Булева алгебра — это область математики, содержащая правила обращения с множествами, образованными лишь двумя элементами, принимающими значения 0 (ложь) и 1 (истина).
Предыстория возникновения булевой алгебры
Алгебра логики, или булева алгебра, является разделом математики, который возник в девятнадцатом веке благодаря работам английского математика Джорджа Буля. Изначально булева алгебра не обладала практическим значением. Тем не менее уже в двадцатом веке ее положения стали использоваться в описании работы и проектировании разных электронных схем, а также в информатике.
Термин «логика» служит для обозначения науки, изучающей правила и законы мышления, способы реализации доказательств и опровержения различных предположений. Основоположником логики является древнегреческий учёный-философ Аристотель, живший в четвёртом веке до нашей эры. Сначала он отметил, что, когда осуществляется доказательство каких-нибудь положений на базе других утверждений, за основу берутся не их конкретные содержательные части, а только взаимоотношения их форм. Ещё один учёный-философ также живший в Древней Греции, Евклид, осуществил систематизацию значительного количества положений геометрии с позиций именно логики. Он сформировал понятие метода аксиом и положил начало восприятию геометрии как науки, базирующейся на аксиомах, а все математические науки представил в виде совокупности математических теорий. Логические постулаты Аристотеля претерпевали ряд доработок в течение длительного времени.
Значительный качественный скачок в развитии логической науки произошёл с приходом в логику математических методов. Начало этой тенденции положил известный немецкий учёный Г. Лейбниц, который жил в семнадцатом и восемнадцатом веках нашей эры. Он стремился сформировать универсальную языковую форму, которая могла бы позволить формализовать разнообразные выкладки и все разночтения и споры свести к математическим формулам.
Как отмечалось выше, возникновение науки, именуемой математической логикой, сопряжено с трудами английского учёного Джона Буля. Он сумел создать алгебру логики, которая впоследствии получила название Булева алгебра. Она появилась как результат применения в логике методик алгебры.
Булева алгебра в информатике
Законы и аппарат алгебры логики начали использовать при создании разных компьютерных модулей, например, таких, как память и процессор. Хотя, естественно, это не единственная сфера приложения этой науки. Булева алгебра предназначена для изучения методов определения истинности или ложности сложных логических высказываний при помощи алгебраических методик. Она реализует это таким образом, что сложное логическое высказывание представляется функцией, итоговым результатом вычисления которой может стать или его истинность, или его ложность. Истинное значение принято обозначать единицей (1), а ложное нулём (0). Причём аргументами функций являются простые высказывания, которые также могут обладать лишь двумя значениями, то есть, единица или нуль.
Утверждения «три больше, чем два» и «6,7 считается целым числом» могут служить примерами простых логических высказываний. Анализ этих высказываний показывает, что первое утверждение является истинным, а второе является ложным. Это и будет результатом исполнения простого логического выражения.
Алгебра логики не занимается анализом сути высказываний. Она помогает осуществить вычисление результатов сложных логических высказываний на базе заранее установленных значений простых высказываний. В естественных языках человек использует разные союзы и другие части речи, а именно, и, или, либо, не, если, то, тогда. При их посредстве он способен создавать сложные высказывания, например, такие:
- «Он обладает знаниями и навыками.
- «Она прибудет в понедельник или в четверг».
- «Я стану смотреть телевизор, когда наступит вечер».
- «7 не равняется 8».
Чисто логически, на основании предыдущего жизненного опыта, человек понимает, что истина при союзе «и» может наступить в случае истинности обоих простых высказываний. В случае, если одно из высказываний будет ложным, то и всё сложное высказывание станет таким. А в случае использования связки «или» (либо), может быть истинным лишь одно из простых высказываний, и тогда всё выражение будет считаться истинным.
Булева алгебра использовала данный жизненный опыт, переложила его на аппарат математики, выполнила его формализацию, задала жесткие правила формирования однозначного результата. Союзы в Булевой алгебре называются логическими операторами. Алгебра логики содержит множество логических операций. Однако три из них представляют особый интерес, поскольку с их помощью могут быть описаны все остальные операции, и, следовательно, их применение позволяет использовать меньшее число различных элементов при проектировании схем.
Такими базовыми операциями считаются следующие операции:
- Операция конъюнкции, то есть, логическое «И».
- Операция дизъюнкции, то есть, логическое «ИЛИ».
- Операция отрицания, то есть, логическое «НЕ».
Эти основные вышеназванные операций принято обозначать следующими символами:
- Символ & обозначает конъюнкцию.
- Символ ∨ обозначает дизъюнкцию.
- Символ ¬ обозначает отрицание, которое может также обозначаться чертой над переменной.
При конъюнкции сложного выражения, оно будет истинным лишь в варианте истинности всех простых выражений, из которых состоит сложное выражение. Во всех других случаях сложное выражение будет являться ложным.
При дизъюнкции истина сложного выражения наступает при истинности хотя бы одного входящего в него простого выражения или двух сразу. Бывает, что сложное выражение состоит более, чем из двух простых. В этом случае достаточно, чтобы одно простое было истинным и тогда все высказывание будет истинным.
Отрицание является унарной операцией, так как выполняется по отношению к одному простому выражению или по отношению к результату сложного. В результате отрицания формируется новое высказывание, противоположное исходному.
