можно сформулировать в следующем виде. Для того чтобы итерационный процесс удовлетворял условиям сходимости, необходимо и достаточно, чтобы суммарная величина абсолютных значений компонентов каждой строки (за исключением диагональной строки) была меньше, чем абсолютное значение диагонального компонента соответствующей строки.

Предположим, что имеется система из трех линейных уравнений. Сделаем произвольный выбор начальных приближений корней:

х1(0), х2(0), х3(0),

при этом они должны хотя бы в какой-то мере соответствовать искомым неизвестным. За нулевое приближение может быть принят столбец свободных членов, то есть х(0) = b, а именно x1(0)=b1, x2(0)=b2, x3(0)=b3. Определим первое приближение х(1) по формулам:

Рисунок 3. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Необходимо учитывать особенность метода Зейделя, состоящую в том, что найденное в первом уравнении значение х1(l) сразу же применяется во втором уравнении, а значения х1(1), х2(1) применяются в третьем уравнении и так далее. То есть все найденные значения х1(1) необходимо подставить в уравнения для определения хi+1(1).

Действующие формулы метода Зейделя для системы трех уравнений будут иметь следующий вид:

Рисунок 4. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для системы из n-уравнений рабочие формулы имеют следующий вид:

Рисунок 5. Формулы. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Необходимо отметить, что теорема сходимости для метода простой итерации является справедливой и для метода Зейделя. Следует задать необходимую точность решения «e», при достижении которой итерационный процесс должен быть завершён. То есть, решение необходимо осуществлять до тех пор, пока не будет исполнено условие для каждого из уравнений:

Рисунок 6. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

где i = 1,2,3,…,n.