Решение оптимизационных задач

Введение

Методы оптимизации позволяют определить самый лучший результат, который или даёт кому-то максимальную прибыль, или сокращает уровень затрат, или определяет параметры, которые приводят к сбоям в работе бизнеса. Данный процесс имеет название математическое программирование. Математическое программирование способно решить задачу по распределению какого-то ресурсного комплекса, требуемого для движения к выбранной цели руководящим работником задачи оптимизации. Из всего набора возможных версий решения необходимо определить такую, которая в наибольшей степени увеличивает (а иногда уменьшает) выбранный для контроля параметр, к примеру, это может быть ожидаемая прибыльность или себестоимость мероприятия. Моделирование оптимизации является предписывающим или нормативным, так как целью является определение наилучшей допустимой стратегии бизнеса.

История развития линейного программирования

Под линейным программированием понимается решение класса оптимизационных задач, у которых все ограничения принадлежат к классу линейных. Краткая история развития линейного программирования:

1. Жозефом Луи Лагранжем в 1762-ом году были решены несложные задачи оптимизации с заданными ограничениями в виде равенства.
2. Карлом Фридрихом Гауссом в 1820-ом году была решена линейная система уравнений при помощи метода исключений.
3. Вильгельм Джордан в 1866-ом году осуществил усовершенствование способа обнаружения ошибок самых маленьких квадратов, являющихся критериями соответствия. Методика стала называться способом Гаусса-Джордана.
4. К концу Второй Мировой Войны был изобретена первая электронная вычислительная машина.
5. Джорджем Данцигом в 1947-ом году были предложены симплексные методики.
6. А. Фиакко и Г. Маккормик в 1968-ом году опубликовали методику под названием «Внутренняя точка».
7. Нарендра Кармакар в 1984-ом году использовал методику интерьера, чтобы решить линейные программы, прибавив при этом свою систему анализа.

Линейное программирование показало себя необычайно полезным инструментарием как для формирования моделей реальных проблем, так и повсеместно используемой математической теорией. Но следует заметить, что много интересных задач оптимизации всё-таки нелинейные. Решение этих задач состоит из разной смеси линейной алгебры, многомерных исчислений, численной методики анализа и разных методик вычислений. Специалисты разрабатывают вычислительные алгоритмы, которые включают в свой состав методики внутренних точек линейного программирования, геометрические методы, выпуклые множества и функции, а также использование задач специальной структуры, какими являются задачи квадратичного программирования. Оптимизация нелинейных задач даёт возможность фундаментального понимания математического анализа и повсеместно применяется в самых разных сферах.

Классификация задач оптимизации

Оптимизационные задачи возможно классифицировать следующим образом:

Рисунок 1. Классификация задач оптимизации. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Основным моментом в оптимизационном процессе считается модельная классификация, так как алгоритмы для их осуществления предназначены для конкретного типа:

1. Задачи, оптимизируемые в дискретном и непрерывном виде. Отдельные модели обладают реальным смыслом лишь только тогда, когда переменные являются величинами из дискретного ограниченного множества целочисленных значений. Другие модели могут содержать данные, принимающие любые допустимые значения. Они более просты в решении.
2. Оптимизация в ограниченном и неограниченном формате. Это условие является важной отличительной особенностью, то есть существуют задачи, не имеющие ограничений на переменные. Переменные могут изменяться от простой оценки до систем, включающих равенства и неравенства, моделирующие различные взаимоотношения среди данных.
3. Задачи по определению возможности выполнения. То есть задача состоит в определении величин переменных, удовлетворяющих модельным ограничениям без задания фактической оптимизационной цели.
4. Комплементарные задачи. Таких задач очень много в технической и экономической сферах. Целью является определение решения, удовлетворяющее условиям дополнительности. При практической реализации задачи, имеющие несколько целей, преобразуются в объективно единообразные.
5. Задача детерминированной оптимизации против стохастической. Детерминированная оптимизация подразумевает абсолютную точность данных. Но для ряда актуальных проблем данные не известны по разным причинам. Во-первых, возможна простая ошибка измерений. Во-вторых, отдельные данные могут содержать информацию о будущих событиях, таких как, например, цены на товары в будущем.

Основные элементы

Целевая функция является величиной, которую необходимо сделать максимальной или минимальной. В подавляющем большинстве задач оптимизации присутствует одна целевая функция. Если это не так, всегда есть возможность изменения формулировок таким образом, чтобы и остальные цели, кроме главной, тоже осуществлялись. Но всё-таки имеются и исключения из данного положения:

1. Задача, состоящая в поиске цели. Во многих приложениях для бизнеса менеджер хочет получить конкретную цель, при одновременном удовлетворении модельных ограничений.
2. Объективное функциональное множество. Часто пользователи желают выполнить оптимизацию по нескольким несовместимым направлениям.

Существуют следующие основные типы элементов:

1. Исходные данные, которыми возможно управлять. То есть это комплект переменных, влияющих на величину целевой функции.
2. Ограничения. Ограничениями являются взаимоотношения между переменными решениями и параметрическими данными.
3. Допустимые и оптимальные решения. Величины решений для переменных, при которых соблюдены все условия по ограничениям, считаются выполнимыми.