Аппроксимация экспериментальных данных — это научная методика, состоящая в замене одних объектов другими, в определенном смысле близкими к исходным данным, но более простыми.
Введение
Сегодня проблема аппроксимации считается актуальной темой фактически для любого технического исследования. От выбора типа аппроксимации в значительной мере зависит набор количественных характеристик и качественных свойств отображения исследуемых объектов.
Аппроксимацией является замена одних математи¬ческих объектов другими, в том или ином смысле, являющимися приближенными к исходным. Аппрок¬симация предоставляет возможность исследования числовых характеристик или качественных свойства объекта, путем сведения задачи к исследованию более простых или более удобных объектов (к примеру, та¬ких, у которых характеристики можно легко вычислить или свойства которых уже были извест¬ны ранее).
Приближением является аналог аппроксимации, термин «приближение» может иногда употребляться в смысле приближающего объекта. Приближением функций является определение для данной функции f функции g из некоторого определенного класса (к примеру, среди алгебраических многочленов требуемой степени), которая в некотором смысле будет близкой к f, то есть, дающей ее приближенное представление.
Моделью может быть любой образ какого-нибудь объекта, процесса или явления («оригинала» этой модели), применяемый как его «заместитель» или «представитель». Математической моделью является приближен¬ное описание какого-нибудь класса явлений окружающей действительности, которое выражено при помощи ма¬тематических символов. Физической моделью является приближенное описание определенного объекта или явления при помощи образа, который имеет такую же физическую природу.
Одним из главных этапов исследования явления при помощи его математической модели считается определение того факта, способна ли удовлетворить сформированная гипотетическая модель критериям практики, то есть, осуществляется выяснение вопроса о том, можно ли согласовать итоги наблюдений с теоретическими постулатами модели в границах точности наблюдений. Это означает, что требуется проверка на адекватность (то есть, наличие соответствия свойствам реального объекта) дан¬ной математической модели. При этом точность модели, обязана быть больше точности наблюдений, то есть, ошибка модели обязана быть меньше ошибки наблюдений.
Адекватностью является соответствие, верность, точность. Точностью измерения является характеристика измерения, которая отражает уровень близости его результатов к фактическому значению измеряемой величины.
Аппроксимация экспериментальных данных
Аппроксимация условно может быть поделена на следующие виды:
- строгая математическая аппроксимация,
- физическая или техническая аппроксимация.
Строгая теория математической аппроксимации состоит из следующих ме¬тодов аппроксимации:
- аппроксимация полиномами (многочленами),
- аппроксимация при помощи сплайнов,
- аппроксимация отрезками ряда Фурье,
- аппроксимация полиномами по ортогональным многочленам,
- аппроксимация при помощи собственных функций краевых задач.
Менее строгой аппроксимацией является физическая, то есть, техническая аппроксимация или математическая модель физического явления, процесса (физической модели), техниче¬ского устройства (его характеристик), сигнала (его параметров), среды, материи и тому подобное. Физическая (техническая) аппроксимация состоит из множества методов ап¬проксимации и аппроксимирующих функций, которые следует выбрать согласно конкретно по¬ставленной физической (технической) задаче.
То есть, при помощи физической (технической) аппроксимации может оператив¬но решаться обширный круг задач, являющихся актуальными на текущий момент времени, связанных с конкретными проблемами и вопросами прикладного (технического) характера. Строгая теория математической аппроксимации построена как фундаментальная, глобальная тео¬рия аппроксимации, которая, по сути, может и не помочь в решении повседневных прикладных практических задач. Это может случиться по причине либо потери с течением вре¬мени актуальности решаемой задачи, либо из-за сложности теории (аппроксимирующей функции), либо большого числа коэффициентов аппроксимации.
Приведем пример, который поясняет всю важность как технической аппроксимации, так и строгой математической теории. Если проследить процесс создания теории теплового излучения, то можно увидеть следующую очередность событий:
- Изначально на базе экспериментальных данных были найдены закон (излучения) Стефана-Больцмана и закон смещения Вина.
- Далее теоретическим путем были выве¬дены и экспериментально подтвердились в определенных частных случаях закон излучения (формула) Вина и закон излучения (формула) Рэлея-Джинса.
- Затем предложенная Планком квантовая гипотеза предоставила фундаментальный закон излучения (формулу) Планка, ко¬торый отлично согласуется с экспериментальными данными во всех интервалах частот и температур.
Необходимо заметить, что законы Стефана-Больцмана, Вина, Рэлея-Джинса являются частными случаями закона излучения Планка.
На рисунке ниже представлена классификация методов аппроксимации экспериментальных данных и формирования моделей:
Рисунок 1. Классификация методов аппроксимации экспериментальных данных и формирования моделей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Представленный выше путь развития физической теории теплового излучения является ни чем иным, как методом индукции, то есть, одним из типов умо¬заключения и методом исследования. Умозаключением является переход от отдельных фактов, то есть, частных случаев, к определенной гипотезе, то есть, общему утверждению или общим положениям.
Известен и иной, являющийся конкурирующим метод исследования, а именно, это дедукция, то есть, один из главных методов рассуждения (умозаключения) и методик исследования.
