Методы обработки данных и численные методы

Введение

Как правило, для решения практически всех задач прикладной математики должна быть сформулирована математическая модель решения в форме интегральных и дифференциальных уравнений функций на непрерывном аргументе или их систем. Переход от такой формулировки задачи к дискретной математической модели реализуется путём замены функций с непрерывным аргументом на функции, обладающие дискретным аргументом. В итоге модель может превратиться в систему конечноразностных уравнений. Полученная модель является системой алгебраических уравнений, для решения которой с заданной точностью формируется вычислительный алгоритм, как правило, реализуемый на компьютерном оборудовании, а сам метод именуется вычислительным или численным.

Главными требованиями к вычислительному алгоритму считаются следующие:

1. Возможность задания точности решения.
2. Устойчивость алгоритма к изменению начальных условий.
3. Наличие экономичности в реализации.

При осуществлении перехода к дискретным моделям возникают погрешности аппроксимации изначальных функций, а при осуществлении вычислений появляется погрешность округления. По этим причинам для реальных вычислительных алгоритмов необходимо выполнять анализ погрешностей и устойчивости данного алгоритма.

Следует иметь в виду, что компьютер реализует основные операции с некоторой точностью, определяемой разрядностью чисел в памяти компьютера. То есть, точность каждого вычислительного алгоритма должна всегда немного превышать ожидаемую точность физического эксперимента, описываемого данной моделью. Оптимальным алгоритмом может считаться алгоритм, имеющий минимальную погрешность или минимальное количество операций при заданной погрешности.

Для большинства классов задач были спроектированы различные численные методы решения. По способам дискретизации численные методы подразделяются на:

• Проекционные методы.
• Конечно-разностные методы.

По способу решения численные методы делятся на:

• Прямые методы.
• Итерационные методы.

В методах конечных разностей задача может быть сведена к нахождению значений функции в дискретном множестве предварительно заданных точек, а в проекционных методах функция может быть представлена линейной комбинацией компонентов. Причём дискретную функцию тоже можно рассматривать как линейную комбинацию полиномов. Прямые методы решения имеют слабую устойчивость, а вот итерационные методы обладают большей устойчивостью и способны обеспечить быструю сходимость.

Методы обработки данных и численные методы

Любой численный метод базируется на итерационных процедурах, повторяющих простые вычисления с подбором какого-нибудь из параметров до тех пор, пока не будет найдено решение, обеспечивающее заданную точность. Однако не следует полагать, что данные решения являются приближенными, так как имеется возможность задавать необходимую точность (даже достаточно высокую), но это может потребовать увеличения количества итераций и, следовательно, увеличения необходимого машинного времени.

Как правило, требования, касающиеся точности итоговых результатов, могут быть выбраны согласно требованиям, ГОСТ в зависимости от типа проводимых исследований, а именно, лабораторные исследования, макетные, полупромышленные и промышленные установки и тому подобное.

Но при осуществлении расчётов может накапливаться погрешность за счёт возможных ошибок в начальных данных, а также за счёт ошибок, накапливаемых во время расчётов и округления результатов вычислений. Все возможные типы ошибок могут быть поделены на следующие группы:

1. Ошибки моделирования, вызванные тем, что математические модели, как правило, являются приближенными описаниями реальных процессов, поэтому параметры, определённые в границах реализуемой модели, могут иметь отличия от истинных значений.
2. Ошибки исходных данных, которые также могут содержать погрешности, которые связаны с их измерениями или вспомогательными расчётами.
3. Ошибки метода, вызванные тем, что используемые для решения задач методы, как правило, бывают приближенными, поскольку найти решение практической задачи в виде конечной формулы фактически невозможно.

Чтобы оценить погрешности в расчётах могут использоваться следующие методики:

1. Оценка абсолютной погрешности приближенного значения, которая может определяться как разница между реальными и замеренными значениями измеряемой величины.
2. Оценка относительной погрешности приближенного значения, которая определяется как отношение абсолютной величины разности между реальным и замеренным значениями к значению самого измерения.

При выполнении расчётов удобнее применять относительную погрешность, которая обеспечивает получение примерно одинаковых погрешностей для всей вещественной оси чисел.

Любой численный метод подразумевает некоторый алгоритм решения поставленной задачи. Как правило, решение может быть сведено к выбору оптимального набора дискретных точек, которые способны привести к решению или к формированию вектора движения, так же приводящего к решению. Первые из них называются конечно-разностными, а вторые проекционными. Наиболее часто любой численный метод может быть реализован при помощи итерационных процедур, исполняемых до тех пор, пока не достигается заданная точность решения.

Любой из этих методов не позволяет достичь абсолютно точного решения, но всегда имеется возможность задания необходимой точности решения. Все эти методы обычно требуют вычисления исследуемой функции и её производных в заданной точке. В зависимости от наибольшей степени производной, требуемой в вычислениях, данные методы делятся на разные порядки, а именно:

• Нулевой порядок, когда требуется вычислить только саму функцию и методы выступают как линейные.
• Первый порядок и выше, когда требуется вычислить функцию и первую производную и так далее. Решения превращаются в нелинейные.