Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Общие сведения о дифференциальных уравнениях

Дифференциальное уравнение может быть представлено как уравнение, связывающее значение некоторой функции в определенной точке и значения производных от нее различных порядков в этой же точке. Дифференциальное уравнение впервые появилось из задач механики, в которых были использованы координаты тел, скорости и ускорения их передвижения, отображаемые в качестве временных функций. В составе дифференциального уравнения имеется неизвестная функция, а также совокупность производных от нее и набор других переменных. Методы решения дифференциальных уравнений, как правило, состоят в осуществлении его интегрирования. Вся существующая совокупность дифференциальных уравнений может быть классифицирована следующим образом:

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ), которые имеют в своем составе только функции одного аргумента и их производные.
2. Уравнения, которые имеют в своем составе частные производные (УРЧП). То есть, они могут содержать функции, которые зависят от нескольких переменных.
3. Стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), которые имеют в своем составе случайные процессы.

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка

Можно рассмотреть в качестве примера решение модифицированного варианта задачи Коши при помощи методов Рунге-Кутта и Эйлера для дифференциального уравнения первого порядка в промежутке [X0; Xk], с шагом h и при начальных условиях:

Y(X0) = Y0.

Итоговые результаты решения могут быть оформлены в виде следующего табличного формата:

Рисунок 1. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Где Y(1), Y(2) обозначают решения, полученные различными численными методами, YT — это точное решение дифференциального уравнения.

Результаты решения могут быть представлены не в виде таблиц, а в виде списков. А для табличного формата может быть осуществлена визуализация, то есть, представление данных в виде графиков.

Перед тем как вычислить последний столбец табличных результатов, следует из начального условия вычесть значение коэффициента «С», используемого в обобщенном варианте решения.

Рисунок 2. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Для того чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать величину зависимой переменной и (или) ее производных при заданных значениях независимой переменной. Если эти добавочные условия задаются при одной величине независимой переменной, то тогда задача может считаться задачей при известных начальных условиях, то есть, задачей Коши. Часто в задаче Коши независимая переменная может быть временным параметром.

Задачу Коши можно сформулировать следующим образом. Имеется дифференциальное уравнение с начальными условиями:

y(x0) = у0.

Требуется найти функцию у(x), удовлетворяющую заданному уравнению и имеющемуся начальному условию. Численная версия решения задачи Коши может быть сведена к табулированию функции, подлежащей определению. Графическое представление решения дифференциального уравнения может отображаться в виде интегральной кривой.

Уравнение y’ = f(x,y) представляет собой тангенс угла наклона касательной по отношению к графику решения в точке (х, у) к оси Х, то есть, это угловой коэффициент. Возможное представление данного графика изображено на рисунке ниже.

Рисунок 3. График. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение данного уравнения существует, если правая сторона f(x, y) будет являться непрерывной в заданной области R, определяемой неравенствами:

|x-x0| $\lt$ а; |y-y0| $\lt$ b,

то есть, должно существовать, в крайнем случае, единственное решение у = у(х), определяемое в границах:

|х – х0| $\lt$ h.

Здесь h должно обязательно быть представлено как положительное число.

Данное решение окажется единственным, если в области R будет выполняться условие Липшица:

|f(x,y)-f(x,y)| ≤N|y-y|(x,y).

В данном случае N считается определенной постоянной, именуемой константой Липшица, имеющей зависимость, в общем случае, от «а» и «b».

Если f(x, у) имеет ограниченную производную f’y(x, y) в области R, то можно сделать предположение, что N = мах |f’y(х, у)| при (х, y), расположенных в области R. Если используются численные методики решения, то должна осуществляться замена участка $[х0,X]$, являющегося областью непрерывного изменения аргумента х множеством $\bar W^h$, которое составлено из не бесконечного числа точек х0 $\lt$ х1 $\lt$ ... $\lt$ xn = Х, сеткой.

В таком случае xi могут считаться сеточными узлами. Большинство методов используют равномерные сетки, которые имеют следующий шаг:

hn = h = (X – x0)/N

Задача Коши, которая была сформулирована ранее, на непрерывном отрезке $[х0, X]$, может быть заменена ее аналогом в дискретной версии, то есть, системой уравнений, при решении которой присутствует возможность поочередного определения значений y1, y2,…,yn. Они являются примерными величинами функции в сеточных узлах:

Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Численное решение задачи Коши получило повсеместное распространение в различных научных и технических областях, и число разработанных для него методов является достаточно большим. Данные методы делятся на следующие группы:

1. Методы одного шага, в которых, для того чтобы определить очередную точку на графике у = f(x), необходимо иметь только данные о предыдущем шаге. К одношаговым методам относятся методы Рунге – Кутта, а также Эйлера.
2. Методы, имеющие много шагов. В них, для того чтобы определить очередную точку на графике у = f(x), необходимо иметь информацию более чем об одной предыдущей точке. Для того чтобы получить уточненное числовое значение, следует использовать метод итерации. К таким методикам следует причислить методы Милна, Адамса – Башфорта и Хемминга.
3. Явные методы, в которых функция выступает как независимая от $y_{n+1}$.
4. Неявные методы, в которых функция обладает зависимостью от $y_{n+1}$.