Комбинационные схемы с одним выходом — это схемы, у которых выходной сигнал в любой момент дискретного времени может быть однозначно определен набором входных сигналов, поступающих в этот же момент времени.
Введение
Выполнение обработки входной информации Х в выходную Y в любых дискретных схемах может быть обеспечено при помощи преобразователей или цифровых автоматов следующих типов:
- Комбинационная схема.
- Схема с памятью.
Комбинационными схемами являются схемы, у которых выходной сигнал (или сигналы $Y = (у_1, у_2, ..., у_m))$ в любой дискретный момент времени может быть однозначно определен набором входных сигналов $Х = (х_1, х_2, ..., х_п)$, поступающих в этот же момент времени t.
Используемый в комбинационной схеме метод информационной обработки именуется комбинационным, так как итоговый результат обработки имеет зависимость лишь от совокупности входных сигналов и должен формироваться сразу же при поступлении входных сигналов. По этой причине главным достоинством комбинационной схемы может считаться их высокое быстродействие.
Преобразование информации может быть однозначно описано при помощи логической функциями типа Y = f(X). Величина функции будет различной для различных комбинаций входных переменных и может задаваться при помощи специальных таблиц, а именно, таблиц истинности. В левой части такой таблицы должны перечисляться все допустимые комбинации входных сигналов (наборы значений), а в правой части таблицы должны быть указаны возможные реакции выходных сигналов.
По таблице истинности может быть составлено аналитическое выражение (зависимость) для функции. Для того чтобы это осуществить, совокупности входных сигналов, на которых функция равняется логической единице, должны быть записаны как конъюнкция, то есть, логическое умножение, и должны быть связаны знаками логического сложения. Подобные формы функций называются дизъюнктивными нормальными формами (ДНФ). Когда в такой функции конъюнкции содержатся все без исключения входные сигналы (переменные) в прямом или инверсном виде, то данная форма функции может считаться совершенной.
Анализ и синтез комбинационных схем с одним выходом
Алгебра логики определяет правила, позволяющие сформировать логически полный базис простейших функций, из которых можно построить любые более сложные функции. Самым распространенным базисом может считаться набор из следующих логических функций:
- Функция инверсии.
- Функция дизъюнкции, обозначаемая как v.
- Функция конъюнкции, обозначаемая как &.
Использование этих функций по сути аналогично использованию операций обычной алгебры.
Алгебра логики предполагает, что имеются и другие совокупности простейших логических функций, которые также обладают свойством логической полноты. К примеру, набор логических функций, состоящий из инверсии и дизъюнкции тоже считается логически полным. Кроме того, набор, состоящий из инверсии и конъюнкции, также является логически полными.
Логическое выражение функции, которое было получено при помощи таблицы истинности в виде совершенной дизъюнктивной формы, можно упростить, выполнив его минимизацию. На основании упрощенного выражения может быть построено техническое устройство, которое имеет минимальные аппаратные затраты. Проблемы, связанные с минимизацией логических функций, могут решаться на базе использования законов склеивания и поглощения с дальнейшим перебором полученных дизъюнктивных форм и выбором из них оптимальной, то есть, минимальной.
Предположим, что комбинационная логическая схема имеет n входов и один выход y, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 1. Комбинационная логическая схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Как входные, так и выходные сигналы являются двоичными, то есть, они способны принимать лишь значение нуль или единица. Внутренняя структура комбинационной схемы состоит также из двоичных элементов. В качестве примера двоичного входа можно привести кнопку x, которая может быть в нажатом состоянии (x = 1), или в не нажатом (x = 0), а примером двоичного выхода может служить лампа y, которая горит (y = 1), или не горит (y = 0).
Математическим аппаратом, предназначенным для описания комбинационных схем, могут считаться функции алгебры логики, то есть, булевы функции. Эта функция от n переменных $f(x_1, x_2, …, x_n)$ может быть задана при помощи таблицы истинности, представленной ниже.
Рисунок 2. Таблица. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
В таблице содержится восемь строк, каждая из которых определяет одно из допустимых состояний этих трех кнопок $x_1, x_2, x_3$. Значение y в строке призвано определить состояние лампы при текущем состоянии входов, как показано на рисунке ниже.
Рисунок 3. Схема. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
К примеру, запись в нулевой строчке показывает, что, когда все три кнопки находятся в не нажатом состоянии $(x_1 = x_2 = x_3 = 0)$, тогда лампа горит (y=1).
Характерной чертой функций алгебры логики может считаться тот факт, что все входные сигналы (переменные) и сами функции могут принимать лишь два значения. Областью определения функции алгебры логики от n переменных выступает множество двоичных совокупностей, количество которых равно 2n. Каждой двоичной совокупности может быть сопоставлено нулевое или единичное значение функции. Соответственно областью значений функции алгебры логики считается множество {0, 1}.
Задание функции алгебры логики можно осуществить путем перечисления тех двоичных совокупностей, на которых функция равняется единице. Такие совокупности именуются разрешенными. К примеру, функция y из таблицы, приведенной выше, может задаваться множеством (000, 011, 100, 110). Каждая двоичная совокупность N представляет собой некоторое двоичное число, которое можно перевести в десятичный формат по следующей формуле:
Рисунок 4. Формула. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Здесь:
- I является номером разряда, i = 0, 1, 2, …, n.
- $C_i$ является коэффициентом при i-м разряде, $C_i = 0$ или 1.
- $2^i$ является весом i-го разряда.
В таблице истинности, приведенной выше, в первом столбце приведены десятичные эквиваленты двоичных чисел.
